拓展一圆锥曲线的离心率问题-2

拓展一：圆锥曲线的离心率问题离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。一、求离心率的方法．求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：1、利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距，从而可求解；（1）特殊三角形与离心率这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.平行四边形与离心率与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.圆与离心率借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等.2、利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解．（要习惯将看作常数）3、通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．重要类型：(1)利用焦点三角形求离心率利用定义，求出。椭圆：，设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。双曲线：，设双曲线焦点三角形两底角分别为来表示:(2)由渐近线求离心率因为双曲线夹在两渐近线之间，所以两渐近线夹角的大小确定了双曲线的开口大小.双曲线中，渐近线的倾斜角与离心率有如下关系①②过焦点作渐近线的垂线，垂足为点M，因≌，所以焦点到渐近线的距离垂足点M的坐标.(3)中点弦的离心率问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．与焦点弦有关的离心率问题当椭圆或双曲线的焦点在轴上时，过焦点F作倾斜角为的弦AB（若为双曲线，则弦AB在同一支上），设是较长的焦半弦，为较短的焦半弦，则当抛物线的焦点在轴上时，过焦点F作倾斜角为的弦AB，设是较长的焦半弦，为较短的焦半弦，则结论中的a，b，c，p都是相关曲线的参数。这两个结论又称为长短弦公式。焦比定理：若圆锥曲线的焦点在轴上，设AB是过圆锥曲线的焦点F的弦（对双曲线，限定AB在同一支上），圆锥曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或推论1：若圆锥曲线的焦点在轴上，设AB是过圆锥曲线的焦点F的弦（对双曲线，限定AB在同一支上），圆锥曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或推论2：若双曲线的焦点在轴上，设AB是过焦点F的弦，且弦AB与双曲线的两支都相交，双曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或推论3：若抛物线的焦点在轴上，设AB是过焦点F的弦，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或二、离心率的范围问题．在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）借助题目中给出的不等信息题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求．如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；基本步骤：①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.（2）借助函数的值域求解范围若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；基本步骤：①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；②通过确定函数的定义域；③利用函数求值域的方法求解离心率的范围.借助平面几何图形中的不等关系基本步骤：①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，②将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，③解不等式，确定离心率的范围.另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．类型一利用定义法求离心率1、已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．求椭圆的焦点坐标及离心率.2、已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．类型二利用几何关系求离心率3、椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2\r(2),3)4、直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为A．B．C．D．5、变式2：（2017新课标Ⅲ）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A．B．C．D．6、已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．7、焦点在x轴上的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq\f(b,3)，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)8、已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为椭圆的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．9、若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．10、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．类型三借助焦点三角形求离心率11、设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为()A.B.C.D.12、设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.13、椭圆的左、右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于.14、已知椭圆的左焦点为,与过原点的直线相交于两点,连接.若,,则的离心率=.15、设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.16、双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为()A.B. C.D.17、已知是双曲线的左、右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为()A.B.C.D.18、已知是双曲线的两个焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.类型四由渐进线求离心率19、已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．20、已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．21、若双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离是，则的离心率为____.22、已知双曲线E:（a＞0,b＞0）与抛物线C:有共同的焦点,过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行,则E的离心率为（

）．A． B． C．3 D．223、已知双曲线的一条渐近线为，左､右焦点分别是，过点作轴的垂线与渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为__________.24、已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则该双曲线的离心率为___________.25、已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率.类型五中点弦的离心率问题26、直线与椭圆相交于A,B两点，且恰好为AB中点，则椭圆的离心率为.27、过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．28、已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．29、已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．类型六与焦点弦有关的离心率问题30、已知椭圆的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为，且直线l交该椭圆于A，B两点，若，则该椭圆的离心率为______________.31、椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．类型七求离心率的取值范围（一）利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式32、已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）.A．B．C．D．33、已知直线l：x＋y＝0与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为_______．34、正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)－1,2)))35、已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．（二）利用已知的角度关系建立不等式36、已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（）A． B． C． D．37、已知椭圆：的右焦点为，左顶点为.若点为椭圆上的点，轴，且，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．38、已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．39、已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))（三）利用已知的位置关系建立不等式40、过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5)))B.eq\b\lc\[\rc\)(