高中一轮复习文数讲义第九章解析几何

第九章解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．直线的斜率P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．(3)直线l的倾斜角为α≠eq\f(π,2)，则斜率k＝tan_α.3．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kk＝tanα＞0k＝0k＝tanα＜0不存在倾斜角α锐角0°钝角90°2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：当α取值在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内，由0增大到eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))时，k由0增大并趋向于正无穷大；当α取值在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))内，由eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1](1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．[解析](1)因为直线xsinα＋y＋2＝0的斜率k＝－sinα，又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tanθ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).(2)如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝eq\f(3,2)，kPA＝－2，kl＝－eq\f(1,m).∴－eq\f(1,m)≤－2或－eq\f(1,m)≥eq\f(3,2).解得0＜m≤eq\f(1,2)或－eq\f(2,3)≤m＜0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．∴实数m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,2))).[答案](1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,2)))[易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq\f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)．两直线的位置关系两直线平行或垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[解](1)由已知可得l2的斜率存在，所以k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋4＝0，即a＝eq\f(4,3)(矛盾)．所以此种情况不存在，所以k2≠0.即k1，k2都存在，因为k2＝1－a，k1＝eq\f(a,b)，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即eq\f(a,b)(1－a)＝－1.①又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)因为l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在，k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a.③又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq\f(4,b)＝b，④联立③④，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))所以a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.[方法技巧]已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)[提醒]当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])直线2xcosα－y－3＝0α∈eq\f(π,6)，eq\f(π,3)的倾斜角的取值范围是________．解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2·cosα∈[1，eq\r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，eq\r(3)]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))2.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·苏北四市模拟)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))3.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·苏州调研)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．解析：由题意知，直线l1，l2斜率均存在，因为l1∥l2，所以eq\f(1,a－2)＝eq\f(a,3)≠eq\f(6,2a)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－2＝3，,2a2≠18，,a≠2，,a≠0，))解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).答案：eq\f(8\r(2),3)4.eq\a\vs4\al([考点二])已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.解析：因为直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－1.答案：eq\f(1,3)或－15.eq\a\vs4\al([考点一])直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．解析：如图，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)6.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·苏北四市一模)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))＝13＋eq\f(6a,b)＋eq\f(6b,a)≥13＋2eq\r(\f(6a,b)·\f(6b,a))＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.答案：25突破点(二)直线的方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面直角坐标系内所有直线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求直线方程[例1](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)的直线方程．(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．(3)求过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程．[解](1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－eq\f(1,2)，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－eq\f(2,5)，所以直线方程为y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(3)①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；②当m≠2时，直线l的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,m－2)，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.[易错提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2]过点P(4,1)作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]设直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1.(1)eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，S△AOB＝eq\f(1,2)ab最小，此时直线l的方程为eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥5＋2eq\r(\f(a,b)·\f(4b,a))＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.[方法技巧]1．给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程．(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．2．与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y.(2)将问题转化成关于x(或y)的函数．(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.答案：x＋y＋1＝02.eq\a\vs4\al([考点一])已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为eq\f(1,2)，则tanα＝eq\f(1,2)，所以直线l的斜率k＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,3)，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝eq\f(4,3)(x－1)，即4x－3y－4＝0.答案：4x－3y－4＝03.eq\a\vs4\al([考点二])若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为________．解析：∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.答案：44.eq\a\vs4\al([考点二])若ab＞0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．解析：根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故eq\f(－2,a)＋eq\f(－2,b)＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab＞0，故a＜0，b＜0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4eq\r(ab)，从而eq\r(ab)≤0(舍去)或eq\r(ab)≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号．即ab的最小值为16.答案：165.eq\a\vs4\al([考点一])△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝eq\f(2－2,2)＝0，y＝eq\f(1＋3,2)＝2.BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.突破点(三)直线的交点、距离与对称问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．两条直线的交点2．三种距离类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两平行直线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))考点贯通抓高考命题的“形”与“神”交点问题[例1](1)当0＜k＜eq\f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限．(2)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为________．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1).))又∵0＜k＜eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(k,k－1)＜0，y＝eq\f(2k－1,k－1)＞0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别为A′(3，－4)，B′(3，－9)，截得的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3＋1，,x＋y＋1＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)，－\f(4k－1,k＋1)))，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3＋1，,x＋y＋6＝0，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,k＋1)，－\f(9k－1,k＋1))).由|AB|＝5，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k－1,k＋1)＋\f(9k－1,k＋1)))2＝52.解得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.[答案](1)二(2)x＝3或y＝1[方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2](1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．(2)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________．[解析](1)因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).(2)设点P的坐标为(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB的斜率kAB＝eq\f(－3＋1,4－2)＝－1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴eq\f(|4a＋3b－2|,\r(42＋32))＝2，即4a＋3b－2＝±10，②由①②联立可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7)，,b＝－\f(8,7).))∴所求点P的坐标为(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7))).[答案](1)eq\f(29,10)(2)(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7)))[易错提醒](1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为相等．对称问题1．中心对称问题的两种类型及求解方法点关于点对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线对称①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解[例3](1)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M的坐标为________．(2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________．(3)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析](1)设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋x,2)＝1，,\f(2＋y,2)＝4，))∴x＝－1，y＝6，∴M(－1,6)．(2)设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.(3)设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.[答案](1)(－1,6)(2)x－2y＋3＝0(3)6x－y－6＝0[方法技巧]解决两类对称问题的关键点解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点三])(2018·太仓期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为________．解析：因为直线AB的斜率为eq\f(a＋1－a,a－1－a)＝－1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,2)，\f(2a＋1,2)))，所以eq\f(2a＋1,2)＝eq\f(2a－1,2)＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝02.eq\a\vs4\al([考点二])若直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是eq\r(5)，则m＋n＝________.解析：∵直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为eq\r(5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝－2，,\f(|m＋3|,\r(5))＝\r(5)，))∴n＝－2，m＝2(负值舍去)．∴m＋n＝0.答案：03.eq\a\vs4\al([考点一])设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝eq\r(5)时，等号成立)，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：54.eq\a\vs4\al([考点三])若m＞0，n＞0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值等于________．解析：由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．则1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.于是eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,2)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq\f(1,2)×(5＋2×2)＝eq\f(9,2)，当且仅当m＝eq\f(2,3)，n＝eq\f(4,3)时等号成立．答案：eq\f(9,2)5.eq\a\vs4\al([考点一])经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________．解析：由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．∵l⊥l3，直线l3的斜率为eq\f(3,4)，∴直线l的斜率k1＝－eq\f(4,3)，∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.答案：4x＋3y－6＝06.eq\a\vs4\al([考点二])已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，因为kOP＝－eq\f(1,2)，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过eq\r(5)的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．直线x＋eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角是________．解析：由直线的方程得直线的斜率为k＝－eq\f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(\r(3),3)，所以α＝eq\f(5π,6).答案：eq\f(5π,6)2．(2018·常州期中)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋7,2)＝1，,\f(b＋1,2)＝－1，))解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．解析：依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.答案：x－2y－1＝04．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：∵eq\f(6,3)＝eq\f(m,4)≠eq\f(14,－3)，∴m＝8，直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝eq\f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2.答案：25．(2018·徐州高三月考)已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值集合________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的取值集合为{0,1,2}．答案：{0,1,2}[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．解析：由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.当y＝0时，x＝eq\f(a＋2,a).故eq\f(a＋2,a)＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.答案：－2或12．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R),l在两坐标轴上截距相等，则l的方程为________．解析：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.令x＝0，得y＝a－2，令y＝0，得x＝eq\f(a－2,a＋1)，∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.答案：3x＋y＝0或x＋y＋2＝03．(2018·无锡一中高三模拟)已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，若∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，则BC边所在直线的方程为_____________．解析：设A点关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x1，y1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·\f(x1－1,2)－3·\f(y1＋5,2)＋6＝0，,\f(y1－5,x1＋1)＝－\f(3,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1－3y1－5＝0，,3x1＋2y1－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(31,13)，,y1＝－\f(1,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,13)，－\f(1,13)))，∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A′点在直线BC上．∴直线BC的方程为y＝eq\f(－\f(1,13)－－1,\f(31,13)－0)x－1，整理得12x－31y－31＝0.答案：12x－31y－31＝04．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是________．解析：由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离为d＝eq\f(|－10|,\r(2))＝5eq\r(2)，即P到原点距离的最小值为5eq\r(2).答案：5eq\r(2)5．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,a)))，则线段AB的长为________．解析：依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2y,2)＝0，,\f(2x＋y,2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))所以A(4,8)，B(－4,2)，∴|AB|＝eq\r(4＋42＋8－22)＝10.答案：106．(2018·南通期中)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a的值为________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，因为0＜a＜2，所以当a＝eq\f(1,2)时，面积最小．答案：eq\f(1,2)7．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为________．解析：因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)，即直线l2的斜率为eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．(2018·苏州模拟)已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是__________________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－eq\f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝09．(2018·泰州期初)若直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线经过点(1,2)得eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1.于是a＋b＝(a＋b)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)，因为eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥2eq\r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(b,a)＝\f(2a,b)，即a＝1＋\r(2)，b＝2＋\r(2)时取等号))，所以a＋b≥3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)10.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFD＞kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)二、解答题11．(2018·启东中学高三周练)已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∵点A(5,0)到l的距离为3，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝eq\f(1,2)，∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝PA＝eq\r(5－22＋0－12)＝eq\r(10).12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq\f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0.∵S＝eq\f(1,2)·OA·OB＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(1＋2k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，当且仅当k＝eq\f(1,2)时等号成立，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.第二节圆的方程本节主要包括2个知识点：1.圆的方程；2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一)圆的方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求圆的方程1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的三种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1](1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)经过三点(2，－1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为________________．[解析](1)依题意，设圆心坐标为C(a,0)，则|CA|＝|CB|，即eq\r(a－52＋0－12)＝eq\r(a－12＋0－32)，则a＝2.故圆心为(2,0)，半径为eq\r(10)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.(2)过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝eq\r(3－12＋－2＋42)＝2eq\r(2)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(3)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22＋－12＋2D－E＋F＝0，,52＋02＋5D＋0＋F＝0，,62＋12＋6D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－8，,F＝－5，))故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－8y－5＝0.[答案](1)(x－2)2＋y2＝10(2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8(3)x2＋y2－4x－8y－5＝0[方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．3．A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．[例2](2018·江苏无锡模拟)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________．[解析]圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)－\f(b＋1,2)－1＝0，,\f(b－1,a＋1)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))所以圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.[答案](x－2)2＋(y＋2)2＝1能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])已知点A(－1，eq\r(3))，B(1，－eq\r(3))，则以线段AB为直径的圆的方程是________．解析：由题意知，AB的中点为(0,0)，即所求圆的圆心坐标为(0,0)，设圆的方程为x2＋y2＝r2，因为|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－\r(3)－\r(3)2)＝4，所以圆的半径为2，所以圆的方程为x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝42.eq\a\vs4\al([考点一])若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a＞0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝13.eq\a\vs4\al([考点二])已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．解析：将圆的方程化成标准形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))4.eq\a\vs4\al([考点二])若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：根据题意得，点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝15.eq\a\vs4\al([考点二])若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.答案：26.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·盐城中学月考)圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．解：(1)要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，圆心C(0，－4)，半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(5)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋4)2＝5.(2)因为kAB＝eq\f(1,2)，AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2.))所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得，半径r＝eq\r(10)，因此，所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.突破点(二)与圆的方程有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”与圆有关的轨迹问题[例1]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[方法技巧]求与圆有关的轨迹问题的四种方法与圆有关的最值问题[例2]已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．[解](1)法一：因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2，7)，半径r＝2eq\r(2)，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝eq\f(|1×2＋2×7－t|,\r(12＋22))≤2eq\r(2)，解上式得：16－2eq\r(10)≤t≤16＋2eq\r(10)，所以m＋2n的最大值为16＋2eq\r(10).法二：由x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得(x－2)2＋(y－7)2＝8.因为点M(m，n)为圆上任意一点，故可设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝2\r(2)cosθ，,n－7＝2\r(2)sinθ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2＋2\r(2)cosθ，,n＝7＋2\r(2)sinθ，))∴m＋2n＝2＋2eq\r(2)cosθ＋2(7＋2eq\r(2)sinθ)＝16＋2eq\r(2)cosθ＋4eq\r(2)sinθ＝16＋eq\r(8＋32)sin(θ＋φ)＝16＋2eq\r(10)sin(θ＋φ)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(1,2)))故m＋2n的最大值为16＋2eq\r(10).(2)记点Q(－2,3)．因为eq\f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则eq\f(n－3,m＋2)＝k.由直线MQ与圆C有公共点，所以eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(k2＋1))≤2eq\r(2).可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq\r(3)，最小值为2－eq\r(3).[方法技巧]与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型解题思路μ＝eq\f(y－b,x－a)型转化为动直线斜率的最值问题t＝ax＋by型转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m＝(x－a)2＋(y－b)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).因为平行四边形的对角线互相平分，所以eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).2.eq\a\vs4\al([考点二])已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．(1)eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点A，B处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．已知三点A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0，,7＋2D＋\r(3)E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－\f(4\r(3),3)，,F＝1.))所以△ABC外接圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(21),3).答案：eq\f(\r(21),3)2．一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋4＝r2，,4－m2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2)，,r2＝\f(25,4).))所以圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)3．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为________．解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：x2＋y2＝14．(2018·淮安中学模拟)已知eq\o(OP,\s\up7(→))＝(2＋2cosα，2＋2sinα)，α∈R，O为坐标原点，向量eq\o(OQ,\s\up7(→))满足eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))＝0，则动点Q的轨迹方程是________．解析：设Q(x，y)，∵eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))＝(2＋2cosα＋x,2＋2sinα＋y)＝(0,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2－2cosα，,y＝－2－2sinα，))∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝45．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：4[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·姜堰中学月考)设A(－3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1∶2，则点P的轨迹图形所围成的面积是________．解析：设P(x，y)，则由题意有eq\f(x＋32＋y2,x－32＋y2)＝eq\f(1,4)，整理得x2＋y2＋10x＋9＝0，即(x＋5)2＋y2＝16，所以点P在半径为4的圆上，故其面积为16π.答案：16π2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________．解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为eq\r(5)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：(x－2)2＋y2＝53．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为________．解析：如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝eq\f(|3×0－4×1－12|,\r(32＋－42))＝eq\f(16,5)，所以△ABP的面积的最小值为eq\f(1,2)×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)－1))＝eq\f(11,2).答案：eq\f(11,2)4．(2018·南通模拟)已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是________．解析：圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝eq\f(|－3－4－2|,5)＝eq\f(9,5)，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝eq\f(4,5).