湖南省长沙市2024年中考数学模拟测试卷

湖南省长沙市2024年中考数学模拟测试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．－3的倒数是（）A．3 B．－3 C． D．2．苏州地铁4号线，2017年上半年通车试运营，主线全程长约为42000m，北起相城区荷塘月色公园，南至吴江同津大道站，共设31站。将42000用科学记数法表示应为（）A．0.42×105 B．4.2×104 C．44×103 D．440×1023．下列等式成立的是（）A．B．C．D．4．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A．5cm，7cm，10cm B．5cm，7cm，13cmC．7cm，10cm，13cm D．5cm，10cm，13cm6．某市教育体育局想要了解本市初二年级8万名学生的期中数学成绩，从中抽取了2000名学生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．2000名学生是总体的一个样本 B．每位学生的数学成绩是个体C．8万名学生是总体 D．2000名学生是样本的容量7．如图所示，已知正方形ABCD的面积是8平方厘米，正方形EFGH的面积是62平方厘米，BC落在EH上，△ACG的面积是4.9平方厘米，则△ABE的面积是（）

A．0.5平方厘米 B．2平方厘米 C．平方厘米 D．0.9平方厘米8．如图，在ABC中，∠B＝30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD的度数为（）A．30° B．40° C．60° D．90°9．一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．10．张浩有红牌和蓝牌各75张，已知张浩能在一个摊位上用2张红牌换1张银牌和1张蓝牌，还能在另一个摊位上用3张蓝牌换1张银牌和1张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（）张A．62 B．26 C．102 D．103二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：1﹣x2=．12．若不等式组的解集为，则.13．在x2++4=0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根。14．如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为．15．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为．16．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为cm.三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（1）计算：﹣sin30°（2）化简：.18．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．19．位于河南省郑州市的炎黄二帝巨型塑像，是为代表中华民族之创始、之和谐、之统一．塑像由山体CD和头像AD两部分组成．某数学兴趣小组在塑像前50米处的B处测得山体D处的仰角为45°，头像A处的仰角为70.5°，求头像AD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）20．为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：87/99/86/89/91/91/95/96/87/9791/97/96/86/96/89/100/91/99/97整理数据：成绩（分）8687899195969799100学生人数（人）222a13_b__21分析数据：平均数众数中位数93cd解决问题：（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．21．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D.求证：△ABC≌△DFE.22．某游船先顺流而下，然后逆流返回．已知水流速度是每小时3千米，游船在静水中的速度是每小时18千米．为使游船在4小时内（含4小时）返回出发地，则游船顺流最远可行多少千米？23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，连接AD．（1）求∠DAC的度数；（2）若BD＝2，求BC的长．24．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ＝1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ＝0．例如，点P（1，2）是直线y＝x的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：y＝-x+3，：y＝2x+b．（1）已知点A（0，4），，C（2，3），上述各点是直线的关联点是；（2）若点D（-1，m）是直线的最佳关联点，则m的值是；（3）点E在x轴的正半轴上，点A（0，4），以OA、OE为边作正方形AOEF．若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，则b的取值范围是．25．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AC=BC，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC=∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD=6，AB=16，求⊙O的半径；（3）在（2）的基础上，点F在⊙O上，且，△ACF的内心点G在AB边上，求BG的长．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】-3的倒数为．故答案为：D．【分析】根据倒数的定义求解．2．【答案】B【解析】【解答】将42000用科学记数法表示为：4.2×104．故答案为：B．【分析】科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a10n，的形式，其中1a10，n是原数的整数位数减一。3．【答案】C【解析】【解答】解：A、，错误；

B、，错误；

C、，正确；

D、.

故答案为：C.

【分析】根据分式的加减法法则分别计算，然后比较结果，即可作答.4．【答案】B【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．5．【答案】B【解析】【解答】解：A中，5+7＞10，符合；B中，10+7＜13，不符合；C中，7+10＞13，符合；D中，5+10＞13，符合．故选B．【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．6．【答案】B【解析】【解答】解：A、2000名学生的数学成绩是总体的一个样本，A不符合题意；

B、每位学生的数学成绩是个体，B符合题意；

C、8万名学生的数学成绩是总体，C不符合题意；

D、2000是样本的容量，D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象.从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.7．【答案】D【解析】【分析】延长AB与FG交于M，如图所示，设正方形ABCD的面积求出边长a，EB=b，CH=c，用CH+BC表示出BH，即为MG，由三角形ABC的面积+直角梯形BCGM的面积-三角形AMG的面积=三角形ACG的面积，分别利用梯形的面积公式，三角形的面积公式及已知三角形ACG的面积列出关系式，由正方形ABCD的面积为8，求出a2的值为8，整理后将a2的值代入，得到ab的值，即为三角形ABE的面积．

【解答】延长AB与FG交于点M，如图所示：

设正方形ABCD的边长为a厘米，EB=b厘米，CH=c厘米，

则AB=BC=a厘米，BM=EH=EB+BC+CH=（a+b+c)厘米，MG=BH=（a+c)厘米，

∵S△ACG=S△ABC+S梯形BCGM-S△AMG=4.9，

∴a2+（a+b+c)（2a+c)-（2a+b+c)（a+c)=4.9，

整理得：a2+ab=4.9，

又正方形ABCD的面积为8平方厘米，即a2=8，

∴S△ABE=AB•EB=ab=4.9-×8=4.9-4=0.9（平方厘米)．

故选D

【点评】此题考查了正方形的性质，以及三角形、梯形面积的求法，利用了转化及方程的思想，作出相应的辅助线是解本题的关键．8．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠B＝30°，∴∠BCD＝∠B＝30°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠BCD＝60°．故答案为：C．【分析】根据AB∥CD，可得∠BCD＝∠B＝30°，然后根据CB平分∠ACD，可得∠ACD＝2∠BCD＝60°．9．【答案】B【解析】【解答】根据一次函数的图象分析可得：

A、∵一次函数y=kx+b图象可知k>0，b>0，kb>0；正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，矛盾，∴A选项错误，不符合题意；

B、∵一次函数y=kx+b图象可知k>0，b<0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，一致，∴B选项正确，符合题意；

C、∵正比例函数y=kbx的图象没有经过原点，∴C选项错误，不符合题意；

D、∵一次函数y=akx+b图象可知k<0，b>0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，矛盾，∴D选项错误，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用一次函数、正比例函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可.10．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：用75张红牌可以换37张银牌和37张蓝牌，此时还剩1张红牌，还剩75+37=112（张）蓝牌，则利用112张蓝牌可以换37张银牌和37张红牌，此时还剩1张蓝牌，还剩1+37=38（张）红牌，则利用38张红牌可以换19张银牌和19张蓝牌，此时还剩20张蓝牌，则利用20张蓝牌可以换6张银牌和6张红牌，此时还剩2张蓝牌，还剩6张红牌，则利用6张红牌可以换3张银牌和3张蓝牌，此时，还剩5张蓝牌，则利用5张蓝牌可以换1张银牌和1张红牌，此时还剩2张蓝牌，还剩1张红牌，到此结束．故张浩手中最后有银牌：37+37+19+6+3+1=103（张）．故选：D．【分析】利用2张红牌换1张银牌和1张蓝牌，3张蓝牌换1张银牌和1张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案．11．【答案】（1﹣x）（1+x）【解析】【解答】解：∵1﹣x2=（1﹣x）（1+x），故答案为：（1﹣x）（1+x）．【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．12．【答案】-1【解析】【解答】解：由不等式得x＞a+2，x＜b，∵-1＜x＜1，∴a+2=-1，b=1∴a=-3，b=2，∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．故答案为-1．【分析】解出不等式组中的每一个不等式，再根据此不等式的解集是-1＜x＜1，从而得出关于a，b的二元一次方程，求解得出a，b的值，再代入代数式根据乘方的意义算出结果即可。13．【答案】【解析】【解答】∵x2+（）+4=0，括号里是关于x的一次式设x2+bx+4=0∵此方程有两个相等的实数根∴b2-16=0解之：b=±4故答案为：±4x【分析】设已知方程为x2+bx+4=0，此有两个不相等的实数根，可得到b2-16=0，解方程求出b的值，就可得到答案。14．【答案】4【解析】【解答】∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），∴Q点的坐标是（3，1），∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。【分析】根据反比函数的几何意义分别可求得任一个阴影加上图中小正方形的面积都为k，则阴影部分面积为2k减去两个小正方形的面积.15．【答案】【解析】【解答】解：∵是的半径，，

∴CD=DB=1，

∵，

∴CD=OD=1，

由勾股定理得，

∵是的切线，

∴OA为圆的半径，∠OAE=90°，

∴，

故答案为：

【分析】先根据垂径定理即可得到CD=DB=1，进而根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得到，再根据切线的性质结合题意运用等腰直角三角形的性质即可求解。16．【答案】15π【解析】【解答】解：∵AB=32cm，BD=14cm，∴AD=18cm∴DE==15π.故答案为：.【分析】根据AB、BD的值可得AD，然后结合弧长公式进行计算.17．【答案】（1）解：原式=﹣+1﹣=0（2）解：原式===【解析】【分析】（1）根据负指数，0指数的意义，特殊锐角三角函数值分别化简，再根据有理数的加减法法则算出答案；

（2）分子分母能分解因式的必须分解因式，确定出最简公分母，然后通分成同分母分式，然后按同分母分式的加减法法则进行计算，最后能约分的必须约分化为最简形式。18．【答案】（1）解：（2）解：当时，原式【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再计算即可；

（2）先利用整式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。19．【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=70.5°，∴AC=BCtan∠ABC=50tan70.5°≈50×2.824≈141.2，在Rt△DBC中，∵∠DBC=45°，∴DC=BC=50，则AD=AC-DC≈141.2-50=91.2，答：头像AD的高度约为91.2米【解析】【分析】解Rt△ABC求得AC≈141.2，在等腰直角三角形DBC中得DC=BC=50，即可由AC-DC求得头像AD的长.20．【答案】（1）解：根据学生的成绩得出：得91分的学生人数为4人，∴a=4；得97分的学生人数为4人，∴b=3；得91分的学生人数最多，出现4次，∴众数为91，∴c=91；共有20名学生，所以中位数为第10、11位学生成绩的平均数，∵2+2+2+4=10，2+2+2+4+1=11，∴第10、11位学生成绩分别为91，95，∴d=；（2）解：95分及以上的人数为：1+3+3+2+1=10，∴，“优秀”等级所占的百分率为；（3）解：1500×50%=750，估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为750人．【解析】【分析】（1）利用题中已知数据可求出a，b的值；再利用求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；然后求出c，d的值.

（2）先求出优秀的人数，然后算出优秀率.

（3）用该校的学生总人数×优秀率，列式计算.21．【答案】证明：∵BE＝CF，∴BC+CE＝CF+CE，即BC＝FE，∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，在△ABC和△DFE中，∠ACB=∠DEF∠A=∠D∴△ABC≌△DFE（AAS）.【解析】【分析】先根据题意得到BC＝FE，进而运用平行线的性质得到∠ACB＝∠DEF，再结合三角形全等的判定（AAS）即可求解。22．【答案】解：设游船可行x千米，则，解得x≤35.所以游船顺流最远可行35千米.【解析】【分析】设游船可行x千米，根据题中的不等关系“游船顺流航行所用时间+游船逆流航行所用时间≤4”可列关于x的不等式，解不等式即可求解.23．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝120°，∵线段AB的垂直平分线MN交BC于D，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠DAC＝120°-30°＝90°；（2）解：∵∠DAC＝90°，∠C＝30°，∴CD＝2AD＝2BD＝4，∴BC＝BD+CD＝3．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出∠DAB=∠B=∠C=30°，再求出∠DAC=90°；

（2）再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证.24．【答案】（1）A、B（2）3或5（3）2≤b≤4或-8≤b≤-4【解析】【解答】解：（1）如图，当y＝4时，x＝-1，∴PQ＝1，∴A点是直线的关联点；当y＝1时，x＝2，∴PQ＝2-＝＜1，∴B点是直线的关联点；当y＝3时，x＝0，∴PQ＝2＞1，∴C点不是直线的关联点；故答案为：A、B；（2）设过点D的垂直于y轴的直线交于点P，当y＝m时，x＝3