自动控制原理 课件全套 王军 第1-7章 绪论、控制系统的数学模型-离散控制系统

1《自动控制原理》

第一章绪论2参考资料王军，刘栋博，宋潇潇，舒欣梅，侯思颖，高秀梅.自动控制原理（第2版）.机械工业出版社，2024年.胡寿松主编.自动控制原理（第7版）.科学出版社，2019年.郑大钟主编.线性系统理论基本教程.清华大学出版社，2022年.KatsuhikoOgata著，卢伯英等译，现代控制工程（ModernControlEngineering）（第5版），电子工业出版社出版，2011年.邹伯敏主编，自动控制理论，机械工业出版社，2020.自动控制原理相关习题集等.31.1自动控制系统一般概念

1.3开环控制与闭环控制系统

1.4自动控制系统的分类1.5对控制系统的性能要求1.2自动控制理论的发展41.1自动控制系统一般概念“标准清晰度”大脑手收音机“实际清晰度”耳收听电台节目时人的控制过程一、控制

为达到某一目的而施加的作用。5液面位置的人工控制过程第一节自动控制系统一般概念6Desiredtemperaturefurnacethermometergasmixervalveairoperator第一节自动控制系统一般概念7第一节自动控制系统一般概念二、自动控制就是指在脱离人的直接干预，利用控制装置（简称控制器）使被控对象（或生产过程等）的某一物理量（如温度、压力、PH值等）准确地按照预期的规律运行。8三、自动控制系统是指实现上述控制目的，由相互制约的各部分按一定规律组成的具有特定功能的整体。第一节自动控制系统一般概念液面位置的自动控制过程﹣U﹢U减速器水位H水槽入水量出水量电机浮子9GasMixerAirValveMotorAmplifierUTPotentiometerURAmplifierFurnaceThermocouple第一节自动控制系统一般概念101.2自动控制理论的发展和应用1、经典控制理论

2、现代控制理论

3、大系统理论

4、智能控制理论线性控制系统非线性控制系统采样控制系统自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。既是一门古老的、已臻成熟的学科，又是一门正在发展的、具有强大生命力的新兴学科。从1868年马克斯威尔（J.C.Maxwell）提出低阶系统稳定性判据至今一百多年里，自动控制理论的发展可分为四个主要阶段：111、经典控制理论

研究的主要对象是单输入、单输出——单变量系统。如：调节电压改变电机的速度；调整方向盘改变工程汽车的运动轨迹等。

2、现代控制理论研究的主要对象是多输入、多输出——多变量系统。

如，汽车看成是一个具有两个输入（驾驶盘和加速踏板）和两个输出（方向和速度）的控制系统。计算机科学地发展，极大地促进了控制科学地发展。12

3、大系统控制理论

大系统控制理论是一种过程控制与信息处理相结合的动态系统工程理论，研究的对象具有规模庞大、结构复杂、功能综合、目标多样、因素众多等特点。它是一个多输入、多输出、多干扰、多变量的系统。

如：人体，我们就可以看作为一个大系统，其中有体温的控制、情感的控制、人体血液中各种成分的控制等等。

大系统控制理论目前仍处于发展阶段。

134、智能控制这是近年来新发展起来的一种控制技术，是人工智能在控制上的应用。它的指导思想是依据人的思维方式和处理问题的技巧，解决那些目前需要人的智能才能解决的复杂的控制问题。 学派：结构派和功能派它是一门新兴的控制学科，有些问题尚存有争议，然而由于它实用性强，能运用人们的经验与技巧解决许多以往控制中难以解决的棘手问题（如建模等），因此得到了人们极大的重视。

14自动控制理论应用航空过程控制航天日常生活运动控制无处不在提高产量，降低成本提高精度、可靠性151.3开环控制与闭环控制系统输出不影响输入，对输出不需要测量，通常容易实现；组成系统的元部件精度高，系统的精度才能高；系统的稳定性不是主要问题；一、开环控制：开环控制是指控制器与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制过程。主要特点：控制方式：按给定值操纵。信号由给定值至输出量单向传递。一定的给定值对应一定的输出量。系统的控制精度取决于系统事先的调整精度。对于工作过程中受到的扰动或特性参数的变化无法自动补偿。结构简单，成本低廉，多用于系统结构参数稳定和扰动信号较弱的场合,如自动售货机，自动报警器，自动流水线等。

控制器被控制对象给定值输出量按给定值控制的原理方框图16闭环控制系统开环控制系统17输出影响输入，所以能削弱或抑制干扰；低精度元件可组成高精度系统；因为可能发生超调，振荡，所以稳定性很重要。二、闭环控制：是指控制器与控制对象之间既有顺向作用又有反向联系的控制过程。主要特点：控制方式：反馈控制，反馈按反馈极性的不同分成两种形式：正反馈，负反馈。我们所讲述的反馈系统如果无特殊说明，一般都指负反馈。控制器被控制对象输入量输出量闭环控制典型方框图扰动-18被控对象：要求实现自动控制的机器，设备或生产过程。控制器：对被控对象起控制作用装置的总体。比较元件：将输入量与反馈量进行比较，得到偏差信号。检测元件（测量元件）：检测输出量，并转化成与输入量同一物理量信号。控制器被控对象测量元件-扰动N(s)三、闭环系统的组成基本的物理量：输出量：表现于控制对象或系统输出端，并要求实现自动控制的物理量。输入量：作用于控制对象或系统输入端，并可使系统具有预定功能或预定输出的物理量。扰动：所有妨碍控制量对被控量按要求进行正常控制的因素，称为干扰量或扰动量。19三、闭环系统的组成由上述举例表明，尽管控制系统不同，复杂各异，但基本组成是类同的，即闭环系统的基本组成为：(1)比较元件；(2)放大元件；(3)执行元件；(4)校正元件；(5)被控对象；(6)测量元件。放大器串联校正变换放大执行元件被控对象测量元件并联校正--20举例1:温控系统——自动控制

控制目标：要求炉子的温度恒定在期望的数值上。电压放大器功率放大器Eru+_+_炉子热电偶电热丝给定信号电动机减速器调压器220+_电压放大器功率放大器电机、减速器、调压器炉子热电偶_实际温度期望温度控制过程：211.4自动控制系统的分类一、按描述系统的数学模型不同来分类

1、线性系统

特点：系统由线性元件构成，描述运动规律的数学模型为线性微分方程。运动方程一般形式：

式中：r(t)——系统输入量；c(t)——系统输出量

主要特点是具有叠加性和齐次性。222、非线性系统

特点：在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性环节。

非线性的理论研究远不如线性系统那么完整，目前尚无通用的方法可以解决各类非线性系统。

二、系统按给定信号的特点分类

1、恒值控制系统

特点：输入信号是一个恒定的数值。如工业过程中恒温、恒压、恒速等控制系统。

2、程序控制系统

系统的控制输入信号不是常值，而是事先确定的运动规律，编成程序装在输入装置中，即控制输入信号是事先确定的程序信号，控制的目的是使被控对象的被控量按照要求的程序动作。如数控车床就属此类系统。253、随动系统（或称伺服系统）25如雷达天线的自动跟踪系统和高炮自动描准系统就是典型的随动系统。输入量是一个事先无法确定的任意变化的量，要求系统的输出量能迅速平稳地复现或跟踪输入信号的变化。26三、按系统传输信号的性质来分类

1、连续系统

特点：系统各部分信号都是模拟的连续函数。目前工业中普遍采用的常规仪表PID调节器控制的系统。

2、离散系统

特点：系统的某一处或几处信号以脉冲序列或数码形式传递的控制系统。系统中用脉冲开关或采样开关，将连续信号转变为离散信号。其中离散信号以脉冲形式传递的系统又叫脉冲控制系统，离散信号以数码形式传递的系统又叫数字控制系统。27蒸汽发电机协调控制（计算机控制）预期的氧气含量、温度、压力、发电量给水燃料空气28其他的分类方法：

按功能来分：温度控制系统、速度控制系统、位置控系统等。

按元件组成分：机电系统、液压系统、生物系统等。291.5对控制系统的性能要求对控制系统性能的要求概括为三方面:1、稳定性控制系统运行的必要条件，不稳定的系统是不能工作的。2、稳态性能过渡过程结束，到达稳态后系统的控制精度的度量。3、瞬态（暂态）性能

系统动态响应的快速性，系统的过渡过程越短越好。为了实现自动控制的基本任务，必须对系统在控制过程中表现出来的行为提出要求。对控制系统的基本要求，通常是通过系统对特定输入信号的响应来满足的。例如，用单位阶跃信号的过渡过程及稳态的一些特征值来表示。30

系统在受到扰动作用后自动返回原来的平衡状态的能力。如果系统受到扰动作用（系统内或系统外）后，能自动返回到原来的平衡状态，则该系统是稳定的。稳定系统的数学特征是其输出量具有非发散性；反之，系统是不稳定系统。

一、稳定性31二、稳态误差

指稳定系统在完成过渡过程后的稳态输出偏离希望值的程度。开环控制系统的稳态误差通常与系统的增益或放大倍数有关，而反馈控制系统（闭环系统）的控制精度主要取决于它的反馈深度。稳态误差越小，系统的精度越高，它由系统的稳态响应反映出来。稳态误差=输出希望值-实际值

32单位阶跃响应仿真MATLAB模型仿真输出1+△1-△

ts

tp

tr

三、瞬态（暂态）性能33

超调量

它是说明系统阻尼性即振荡性的，阻尼大则振荡小。对于稳定系统而言，第一次超调量为输出最大超调量，取其为性能指标之一，即：

过渡过程时间ts

系统达到给定△区所需的时间。这个指标反映系统的惯性，即暂态响应速度。三、瞬态（暂态）性能34谢谢大家！35《自动控制原理》

第二章控制系统的数学模型362.1控制系统的动态微分方程式

2.3结构图及其等效变换

2.2控制系统的传递函数2.4信号流图自动控制理论以自动控制系统为研究对象，无论是对控制系统进行分析还是对校正装置进行综合，都需要建立控制系统的数学模型。所谓数学模型是指能够描述系统变量之间关系的数学表达式。控制系统的数学模型不是惟一的。线性定常连续系统，常用的数学模型有微分方程和传递函数。2.1控制系统的微分方程2.1.1建立系统微分方程的一般步骤

实验法：通过实验对系统在已知输入信号作用下的输出响应数据进行测量，利用模型辨识方法，来建立反映输入量和输出量之间关系的数学方程。解析法：通过分析控制系统的工作原理，利用系统各组成部分所遵循的物理学基本定律来建立变量之间的关系式。建立控制系统数学模型有解析法和实验法两种用解析法建立控制系统微分方程的一般步骤：1、确定系统的输入量和输出量；2、根据各环节在系统中的工作要求及其所遵循的基本客观规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组；3、消除中间变量，并将方程标准化。例2.1确定下图中RCL电路的微分方程。2.1.2举例

解：（1）确定输入和输出量（2）建立微分方程（3）消除中间变量，使方程标准化，得到这是一个二阶常系数线性微分方程。2.1.2举例

例2.2确定力学系统的微分方程2.1.2举例

（1）确定输入量和输出量（2）创建微分方程组：根据牛顿第二定律得到其中2.1.2举例

（3）消除中间变量得到，使方程标准化。该机械模型也是一个二阶常系数线性微分方程。2.1.2举例

两个例题属于不同类型系统，但可具有形式相同的数学模型，这些具有形式相同数学模型的相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系，当这些相似系统中相似的参数取同样的数值、输入变量具有相同的函数形式时，这两个系统输出量的变化规律是相同的。我们将此类系统称为相似系统。2.1.2举例

练习1如图所示由质量、弹簧和阻尼器构成得机械位移系统。其中m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。要求确定外力F(t)为输入量，位移y(t)为输出量时，系统的数学模型。质量-弹簧-阻尼器系统m2.1.2举例

解：消去中间变量并将所得方程整理成标准形式，有根据牛顿第二定律，可以写出物体的受力平衡方程为2.1.2举例

2.2控制系统的传递函数经典控制理论的重要研究方法——根轨迹分析法和频域分析法都是建立在传递函数基础上的。传递函数是线性定常连续系统最重要的数学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以求取零初始条件下的系统在任意形式输入信号作用下的输出响应，还可以研究结构和参数的变化对控制系统性能的影响。传递函数定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.2.1传递函数的定义n阶系统微分方程的一般形式为得到例2.4求解例2.1中RLC网络的传递函数。解：微分方程为：对其进行拉氏变化，得到：则传递函数为：2.2.1传递函数的定义传递函数描述了系统把输入转换为输出的传递关系。传递函数和微分方程可以相互转换。Laplace变量s可以看成是微分算子，即同理积分算子是2.2.1传递函数的定义练习2将例2.2中的微分方程转换成传递函数的形式。2.2.1传递函数的定义解：对其进行拉氏变化，得到：则传递函数为：2.2.1传递函数的定义练习3已知控制系统的微分方程为求出控制系统的传递函数。解：在零初始条件下，对微分方程式两边同时进行拉氏变换，可求得故控制系统的传递函数：2.2.1传递函数的定义2.2.2传递函数的性质1、传递函数是复变量s的有理真分式，只适用于线性定常系统。2、传递函数不能反映系统内部的中间变量。3、传递函数描述系统的内部固有动态特性。4、传递函数不能反映系统的物理性质。5、传递函数的分母部分决定着系统的暂态响应的基本特点和动态本质。6、传递函数可用零-极点的方式进行表示是传递函数的零点，也称环节或系统的零点;是传递函数的极点，也称环节或系统的极点。传递函数的极点决定了系统的稳定性，并在很大程度上决定了系统的性能。2.2.2传递函数的性质2.2.3典型环节的传递函数自动控制系统是由一些元件或装置组合而成的，这些有着不同物理结构和作用原理的元件装置却可能具有相同的传递函数，也就具有了相同的动态性能。从方便研究控制系统动态性能的角度考虑，我们可以按照传递函数的形式去划分环节。线性定常系统中的典型环节有比例环节、积分环节、惯性环节、二阶振荡环节、微分环节和延迟环节等。比例环节的输出量与输入量成一定比例，时域中的数学模型是一个代数方程比例环节的传递函数1、比例环节比例环节应用广泛，实际中线性电位器，旋转变压器等都可以近似地认为是比例环节。比例环节不失真，输出信号成正比的复现输入信号。实现的电路一阶惯性环节的输出量和输入量之间的关系为一阶惯性环节的传递函数为T为惯性环节的时间常数

2、惯性环节urR0R1u1CR0实现的电路

惯性环节的特点是具有一个储能元件，输出信号不能瞬时完成与输入信号完全一致的变换。在单位阶跃输入信号，输出信号将按照指数曲线上升。

惯性环节的阶跃响应是单调上升的，是非周期过程，因而也称惯性环节为非周期环节。积分环节的输出量是输入量的积分。时域中输出量和输入量之间的关系表示为积分环节的传递函数T

为积分时间常数3、积分环节urR0u1C实现的电路在单位阶跃输入信号，输出信号如图所示：积分环节的输出量与输入量的积分成正比，当输入突变时，输入要延迟时间后才等于输入；若输入为零，输出将保持输入变成零时刻的值不变。纯微分环节的微分方程为纯微分环节的传递函数为

是微分时间常数4、微分环节当输入量为单位阶跃响应时，理想的纯微分环节是当t=0

时，其微分环节输出为一个面积为，幅值为无穷大，宽度为零的理想脉冲。纯微分环节在实际中是得不到的，因为在实际系统或元件中惯性是普遍存在的，所以实际的微分环节常带有惯性。其传递函数为实用的一阶微分环节的单位阶跃响应为纯微分环节是输出与输入信号对时间的响应成正比，反映了输入信号的变化率。振荡环节的输出量与输入量之间的关系为振荡环节的传递函数ξ-阻尼系数或阻尼比；T-时间常数

为无阻尼自然振荡频率5、振荡环节当输入量为单位阶跃响应时，振荡环节的输出响应具有振荡的特点，因阻尼系数的不同，而具有不同的振荡形式。例2.1中的RLC网络为振荡环节的例子。纯滞后环节的输出量在经过延迟时间后复现输入量，其动态方程为纯滞后环节的传递函数为

是滞后时间常数6、纯滞后环节输入为阶跃响应时，纯滞后环节的响应曲线如图纯滞后环节的输出在延迟了时间后，与输入具有相同的波形。2.3动态结构图结构图是动态系统结构图的简称，也称方框图等。结构图利用方框、信号线、相加点和分支点等符号直观地反映控制系统的组成、控制系统各组成部分之间的连接关系以及系统中信号的传递方向和运算关系等。通过结构图的简化，可以获得系统的传递函数，也可以求取系统在任意输入信号作用下的输出响应。1、基本图形符号信号流线：带箭头的有向线段，箭头方向表示信号的传递方向。方框图：表示环节输入与输出之间信号传递关系。2.3.1动态结构图的组成与建立分支点：把一个信号分成多路进行输出。相加点：进行两个或多个信号的代数和运算。2、系统动态结构图建立的步骤利用系统各组成部分的微分方程得到，步骤一般为：（1）列写控制系统各组成部分的微分方程，零初始条件进行拉氏变换，写出表示各环节输出量与输入量之间关系的方程式。（2）根据上述关系绘制结构图的基本单元。（3）将各结构图基本单元相同的信号线连接起来，即可获得控制系统的结构图。需要注意的是：结构图是数学模型的图形化表示，只反映信号的传递和运算关系，并不代表真实系统物理结构。建模过程中，中间变量选择不同，将导致系统有不同的结构图，但由结构图简化得到的系统输入量输出量之间的关系是相同的。例2.5绘制下图所示系统的动态结构图。解：每一个元件代表一个环节，建立各关节的方框图。对于电阻R1对于电容对于电感对于电阻得到动态结构图为：2.3.2动态结构图等效变换结构图清楚地反映了控制系统中各变量之间的关系，利用结构图求其系统传递函数时，总是要对结构图进行简化，简化到一个输入量和一个输出量之间只剩一个函数方框时，方框里的传递函数就是对应输入量和输出量之间的传递函数。结构图的简化应遵循等效原则，即变换前后各变量之间的数学关系保持不变。结构图等效变换的数学实质是在结构图上进行运算，消去中间变量。简化的过程表现为结构图上是环节的合并以及相加点和分支点的消除。所以，串联连接的环节合并成为一个环节，等效的传递函数为1、多个环节串联结构图中几个环节按照信号流向首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输入，这种连接方式称为串联连接。由于此结论可以推广到n个环节串联的情况，等效环节的传递函数为各串联环节传递函数的乘积当两个或多个环节具有相同的输入量，而总输出量为各环节输出量的代数和时，称环节为并联连接。因为：所以：2、多个环节并联由此可见，两个环节并联的等效传递函数等于两个环节传递函数的代数和。

此结论可推广到n个环节的并联，即n个环节并联后的等效传递函数为并联各环节传递函数的代数和。将环节的输出量反送到输入端与输入信号进行比较后作为环节的输入量，就构成了反馈连接。3、反馈连接环节反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常把信号输入点R(s)到信号输出点C(s)的通道称为前向通道，前向通道上所有环节的传递函数之积定义为前向通道传递函数；把输出信号C(s)到反馈信号B(s)的通道称为反馈通道，反馈通道上所有环节的传递函数之积定义为反馈通道传递函数。把偏差信号E(s)到输出信号C(s)再经反馈信号B(s)到偏差信号E(s)的封闭通道称为回路，回路上所有环节的传递函数之积定义为回路传递函数。负反馈是自动控制系统最基本的结构形式，当反馈极性为负时，偏差信号等于输入信号与反馈信号之差，有

整理可得系统反馈后的闭环传递函数GB(s)为4、相加点和分支点的变换很多系统的结构图中会出现环路相扣的情况，导致无法利用上述等价关系来实现结构图的简化。通过信号相加点、分支点的移动和互换可以使得环节之间具有典型的串联、并联和反馈连接形式，最终将结构图简化为一个输入量和一个输出量之间只有一个传递函数方框的形式，获得系统的传递函数。相加点、分支点的移动和互换也必须遵循等效原则。（1）信号相加点的移动相加点前移相加点后移（2）信号分支点的移动分支点前移分支点后移（3）相邻的信号相加点和相邻的信号分支点的位置交换相邻分支点间移动相邻相加点间移动相加点与分支点间的移动相加点与分支点间的移动例2.6求解下图的传递函数

解：例2.7具有针对给定补偿的控制系统结构图如图所示，Y(s)/R(s)。练习5：具有多反馈回路的系统结构图如图所示，试利用等效变换的方法简化结构图，求取系统的传递函数Y(s)/R(s)。解：结构图具有多重反馈连接，反馈连接不存在交叉现象，可采用由内而外的办法，逐级合并反馈连接的环节。（1）内环正反馈连接环节合并如下图所示（2）串联连接环节合并如下图所示（3）并联连接环节合并如下图所示

（4）反馈连接环节合并如下图所示5、梅逊公式对于复杂的控制系统往往含有多个相互交叉的回路，对于这样的系统可利用梅逊公式求解系统的传递函数，而无须进行结构图等效变换。梅森增益公式n：从输入节点到输出节点前向通道的个数：从输入节点到输出节点的第k条前向通道的各环节传递函数乘积

：特征式，计算公式为：

：所有回路增益之和：所有两两互不接触回路的增益乘积之和：所有三个互不接触回路的增益乘积之和

：第k条前向通道的的特征余子式，即除去与第k条前向通道相接触回路后的特征式解：如图所示，系统有两条前向通道和一个闭环回路。则：回路有：前向通道有：例2.7通过梅逊公式求解传递函数。根据梅逊公式，则有解：系统有5个闭环回路：例2.8通过梅逊公式求解传递函数。系统没有两两不接触的回路，因此四条前向通道：根据梅逊公式得到练习6：通过梅逊公式求解传递函数。解：系统有2个闭环回路：系统没有两两不接触的回路，因此两条前向通道：根据梅逊公式得到2.3.3反馈控制系统的传递函数在实际控制中，控制系统通常受到两种信号的影响：输入信号，扰动信号1、开环传递函数定义：系统反馈信号与误差信号之比，即：注意闭环系统的开环传递函数，与开环系统的传递函数是不同的。区分开环传递函数和回路传递函数。2、闭环传递函数（1）输入信号作用下的闭环传递函数定义：输出信号与输入信号的比值，即（2）扰动信号作用下的闭环传递函数定义：输出信号与扰动信号的比值，即（3）系统的总输出定义：同时受到输入信号和扰动信号作用时的传递函数。由叠加原理可知，系统的输出是两种信号单独作用时系统的输出之和。3、系统的误差传递函数（1）输入信号作用下的误差传递函数定义：误差信号与输入信号的比值，即（2）扰动信号作用下的误差传递函数定义：误差信号与扰动信号的比值，即（3）系统总误差定义：同时受到输入信号和扰动信号作用时的误差。由叠加原理可知，系统的输出是两种信号单独作用时系统的误差之和。2.4信号流图信号流图是一种表示线性代数方程组的图示方法。用来描述线性控制系统时，信号流图和结构图一样，它也是一种描述系统各部分之间信号传递关系的数学图示模型，具有直观形象的特点。但信号流图又与结构图不同，它只能用来描述线性系统。结构图通过等价变换可以得到控制系统的闭环传递函数，但对于复杂控制系统，结构图的简化过程是一件很复杂的事，甚至会出现找不到有效办法可以解除的交叉环路。对于信号流图，可以利用梅逊（Mason）公式直接求取系统输入输出变量之间的传递函数而不必对信号流图进行简化。2.4.1信号流图的概念信号流图是由节点和支路两种基本元素组成的信号传递网络。其中，节点代表信号或变量用符号“o”表示，节点之间用有向线段连接，称为支路，支路具有有向性和有权性。信号流图的基本单元与结构图中的函数框等价，如图所示，它们表示了同样的变量变换关系，即1、节点的类型

（1）输入节点：只有输出支路的节点，代表自变量或外部输入变量，也称源节点，如图中的节点X0（2）输出节点：只有输入支路的节点，代表被控量或输出变量，也称汇节点，如图中的X6。（3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，代表中间变量，如图中的节点X1~X5。

混合节点兼有结构图中信号相加点和信号分支点的功能。混合节点处的信号是所有输入支路信号的和，而由混合节点引出的所有信号是同一个信号。任何一个混合节点都可以通过增加一条单位传输的输出支路，而变成输出节点如图中的节点X6。2、通道及通道传输（1）通道：从一个节点出发沿着支路箭头方向通过各个相连支路到达另外一个节点的路径，通道经过各支路传输的乘积称为通道的传输或增益。（2）前向通道：从输入节点到输出节点、且每个节点只经过一次的通道，前向通道上各支路传输的乘积称为前向通道传输或增益。3、

回路及回路增益（1）回路：起点和终点为同一个节点、且每个节点只经过一次的通道，也称回环或反馈环，回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。（2）不接触回路：没有任何公共节点的回路。2.4.2信号流图的绘制

信号流图可以由结构图绘制，也可以由系统的微分方程绘制。

从结构图绘制信号流图时，可把结构图中的变量和函数方框分别对应为信号流图中的节点和支路，传递函数就是支路的传输。一般应先确定节点，对应输入变量设一个输入节点，对应输出变量设一个输出节点，然后在结构图的每个分支点处和每个相加点之后各设一个节点，按照与结构图上的位置相对应的原则排列；再根据变量之间的关系把连接节点的支路画出来。

由系统的微分方程式绘制信号流图时，首先经拉氏变换将微分方程化成s域中的代数方程，再给每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右按顺序排列，最后根据数学表达式用标明了方向和增益的支路将各个节点连接起来，系统的信号流图就绘制完成了。画出系统的信号流图后，就可以利用梅逊公式直接求出各变量之间的传递函数。例2.9根据结构图绘制系统的信号流图例2.10控制系统信号流图如图所示，输入节点R代表系统的输入量R(s)，输出节点Y代表系统的输出量Y(s)，试用梅森公式计算R(s)与Y(s)之间的传递函数G(s)。解：输入节点R和输出节点Y之间只有一条前向通道，前向通道的增益为信号流图中有四个回路，这些回路的增益分别为其中L1和L3是不接触回路，不接触回路增益的乘积为特征式为没有与前向通道不接触的回路，所以对于这条前向通道，特征式的余子式为系统闭环传递函数为124谢谢大家！125《自动控制原理》

第三章时域分析法3.1典型输入信号和时域性能指标3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时域分析3.5系统的稳定性分析3.6系统的稳定特性分析3.1典型输入信号的时域性能指标3.1.1典型输入信号1、单位阶跃信号数学表达式为：

它表示一个在t=0时出现的，幅值为1的阶跃变化函数，如图所示。在实际系统中，如指令的突然转换、电源的突然接通、符号的突变等，均可以近似看成阶跃函数的形式。单位阶跃信号的拉氏变换为2、单位斜坡信号数学表达式为：斜坡函数从t=0时刻开始，随时间以恒定速度增加，如图所示。单位斜坡信号的拉氏变换为3、单位加速度信号数学表达式为：

该信号相当于系统中加入一个按定加速度变化的信号。单位加速度信号的拉氏变换为4、单位脉冲信号数学表达式为：单位脉冲信号的积分面积为1。理想的单位脉冲信号在现实中是不存在的，只在数学上有意义。实际中有很多信号与脉冲信号相似，如脉冲电压信号、冲击力和阵风等。单位脉冲信号的拉氏变换为15、正弦信号数学表达式为：式中A为振幅，为角频率。

用正弦信号作输入信号，可以求得系统在不同频率下正弦信号的稳态响应，可间接判断系统的性能。正弦信号的拉氏变换为系统的时间响应，可分为暂态和稳态两个过程。时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。此时系统的暂态响应曲线称为单位阶跃响应或单位过渡特性。3.1.2阶跃响应的性能指标为了评价系统的暂态性能，规定指标如下：1、延迟时间

：指系统输出响应从零时刻首次到达稳态值一半所需的时间。2、上升时间

：指系统响应从零时刻首次到达稳态值的时间，即单位阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间（振荡系统）。3、峰值时间

：指系统响应从零时刻到达峰值的时间，即单位阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。4、调节时间

ts

：指系统响应曲线进入允许的误差带，并不再超出此范围的最小时间，称为调节时间（或过渡过程时间）。5、最大超调量Mp

：指系统响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数，即6、振荡次数N：在调节时间ts

内响应曲线振荡的次数。7、稳态性能指标只有一个，即稳态误差ess

：系统输出实际值与期望值之差。以上各性能指标中，峰值时间tp、上升时间tr和延迟时间td评价系统的响应速度，反映了动态过程的快速性；调节时间ts是同时反映系统快速性和平稳性的综合指标；最大超调量Mp和振荡次数N评价系统的阻尼特性或相对稳定程度，反映了动态过程的平稳性；稳态误差ess反应了系统的准确性。

3.2一阶系统的时域分析一阶系统传递函数的标准形式为：式中，T

为时间常数，表征系统惯性的重要参数，一阶系统就是典型环节中的惯性环节。3.2.1单位阶跃响应当输入为信号时，，系统输出的拉氏变换为：则单位阶跃响应为：系统的稳态值为1。由系统输出响应可得到如下性能：1、系统稳态误差为0；2、当t=T时，；3、根据暂态性能指标的定义可以求得：调节时间为：（的误差带）

（的误差带）延迟时间为：上升时间为：3.2.2单位斜坡响应当输入信号，时，则系统输出的拉氏变换为：对其进行反拉氏变换，得单位斜坡响应为：第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。由一阶单位斜坡响应可得，系统存在稳态误差。其稳态误差为。因此为了提高斜坡响应的精度，应要求一阶系统的时间常数T要小。3.2.3单位脉冲响应对于单位脉冲输入，系统输出量的拉氏变换为：进行反拉氏变换，对应单位脉冲响应为：对于单位脉冲响应，时间常数T越小，系统响应速度越快。没有稳态误差。3.3二阶系统的时域分析3.3.1典型的二阶系统当系统输出与输入之间特性由二阶微分方程描述时，称为二阶系统。从理论上讲，二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，当阻尼不大时，系统呈现出振荡特性，故二阶系统也称为二阶振荡环节。

它在控制工程中应用极为广泛，例如，RLC网络、电枢电压控制的直流电动机转速系统等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，常常可以近似为二阶系统来研究。典型二阶系统动态结构图如下。其开环传递函数为：或

其中，

为系统的阻尼比；

为无阻尼自然振荡频率；

为时间常数。

系统的闭环传递函数为：是什么？系统的特征方程为：其特征根是：当

，称为欠阻尼状态，特征根为一对负实部的共轭复数根：当

，称为临界阻尼状态，特征根为两个相等的负实根：当

，称为过阻尼状态，特征根为两个不相等的负实根：当

，称为无阻尼状态，特征根为一对纯虚根：系统的特征根完全由和两个参数来描述，下面就不同参数下系统响应加以讨论。特别注意3.3.2二阶系统的单位阶跃响应1、欠阻尼情况在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即其中，称为阻尼振荡频率。系统输出量的拉氏变换为：

欠阻尼时的极点分布0进行反拉氏变换，得到欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：其中该响应由稳态分量和暂态分量组成，是一个幅值按指数规律衰减的有阻尼的正弦信号，振荡角频率为。152Time(sec)05101520253000.20.40.60.811.21.41.61.8StepResponseAmplitude典型二阶系统的单位阶跃响应1532、临界阻尼情况在临界阻尼状态下，系统的两个闭环极点为两个相等的负实根，即系统输出量的拉氏变换为：临界阻尼时极点的分布0进行反拉氏变换，得到临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非周期上升过程，响应特性不产生振荡。3、过阻尼情况在过阻尼状态下，系统的两个闭环极点为两个不相等的负实根，即系统输出量的拉氏变换为：j0过阻尼时极点分布进行反拉氏变换，得到过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：过阻尼二阶系统的单位阶跃响应含有两个单调衰减的指数项，响应为非振荡的。C(t)t01

过阻尼响应4、无阻尼情况在无阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对纯虚根，即系统输出量的拉氏变换为：0无阻尼时的极点分布进行反拉氏变换，得到无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为不衰减振荡，其振荡频率为，系统属于不稳定系统。3.3.3系统的暂态性能指标对于二阶系统，欠阻尼情况是最有意义的，因此我们重点讨论其暂态特性指标。1、上升时间tr根据定义，令c(tr)=1，得由于所以于是上升时间为由上式可知，增大或减小均能减小，从而加快系统的初始响应速度。2、峰值时间tp

令c(t)对时间求导并令其为零，可得峰值时间tp

则必有即所以又因峰值时间tp

对应于出现第一个峰值的时间，所以峰值时间恰好等于阻尼振荡周期的一半，当一定时，极点距离实轴越远，越小。3、最大超调量Mp将峰值时间表达式代入欠阻尼情况的单位阶跃响应中，得输出的最大值所以最大超调量为由上式可见，超调量Mp仅与阻尼比ξ

有关，ξ

越大，则

Mp越小。4、调节时间ts根据调节时间的定义，得采用近似的方法，忽略正弦函数的影响，认为指数函数衰减到或时，暂态过程结束。得到：即：解出：可见，近似与成反比。通常在设计过程中，由决定，而调节时间由决定。即在不改变超调量得条件下，通过改变来改变调节时间。参数对性能的影响分析阻尼比ξ

越大，超调量越小，响应的平稳性越好。反之，阻尼比ξ越小，振荡越强，平稳性越差。当ξ

=0时，系统为具有频率为

n的等幅振荡。过阻尼状态下，系统响应迟缓，过渡过程时间长，系统快速性差；ξ

过小，响应的起始速度较快，但因振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts

亦长，快速性差。当ξ=0.707时，系统的超调量Mp<5％，调节时间ts也相对较短，即平稳性和快速性最佳，故称ξ=0.707为最佳阻尼比。当阻尼比ξ为常数时，

n越大，调节时间ts就越短，快速性越好。系统的超调量Mp仅由阻尼比ξ

决定，它们反映了系统的平稳性。工程实际中，二阶系统多数设计成0<ξ<l的欠阻尼情况，并且经验取ξ=0.4

0.8之间。例3.1开环传递函数的单位反馈随动系统如图所示。若求：（1）典型二阶系统的特征参数和（2）暂态特性指标和（3）欲使，当不变时，应取何值。解：闭环传递函数为：令：比较上式得到：且：为使，由求得因此即K应减少4倍。减小系统的开环放大系数K（也称开环增益），可以降低系统的超调量。例3.2

当，满足单位阶跃响应下系统超调量为的要求，令加入微分负反馈。求微分时间常数。解：系统开环传递函数为：系统闭环传递函数为：为了使得，令则求得此时的开环放大系数由例题可以看出，当系统加入局部微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比，提高了系统稳定性，并降低了系统的开环放大系数。例3.3系统的结构图和单位阶跃响应曲线如图所示，确定其的值。解：系统的闭环传递函数可写为当输入为单位阶跃信号时，输入为：稳态输出为：因此根据单位阶跃响应曲线可得：解得因此写出二阶系统标准表达式为：求得3.4高阶系统的时域分析在控制工程中，几乎所有的控制系统都是用高阶微分方程描述的，即所谓的高阶系统。对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说，其动态性能指标的确是比较复杂的。工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，从而得到高阶系统动态性能指标的估算公式。n阶（冗余）系统的传递函数为如果分子和分母可分解因式，则可以写成当输入信号为单位阶跃信号时，输出为部分分式展开式中，q+2r=n。对其进行拉氏反变化得由上式可以看出，系统的单位阶跃响应由闭环极点pi及系数Ai、Bk、Ck决定，而系数Ai、Bk、Ck也与闭环零、极点分布有关。

如果系统的闭环极点均位于根s平面左半平面，则阶跃响应的瞬态分量将随时间而衰减，系统是稳定的。只要有一个极点位于右半平面，则对应的响应将是发散的，系统不能稳定运行。结论：1、高阶系统的暂态响应各分量衰减的快慢由决定，即由闭环极点在s

平面左半平面离虚轴的距离决定。2、高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点的位置有关，还和零点的位置有关。3、如果所有的闭环极点都具有负实部，则系统稳定。4、高阶系统的极点离虚轴越近，对系统的影响越大，主导极点在很大程度上决定系统的暂态性能。3.5系统的稳定性分析一个控制系统能够正常工作的首要条件；稳定的直观理解：由于控制系统在实际运行中，不可避免地会受到外界或内部一些扰动因素的影响，从而会使系统偏离原来的工作状态。如果系统是稳定的，那么随着时间的推移，系统的各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随着时间的推移而发散；

不稳定的系统无法正常工作。3.5.1系统稳定性的概念和稳定的充要条件稳定性的定义：系统在受到扰动作用后，其输出量会偏离原来的工作状态产生偏差，而当扰动消除后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即输出量又能逐渐回到原来的工作状态，则称系统为渐近稳定；

从上节的分析看：如果所有的极点都在s平面的左侧，则系统的暂态分量将逐渐衰减到零，则系统是稳定的。3.5.2劳斯判据根据稳定的充分必要条件判别系统的稳定性，需要求出系统的全部特征根，但对于高阶系统，求解特征方程的解将会非常困难。于是人们希望寻求一种不必求解系统的特征方程，而直接根据特征方程的根与其系数间的关系，来判断系统稳定与否的方法；根据特征方程的根与其系数间的关系，产生了一系列代数稳定性判据劳斯判据（Routh判据）和古尔维茨判据（Hurwitz判据）。劳斯判据的步骤1、首先列出系统特征方程式其中，各式系数均为实数，且2、根据特征方程式列出劳斯数组表劳斯阵列中的前两行元素直接根据特征方程式中的系数而得，第三行及以下各行的元素均由其上两行的参数根据公式计算得到，且各行一直要计算到值等于零时为止。这种过程一直进行到第行的元素被计算出为止。3、若劳斯表第一列中的系数均为正，则系统是稳定的；若第一列符号发生了变化，则系统不稳定，且第一列元素正负号改变的次数就是特征方程的根在s平面右半平面的个数。例3.4三阶系统的特征方程为使用劳斯判据判定系统稳定的充要条件。解：列出劳斯表得因此系统稳定的充要条件是例3.5设系统的特征方程为使用劳斯判据判定系统的稳定性。解：列出劳斯表劳斯表第一列中有负数，因此系统不稳定。而且第一列的符号变动了两次，因此系统有两个根在s平面的右半部分。练习1假设系统的特征方程为试利用劳斯判据判断系统的稳定性。4、两种特殊情况（1）如劳斯阵列中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素并不全为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯阵列的计算无法进行。为了解决这一问题，可用一个无穷小正数

来代替第一列的零元素，使劳斯阵列可继续下去。若

上面的元素和下面的元素符号相反，则表示第一列元素的符号改变了一次。例3.6设系统的特征方程为使用劳斯判据判定系统的稳定性。解：列出劳斯表由于是很小的正数，因此劳斯表得第一列符号变换了两次，所以系统不稳定，且有两个位于右半s平面的根。练习2假设系统的特征方程为

试利用劳斯判据判断系统的稳定性。（2）

如果劳斯阵列中某一行的元素全为零，则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或一些大小相等而实部符号相反的共轭复根或共轭纯虚根，此时系统将是不稳定的或临界稳定的。为了将劳斯阵列继续列下去，则可用该零行的上一行的各元素构成辅助多项式P(s)，并利用这个多项式的导数的各项系数来代替全零一行的各元素，使劳斯阵列可继续下去。系统大小相等而方向位置相反的这些根，可以由辅助方程P(s)=0求出。辅助方程的阶数通常为偶数，并且等于那些大小相等而方向位置相反根的个数。例3.7系统的特征方程为：试利用劳斯判据判断系统的稳定性。解：该系统的劳斯表如下：表中出现了全零行。为了求出s

各行的元素，将行的各行组成辅助方程式：对其求导，得到：因此得到新的劳斯表为：劳斯表第一列没有变号，说明系统没有特征根在s平面右半平面。由辅助方程求得系统有两对共轭虚根，因此系统处于临界稳定状态。3.5.3代数判别的应用1、代数稳定判据

利用代数稳定判据可确定系统个别参数变化对稳定性的影响，以及为使系统稳定，这些参数应取值的范围。若讨论的参数为开环放大系数，为使系统稳定的开环放大系统的临界值称为临界方法系数，用Kl

表示。例3.8已知系统结构图如下图所示，是确定系统稳定的K值范围。解：闭环系统的传递函数为：闭环特征方程为劳斯表为：为使系统稳定，必须使得因此，K的取值范围是而临界方法系数为：2、稳定裕量上面所讨论的稳定性，指的是系统的绝对稳定性，具有绝对稳定性的系统称为稳定的系统。对于一个稳定的系统，还可以用相对稳定性来进一步衡量系统的稳定程度。

如果一个系统的特征根具有负实部，且非常靠近虚轴，尽管系统满足稳定条件，但动态过程将具有过大的超调量或过于缓慢的响应，甚至会由于系统内部参数变化，使特征根转移到s平面的右半平面，导致系统不稳定。为此，需研究系统的相对稳定性，相对稳定性的大小，用系统的特征根在s左半平面与虚轴的距离，也称为稳定裕量来衡量。

稳定裕量越小，系统的相对稳定性越低，系统的灵敏性和快速性越强，当然系统的振荡也越激烈。劳斯判据或赫尔维茨判据不仅可以判定系统的绝对稳定性，而且也可以判定系统的相对稳定性。为了能应用上述的代数稳定判据，通常将s平面的虚轴左移一个距离

，得新的复平面s1，即令s=s1-

得到以s1为变量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代数稳定判据判别新特征方程式的稳定性，若新特征方程式D(s1)的所有根均在s1平面的左半平面，则说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于-

的左侧，

称为系统的稳定裕量。例3.9已知系统的闭环传递函数为其中，如果要求闭环系统的极点全部落在垂线的左侧，求的取值范围？解：系统的特征方程为令，代入方程得到：整理得到劳斯表为：因此求得取值范围是：3.6系统的稳态特性分析控制系统的稳态误差，是系统控制准确度（控制精度）的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统的设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。

只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。因此，在计算系统的稳态误差之前，必须判断系统是稳定的。对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。3.6.1

误差与稳态误差的定义

对于如图所示的反馈控制系统，系统的误差一般定义为系统被控量的期望值与实际值之差，即或

但是实际控制系统的参考输入信号R(s)与输出信号C(s)通常是不同量纲或不同量程的物理量。比如在温度控制系统中，输入信号为电压或电流量纲，而输出信号为温度量纲。有些时候，实际系统中的输出无法有效测量，因此只有数学上的意义。从输出端定义从输入端定义对于单位反馈系统，这两种定义是相同的。本书中采用从系统输入端定义系统的误差，因此系统的稳态误差为则误差传递函数为由此误差的拉氏变换为：则稳态误差为：由此可见，决定系统稳态误差的因素包括开环传递函数和输入信号。系统的的结构以及输入信号的差异，都会引起系统稳态误差的变化。下面就从这两个方面对稳态误差进行研究。3.6.2系统的分类

假设系统的开环传递函数G(s)H(s)可表示为式中，K为开环增益（开环放大倍数）；v为积分环节个数。

系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数v来定义系统的类型。即，当v=0时，称为0型系统；v=1时，称为I型系统；v=2时，称为II型系统；等等。3.6.3给定作用下的稳态误差1、单位阶跃输入当输入时，得到的稳态误差为：定义Kp为位置误差系统函数。对于0型系统：Kp=K，ess=1/(1+K)；对于I型系统：Kp=

，ess=0；对于II型系统：Kp=

，ess=0。由此可见，对于单位阶跃响应，只有0型系统有稳态误差，其大小与系统的开环增益成反比。而I型以及以上的系统，系统的位置误差系统均为无穷大，稳态误差为零。由上面分析可以看出：（1）Kp的大小反映了系统在阶跃输入下消除误差的能力。Kp越大，稳态误差越小；

（2）0型系统对阶跃输入引起的稳态误差为一常值，其大小与K有关，K越大，ess越小，但总有差，所以把0型系统常称为有差系统；（3）在阶跃输入时，若要求系统稳态误差为零，则系统至少为I型或高于I型的系统。2、单位斜坡输入当输入为，系统的稳态误差为定义Kv为速度误差系数。对于0型系统：Kv=0，ess=

I型系统：Kv=K，ess=1/K；

II型或II型以上系统：Kv=，ess=0。由此可见，对于单位斜坡输入，0型系统的稳态误差为无穷大，I型系统可以跟踪输入信号但有稳态误差，II以及以上系统，稳态误差为零。由上述结果可得：（1）Kv的大小反映了系统跟踪斜坡输入信号的能力，Kv越大，系统稳态误差越小；（2）0型系统在稳态时，无法跟踪斜坡输入信号；（3）I型系统在稳态时，输出与输入在速度上相等，但有一个与K成反比的常值位置误差；（4）II型或II型以上系统在稳态时，可完全跟踪斜坡信号。3、单位加速度输入当输入为，系统的稳态误差为：定义Ka为加速度误差系数。对于0型系统：Ka=0，ess=

；对于I型系统：Ka=0，ess=；对于II型系统：Ka=K，ess=1/K；对于III型以及以上系统：Ka=，ess=0。由此可见，0型和I型系统都不能跟踪加速度输入；II型系统可以跟踪加速度输入，但存在误差；III型以及以上系统，能准确跟踪加速度输入信号。上述分析表明：（1）Ka的大小反映了系统跟踪加速度输入信号的能力。Ka越大，系统跟踪精度越高；（2）0型和I型系统输出不能跟踪加速度输入信号，在跟踪过程中误差越来越大，稳态时达到无限大；（3）II型系统能跟踪加速度输入，但有一常值误差，其大小与K成反比；（4）要想准确跟踪加速度输入，系统应为III型或高于III型的系统。下表概括了0型、I型和II型系统在各种输入作用下的稳态误差。在对角线以上，稳态误差为0；在对角线以下，稳态误差则为无穷大。误差系数Kp，Kv和Ka反映了系统消除稳态误差的能力，系统型号越高，消除稳态误差的能力越强，但型号增大却使系统难以稳定。应注意，稳态误差系数法仅适用于给定信号作用下求稳态误差。另外，上述稳态误差中的K必须是系统的开环增益(或开环放大倍数)。回顾、比较一阶系统和二阶系统的稳态误差。例3.10设控制系统如图所示，输入信号为单位阶跃信号，试求当K分别为1和0.1的时候，系统的输入量的稳态误差。解：系统的开环传递函数为由于是0型系统，故位置误差系数为因此当K=1时，当K=0.1时，可见当K增加时，稳态误差下降。例3.11已知单位负反馈系统的开环传递函数为求当参考输入为时，系统的稳态误差。解：由于系统是II型系统，因此对阶跃输入和斜坡输入下的稳态误差均有零，对加速度输入有稳态误差。所以稳态误差为例3.12一个单位反馈系统，要求：（1）跟踪单位斜坡输入时，系统的稳态误差为2；（2）设系统为三阶，其中一对闭环极点为-1+j和-1-j。求满足以上要求的开环传递函数。解：根据要求，得知系统为I型三阶系统，设开环传递函数为因为：求得：闭环传递函数为：由上式解得：因此开环传递函数为：练习3：单位反馈系统结构图如图所示，求当输入信号r(t)=2t+t2时，系统的稳态误差ess。3.6.4扰动输入作用下的稳态误差

控制系统除受输入信号作用外，还经常处于各种扰动信号作用之下。由于输入信号和扰动信号作用于系统的不同位置，因此即使系统对于某种形式输入信号作用的稳态误差为零，但对于同一形式的扰动作用，其稳态误差未必为零。讨论扰动作用下的系统的稳态误差时，将输入r(t)=0，用en(t)表示扰动导致的问题误差。因此其拉氏变换为：扰动作用下系统误差传递函数为而扰动作用下的稳态误差为：因此，系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰动量。例3.13设系统结构图如下，为使起其稳态误差，试求K1的数值范围。解：扰动传递函数为因而而根据劳斯判据可计算系统稳定的时候K的取值范围是根据题目的要求，有：240谢谢大家！241《自动控制原理》

第四章根轨迹分析法4.1根轨迹法的基本概念4.2绘制根轨迹的基本条件和规则4.3特殊根轨迹4.4用根轨迹法分析系统性能4.1根轨迹法的基本概念对于如图所示单位反馈系统系统的开环传递函数为其中K称为根轨迹增益（注意和开环增益不同）系统的闭环传递函数为系统的特征方程为系统的特征根或闭环极点为闭环极点随变量K的变化而变化，从而影响系统的瞬态响应，系统具有不同的动态过程。因为系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标。

1、当K=0时；系统特征根s1=0，s2=-2，与开环极点重合。2、当0<K<1时，系统特征根s1、s2均为负实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应单调变化。3、

当K=1时，s1=s2=-1，两根重合，系统呈临界阻尼状态，阶跃响应为等幅振荡过程。4、当1<K<

时，系统特征根sl、s2为一对共轭复根，且实部为负，虚部随K增大而增大。系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。当K从0

变化时，系统特征根在s平面上移动的轨迹如图所示，箭头表示K增大的方向。由此可见，当K由0至

变化时，特征根s1、s2均在s平面的左半平面，因此，系统对所有K值均是稳定的。但是系统在不同的K值下，其动态特性不同，为了使系统尽可能达到稳、准、快的要求，应多次改变K值，以调节闭环极点在s平面的位置，达到寻求理想的输出特性曲线的目的。但每改变一次K值，需重新求解一次闭环特征方程，这使得系统的分析、计算工作量很大，特别是当系统高于三阶时，求解特征根是非常困难的；特别是当参数变化时，要求出特征方程的根就更加困难了。4.2绘制根轨迹的基本条件和规则4.2.1根轨迹方程

所谓根轨迹就是当系统的某个参数从0

+

变化时，系统特征根在s平面上移动所形成的轨迹。而用图解的方法绘制根轨迹的依据是根轨迹方程。如图示系统结构图系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为：则系统的闭环特征方程为：

因此，满足开环传递函数等于-1的s，即为闭环特征根，也就是根轨迹上的一个点。一般系统的开环传递函数可表示成如下形式为开环传递函数的零点，为开环传递函数的极点，为根轨迹增益。因为开环传递函数G(s)H(s)为复变量s的函数，所以可以将其用幅值和相角表示，根据等式两边幅值和相角相等的条件，可将特征方程式表示成幅值条件和相角条件。幅值条件：相角条件：对于系统中某个参数从0

+

变化时，满足以上两式的所有s点，均为闭环极点，也就是根轨迹上的所有点。以上两式是绘制系统根轨迹及应用根轨迹分析和设计控制系统的重要依据。

复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足幅值条件和相角条件。由于根轨迹的幅值条件与根轨迹增益K有关，而相角条件与K无关。所以在绘制根轨迹时，一般先用相角条件（充分必要条件）确定轨迹上的点；然后利用幅值条件（必要条件）确定根轨迹上该点对应的K值；最后将复平面上所有满足相角条件的s点顺序连成曲线，这种方法被称为试探法。根据幅值条件与相角条件，采用试探法尽管可逐点精确绘制根轨迹，但它很麻烦，需要在s平面上任选足够多的实验点，来根据相角条件判断是否为根轨迹上的点，计算量大，不便于人工绘制，仅适用于计算机绘制。所以，人们根据相角条件和幅值条件推导出了若干绘制根轨迹的规则，利用这些规则可以简捷绘出根轨迹的大致图形，并为精确绘制根轨迹指明方向。4.2.2绘制根轨迹的基本规则1、根轨迹的分支数

根据根轨迹方程可得：

由于n

m，特征方程的阶次等于开环极点数n

，而n阶特征方程就对应有n个特征根或n个闭环极点，所以其根轨迹的分支数就等于开环极点数n

。当K从0

+

变化时，每个特征根都由起点向终点连续移动，形成一条根轨迹。2、根轨迹的起点与终点根轨迹的起点是指根轨迹上对应于K=0的点；终点是指根轨迹上对应K=+

的点。根据幅值条件式，可得当K=0时，上式的右边1/K

+

。上式的左边，只有s

pi(i=1,2,…,n)时为无穷大。也就是说，当K=0时，只有spi(i=1,2,…,n)时，等式才成立。所以，根轨迹的起点一定位于系统的n个开环极点处。当K+时，上式的右边1/K=0。而等式的左边，当szj时为0，即根轨迹终止于开环零点。另外，当n>m时，无穷远点，即s+时，等式故当n>m时，有m支根轨迹终止于开环零点，其余(n-m)支根轨迹趋向无穷远处。由此可见，n阶系统的n支根轨迹（n个分支）分别起始于n个开环极点，其中m支终止于m个开环零点，其余(n-m)支终止于无穷远处。如果把趋向无穷远处根轨迹的终点称为无限开环零点，有限数值的开环零点称为有限开环零点，那么可以说根轨迹必终止于开环零点处。3、根轨迹的对称性

由于系统闭环特征方程式是一实系数方程，其特征根为实根或共轭复根，所以当K从0

+

连续变化时，根轨迹必然对称于实轴，且连续变化。例4.1

已知系统开环传递函数为试确定系统的根轨迹。解：由开环传递函数知：n=3、m=2，因此系统有3条根轨迹；根轨迹的起点为p1=0，p2=-1，p3=-3；根轨迹的终点为z1=-1+j，z2=-1-j；另外n-m=1条根轨迹终止于无穷远点。其中，“X”表示开环传递函数的极点（根轨迹的起点）；“O”表示开环传递函数的零点（根轨迹的终点）。是否存在另一种画法呢？4、实轴上的根轨迹设系统的开环零点、极点分布如图所示，其零极点将实轴分成了若干个区间段。（1）在区间上取一点，由各开环零极点向该点分别引矢量，如图所示。设，则有：此时：可见满足相角方程，是根轨迹上的一个点。（2）在区间上取一点，由各开环零极点向改点分别引矢量，如图所示。设，则有：此时：可见不满足相角方程，不是根轨迹上的一个点。综上所述，实轴上的根轨迹只能是那些其右侧实数开环零点和开环极点总数为奇数的区间段。而s平面上的共轭复数开环零极点对确定实轴上的根轨迹没有影响。5、根轨迹的渐近线当n>m时，有n-m条根轨迹终止于无穷远点，其方向需要由根轨迹的渐近线来确定。（1）渐近线与实轴的夹角

设某无穷远点是根轨迹上的点，记为s，则其到各开环零极点与实轴正方向的夹角都可看做相等，记为θ。则s应该满足相角方程：即则显然，渐近线的数目等于终点在无穷远点的根轨迹的数目。（2）渐近线与实轴的交点

假设在根轨迹上无穷远处有一点s，即当s

时,由于系统开环零、极点到根轨迹上无限远s点构成的向量差别很小，几乎重合。因而,可以将从各个不同的开环零、极点指向s

点的向量,用从同一点

A处指向无限远s点的向量来代替,即用向量(s-

A)来代替向