浙江省2023-2024学年高二年级下册4月联考数学试卷(含答案)

浙江省2023-2024学年高二下学期4月联考数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知集合4=何—"％«2},5={—1,。,2,3},则4B=()

A.{-1,0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,1}D.{-1,0,1,2}

21.已知复数2="-,其中i是虚数单位，则z的虚部为()

2-1

331

A.-B.——C.-

5555

3.在等比数列{风}中，公比q=2且为+g=1,则4=()

A.—B.—C.8D.4

33

22

4.过点(4,-百)且与双曲线?-g=l有相同渐近线的双曲线方程是()

22222222

A.匕-工=1B二-匕c.二-JD.土-匕=1

129129912912

5.下列求导运算正确的是()

A..)=2e

Iwc1-lnx

C.(cos2x)=2sin2xD.

<x7x一

6.韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七,好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学

于余.余嘉其能行古道，作《师说》以贻之.”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为

弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一

节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为()

A.84B.96C.168D.204

7.(x+1)"'=(2Q+q(x+2)+々(x+2)~+++2)i°,则=()

A.180B.-180C.45D.-45

8.圆锥的底面半径为6,高为2,点C是底面直径所对弧的中点，点。是母线PB的

中点，则异面直线AB与。所成角的余弦值及与底面所成角的正弦值分别为()

,4M7285口757A/285_4M2M「屈2M

A.----,-----B.---,-----C.----,-----D.---,-----

1919191919191919

二、多项选择题

9.已知函数〃x)=gx3—4工,则()

A"(x)有3个零点B"(x)在原点处的切线方程为〉=-x

C./(x)的图象关于点(0,0)对称D./(x)在［0,3］上的最大值为4

10.设数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，则()

A.%,生，%是等比数列B.是等比数列

C.｛1g%｝是等比数列D」：,是等比数列

11.抛物线旷=2内(2>0)的焦点为抛物线上一点P(lj)到焦点R的距离为2,过焦

点R的直线/与抛物线交于A,3两点，下列说法正确的是()

A.〃二1

B.若直线/的倾斜角为工则|AB|=8

411

c1+1=1

・叫叫

D.若AE=2EB5A在x轴的上方,则直线AB的斜率为2近

三、填空题

12.(2x-3)5展开式中Y项的系数是.

13.袋中装有2个红球,3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1个球，则3次中恰有2次

抽到黄球的概率是.

14.若函数〃%)=(如2—x/x在［1,3］上存在单调递增区间，则机的取值范围是

四,解答题

15.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，满足q+%=4,醺=15.等比数列色｝满足

-b5,bl0=3b9.

CD求｛4｝,｛%｝的通项公式；

(2)若c,=4吃，求数列｛%｝的前几项和T”.

16.在ZVLBC中,a,6,c分别是角A,B,C的对边，且满足耳-73ccosB+Z?sinC=0.

(1)求角C的大小；

(2)若c=26，。为AB的中点且|。|=拒，求△ABC的面积.

17.在三棱柱ABC-AgG中,AB=AC=1,A41=石,河，47,片。_1平面48。,£是

耳。的中点.

(1)证明：直线人用，平面Age；

(2)求平面AEB与平面441G。夹角的正弦值.

221

18.已知椭圆Cr：j+v』=1(。〉6〉0)的离心率为一,右焦点为£圆O：/+y2=/,过R

ab2

且垂直于x轴的直线被圆。所截得的弦长为2百.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线/:y=fcc-2与曲线C交于A乃两点，求△Q钻面积的最大值.

19.一般地，设函数/(x)在区间［a,句上连续用分点

口=玉)<%1<<x”i<看<..<x“=b将区间［a,可分成〃个小区间，每个小区间长度为

Ax(Ax=x-，在每个小区间,不］上任取一点§(i=1,2,•,〃)，作和式

Sn='/(。)(占-41)-

i=li=l

如果Ax无限接近于0(亦即〃―田)时，上述和式5“无限趋近于常数S,那么称该常数

S为函数/(X)在区间［a㈤上的定积分，记为S=Jehj(x)d%.当/⑺20时,定积分

『/(x)dx的几何意义表示由曲线y=/(%),两直线x=a,x=Z?与x轴所围成的曲边梯形

的面积.如果“X)是区间［a,可上的连续函数,并且一(x)=〃H，那么

\y(x)dx=F(x)fa=F(b)-F(a).

(1)求1(e"+x^dx;

(2)设函数/(X)=ln(x+l),g(x)=4'(x)(xlO).

①若〃x)2mg(x)恒成立，求实数机的取值范围；

②数列｛4｝满足％=14=g(%)，利用定积分几何意义，证明：£q<In〃<£q.

i=2i=l

参考答案

1.答案：B

解析：集合4=何—1«%«2},6={—1,0,2,3},则45={—1,0,2},选：B.

2.答案：B

初士=1+i（l+i）（2+i）l+3i-l-3i一记而.斗，3、生「

解析：z=-----=-------------=------,z=------,2的虚部为—，选：B.

2-i（2-i）（2+i）555

3.答案：A

1Q

解析：由q+4=1，可得3%=1，即=—，所以。4=。炉="选：

4.答案：A

22

解析：因为所求双曲线与双曲线工-匕=1有相同的渐近线，

43

22

所以设其方程为'-(=(w0),又点(4,-右)在双曲线上,

所以;—上乎=/，解得”3,则双曲线方程为g=l,

选：B.

5.答案：D

解析：（e2）'=0,错误;[（2x+7）2]'=2（2x+7）♦2=4（2x+7），错误;

（cos2x）=-sin2x-（2x）=-2sin2x，错误;

解析：“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法可以分两类:

①“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有4A：种排法；

②“数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有3A：种排法.

故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有7A：=168种,

故选：C.

7.答案：C

解析：。+1)1。=(》+2—I)】。，

因为(x+2-1)】。的展开式通项为C：。.(x+2严.(-为,

当10—厂=2,即r=8时,久=C：o=45,

选：C.

8.答案：D

解析：设底面圆心为。，分别以OC,05,OP所在直线为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系(图略)，

则C(73,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,2)0,^,1

I2J

所以03=仅,60),8=-73^,1,

cos(AB,CD、=cos(0B,CD\=产尸=亘.

\/\/|OB||CD|19

设8与底面所成的角为。，则sin"%。J诬.

|OP||CD|19

选：D.

9.答案：AC

解析：对于人"(%)=3%3一4%=0,则％］=0,马=2sJ3=一2出正确；

对于B,/'(x)=f—4,Z=/10)=TJ(x)的图象在原点处的切线方程为y=-4x,错误;

对于C,由“X)为奇函数，可知"X)的图象关于点(0,0)对称,正确；

对于D,1(X)=%2—4=(X+2)(%—2),/⑺在［0,2］上单调递减，

在［2,3］上单调递增，又"0)=0,/⑶=-3,所以“X)在［0,3］上的最大值为0,错误.

故选：AC.

10.答案：ABD

解析：设等比数列｛4｝的首项为由，公比为q(qW0).

对于A,《=)=a",%%=(q/),(ql)=d.，

所以a；=。3,%，则“3，45，%成等比数列，正确；

3

对于B,因为q=43，所以,：｝是等比数歹U,正确；

an

对于c,不妨取等比数列｛4｝为4=1,则3“=0,不是等比数列，错误;

1

对于D,因为t=2=匕所以是等比数列,正确.

±%q

an

故选：ABD.

11.答案：BCD

解析：对于A,l+^=2,p=2,错误.

对于B,（方法一）直线/的方程为y=x-1,由卜,=xT，得%2一6%+i=o.

设%，则xi+x2==%+々+p=8,

（方法二）过焦点厂（1,0）的弦长卜焉，直线/的斜率为1,则

sina=,.t.[AB｝=?=8正确.

2111

2

对于C,设过点F的直线方程为y=左（龙-1），代入抛物线方程，得k\x-1）2=4x,

2

化简后为左~（2k+4）x+左2=0.设4内,%）,W%,%），则有xxx2=1.

根据抛物线性质可知,|A司=%+1,忸同=1+1,

11%]+1+%2+1%+%2+2_X]+>2+2=]正确

而十画=(—)

x]+x2+xvx2+1x}+x2+2

对于D,过4乃分别向准线作垂线,交于点4，,〃,过3作5。，44，于点©（图略），不妨

设|理=1,

BC

则忸0=1,|A典=|A4[=2在△回(?中,tanZBAC==2夜,直线AB的斜率为2亚,

AC

正确.

故选：BCD.

12.答案：720

解析：C；X(2x)3X(—3)2=720尤2.

13.答案：—

125

解析：袋中装有2个红球,3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1个球，每次取到黄球的

概率4=|,3次中恰有2次抽到黄球的概率p=6xx［1-1］=总.

14.答案：

解析：/(-X)=(/w?-％/=则/f(x)=e'(znx2+2twc-x-1).

函数〃x)在区间［1,3］上存在单调递增区间，只需/(无)＞0在区间［1,3］上有解，

即nvc2+2m%-x-1＞。在区间［1,3］上有解，

所以相在区间［1,3］上有解，所以相＞［京士］•

x+1x+1

令1+1=//£[2,4],贝1」

x2+2%(%+1)2-1

令g⑺="；,所以g⑺在［2,4］上单调递增，所以g⑺__=g(4)="

即(卢L］，所以加〉巴，所以实数机的取值范围是

2

U+2xJmin1515115)

15.答案：(1)〃=3"T

(2)T=-+^-^x3n

"44

解析：(1)设｛4｝的公差为〃｛2｝的公比为q,

〃［+〃］+2d—4,

则,+峻小

解得，j

d=1,

an=n

(W)2=W

又由

4=如=3

q7、

b9

'伪=1,

解得

=3,

:也=3'i

(2)由题意得％=nx

.-.7；=1X3°+2X31+3X32++〃X3'T①,

贝1|37；=1x3+2x32++(〃—1)X3"T+〃X3"②.

-27；=1+1X31+1x32++1X3"T—〃x3"

〃」+

U_x3x3n,

1-32

12«-l

■■T=—+x3\

n44

16.答案:(1)T

⑵乎

解析：(1)J3a-A/3CCOSB+Z?sinC=0,

由正弦定理可得GsinA-V§sinCcos5+sinBsinC=0.

又因为在乙ABC中，有sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以石(sinBcosC+cosBsinC)—百sinCcosB+sinBsinC=0,

化简得gsinBcosC+sinBsinC=0.

因为0＜5＜兀,所以sinfiwO,

所以6cosc+sinC=0,于是tanC=-也.

因为。＜。＜兀,所以。学0qr

(2)由。为AB的中点，可得AD=5D=6.

又ZADC+ZBDC=兀,所以cosZADC+cosZBDC=0,

从而可得/+尸=10.

a2+b2-c2

又cos。=~——，所以ab=2,

lab2ab

可得S^ABC=~absinC=与.

17.答案：（1）见解析

⑵巫

5

解析：（1）证明：由平面ABC,ABu平面ABC,得A3,51c.

因为AB，AC,C4AC=C，所以ABJ_平面AgC.

又因为4用//43,所以4片，平面AB/.

（2）以C为原点，直线C4为x轴，直线C用为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),4(1,0,0),6(1,1,0)

又BC=6,BBI=M=73,

所以M=1,4(0,0,1),E1O,O,；],C4=(1,0,0)

则A\=BBX=(-1,-1,1),o,,AB=(0,1,0),

设平面AEB的法向量为根=(xi，x，zj,

则〈即〈1令阳=1,得加=(1,0,2).

m-AE=0,一再+—^=0,

iI2

设平面AAiG。的法向量为〃=(%2，%/2),

in-CA=0,rr(X,=0,./、

则(即J令％=1，得〃=(。，1，1).

n•朋=0,[-次2-%+z2=。，

设平面AEB与平面A41cle的夹角为。，

则8S"施=£=暝所以sin”半

故平面与平面A41GC夹角的正弦值为半

22

18.答案:(1)工+乙=1

43

(2)V3

解析：(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),过尸且垂直于x轴的直线被圆。所截得的弦

长为2G

贝I」2ylcr-c2=273.

又cr—b~=c2,e=—,

2

a=2,

解得

b=6,

22

所以c的标准方程为»・

⑵设AGyJlK，%),

y=kx-2,

联立直线/与椭圆C的方程l2y2可得(3+4%2卜2-166+4=0,

彳十5=L

16人41

所以为+々=，八=1602左2—3)>0,得上2>—.

374?^%2=374^4

2

又原点到直线AB的距离d=-^=

Jl+%2

2

所以\AB\=A/1+k|x,-x2|=Jl+12+々)2-4玉=2=Jl+12-4*--

所以SNOB=g|AB|，d=

-3+4k2

令d4k2—1=t(t>0)，贝1J4尸=1+r,

所以％豳=^^=弋4/^=6，当且仅当/=2时,等号成立,

'+t+Z2jt-4

3

19.答案：(1)e2-e+-

2

(2)①加41②

解析：(1)J：(e*+x)dx=[