2024高考数学一轮复习讲义+练习：等式性质与不等式性质（解析版）

06等式性质与不等式性质

题型一由不等式性质比较数（式）大小

1.若a<b,d<c,且（d—a）（d-b）>0,贝|。，b,c,d的大小关系是（）

A.d<a<c<bB.a<c<b<d

C.a<d<b<cD.a<d<c<b

【答案】A

【解析】因为（。一。）（。一万）<0,a<b,所以avcvZ?,

因为（d-a）（d-b）>0,a<b,所以或flua<c<b,d<c,所以

所以dvavcvb.

故选：A.

2.已知a,Z?,c£R,下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,贝B.若a>b,c>d,则a—

C.若a>b,c>d,则D.若"〉状,且"〈。贝U’v!

ab

【答案】B

【解析】A：若〃>仇。=。贝！JaH=庆2=o,A不正确；

B：因为a>〃，c>d,则一c<—d,所以a—d〉/?—c,故5正确；

C：当b=c=0时，可得不等式不成立，故。不正确.

D：若。=3,》=-2,满足条件，但,>:，所以。不正确.

ab

故选：B.

3.已知a,Z?,cwR,若a>b>c,且a+2Z?+3c=0,则下列不等关系正确的是（）

A.ac<bcB.a\f^>c\b\

cc—

C.----->------D.a1+Z?c>a0+c）

a-cb-c

【答案】ACD

【解析】a+2b+3c=0,a>b>c,..c<0,a>0f

对于A,a>bfc<0,/.ac<bc,A正确；

对于B,当Z?=0时,满足a>力,c,此时a网=0网=0,B错误；

11cc

对于C,a>b>c,.\a—c>b—c>0,/.-----<----,又cvO,------>------,C正确；

a—cb—ca-cb-c

对于D,a>b,:.a-b>0,:.a（a-b）>c（a-b）,gpa1-ab>ac-bc整理可得：a1+bc>ac+ab^a（b+c）,D

正确.

故选：ACD.

4.已知bg糖水中含有糖若再添加根g糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变

大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）

人aa+ma+ma+2m

A.-<------B.------<--------

bb+mb+mb+2m

21

D.<---r

3b-l3“T

【答案】ABD

a/7+

【解析】对于4由题意可知£＜产，正确;

bb+m

TH…二匚1、1〃+机Q+m+2机一mQ+2机

对于3,因为m<2"，所以----<------------=---正--确;

b+mb+m+2,n-mb+2m

a+ma+m+ma+2man(\/7c\/c\/7\…、口

对于C,------------<----------------------=----------------BD(4z+m)(Z7+2m)<(a+2m)(Z?+m),错误;

b+mb+m+mb+2m\八7vA7

22+1311十巧

对于'西＜3二币=三=度＜F'正确.

故选：ABD

5.已知根＞〃＞1,则下列不等式中一定成立的是（）

A.m-\■—>n-\—B.yjm—n>y[m—y/n

nm

C.m3+n3>2mn2D.m3+n3>2m2n

【答案】ABC

【解析】对于A项，m>n>l,—>—m-\—>n-\—,故A正确；

nmnm

对于B项,=21rm-2n>2y[n^-2n=0结合J加一〃>0,Vm-册>0可得y/m-n>4rn-G,

故B正确;

对于C项，m3—mn1+n3—mn2=m^m2+—+mn—n2^,

m2+mn-n2>m2+H2-n2>0,m-n>0,BPm3+n3>Imn1,故C正确；

对于D项，当机=3,〃=2时，m3+n3=27+8=35<2m2n=36,故D错误;

故选：ABC

题型二作差法比较代数式大小

1.已知。，b为非零实数，且〃＜儿则下列命题成立的是（）

22

A.a2Vb2B.ab＜ab

ab2a2bab

【答案】C

【解析】对于A,取。=-3/=-2,则。但〃2〉氏故A错误.

对于B,取〃=-3,6=2,贝！］〃＜/?,但/＞=18＞-12=加，故B错误.

而2==故D错误.

a32b

对于C,因为-7=22<0，故-77＜一方，故C正确.

ababababab

故选：C.

2.设尸=2/一4々+3,。=（〃一1）（。一3）,acR,则有（）

A.P>QB.P>QC.P<QD.P<Q

【答案】A

【角军析】解：•,尸一Q=2/—4a+3—（a—1）（〃-3）=a?20,

・•・P>Q.

故选：A.

3.若A=Q2+3Q/?,B=4ab—b2,则A、5的大小关系是（）

A.A<BB.A>B

C.或A>3D.A>B

【答案】B

【解析】A-B=a2+3ab-（4ab-b2）=a2-ab+b2=^a-^+~b2>0,

故选：B

4.已知a,Ac,d均为实数，下列命题正确的有（）

cd,

A.右ab>0,be—ad>0,则---->0

ab

cd

B.若次?>0,------>0,则讥<-勿Z>0

ab

Qd

C.若be—ad>0,------>0,则次;>0

ab

D.如果c>d>0f贝!

【答案】ABCD

【解析】对于A,因为必>0,bc-ad>Q,所以£-?=幺/>。，故A正确;

abab

对于B,因为必>0,又£-g>0,即以丁>0,所以be-以/>0,故B正确；

abab

对于C,因为秘一成>0,又£一4>0,即丝弦>0,所以必>o,故C正确；

abab

对于D,因为a>Z?>0,c>J>0,,所以历>仇/,故D正确.

故选：ABCD

5.已知。A=1+。2,3=1一。,D=,则A,民C,。的大小关系是______.（用“>"连接）

2l+a1-a

【答案】C>A>B>D

【解析】由题意不妨取°=-;,

这时A=I'2=A,C=*0=g

由此猜测：下面给出证明:

\(1丫3

-Cl6ZH---H------

-Cl(a2+Q+1)[I2)4

1+Q1+a

3

乂1+a>0,—u>0,ciH—+->0,/.C>A

4

(_n2_5

QA-B=(l+a2)-(l-a2)=2a2>0,:.A>B,ia(a2-a-l}"'4

B-D=l-a2-----=-------L=-----------

1—a1—a1—a

又—<a<0,1—a>0,

2

综上所述，C>A>B>D.

故答案为：C>A>B>D.

6.现有A、B、C、。四个长方体容器，A5的底面积均为炉，高分别为龙,丁；C、。的底面积均为丁，高也分别为

x、y(其中xwy),现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定

X与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？

【答案】未能确定x与y大小的情况下，取必胜，有1种必胜的方案.

3223

【解析】由条件得匕=x,VB=xy,,Vc=xy,VD=y,

当时，vA+vB>vc+vD,当x<y时，vA+vB<vc+vD

/

(匕+匕)-08+%)=北+盯2-(—丫+力=(2+丫2)@_,)

当x>y时，VA+VC>VB+VD,当X<y时，VA+VC<VB+VD

(匕+匕,)-(%+%)=*3+>3-(/〉+孙2)=@->)2(x+y)>0

所以未能确定无与y大小的情况下，取A。必胜，有1种必胜的方案.

题型三作商法比较代数式大小

1.比较下列各组中两个代数式的大小：

(1)3%2-x+1与2x2+x-l;

(2)当〃>0,人>0且偿人时，相"与〃％一

【答案】(1)3X2-X+1>2X2+X-1;(2)aabb>abba.

【解析】(1)(3/一%+1)一(2/+x-l)=x2-2x+2=(x-l)2+l>0,

因止匕，3/一%+1>2%2+x—1;

abba{bj{b}

①当〃>z?>o时，即〃一/?>0,I〉1时，=1'aabb>abba；

②当匕>〃>0时，即a—匕<0,0<£<1时，［胃〉］力=

1):.aabb>abba.

综上所述，当〃>0,〃>0且a】Z?时，aabb>.

llab

2.已知a>0,b>0,试比较&+JF与丁+~/=的大小；

7b7a

【答案】8+瓜名丁(当且仅当a=6时取等号)

7b7a

【解析】方法一：由题意[=+二[(&+扬)一&+吸一峻-防="6)(..扬)

(JbJa)'，y/a-yjby/ab

(6+班)(6-〃)

y[ab

因为a>0,b>0,所以&+加>0,>0,V^F>0,

所以（&+甸（&一甸=0,当且仅当a=b时等号成立,

y[ab

所以血+扬3

（当且仅当〃=b时取等号）.

7b7a

ab-

方法二：由亚十八_a«+b亚_(6+旬(♦+"-_a+b-

一（&一扬）+窥_（&-6）当且仅当a=b时等号成立,

所以&+笈,—彳+—7=（当且仅当时取等号）.

Vo7a

3.设a,beR+,试比较a»"与a%"的大小.

【答案】当。=6时两者相等；当优b时

【解析】依题意，a,bwR+,

当a=b时，aabh=abba；

aabb_(a\

当a1。时,kkJ

、1,7dQ17naabb(aX~.

当a>b>0时，->l,a-b>0,所以f—=—>1；

babba｛bj

当6>a>0时，0<2<l,a-6<0,所以娑=>1.

aabba(6)

故当优b时，尊U>1,即相Z/>aW.

4.(1)设xVyVO,试比较(N+y2)(%—y)与(X2—y2)a+y)的大小；

(2)已知a,b,c£｛正实数｝,且解十/=。?，当〃£N,〃>2时比较c"与"〃+/?”的大小.

【答案】(1)(N+y2)(x—,)>(]2一,2)。+,)；(2)an+bn<cn.

【解析】(1)(x2+y2Xx—y)-(x2—y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)_(x+y)]

=(x-j)x(-2xy)

因为x<y<0,

贝!J%_yv0,-2孙<0,

故(尤-y)x(—2孙)>0,

即(N+y2)(x—y)-(x2—y2)(x+y)>0

(^+y2)(x—y)>(x2—y2)(x+y).

(2)'：a,b,cd｛正实数｝,：.an,bn,d>0.

•..。2+/=°2,贝=1,

ab

•'•OV—VI,OV—VI.

cc

■:nGN,n>2,

：.an+bn<cn.

题型四由不等式性质证明不等式

1.设。，匕为正实数，则下列命题中是真命题的是（）

A.若/-M=1,贝！Ja—6<1B.若工-'=1,贝Ua-6<1

ba

C.若M-闽=1,则D.若问”1,瓦,1,则,一班,|1一回

【答案】AD

【解析】对于A选项，由。，6为正实数，且。2-k=1,可得所以a_10,

所以a>Z?>0,

若a—bNl,则一^~之1,可得a+Z?Wl,这与a+b>a—b〉O矛盾，故a—bvl成立，所以A中命题为真命题；

a+b

对于B选项，取a=5,b=l，则;-工=1,但"6=5-3>1,所以B中命题为假命题；

6ba6

对于C选项，取a=4,b=l,贝VF|=1,但|〃一耳=3>1,所以C中命题为假命题；

对于D选项，由|。归1,网<1,则—（1—次?）=「2+>2-1-42/=（〃2—］）（］—加0,

即（a——必）2,可得卜―久”园，所以D中命题为真命题.

故选AD.

2.已知三个不等式：ab>0,bc-ad>0,--^->0（其中。力,c,d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一

ab

个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是.

【答案】3

【解析】若">。,反-。〃>0成立，不等式历—/>0两边同除以防可得£-色>0,

ab

即ab>O,bc-ad>=>--->0；

ab

cdcd

若。人>0,上一巴>0成立，不等式上一3>0两边同乘〃人，可得be—9>0,

abab

cd

即ab>0,------->0be-ad>0；

ab

右---->0,bc—ad>。或AL,贝!J------=->0,y^bc-ad>0,贝！J〃b>0,

ababab

cd

即---->0,be—ad>b=ab>4.

ab

综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个.

故答案为：3.

3.设neN，n>\,A=4n-y/n-1,B=Jn+l-G，试比较A与8的大小.

【答案】A>B

【解析】A=G一g"内可上『=「」

1y/n+y/n—ly/n+y/n—l

1

同理可得3=

J几+1+«

QneN，n>\,所以«+J九一1vJ几+1+6，则―/=/>/『,

+V〃-17几+1+7几

因此，A>B,故答案为A>5.

3.若a〉b>0,cvdv0,l〃l>|c|

(1)求证：b+c>0；

b+ca+d

(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足《三/〈所求式<及不？若能，请直接写出该代数式;

若不能，请说明理由.

b+cb+ca+d

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)能，@二彳<色二不〈记可.

【解析】(1)因为1切>1。1,且6>0,c<。，所以6>—c,所以6+c>0.

(2)因为c<d<。，所以-c>-d>0.又因为a>b>0,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得

a—ob—d>0.所以(a-c>>(b-d)?>0.

所以0<——<—--,

(a-c)2(b-d)7z

因为a>，,d>c,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a+d>b+c.

所以a+d>/+c>0,

b+ca+d

所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得7—

(a-c)(b-d)

(3)因为人+。>0,°<71

b+cb+c

所以(a-c『<(6-d)2'

1

因为Ocb+cca+d,>0,

(.b-d)2

b+ca+d

所以<----------r

(b-d)2(b-d)2

b+cb+ca+d

所以—cP<出-d¥<（b-d?.

hA-C

所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式访可满足题意.

4.设绝对值小于1的全体实数构成集合S,在S中定义一种运算“*”，使得七与，求证：如果0,beS,那么

1+ab

a*bsS.

【答案】证明见解析

【解析】由题意，绝对值小于1的全体实数构成集合S,

因为aeS,beS,所以同<],|&|<1,可得a?<l,b2<1,

则1一/>0,«2-1<0,所以BPcr+b2-crb2-l<Q,

2222

所以/+〃+2ab<l+2ab+ab,BP(a+Z?)<(l+ab),

(a+4c即霖<1,所以a*beS.

所以

(1+ab)2，

IIxy

5.已知a,b,x,y都是正数，且一>7,x>y,求证---->-----

abx+ay+b

【答案】见解析

【解析】4元,y都是正数，且，>；,x>y,

ab

xyab

—>?，♦•一<一,

abxy

、，a,bi「八x+ay+b

故一+1<一+1,即0<----<

xyxy

.」>上

x+ay+b

题型五利用不等式求值或取值范围

1.实数x,y,Z满足x+y+z=O,xyz>0,=-+-+-,贝()

xyz

A.T>0B.T<0