中考数学一轮复习专题3.3函数的实际应用(91题)(原卷版+解析)

专题3.3函数的实际应用题型1：营销问题一、一次函数的营销问题例1．5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力网络经济发展，共建智慧生活，某手机店准备购进一批国产5G手机，经调查，用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，一部A型手机的进价比一部B型手机的进价高800元．(1)求一部A、B两种型号手机的进价分别是多少元？(2)若手机店购进A、B两种型号手机共30部进行销售，其中A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，已知A型手机的售价为每部4200元，B型手机的售价为每部2800元，且全部售出，设购进A型手机m部，全部售完两种手机后获得的利润为w元，求w与m之间的函数关系式，并求出销售这批5G手机获得的最大利润．题型训练1．2022年北京承办了第24届冬季奥林匹克运动会，某商店为了抓住冬奥会的商机，决定购买，两种冬奥会纪念品，若购进种纪念品20件，种纪念品10件，需要2000元．若购进种纪念品10件，种纪念品8件，需要1150元．(1)求购进，两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店购进这两种纪念品共1000件，总费用不超过60000元，销售每件种纪念品可获利润30元，每件种纪念品可获利润20元．设购进种纪念品件，请求出总利润最高时的进货方案．2．新冠抗疫物资供应至关重要，某药店销售，两种型号的口罩，已知销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元．(1)求每只型口罩和型口罩的销售利润；(2)该药店计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的进货量的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②药店购进型，型口罩各多少只，才能使销售总利润最大?3．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？4．某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，已知进货30件A商品和30件B商品一共用去用2400元，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．(1)A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？(3)在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？5．某商店销售A，B两种型号的平板，销售一台A型平板可获利120元，销售一台B型平板可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的平板共100台，其中B型平板的进货量不超过A型平板的3倍．设购进A型平板x台，这100台平板的销售总利润为y元．(1)购进A型平板至少多少台？(2)该商店购进A型、B型平板各多少台，才能使销售利润最大？6．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？7．某电商平台销售神舟十三号飞船模型，进价每个80元，物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的60%．经试销发现，每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)请直接写出每天的销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元？(3)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是多少元？8．某便利店老板购进了A，B两种口罩各包供甲、乙两个便利店进行销售，预计两个店每包口罩的利润（单位：元）如下表：A种口罩B种口罩甲店ab乙店0.81(1)若甲店销售A种口罩包，B种口罩包，可以盈利元；销售A种口罩包，B种口罩包，可以盈利元，求甲店这两种口罩每包的利润各是多少元．(2)若甲、乙两个便利店各配货包口罩，设给甲店配送A种口罩x包，两店总利润为w元，求w与x的函数关系．(3)在（2）的条件下，且要保证乙店总利润不小于元的条件下，请你设计出使便利店老板盈利最大的配货方案，并求出最大利润．9．我区应国家号召，认真贯彻落实党的二十大精神，全面推进乡村振兴，把富民政策一项一项落实好，特将农户种植的农产品包装成A、B两种大礼包，某超市预购进两种大礼包共400个，两种大礼包的进价和预售价如表．设购进A种大礼包x个，且所购进的两种大礼包能全部卖完时获得的总利润为W元．大礼包类型进价/（元/个）售价/（元/个）A4765B3750(1)求W关于x的函数表达式（不要求写x的取值范围）；(2)如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？10．受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元．(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？(2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？二、二次函数营销问题例2．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？题型训练1．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进两种类型的头盔，已知购进3个类头盔和4个类头盔共需288元；购进6个类头盔和2个类头盔共需306元．(1)两类头盔每个的进价各是多少元？(2)在销售中，该商场发现类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设类头盔每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润．2．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元，每个月的销售量为件．(1)则与的函数关系式为：______，自变量的取值范围是：______；(2)每件商品的售价定为多少元时（为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，请直接写出的取值范围：______．3．星星服装厂生产A品牌服装，每件成本为68元，零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装件，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数关系式；(2)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装件，服装厂的利润为w元，问x为何值时，w最大？最大值是多少？(3)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装x件，若星星服装厂欲获利不低于4320元，请直接写出x的取值范围．4．为提高市民就餐质量，某快餐店试销一种套餐后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日纯收入．（日纯收入每天的销售额套餐成本每天固定支出）(1)填空：①当时，y与x的函数关系式是_______________；②当时，y与x的函数关系式是_______________．(2)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？5．红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为元，每月销售量为万件．(1)请写出与之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润最大？最大利润是多少万元？(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，请直接写出每月的售价的范围．6．某公司销售一种商品，成本为元件，公司规定售价不能低于元件，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如表：销售单价（元）日销售量（件）(1)求出与之间的函数关系式；(2)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)若该商品的日销售量不少于件，公司日销售此商品获得的最大利润是多少元？7．东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？(3)若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？8．某超市销售一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：销售单价x（元/千克）55606570销售量y（千克）70605040(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？9．我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用天时间销售一种成本为元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n（株）与第x天（x为整数）满足关系式：，销售单价m（元/株）与x之间的函数关系为(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y（元）关于第x（天）的函数关系式．(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?10．某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系．当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求，的值．(2)当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？(3)从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，从城运往城15件产品，直接写出，两城总运费的和（用含有的式子表示）．题型2：函数与几何图形一、一次函数与几何图形问题例3综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点.直线与轴交于点，若点是线段上的一个动点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）.设点的运动时间为.(1)求点和点的坐标；(2)当的面积为12时，求的值；(3)试探究，在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.题型训练1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)设一次函数的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，则在y轴上是否存在一点P，使得，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．(3)若一次函数的图像与一次函数的图象交于点C，与x轴交于点D，当时，求m的值．2．如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点．(1)求的值及点、的坐标；(2)求的面积；(3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，交直线于点C．(1)求C点的坐标；(2)在直线上存在点D（不与C点重合），使，求点D的坐标．4．如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为．(1)请直接写出：①___________；②直线的函数关系式___________；(2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标；(3)在轴上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形．(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标；(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．(1)填空：线段的长为___________；(2)折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，如图2．①求线段的长___________．②在y轴上，是否存在点P，使得为以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，矩形的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点．(1)求的值；(2)设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．8．点为平面直角坐标系中的任意一点，记（分别为点的横、纵坐标），把称为点的特征数．(1)当点的坐标为时，求的值．(2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点的坐标．(3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为、、．点的坐标为_____．当且点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．当点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．9．如图1，在边长为的正方形中，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点从点出发，沿路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时点、点同时改变速度，点的速度为每秒，点的速度为每秒，图2是点出发秒后的面积与关关系的图象．(1)根据图象得_______；(2)设点P已行的路程为，点还剩的路程为，试分别求出改变速度后，，和出发后的运动时间x（秒）的关系式；(3)若点P、点Q在运动路线上相距的路程为，求x的值．10．如图，直线分别与轴、轴交于A、B两点．(1)A点的坐标______、B点的坐标______．(2)已知点坐标为，设点关于直线的对称点为，请直接写出点的坐标；(3)请在直线上找一点，使的周长最短，求出点的坐标．(4)请在直线和y轴上分别找一点M、N使的周长最短，直接写出最短周长．二、二次函数与几何图形问题例5.如图，在平面直角坐标系中，点A、的坐标分别为、，二次函数的图象为．(1)向上平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A，求抛物线的表达式；(2)平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A、两点，抛物线与轴交于点，求抛物线的表达式以及点的坐标；(3)在（2）的条件下，记中点为，点为抛物线对称轴上一点，当与相似时，求点的坐标．题型训练1．如图，抛物线：与y轴交于点A，抛物线：与y轴交于点B，抛物线与相交于点C，点C的横坐标为－1，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，交抛物线于点E．(1)求抛物线和的对称轴；(2)求线段的长；(3)直线与抛物线和分别交于，两点．若，请直接写出的值．2．如图，二次函数的图象交x轴于，，交y轴于．(1)求二次函数的解析式；(2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标；(3)若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形面积的最大值．3．若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）．(1)求二次函数的表达式；(2)如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分．求直线的表达式；(3)如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接交于点F，连接，．①当时，求点P的坐标；②求m的最大值4．已知抛物线的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，当△ACE的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标；(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过点，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标；(3)将点向右平移个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，请直接写出点横坐标的取值范围_______．6．二次函数的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且．(1)求此二次函数的表达式；(2)点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若，求点P的坐标．7．已知二次函数的解析式为．(1)若该二次函数过点，求m的值；(2)若该二次函数的图象过点，，且，结合图像，求n的取值范围；(3)直线与x轴交于，与y轴交于B点，过B点作垂直于y轴的直线l交这条抛物线于P、Q点（点P在点Q的左侧），若和中有且仅有一个为钝角三角形，求m的取值范围．8．抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为．(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；(3)过点作于点，，①求点的坐标；②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于点E，B．(1)求二次函数的表达式；(2)过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D，当点P在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点N的坐标．11．已知：二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点坐标为______；(3)是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______(4)是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离最大值时点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点为，连接．(1)求该二次函数的表达式；(2)依题补图1：连接，过点作轴于点；当和相似时，求的值；(3)如图2，过点作直线，和轴交点为，在点沿着抛物线从点到点运动过程中，当与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．三、反比例函数与几何图形问题例5.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图像交于点，．以为对角线作矩形，使顶点，落在轴上（点在点的左侧）．(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；(2)求反比例函数的表达式；(3)考察反比函数的图像，当时，请直接写出自变量的取值范围．题型训练1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是线段上的动点，且反比例函数（）的图象经过点C．（1）在反比例函数（）的图象中，y随x的增大而_____________；（填“增大”或“减小”）（2）当C为的中点时，k的值为_____________；（3）当点C在线段上运动时，k的取值范围是_____________．3．如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，点是中点，反比例函数的图像经过点，并交于点．(1)求的值；(2)求五边形的面积．4．如图，已知点A在反比例函数的图象上，点A的横坐标为，过点A作轴，垂足为B，且．(1)求该反比例函数的解析式；(2)若点在x轴的正半轴上，将线段绕着点P顺时针旋转90°，点A的对应点C恰好落在反比例函数在第一象限的图象上，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，．(1)求a的值和反比例函数的解析式．(2)若，直接写出自变量x的取值范围．(3)若点D在x轴正半轴上，且，连接，，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与轴交于点，第一象限内点在反比例函数的图像上，且以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点．(1)求的值；(2)求一次函数的表达式；(3)当时，直接写出的取值范围．7．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B、D，连接．点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度为2，．设直线的解析式为．(1)请结合图像直接写出不等式的解集；(2)求直线的解析式；(3)平行于y轴的直线与交于点E，与反比例函数图像交于点F，当这条直线左右平移时，线段的长为，求n的值．8．如图，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与x轴交于点E，与y轴交于点C，轴，垂足为D．(1)求反比例函数的解析式；(2)求的长；(3)在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．9．已知函数的图象与函数的图象在同一平面直角坐标系内，函数的图象与坐标轴交于，两点，点是直线上一点，点与点关于轴对称，线段交轴于点．(1)，．(2)如果线段被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为，求的值．题型3：二次函数建模问题例6.某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）00.7234…h（米）2.03.495.25.65.2…请解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离为______米（精确到0.1）；(3)在（2）的条件下，喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，请结合图象判断，此时喷泉______（填“会”或“不会”）喷到水池外；(4)在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．题型训练1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是，宽是．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．(1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离．(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是___________．2．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？3．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，她对此展开研究：测得喷水头距地面m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m；建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式（结果化为一般式）；(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m，身高1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离．4．一座桥如图，桥下水面宽度是米，高是米．要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米．(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．①求抛物线的解析式；②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．①求圆的半径；②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？5．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度，跨度．(1)求抛物线的解析式．(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥改造为圆弧，跨度不变，且（2）中“脚手架”矩形仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度（结果精确到，参考数据：）．6．上体育课时，阿进在某次试投铅球时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是．建立如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，且点B是该函数图象上的一点．(1)请你画出该函数的大致图象；(2)若铅球推出的距离不小于的成绩为优秀，请通过计算，试求铅球落地的最远距离，并判断阿进此次试投的成绩是否能达到优秀．7．如图，这是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在地面有，两个观测点，分别测得目标点火炬的仰角为，，米，，．可用位于点正上方2米处的发射装置（点），向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中点）．(1)求火球运行轨迹的抛物线对应的函数表达式．(2)说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标．8．北京冬奥会跳台滑雪项目竞赛场地巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图的平面直角坐标系是跳台滑雪的截面示意图，运动员沿滑道下滑．在y轴上的点A起跳，点A距落地水平面x轴，运动员落地的雪面开始是一段曲线m，到达点B后变为水平面．点B距y轴的水平距离为．运动员（看成点）从点A起跳后的水平速度为，点G是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明G、A的竖直距离与飞出时间的平方成正比，且时；G、A的水平距离是米．(1)求h与t的关系式（不写t的取值范围）；(2)直接写出点G的坐标；（用含v、t、h的代数式表示）(3)求运动员刚好落地的时间；(4)奥运组委会规定，运动员落地点距起跳点的水平距离为运动员本次跳跃的成绩，并且参赛的达标成绩为，在运动员跳跃的过程中，点处有一个摄像头，记录运动员的空中姿态，当运动员飞过点C时，在点C上方可被摄像头抓拍到．①当时，判断运动员成绩能否达标，并且能被C处摄像头抓拍；②直接写出运动员成绩达标，并且能被C处摄像头抓拍，从点A起跳后的水平速度v的取值范围．9．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形箱子示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且抛物线经过．已知，，．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子．(3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与拋物线形状相同的拋物线运动，且无阻挡时最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．10．小张在学校进行定点处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为米时，球心距离地面的高度为米，现测量第一次投篮数据如下：0246…1.833.43…请你解决以下问题：(1)根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2)若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；(3)第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？11．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围________．12．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．13．如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为18米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值；(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？题型4：一次函数行程问题例7．某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2800米．甲从小区步行去学校，出发11分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知乙步行的速度比甲步行的速度每分钟慢20米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图像；图2表示甲、乙两人之间的距离S（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图像（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：(1)甲步行的速度米/分，乙出发时甲离开小区的路程米；(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；(3)当时，①请直接写出S关于x的函数表达式；②在图2中，画出当时S关于x的函数的大致图像．题型训练1．过年期间，小明和小华从居住的小区到距离小区米的广场去看社火表演．小明步行，小华骑电动车，小明先出发6分钟，小华骑车行至一半时返回小区取相机．已知两人的速度保持不变，最后同时到达广场．如图是两人与小区之间的距离y（米）与小明出发时间x（分）函数关系的图象，根据图中的信息，解决下列问题：(1)求小明和小华出发后第一次相遇的时间；(2)请指出小华取到相机后离开小区前往广场的图象，并求出该部分的函数表达式与自变量的取值范围．2．甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地匀速行驶前往B地，甲到达B地立即沿原路匀速返回A地，图中的折线表示甲乘冲锋舟离A地的距离y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系：图中的线段表示乙乘冲锋舟离A地的距离y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系．根据图象解答问题：(1)A，B两地之间的距离为千米，线段对应的函数关系式为，线段对应的函数关系式为，线段对应的函数关系式为；(2)求图中线段和的交点D的坐标．(3)直接写出整个行驶过程中，甲、乙两人所乘坐的冲锋舟之间的距离为5千米时，对应的行驶时间x的值．3．甲、乙两车从地到480千米的地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段、折线分别表示甲、乙两车所行路程（千米）与时间（小时）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，解决如下问题：(1)甲车的速度是______千米/小时，乙车停车检修后再出发的速度是______千米/小时．(2)求出乙车停车检修后再出发后（线段）的函数关系式(3)点的坐标是______．(4)在乙车出发4.5小时至到达目的地这段时间内，当______时，两车相距60千米．4．A、B两城相距千米，甲、乙两车从A城出发驶向B城，乙车的速度为千米/时，甲车先走千米乙车才出发，甲车到达B卸完货后立即返回A城，如图它们离A城的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)求两车相遇时两车距B城多远？(3)甲车从B城返回A城的过程中，再经过几小时与乙车相距千米？5．如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，沿轨道向C匀速行驶，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为（秒），两车之间的距离为（米），则与的关系如图2所示，根据图象解决下列问题：(1)甲车经过______秒追上乙车，______．(2)设相遇前两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______；设相遇后两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______．(3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米?6．小华从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图像；图2中线段AB表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图像的一部分，请根据所给信息解答下列问题：(1)填空：妈妈骑车的速度是______米/分钟，小华步行的速度是______米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是______分钟，点M的坐标是______；(2)在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数图像；(3)求t为何值时，两人相距360米．7．小颖和小明两人分别从甲、乙两地出发骑自行车沿相同的路线相向而行，图中折线和线段分别表示小颖和小明离甲地的距离（单位：米）与小颖行驶的时间（单位：分）之间的函数关系图象，根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)小明骑车的速度为___________米/分，点的坐标为___________；(2)求线段对应的函数关系式；(3)请直接写出小颖出发多长时间和小明相距750米．8．如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处爬升到处便立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线降落，要求后到达处．(1)求的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；(2)求的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；(3)通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．9．我国边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部迅速派出快艇B追赶如图（1），图（2）中，中，分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．根据图象回答问题：(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？(2)A、B哪个速度快？(3)15分钟内B能否追上A？为什么？(4)如果一直追下去，那么B能否追上A？(5)当A逃离海岸12海里时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？为什么？(6)与对应的两个一次函数与中，、的实际意义各是什么？可疑船只与快艇的速度各是多少？10．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为，，与的函数关系图象如图1所示，与的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：(1)图中的______，点坐标为_____；(2)当何值时两车相遇？(3)当何值时两车相距千米？11．甲、乙两人在相邻的直跑道上进行了一次折返跑（即跑后马上折返跑回起点）训练．甲完成一次折返跑用时，乙完成一次折返跑用时．假设两人同时从同一起跑线出发，且跑步过程中保持匀速．设甲、乙两人离起点的距离为，跑步时间为．(1)请在下面的直角坐标系中分别画出在本次折返跑过程中表示两人离起点的距离与跑步时间之间关系的图象；(2)分别写出甲折返后和乙折返前与之间的关系式；(3)在出发多少后，两人到起点的距离相等？(4)当为何值时，两人之间相距5米？（直接写出的值即可）题型5：反比例函数实际应用例8．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则（1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______；（2）当水温为时，______；（3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______．题型训练1．已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表．（单位：Ω）510152025（单位：A）0．4(1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式；(2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象；(3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是．2．某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求与的函数关系式；(2)求点的坐标；(3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于4mg的时间超过20分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？3．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．(1)求反比例函数的表达式．(2)当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa．(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？4．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度微克毫升与服药时间小时之间函数关系如图所示当时，与成反比例．(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式．(2)问血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间多少小时？5．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与轴的距离为8，与轴交于点，与滑道交于，且，轴，测得，到轴的距离为4，设．(1)的值为______，点的坐标是______，______．(2)一小球从点出发沿抛物线运动，落在滑道上点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线运动，若它的最高点的坐标为．①求的解析式，并说明抛物线与滑道是否还能相交；②在轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离的最大值和最小值各是多少？6．如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如下表：10152025303020151210(1)把上表中的各组对应值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；(3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．7．如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表．t（秒）00.40.811.21.6…s（米）00.0160.0640.10.1440.256…(1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式；(2)经过多少秒时，路程为0.225米？(3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度）8．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高米，宽米，出口点到的距离为米，求：(1)段所在的反比例函数关系式是什么？(2)C点到轴的距离长是多少？(3)若滑梯上有一个小球，的高度不高于米，则到的距离至少多少米？专题3.3函数的实际应用（91题）题型1：营销问题一、一次函数的营销问题例1．5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力网络经济发展，共建智慧生活，某手机店准备购进一批国产5G手机，经调查，用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，一部A型手机的进价比一部B型手机的进价高800元．(1)求一部A、B两种型号手机的进价分别是多少元？(2)若手机店购进A、B两种型号手机共30部进行销售，其中A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，已知A型手机的售价为每部4200元，B型手机的售价为每部2800元，且全部售出，设购进A型手机m部，全部售完两种手机后获得的利润为w元，求w与m之间的函数关系式，并求出销售这批5G手机获得的最大利润．【答案】(1)一部A、B两种型号手机的进价分别是3200元、2400元(2)；销售这批5G手机获得的最大利润为21000元【分析】（1）设A型手机进价为x元，则B型手机进价为元，由用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，再建立方程求解即可；（2）根据利润等于销售两种手机的利润之和列函数关系式，再利用一次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设A型手机进价为x元，则B型手机进价为元，由题意得：，解得，经检验：是原分式方程的解，∴，答：一部A、B两种型号手机的进价分别是3200元、2400元；（2）根据题意得：，∵A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，∴，解得，∵，∴w随m的增大而增大，∴当时，w最大，最大值为，∴w与m之间的函数关系式为；销售这批5G手机获得的最大利润为21000元．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，一次函数的实际应用，理解题意，确定相等关系列方程与函数关系式是解本题的关键．知识点训练1．2022年北京承办了第24届冬季奥林匹克运动会，某商店为了抓住冬奥会的商机，决定购买，两种冬奥会纪念品，若购进种纪念品20件，种纪念品10件，需要2000元．若购进种纪念品10件，种纪念品8件，需要1150元．(1)求购进，两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店购进这两种纪念品共1000件，总费用不超过60000元，销售每件种纪念品可获利润30元，每件种纪念品可获利润20元．设购进种纪念品件，请求出总利润最高时的进货方案．【答案】(1)购进A种纪念品每件需要75元，B种纪念品每件需要50元(2)当购进A种纪念品400件，B种纪念品600件时，获得的利润最大，最大利润是24000元【分析】（1）根据题意列出方程组解答即可得出；（2）设购进A种纪念品a件，根据题意列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组得出a的取值范围，即可得出结论，找出总利润关于购买A种纪念品a件的函数关系式，由函数的性质确定总利润取最值时a的值，从而得出结论．【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，根据题意可知：，解得：．答：购进A种纪念品每件需要75元，B种纪念品每件需要50元．（2）解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意可得：，解得：．销售总利润．∵∴w随a的增大而增大∴当时，获得利润最大，最大利润（元）．答：当购进A种纪念品400件，B种纪念品600件时，获得的利润最大，最大利润是24000元．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键：（1）列出关于两种纪念品单价的二元一次方程组；（2）列出关于购买A种纪念品件数x的一元一次不等式组，根据一次函数的性质确定最值．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点稍多，解决该类题型时，明确解题的方法是关键，通过审题确定解题思路才能更快捷的解决该类问题．2．新冠抗疫物资供应至关重要，某药店销售，两种型号的口罩，已知销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元．(1)求每只型口罩和型口罩的销售利润；(2)该药店计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的进货量的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②药店购进型，型口罩各多少只，才能使销售总利润最大?【答案】(1)每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元(2)①；②药店购进型口罩只，型口罩只，才能使销售总利润最大【分析】（1）题目中明确给出两个等量关系，根据等量关系列出方程从而求出两种口罩的销售利润；（2）①根据题意列出一次函数的解析式，并且确定一次函数的取值范围；根据一次函数的性质即可求得最大的销售总利润．【详解】（1）解：设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元根据题意得：解得答：每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元（2）解：①根据题意得，化简得：；根据题意得解得∴②∵，∴随的增大而减小∵为正整数∴当时，取最大值，则，∴药店购进型口罩只，型口罩只，才能使销售总利润最大【点睛】本题是一元二次方程与一次函数的综合题，注意审清题意，明确一次函数性质是解题的关键．3．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？【答案】(1)(2)2240元(3)12元【分析】(1)运用待定系数法求解即可．(2)先计算每千克菠萝蜜的利润，乘以销售量即可．(3)列方程求解，且取较大值．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入，得，解得，∴y与x之间的函数关系式为．（2）（元）．答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元．（3）依题意，得，整理，得，解得，．∵要让顾客获得更大实惠，∴．答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．【点睛】本题考查了一次函数的解析式及其应用，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．4．某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，已知进货30件A商品和30件B商品一共用去用2400元，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．(1)A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？(3)在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？【答案】(1)A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；(2)有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；第二种：进A商品15件，B商品25件；第三种：进A商品16件，B商品24件；(3)购买A商品16件，购买B商品24件利润最大，最大利润840元．【分析】（1）根据题意，找等量关系式，设未知数，列方程求解即可；（2）根据题意，列不等式组，根据解集找整数解即可；（3）根据一次函数的增减性求最值．【详解】（1）解：设B商品每件的进价为x元，则A商品每件的进价为元，由题意，得，解得，∴A商品每件的进价为(元)，答：A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；（2）解：设A种商品的数量a件，B种商品的数量件，由题意，得，解得，∵a为正整数，∴a为14，15，16，∴B种商品的数量为26，25，24，所以有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；第二种：进A商品15件，B商品25件；第三种：进A商品16件，B商品24件；（3）解：令所获利润为W元，则，∴，∵，W随a的增大而增大，∴时，即A购买16件，B购买24件利润最大，W最大元，答：A购买16件，B购买24件利润最大，最大利润840元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．5．某商店销售A，B两种型号的平板，销售一台A型平板可获利120元，销售一台B型平板可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的平板共100台，其中B型平板的进货量不超过A型平板的3倍．设购进A型平板x台，这100台平板的销售总利润为y元．(1)购进A型平板至少多少台？(2)该商店购进A型、B型平板各多少台，才能使销售利润最大？【答案】(1)购进A型平板至少25台(2)该商店购进A型平板25台、B型平板75台，销售利润最大【分析】（1）根据B型平板的进货量不超过A型平板的3倍列出不等式，求解即可；（2）先求出y与x的函数解析式，然后再根据x的取值范围和函数的增减性进行解答即可．【详解】（1）解：设购进A型平板x台，则购进B型平板台，根据题意得：，解得：，答：购进A型平板至少25台．（2）解：该商店获得的利润为：，∵，∴y随x的增大而减小，∴当时，获利最大，（台），答：该商店购进A型平板25台、B型平板75台，销售利润最大．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和不等式的应用，根据题目中的不等关系列出不等式，是解题的关键．6．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？【答案】(1)(2)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．(3)想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．【分析】（1）由每涨1元少卖10件，每月销售的数量（件）与销售单价（元）之间的关系为一次函数，即：，求之，再根据利润＝（售价－进价）×销售量，从而列出关系式，根据在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%列出即为其自变量的取值范围；（2）首先将二次函数化为顶点式，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】（1）解：由每涨1元少卖10件，可知：每月销售的数量（件）与销售单价（元）之间的关系为一次函数，即：，当时，，∴，即：，∵在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%∴，即则小明每月获得利润为：即：每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；（2）由（1）知又∵，抛物线开口向下．∴当时，随着的增大而增大，∴当时，答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取得，解这个方程得：，．∵，抛物线开口向下．∴当时，．∵∴当时，．设每月的成本为（元），由题意，得：∵，∴随的增大而减小．∴当时，的值最小，．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．【点睛】此题考查二次函数和一次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．7．某电商平台销售神舟十三号飞船模型，进价每个80元，物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的60%．经试销发现，每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)请直接写出每天的销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元？(3)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)(2)110元(3)销售单价为120元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是4000元【分析】（1）设销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出自变量的取值范围即可；（2）根据每个神舟十三号飞船模型的利润销售量，列出一元二次方程，解方程取在范围内的值即可；（3）根据销售利润每个神舟十三号飞船模型的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，根据题意得，，解得：，，进价每个80元，物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的，，自变量的取值范围为，每天的销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为；（2）由（1）可知，，根据题意可得，，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），销售单价为110元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元；（3）设该电商平台每天销售飞船模型的利润为，由题意可得，，整理得：，，该抛物线开口向下，有最大值，当时，，当销售单价为120元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是4000元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．8．某便利店老板购进了A，B两种口罩各包供甲、乙两个便利店进行销售，预计两个店每包口罩的利润（单位：元）如下表：A种口罩B种口罩甲店ab乙店0.81(1)若甲店销售A种口罩包，B种口罩包，可以盈利元；销售A种口罩包，B种口罩包，可以盈利元，求甲店这两种口罩每包的利润各是多少元．(2)若甲、乙两个便利店各配货包口罩，设给甲店配送A种口罩x包，两店总利润为w元，求w与x的函数关系．(3)在（2）的条件下，且要保证乙店总利润不小于元的条件下，请你设计出使便利店老板盈利最大的配货方案，并求出最大利润．【答案】(1)甲店这两种口罩每包的利润A种元，B种元；(2)（，且取整数）；(3)甲店配送A种口罩包，得到甲店的B种口罩为包，乙店的A种口罩包，乙店的B种口罩为包，时利润最大，最大为元．【分析】（1）根据销售金额列方程组直接求解即可得到答案；（2）根据甲店配送A种口罩x包，得到甲店的B种口罩为包，乙店的A种口罩包，乙店的B种口罩为x包，最后根据利润等于利润单价与数量之积即可得到答案；（3）根据乙店总利润不小于元列不等式，结合（2）函数性质即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，，解得：，答：甲店这两种口罩每包的利润A种元，B种元；（2）解：由题意可得，设给甲店配送A种口罩x包，则有甲店的B种口罩为包，乙店的A种口罩包，乙店的B种口罩为x包，（，且取整数）；（3）解：由题意可得，，解得：，∵，且，∴随x增大而减小，∴当时，最大，，∴甲店配送A种口罩包，得到甲店的B种口罩为包，乙店的A种口罩包，乙店的B种口罩为包，时利润最大，最大为元．【点睛】本题考查二元一次方程组解决销售利润问题，一次函数解决销售利润问题，一次函数择优方案选取，解题的关键是求出甲的两个利润，根据题意得到两种口罩的数量．9．我区应国家号召，认真贯彻落实党的二十大精神，全面推进乡村振兴，把富民政策一项一项落实好，特将农户种植的农产品包装成A、B两种大礼包，某超市预购进两种大礼包共400个，两种大礼包的进价和预售价如表．设购进A种大礼包x个，且所购进的两种大礼包能全部卖完时获得的总利润为W元．大礼包类型进价/（元/个）售价/（元/个）A4765B3750(1)求W关于x的函数表达式（不要求写x的取值范围）；(2)如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)进货方案是：A种书包购买320个，B种书包购买80个，才能获得最大利润；最大利润为6800元．【分析】（1）利用总利润=（售价-进价）×数量这个公式计算总利润即可．（2）根据一次函数的性质可得W随x的增大而增大，再利用两种大礼包的总费用不超过18000元，列不等式求出x的最大值即可．【详解】（1）解：由表可知：．∴W关于x的函数关系式：；（2）由题意得，，解得：．∵，∴，∴W随x的增大而增大，∴当时，．∴进货方案是：A种书包购买320个，B种书包购买80个，才能获得最大利润；最大利润为6800元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用及性质，能够通过条件写出一次函数关系式是解题关键．10．受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元．(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？(2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？【答案】(1)2，8(2)共有3种购买方案，方案1：购进型口罩64个，型口罩36个；方案2：购进型口罩65个，型口罩35个；方案3：购进型口罩66个，型口罩34个；购进型口罩66个，型口罩34个时购进费用最少．【分析】（1）设一个型口罩的进价为元，一个型口罩的进价为元，根据1个型口罩和2个型口罩共需18元；2个型口罩和1个型口罩共需12元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设型口罩购进个，则型口罩购进个，根据其中型口罩数量不少于64个，且不多于型口罩的2倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案，设购进总费用为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）解：设一个型口罩的进价为元，一个型口罩的进价为元，依题意，得：，解得：．答：一个型口罩的进价为2元，一个型口罩的进价为8元．（2）设型口罩购进个，则型口罩购进个，依题意，得：，解得：，为整数，可以取64，65，66，共有3种购买方案，方案1：购进型口罩64个，型口罩36个；方案2：购进型口罩65个，型口罩35个；方案3：购进型口罩66个，型口罩34个．设购进总费用为元，则，，随的增大而减小，当时，取得最小值，购进型口罩66个，型口罩34个时购进费用最少．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．二、二次函数营销问题例2．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？【答案】(