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文档简介
重庆九龙坡区2024届数学高一下期末统考试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.下列事件是随机事件的是(1)连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上.(2)异性电荷相互吸引(3)在标准大气压下,水在℃时结冰(4)任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)2.函数的最小正周期为,则图象的一条对称轴方程是()A. B. C. D.3.将函数的图像向右平衡个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()A.函数的最大值为 B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于直线对称 D.函数在区间上单调递增4.在等比数列中,,,则数列的前六项和为()A.63 B.-63 C.-31 D.315.等比数列,…的第四项等于(
)A.-24 B.0 C.12 D.246.已知中,,,,那么角等于()A. B. C.或 D.7.已知,是两个单位向量,且夹角为,则与数量积的最小值为()A. B. C. D.8.已知β为锐角,角α的终边过点(3,4),sin(α+β)=,则cosβ=()A. B. C. D.或9.已知向量,,若,共线,则实数()A. B. C. D.610.直线的倾斜角为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知,则的值是______.12.已知数列,其中,若数列中,恒成立,则实数的取值范围是_______.13.已知,且是第一象限角,则的值为__________.14.已知一个扇形的周长为4,则扇形面积的最大值为______.15.已知都是锐角,,则=_____16.三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则____________三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,是菱形,对角线与的交点为,四边形为梯形,,.(1)若,求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)若,求直线与平面所成角的余弦值.18.某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀,并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据(单位:)和使用了电子节水阀20天的日用水量数据,并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20天的日平均用水量为0.48,使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直方图如下图:(1)试估计该家庭使用电子节水阀后,日用水量小于0.35的概率;(2)估计该家庭使用电子节水阀后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)19.在平面上有一点列、、、、,对每个正整数,点位于函数的图像上,且点、点与点构成一个以为顶角顶点的等腰三角形;(1)求点的纵坐标的表达式;(2)若对每个自然数,以、、为边长能构成一个三角形,求的取值范围;(3)设,若取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列的最大项的项数是多少?试说明理由;20.已知向量,,.(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;(2)记的内角的对边分别为.若,,求的值.21.已知数列的前项和();(1)判断数列是否为等差数列;(2)设,求;(3)设(),,是否存在最小的自然数,使得不等式对一切正整数总成立?如果存在,求出;如果不存在,说明理由;
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析:根据随机事件的定义:在相同条件下,可能发生也可能不发生的现象(2)是必然发生的,(3)是不可能发生的,所以不是随机事件,故选择D考点:随机事件的定义2、D【解析】
先根据函数的周期求出的值,求出函数的对称轴方程,然后利用赋值法可得出函数图象的一条对称轴方程.【详解】由于函数的最小正周期为,则,,令,解得.当时,函数图象的一条对称轴方程为.故选:D.【点睛】本题考查利用正弦型函数的周期求参数,同时也考查了正弦型函数图象对称轴方程的计算,解题时要结合正弦函数的基本性质来进行求解,考查运算求解能力,属于中等题.3、C【解析】
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得到g(x)的解析式,再利用正弦函数的图象性质,得出结论.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin(2x)的图象,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin(x)的图象,故g(x)的最大值为2,故A错误;显然,g(x)的最小正周期为2π,故B错误;当时,g(x)=,是最小值,故函数g(x)的图象关于直线对称,故C正确;在区间上,x∈[,],函数g(x)=2sin(x)单调递减,故D错误,故选:C.【点睛】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象性质应用,属于基础题.4、B【解析】
利用等比数列通项公式求出公式,由此能求出数列的前六项和.【详解】在等比数列中,,,解得数列的前六项和为:.故选:【点睛】本题考查等比数列通项公式求解基本量,属于基础题.5、A【解析】由x,3x+3,6x+6成等比数列得选A.考点:该题主要考查等比数列的概念和通项公式,考查计算能力.6、B【解析】
先由正弦定理求出,进而得出角,再根据大角对大边,大边对大角确定角.【详解】由正弦定理得:,,∴或,∵,∴,∴,故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角,大角对大边的三角形边角关系的应用.7、B【解析】
根据条件可得,,,然后进行数量积的运算即可.【详解】根据条件,,,,当时,取最小值.故选:B【点睛】本题考查了向量数量积的运算,同时考查了二次函数的最值,属于基础题.8、B【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα,再利用同角三角函数的基本关系求得cos(α+β)的值,再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[(α+β)﹣α]的值.【详解】β为锐角,角α的终边过点(3,4),∴sinα,cosα,sin(α+β)sinα,∴α+β为钝角,∴cos(α+β),则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα••,故选B.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用,属于基础题.9、C【解析】
利用向量平行的性质直接求解.【详解】向量,,共线,,解得实数.故选:.【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.10、C【解析】
先根据直线方程得斜率,再求倾斜角.【详解】因为直线,所以直线斜率为,所以倾斜角为,选C.【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角,考查基本分析求解能力,属基本题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
根据两角差的正切公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查两角差的正切公式的用法,属于基础题12、【解析】
由函数(数列)单调性确定的项,哪些项取,哪些项取,再由是最小项,得不等关系.【详解】由题意数列是递增数列,数列是递减数列,存在,使得时,,当时,,∵数列中,是唯一的最小项,∴或,或,或,综上.∴的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查数列的单调性与最值.解题时楞借助函数的单调性求解.但数列是特殊的函数,它的自变量只能取正整数,因此讨论时与连续函数有一些区别.13、;【解析】
利用两角和的公式把题设展开后求得的值,进而利用的范围判断的范围,利用同角三角函数的基本关系求得的值,最后利用诱导公式和对原式进行化简,把的值和题设条件代入求解即可.【详解】,,即,,两边同时平方得到:,解得,是第一象限角,,得,,即为第一或第四象限,,.故答案为:.【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系,需熟记三角函数中的公式,属于中档题.14、1【解析】
表示出扇形的面积,利用二次函数的单调性即可得出.【详解】设扇形的半径为,圆心角为,则弧长,,即,该扇形的面积,当且仅当时取等号.该扇形的面积的最大值为.故答案:.【点睛】本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式、二次函数的单调性,考查了计算能力,属于基础题.15、【解析】
由已知求出,再由两角差的正弦公式计算.【详解】∵都是锐角,∴,又,∴,,∴.故答案为.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式.考查同角间的三角函数关系.解题关键是角的变换,即.这在三角函数恒等变换中很重要,即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系,根据这个关系选用相应的公式计算.16、【解析】
由已知设点到平面距离为,则点到平面距离为,所以,考点:几何体的体积.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)【解析】
(1)取的中点,连接,,从而可得为平行四边形,即可证明平面;(2)只需证明平面.即可证明平面平面;(3)作于,则为与平面所成角,在中,由余弦定理得即可.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,∵是菱形的对角线,的交点,∴,且,又∵,且,∴,且,从而为平行四边形,∴,又平面,平面,∴平面;(2)∵四边形为菱形,∴,∵,是的中点,∴,又,∴平面,又平面,∴平面平面;(3)作于,∵平面平面,∴平面,则为与平面所成角,由及四边形为菱形,得为正三角形,则,,,∴为正三角形,从而,在中,由余弦定理,得,∴与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了空间线面位置关系、线面角的计算,属于中档题.18、(1)0.48(2)()【解析】
(1)计算日用水量小于0.35时,频率分布直方图中长方形面积之和即可;(2)根据频率分布直方图计算出使用电子节水阀后日均节水量的平均值,再求出年节水量即可.【详解】(1)根据直方图,该家庭使用电子节水阀后20天日用水量小于0.35的频率为,因此该家庭使用电子节水阀后日用水量小于0.35的概率的估计值为0.48.(2)该家庭使用了电子节水阀后20天日用水量的平均数为.估计使用电子节水阀后,一年可节省水().【点睛】本题考查对频率分布直方图的理解,以及由频率分布直方图计算平均数,属基础题.19、(1);(2);(3)最大,详见解析;【解析】
(1)易得的横坐标为代入函数即可得纵坐标.(2)易得数列为递减的数列,若要组成三角形则,再代入表达式求解不等式即可.(3)由可知求即可.【详解】(1)由点、点与点构成一个以为顶角顶点的等腰三角形有.故.(2)因为,故为减函数,故,又以、、为边长能构成一个三角形,故即.解得或,又,故.(3)由取(2)中确定的范围内的最小整数,且,故.故,由题当时数列取最大项.故且,计算得当时取最大值.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合题型,需要根据题意找到函数横纵坐标的关系,同时也要列出对应的不等式再化简求解.属于中等题型.20、(1)最小正周期为,单调递减区间为;(2)或【解析】
(1)由向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式化简可得,再结合三角函数的性质,即可求解.(2)由(1),根据,解得,利用正弦定理,求得,再利用余弦定理列出方程,即可求解.【详解】(1)由题意,向量,,所以,因为,所以函数的最小正周期为,令,解得,所以函数的单调递减区间为.(2)由(1)函数的解析式为,可得,解得,又由,根据正弦定理,可得,因为,所以,所以为锐角,所以,由余弦定理可得,可得,即,解得或.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算,三角恒等变换的应用,以及正弦定理和余弦定理的应用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系,熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,运用正弦定理求解;当涉及三边或两边及其夹角时,运用余弦定理求解.21、(1)否;(2);(3);【解析】
(1)根据数列中与的关系式,即可求解数列的通项公式,再结合等差数列的定义,即可求解;(2)由(1)知,求得当时
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