2023-2024学年河北省邢台市桥西区第一中学高三第一次调研测试数学试卷含解析

2023-2024学年河北省邢台市桥西区第一中学高三第一次调研测试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如果实数满足条件，那么的最大值为（）A． B． C． D．2．若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知数列满足，则（）A． B． C． D．4．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．5．已知集合，则集合真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．86．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．7．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（）A． B．C． D．8．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（）A． B． C． D．10．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）A．324 B．522 C．535 D．57811．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（）A． B． C． D．12．函数的图象大致为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列的前n项和为，，，则＝_______．14．已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.15．已知函数，若方程的解为，（），则_______；_______．16．设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）的内角的对边分别为，若（1）求角的大小（2）若，求的周长18．（12分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有.19．（12分）已知函数，.（1）当时，判断是否是函数的极值点，并说明理由；（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.20．（12分）已知分别是内角的对边，满足（1）求内角的大小（2）已知，设点是外一点，且，求平面四边形面积的最大值.21．（12分）已知函数，，（1）讨论的单调性；（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.22．（10分）已知函数，若的解集为．（1）求的值；（2）若正实数，，满足，求证：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

解：当直线过点时，最大，故选B2、D【解析】

根据复数的运算，化简得到，再结合复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算，可得，所对应的点为位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3、C【解析】

利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时，；当时，由，可得，两式相减，可得，故，因为也适合上式，所以.依题意，，故.故选：C.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.4、B【解析】

直接利用集合的基本运算求解即可．【详解】解：全集，集合，，则，故选：．【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题．5、C【解析】

解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.【详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.6、D【解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.7、A【解析】

先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.【详解】因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.8、A【解析】

由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP，AM，由题意得，点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.9、A【解析】

由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．【详解】如图，取BC中点G，连接AG，DG，则，，分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，由，得正方形OEGF的边长为，则，四面体的外接球的半径，球O的表面积为．故选A．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10、D【解析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.11、C【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因为，所以，从而，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.12、D【解析】

由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，，所以排除选项A、C，故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用求出公差，结合等差数列的通项公式可求.【详解】设公差为，因为，所以，即.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核心素养.14、【解析】

由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.【详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为，准线方程为过作准线的垂线，垂足为，则设直线的倾斜角为，则当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切设直线的方程为，代入得：，解得：或双曲线的实轴长为，焦距为双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.15、【解析】

求出在上的对称轴，依据对称性可得的值;由可得，依据可求出的值.【详解】解：令，解得因为，所以关于对称.则.由，则由可知，，又因为，所以，则，即故答案为:;.【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围，导致求出.在求的对称轴时，常用整体代入法，即令进行求解.16、【解析】

利用行列式定义，得到与的关系，赋值，即可求出结果。【详解】由，令，得，解得。【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）11【解析】

（1）利用二倍角公式将式子化简成，再利用两角和与差的余弦公式即可求解.（2）利用余弦定理可得，再将平方，利用向量数量积可得，从而可求周长.【详解】由题解得，所以由余弦定理，，再由解得：所以故的周长为【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题.18、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）根据公式得到，计算得到答案.（2），根据裂项求和法计算得到，得到证明.【详解】（1）由已知得时，，故.故数列为等比数列，且公比.又当时，，..（2）..【点睛】本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19、（1）是函数的极大值点，理由详见解析；（2）1.【解析】

（1）将直接代入，对求导得，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，判断导函数在左右两边的正负情况，最后得出，是函数的极大值点；（2）利用题目已有条件得，再证明时，不等式恒成立，即证，从而可知整数的最小值为1.【详解】解:（1）当时，.令，则当时，.即在内为减函数，且∴当时，;当时，.∴在内是增函数，在内是减函数.综上，是函数的极大值点.（2）由题意，得，即.现证明当时，不等式成立，即.即证令则∴当时，;当时，.∴在内单调递增，在内单调递减，的最大值为.∴当时，.即当时，不等式成立.综上，整数的最小值为.【点睛】本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题20、（1）（2）【解析】

（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本关系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理可得：，则，得到，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；【详解】解：（1）由，，，，，，，；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理得：，，，所以当时有最大值【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.21、（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．【解析】

（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．【详解】（1）函数定义域是，，当时，，单调递增；时，令得，时，，递减，时，，递增，综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．当时，，，从而只需时，恒成立，即，令，，在上递减，在上递增，∴，从而．时