高考数学一轮复习夯基提能作业第九章平面解析几何第六节双曲线

第六节双曲线A组基础题组1.若实数k满足0<k<5,则曲线x216y25A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等2.双曲线C:x2aA.5 B.2 C.2 D.53.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)已知F是双曲线C:x2y2A.13 B.12 C.24.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.5 B.2 C.3 D.25.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y=x1与该双曲线相交于M、N两点,MN中点的横坐标为23A.x25y22C.x23y246.若双曲线C1:x22y28=1与C2:x2a2y27.已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为.8.双曲线x2a2y29.(2018四川成都质检)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为该椭圆与双曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.10.已知双曲线的中心在原点,左,右焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,10).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.B组提升题组1.已知双曲线x2aA.x24B.x212C.x23yD.x2y22.已知直线l与双曲线C:x2y2=2的两条渐近线分别交于A,B两点,若AB的中点在该双曲线上,O为坐标原点,则△AOB的面积为()A.12 C.2 D.43.一条斜率为1的直线l与离心率为3的双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)交于P,Q两点,直线l与y轴交于R点,且OP·4.设A、B分别为双曲线x2a2y2b(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD答案精解精析A组基础题组1.D当0<k<5时,5k>0,16k>0,故方程x216y25-k=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为5-k,焦距2c=221-k,离心率e=21-k4;方程2.A由双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,可得ba3.D本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.∵PF⊥x轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF=12×3×1=34.D设双曲线的标准方程为x2a如图所示,∠ABM=120°,过点M向x轴作垂线,垂足为N,则∠MBN=60°.∵△ABM为等腰三角形,∴AB=BM=2a,∴MN=2asin60°=3a,BN=2acos60°=a.∴点M坐标为(2a,3a),代入双曲线方程x2a整理,得a2b2∴e2=1+b2a25.B设双曲线方程为x2a2y2b2=1(a>0,b>0).将y=x1代入x2a2y2b2=1,整理得(b2a2)·x2+2a2xa2a2b2=0.由根与系数的关系得x1+x2=2a2a2-b2,结合已知条件得6.答案4解析由题意得,ba=2⇒b=2a,C2的焦距2c=45⇒c=a2+b27.答案x24y2解析根据渐近线方程为y=±12x,可设双曲线方程为x24y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,3),所以424×(3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为x24y8.答案2解析由OA,OC所在直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=22,根据c2=2a2可得a=2.9.解析(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线的方程为则a-∴b=6,n=2.∴椭圆的方程为x249+y236(2)不妨令F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1||PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4,又|F1F2|=213∴cos∠F1PF2=|=102+10.解析(1)∵e=2,∴可设双曲线的方程为x2y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,10),∴1610=λ,即λ=6,即x26∴双曲线的方程为x2y2=6.(2)证明:证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=6,∴c=23,∴F1(23,0),F2(23,0),∴kMF1=m3+23∴kMF1·kMF∵点M(3,m)在双曲线上,∴9m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=1,∴MF1⊥MF证法二:由证法一知MF1=(2MF2=(2∴MF1·MF2=(3+23)×(323)+m∵点M(3,m)在双曲线上,∴9m2=6,即m23=0,∴MF1·(3)△F1MF2的底|F1F2|=43,由(2)知m=±3∴△F1MF2的高h=|m|=3,∴S△B组提升题组1.D不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,3),所以ba=3,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2y2.C由题意得,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,设A(x1,x1),B(x2,x2),则OA⊥OB,AB的中点为x1+x22,x1-x22,又因为AB的中点在双曲线上,所以x1+x222x1-x223.解析∵e=3,∴b2=2a2,∴双曲线方程可化为2x2y2=2a2.设直线l的方程为y=x+m.由y得x22mxm2-2a2=0,∴Δ=4m2+4(m2+2a2∴直线l一定与双曲线相交.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2m,x1x2=m2-2a2.∵PR=3RQ,xR=x1∴x1=3x2,∴x2=m,3x22=m2-2a消去x2,得m2=a2.∵OP·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-4a2=3,∴m=±1,a2=1,b2=2.∴直线l的方程为y=x±1,双曲线的方程为x2y24.解析(1)由题意知a=23,∴一条渐近线方程为y=b2即bx23y=0,∴|bc|b∴b2=3,∴双曲线的方程为x212(2)设M