2024届锦州市重点中学数学高三第一学期期末综合测试试题含解析

2024届锦州市重点中学数学高三第一学期期末综合测试试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数y=/(x)在区间［上的大致图象如图所示，则/(尤)可能是()

A./(x)=ln|sinx|

B./(x)=In(cos%)

C./(x)=-sin|tanx|

D./(x)=-tan|cosx|

2.甲乙两人有三个不同的学习小组A,B,。可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参

加同一个小组的概率为()

3.设-4'尤”°,则/(/(—2))=(

2\%<0

3

A.-1

2

2x,x<0

已知函数〃力=，则/

log3x,x>0

V2，

C.-log32log

5.设4，吊是双曲线。：，一与=1(。>04>0)的左，右焦点，。是坐标原点，过点工作C的一条渐近线的垂

线，垂足为尸.若归耳则c的离心率为（）

A.V2B.若C.2D.3

'2x-y>0

6.不等式组表示的平面区域为Q,贝！）（）

x+y-3<0

A.V（x,y）£。,x+2y>3B.3（x,y）eQ,x+2y>5

C.V（x,y）eQ,y+2〉3D.3（x,y）eQ,>5

x1x1

7.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）

A.12万B.167r

C.24»D.48〃

函数〃—。）〉当时，/（九）的值域为———则的范围为

8.x）=sin[tyx（（y0）,xe[O,»],1,0（）

2I

9.如图，在AA5C中，AN=-NC,尸是BN上一点，^AP=tAB+-AC,则实数f的值为（）

33

2£

B.C.D.2

564

10.设函数/（x）=sin[0x+g]（0〉O）,若/（X）在[0,2用上有且仅有5个零点，则。的取值范围为（）

~1229、（1229]「1229、「1229~

A.—,—B.—,—C.—，—D.—,—

L510J（510」U10J1510」

11.正四棱锥尸-A5CD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为后，侧棱长为26，则它的外接球的表面积

为（）

A.4万B.8"C.16%D.20万

x+y<2

12.设变量x,y满足约束条件（2x-3yV9,则目标函数z=2x+y的最大值是（）

x>0

A.7B.5C.3D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

xy<2

13.设实数x,y满足0Vx<2,则点P（x,y）表示的区域面积为.

0<y<2%

14.已知向量£=（1,1）,b=（-l,k）,alb>则1+*.

15.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是则,"=,该几何体的表面积为

3

什々封什21

x+y>a

16.设％、V满足约束条件｛,，且z=x+qy的最小值为7,则。=__________.

[x-y<-\

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000

元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000

元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在

50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.

维修次数23456

甲设备5103050

乙设备05151515

（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为x和F,求x和y的分布列;

（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种

设备？请说明理由.

18.（12分）如图，在四棱锥尸—A3CD中，。是边长为4的正方形ABC。的中心，尸OJL平面ABC。，E为8C的

中点.

（I）求证：平面PAC_L平面PBD；

（II）若PE=3,求二面角。―正―5的余弦值.

19.（12分）为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记

X表示学生的考核成绩，并规定X285为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了

30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

SI0II6

60133458

712367778

8I12459

900123、

（I）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

（II）从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

（85、

（III）记尸（a表示学生的考核成绩在区间［a,句的概率，根据以往培训数据，规定当P——<120.5时

培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

20.（12分）如图，在四棱锥尸-A5CZ）中，底面是矩形，如，平面且E,尸分别是棱A5,

PC的中点.求证:

(1)E尸〃平面RW；

(2)平面PCE_L平面PCD.

21.(12分)已知函数才(无)=".

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若对任意的meR,当x>0时，都有m212/(%)+：］>201机-1恒成立，求最大的整数七

(参考数据：el1.78)

22.(10分)设函数/(%)=a/nx+d-(a+2)8其中

(I)若曲线y=/(x)在点(2,/⑵)处切线的倾斜角为:，求。的值；

(II)已知导函数/'(力在区间。，e)上存在零点，证明:当尤e(Le)时，f(x)>-e2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可;

【题目详解】

解：当尤=0时,sin0=0,Wsin0|无意义，故排除A；

又cosO=l,贝!|/(0)=—tan|cos0|=-tanlw0,故排除D；

对于C,当时，卜anx|>0,所以/(%)=—sin|tanx|不单调，故排除C；

故选：B

【题目点拨】

本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.

2,A

31

【解题分析】依题意，基本事件的总数有3x3=9种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为‘=上.

93

3、C

【解题分析】

试题分析：/(-2)=2-2=1,====故C正确.

考点：复合函数求值.

4、A

【解题分析】

根据分段函数解析式，先求得/日的值，再求得的值.

【题目详解】

故选:A

【题目点拨】

本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.

5、B

【解题分析】

j2f2j、

设过点E(c,o)作y=2x的垂线，其方程为y=—@(x—c),联立方程，求得x=£,y=—,即P—,由

abcc\cc)

|P^|=V6|OP|,列出相应方程，求出离心率.

【题目详解】

解：不妨设过点与(。,0)作丁=^^的垂线，其方程为丁=—蓝(x—c),

b

y=~X27(2r\

由＜解得X=—,y=一，即尸一,——,

a(cc{cc

y=-g(x-c)、、7

.Ii后icM由t、i七。2/(a2丫(a4a2b2

由|DP/K?|=J6|OP|,所以有「一+—+c=6—+^~、

cc/cCj

化简得3/=02,所以离心率e=£=者.

a

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.

6、D

【解题分析】

根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设Z1=x+2y,Z2=?邛，分析Z1,z,的几何意义,

x-1

可得马,z2的最小值，据此分析选项即可得答案.

其表示的平面区域如图所示,

其中4(2,1),3(1,2),

设Z=x+2y,则y=—＞年，Z］的几何意义为直线y=在y轴上的截距的2倍，

由图可得：当丁=—＞］过点3。,2)时，直线马=》+2＞在y轴上的截距最大，即x+2y＜5,

当V=—f+^过点原点时，直线1EV在y轴上的截距最小，即x+2y20,

故AB错误；

设Z2=上土2,则Z2的几何意义为点(羽y)与点(1,-2)连线的斜率，

x—1

由图可得Z2最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；

故选：D.

【题目点拨】

本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.

7、A

【解题分析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【题目详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形,斜边长为2点，如图:

C

.•.AA3C的外接圆的圆心为斜边AC的中点。，ODLAC,且。。u平面5AC,

•.&4=AC=2,

二SC的中点。为外接球的球心,

半径尺=6，

外接球表面积S=4万X3=12万.

故选：A

【题目点拨】

本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

8,B

【解题分析】

首先由可得。的范围，结合函数/(%)的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数。的不等式，解

不等式即可求得范围.

【题目详解】

因为xe[O,乃],所以—'若值域为，

所以只需工40乃—加，

23363

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数

学运算的核心素养.

9、C

【解题分析】

__2

由题意，可根据向量运算法则得到AP=AC+(1-m)AB，从而由向量分解的唯一性得出关于，的方程，求出

，的值.

【题目详解】

由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m^AN—AB)=mAN+(1—m)AB,

.2—-2—­—•2—

又，AN=-NCf所以AN二AAP=-mAC+(1-帆)AB>

l—m=t

又所以21，解得机=3,t=y,

3—m=—66

[53

故选C.

【题目点拨】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

10、A

【解题分析】

TT

由0WxW2万求出。尤范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立。不等量关系，即可求解.

【题目详解】

当xl［0,2%］时，CDX+—G—,2TT69+—,

•••〃x)在［0,2句上有且仅有5个零点，

uc冗,12,29

**•57r<2xD7iH—<67r,・・—<g<—.

5510

故选:A.

【题目点拨】

本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.

11、C

【解题分析】

如图所示，在平面ABC。的投影为正方形的中心E,故球心。在PE上，计算长度，设球半径为R,则

(PE-R^+BE-=R-,解得R=2,得到答案.

【题目详解】

如图所示：P在平面ABCD的投影为正方形的中心E,故球心。在PE上，

BD=yfiAB=26故BE=gBD=5PE=《PB?-BE?=3,

设球半径为R,贝！J(PE—R)2+BE2=R2,解得R=2,故S=4万R2=I6».

故选：C.

AB

【题目点拨】

本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

12、B

【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把

最优解的坐标代入目标函数得结论.

【题目详解】

x+y<2

画出约束条件2x-3yW9,表示的可行域，如图,

x>0

x+y-2=0x=3

由可得।

2x-3y-9=0U=T

将z=2x+y变形为y=-2x+z,

平移直线y=—2x+z,

由图可知当直y=-2x+z经过点(3,-1)时，

直线在丁轴上的截距最大，

z最大值为z=2x3—l=5,故选B.

【题目点拨】

本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变

形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、l+21n2

【解题分析】

先画出满足条件的平面区域，求出交点坐标，利用定积分即可求解.

【题目详解】

xy<2

画出实数x,y满足<0Wx<2表示的平面区域，如图（阴影部分）:

0<y<2%

1/2

则阴影部分的面积S=—X1X2+J—公=l+2Inx|；=l+2（In2—Inl）=l+2In2,

故答案为：l+21n2

【题目点拨】

本题考查了定积分求曲边梯形的面积，考查了微积分基本定理，属于基础题.

14、2

【解题分析】

由得a为=0,算出左=1,再代入算出卜+0即可.

【题目详解】

a=（1,1）,b=（-1,k）,aLb,r.a=-1+左=0，解得：k=1,

a+Z?=（0,2）,则,+0=2.

故答案为：2

【题目点拨】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.

15、1；3-出

【解题分析】

试题分析:如图：此几何体是四棱锥,底面是边长为二的正方形,平面-,.13_平面」C］，并且之翳喷=锄;，

所以体积是咨=」>*&产::将=之，解得==1，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是

考点：1.三视图；2.几何体的表面积.

16、3

【解题分析】

根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为y=-^x+^z,对参数。分类讨论，当a=0时显然不满足题意；当

aa

心1时，直线y=-+经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当0<a<l

aa

时，y=—+的截距没有最小值，即Z没有最小值；当。<0时，y=-Lx+^z的截距没有最大值，即Z没有

aaaa

最小值，综上可得出结果.

【题目详解】

x+y=aJa-la+

根据约束条件画出可行域如下：由｛,可得出交点A——,

x-y=-l122J

由2二%+做可得y=x-\—Z,当a=0时显然不满足题意；

aa

当aNl即-1W-工<0时，由可行域可知当直线y=-^x+^z经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，

aaa

即巴士+心”1=7,解得0=3或一5（舍）；

22

当0<。<1即-1<-1时，由可行域可知y=-^x+^z的截距没有最小值，即z没有最小值；

aaa

当a<0即-L>o时，根据可行域可知丁=-^x+^z的截距没有最大值，即z没有最小值.

aaa

综上可知满足条件时Q=3.

故答案为：3.

本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)X分布列见解析，F分布列见解析；(2)甲设备，理由见解析

【解题分析】

(1)X的可能取值为10000,11000,12000,F的可能取值为9000,10000,11000,12000,计算概率得到分布列;

(2)计算期望，得至lJE(X)=E(y)=108。。，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为4，",计算分布列，计算

数学期望得到答案.

【题目详解】

(1)X的可能取值为10000,11000,12000

P(X=10000)=,P(X=11000)=—=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

p

To5io

y的可能取值为9000,10000,11000,12000

51153153153

P(Y=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=11000)=—=—,p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列为如下

Y9000100001100012000

1333

r

10101010

331

(2)E(X)=10000X—+11000X-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为自，7

J的可能取值为2,3,4,5

C、51八公101八303八51

PG=2)=—=—,P记=3)=—=—,P(自=4)=—=—,P(J=5)=—=—

50105055055010

则J的分布列为

J2345

1131

p

io55io

1131

E(a=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值为3,4,5,6

P(7=3)=A=±,p⑺=4)=竺=3，p⑺=5)=竺=』，p(7=6)=—=—

5010501050105010

则〃的分布列为

73456

1333

p

1010K)10

1333

£(n)=3x—+4x—+5x—+6x—=4.8

10101010

由于E(X)=EC),E®<ES),因此需购买甲设备

【题目点拨】

本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.

18、(I)详见解析；(II)—上叵.

29

【解题分析】

(I)由正方形的性质得出AC，5。，由尸0,平面ABC。得出AC，。。，进而可推导出AC,平面P3D,再利

用面面垂直的判定定理可证得结论；

(II)取A6的中点"，连接OM、OE,以。暇、OE、O尸所在直线分别为％、V、z轴建立空间直角坐标系，

利用空间向量法能求出二面角D-PE-B的余弦值.

【题目详解】

(I)是正方形，.•.ACLBD,

POL平面ABC。，ACu平面ABC。，.•.尸OLAC.

OP.5r)u平面BBD,且0Pc5£>=0,，AC_L平面PBD,

又ACu平面PAC,；.平面B4C_L平面尸3£)；

(II)取AB的中点"，连接。"、OE,

MCD是正方形，易知OM、OE、O尸两两垂直，以点。为坐标原点，以OM、OE、O尸所在直线分别为工、八

z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

在HfAPOE中，OE=2,PE=3,:.P0=®

.•.8（2,2,0）、。（―2,—2,0）、。（0,0,君）、£（0,2,0）,

设平面P3E的一个法向量加=（%,%,zj,BE=（-2,0,0）,PE=（0,2,—J?）,

m.BE=0Xj—0._/«—\

由〈，得1r令y=«,则玉=。，Z]=2,.,.加=0,J5,2.

v7

m-PE-0[2^-y/5z}=0

设平面POE的一个法向量〃=（9,%，Z2），DE=（2,4,0）,PE=（0,2,一研

I%+"—0o,取％"行，得Z2=2,得,二（—2石，石,21

m-n3y/29

cos<m,n'>—-；—,―；~~r=-------

|m|.|n|29

二面角O—PE—5为钝二面角，二二面角D-PE-B的余弦值为-史耍

29

【题目点拨】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

73

i9>(I)—di)-cm)见解析

305

【解题分析】

(I)根据茎叶图求出满足条件的概率即可；

(II)结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可;

(III)求出满足-^―<1的成绩有16个，求出满足条件的概率即可.

【题目详解】

解：(I)设这名学生考核优秀为事件4,

由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，

7

所以所求概率P(A)约为茄

(II)设从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，

至少有一人考核成绩优秀为事件B,

因为表中成绩在［80,89］的6人中有2个人考核为优，

所以基本事件空间Q包含15个基本事件，事件3包含9个基本事件，

93

所以尸(3)=m

x-85

(in)根据表格中的数据，满足<1的成绩有16个，

x-85、16

所以P<1=—>0,5

103015

所以可以认为此次冰雪培训活动有效.

【题目点拨】

本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题.

20、(1)见解析；(2)见解析

【解题分析】

(1)取的中点G构造平行四边形但G,得到跳V/AG,从而证出所//平面R4D；

(2)先证平面PC。，再利用面面垂直的判定定理得到平面PC。，平面PCE.

【题目详解】

证明：(1)如图，取PD的中点G,连接AG,FG,

E是棱A5的中点，底面ABC。是矩形，

:.AE//CD,且

2

又F,G分别是棱PC,PD的中点，

：.FG//CD,且PG=」AC,

2

.-.AE//FG,且AE=FG,

四边形AEFG为平行四边形，

:.EFHAG,

又EF仁平面R4£),AGu平面上4。，

.•.£7?//平面上4£)；

(2)PA=AD,点G是棱P。的中点，

-.AG±PD,

又EF//AG,:.EF±PD,

平面ABC。，COu平面ABC。，

:.PA±CD,

底面ABC。是矩形，.•.A。，CD,

PAu平面ABCD,ADu平面ABCD,且取AD=A,

\CDA平面PAD,

又一AGu平面PAD,二CD_LAG,

FEUAG,CDLEF,

又CDu平面PC。，平面PC。，且CD「］PD=D,

.•.EFL平面PCD,

又EFu平面PCE,

•••平面PC。，平面PCE.

【题目点拨】

本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题.

21、(1)丁=夕(2)2

【解题分析】

(1)先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.

⑵对加分成，加=0,加,0两种情况进行分类讨论.当771WO时，将不等式/(2/(为+口〉2属加-1转化为

2于(琦+上)2叵m—1,构造函数/Z(X)=2/(X)+L利用导数求得力⑴的最小值(设为。)的取值范围，由

xm冗