2024届广东新高考数学仿真模拟练习卷（新结构）（含解析）

备战2024年广东新高考数学仿真模拟练习卷（三）（新结构）

考生注意：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集。=1<,集合&={引y=e，+2,xeR},集合2={x|y=lg（尤-1）},则图中阴影部分所表示的集合

为（）

A.[1,2]B.（1,2]C.（1,2）D.[1,2）

2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1,2）,则下列结论正确的是（）

A.z-i=2-iB.复数z的共轨复数是1—2i

C.z2的实部为5D.|z|=5

3.已知向量°=（1,-1）,b,若则"？=（）

A.—2B.—C.-D.2

22

4.已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间x（分钟）与一个月内减轻的体重》（斤）

的一组数据如表所示:

X3040506070

y1.11.93.244.8

一个月内减轻的体重y与每天投入的体育锻炼时间x之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是

y=0.095x+a，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约

为（）

A.6.8斤B.6.9斤C.7.0斤D.7.1斤

5.设函数〃x)=x|x|-2x,则()

1

A.是偶函数，且在（1,+8）上单调递增B.是奇函数，且在上单调递减

C.是偶函数，且在（-8,-1）上单调递增D.是奇函数，且在上单调递减

6.若函数〃*=5出（8+6）0>0）在（0,二上单调，则0的取值范围是（）

A.（1,+s）B.[1,+<»）C.（0,1）D.（0,1]

7.湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲

身感受“走遍五大洲，最美有郴州“绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙

岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择

万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则尸CB|A）=（）

A.-B.-C.-D.-

5544

22

8.如图，已知片，用是双曲线C：的左、右焦点，p,。为双曲线C上两点，满足£尸//工。，且

ab

什。|=2怩）=5国甘，则双曲线C的离心率为（）

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的

得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中，正确的是（）

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体加被抽到的概率是

0.1

B.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

C.若样本数据2而+1,2务+1,……,2/+1的方差为8,则数据再,网0的方差为2

D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为豆，司和,若吊=为，

则总体方差

2

10.已知直线/："-y+2-2a=0与圆C:(x-4)2+(y_l)2=产(r>0)总有两个不同的交点M,N,O为坐标原点,

则()

A.直线/过定点(2,2)

B.re(2,-H»)

C.当r=3时，\MN\E[4,6]

D.当r=5时，CMCN的最小值为-25

11.如图，己知正方体ABCD-AgG0的棱长为2,尸为底面正方形ABCO内(含边界)的一动点，则下列结

论正确的是()

A.存在点尸，使得GP，平面AC，

B.三棱锥片-AQ/的体积为定值

C.当点P在棱CO上时，|上4|+|尸留的最小值为2a+2

D.若点尸到直线8月与到直线的距离相等，8的中点为E,则点尸到直线AE的最短距离是越

10

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.在(2X-^)5的展开式中，/的系数为.(用数字作答)

X

13.在正项等比数列｛%｝中，已知=4,=8,a„an+lan+2=128,则n=.

14.若对于Vme[-e,e],Vye(-l,+<x>),使得不等式4三+111(工+1)+(2023-机)尤—l<yln(y+l)恒成立，则实

数尤的范围为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

15.（本题13分）2024年元旦将至，国产影片与国外好莱坞大片同时上映，广大网民，对喜爱的电影进行投

票♦某平台为了解观众对影片的选择情况（情况仅有“国产”“国外”），从平台所有观众中随机抽取200人进行调

查，数据如下表所示（单位：人）：

（1）把2x2列联表补充完整，试根据小概率值戊=0.005的独立性检验分析对影片的选择情况是否与性别有关；

⑵若将频率视为概率，从抽取的200人中所有给出“国产”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的

女性观众的人数，求X的分布列和数学期望.

国产国外合计

男性40100

女性80

合计200

参考公式：参=g+6）（c+d）g+c）g+<r其中〃=a+"c+d

参考数据

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

16.（本题15分）如图1,在平面四边形B40c中，PA±AB,CD//AB,CD=2AB=2Pr>=2AZ）=4.点E是线

段尸C上靠近尸端的三等分点，将△PDC沿。折成四棱锥尸-ABCD,且”=2百，连接尸4尸8瓦人如图

4

2.

(1)在图2中，证明：R4//平面3DE；

(2)求图2中，直线”与平面P3C所成角的正弦值.

17.(本题15分)已知函数/(x)=xe*,尤eR.

⑴求函数/'(x)=xex单调区间；

⑵若过点eR)可以作曲线y=〃x)的3条切线，求实数t的取值范围.

18.(本题17分)已知抛物线。：9=2加(0>0)过点(1,0,直线/与该抛物线C相交于M,N两点，过点M

作x轴的垂线，与直线y=r交于点G,点M关于点G的对称点为P,且O,N,P三点共线.

(1)求抛物线C的方程；

5

（2）若过点。（2,0）作垂足为H（不与点。重合），是否存在定点T,使得|〃刀为定值？若存在，求出

该定点和该定值；若不存在，请说明理由.

19.（本题17分）对于一个有穷单调递增正整数数列P,设其各项为％,出，L,an（n>5）,若数列P中存

在不同的四项4,%,%满足4+%=4+4,则称尸为等和数列，集合M={4,q，4，q}称为尸的一

个等和子集，否则称尸为不等和数列.

⑴判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；A：1,3,5,7,9；B：2,4,

6,7,10；

⑵已知数列P：%,%,a3,a4,%是等和数列，并且对于任意的总存在尸的一个等和子

集M满足集合求证：数列尸是等差数列；

，rn+9

（3）若数列P：%,g，L,。“是不等和数列，求证：an>~.

备战2024年广东新高考数学仿真模拟练习卷（三）（新结构）

答案解析

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集。=1<,集合4={引y=e，+2,xeR},集合2={x|y=lg（尤-1）},则图中阴影部分所表示的集合

为（）

A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.[1,2)

【答案】B

6

【分析】先化简两个集合，根据阴影部分可求答案.

【详解】由题意图中阴影部分为Be乐A,

而4=(2,+力)，3=(1,+力)，6A=(-8,2],

所以B①A=(l,2].

故选：B.

2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),则下列结论正确的是()

A.z-i=2-iB.复数z的共轨复数是1—2i

C.z?的实部为5D.|z|=5

【答案】B

【分析】由复平面内对应的点，得复数z,通过复数的乘法，复数模的计算，共朝复数和复数实部的定义，验

证各选项的结论.

【详解】复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),则z=l+2i,

z-i=(l+2i)-i=-2+i,A选项错误；

5=1—2i,B选项正确；

z2=(l+2i)2=l+4i-4=-3+4i,Z?的实部为-3,C选项错误；

|Z|=A/12+22=y/5,D选项错误.

故选：B.

3.已知向量a=(l,-l),b=(m,l-ni),若则机=()

A.—2B.—C.-D.2

22

【答案】c

【分析】直接利用向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由心6，得〃2-(1-帆)=0,则%=：,

故选：C.

4.已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间x(分钟)与一个月内减轻的体重y(斤)

的一组数据如表所示：

X3040506070

7

y1.93.244.8

一个月内减轻的体重y与每天投入的体育锻炼时间工之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是

y=0.095x+a，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约

为()

A.6.8斤B.6.9斤C.7.0斤D.7.1斤

【答案】A

【分析】先求出样本点中心，代入回归方程求出〃，再将％=90代入计算即可.

【详解】由表中数据可得

-30+40+50+60+700

x=---------------------------=50,

-1.1+1.9+3.2+4+4.8。

y=-------------5-------------=§，

将(50,3)代入y=0.095x+a得3=0,095x50+a，解得a=-1.75，

Wj=0.095%-1.75.

则当x=90时，y=0.095x90-1.75=6.8.

故选：A.

5.设函数F(x)=x|R-2x,则()

A.是偶函数，且在(1,+8)上单调递增B.是奇函数，且在上单调递减

C.是偶函数，且在上单调递增D.是奇函数，且在(-双-1)上单调递减

【答案】B

【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，画函数图象，然后结合图象得函数的单调区间.

【详解】因为函数/(x)=x|x|-2x的定义域为R,且『(一x)=_xW+2x=-(x|x|-2x)=—〃x),

所以/(x)是奇函数，又/(x)=x|尤|-2尤2作出函数/(尤)图象如下图：

-x—2x

8

由图知，函数/(X)在(-8,-1)和(L+8)上单调递增，在(-1,1)上单调递减.

故选：B.

6.若函数/(x)=sin(ox+胃(0>0)在(0口上单调，则0的取值范围是()

A.(1,+S)B.[1,问C.(0,1)D.(0,1]

【答案】D

【分析】由0<x<.得到++g然后根据〃x)在(0三]单调求解.

36636I力

【详解】解：因为0。弓，

所以?尤+3<20+3，

6636

因为广(X)在(0片]单调，

所以S。+1妾，

362

0<。<1,

故选：D.

7.湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲

身感受“走遍五大洲I,最美有郴州“绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙

岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择

万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则尸(B|A)=()

【答案】B

【分析】利用古典概率求出事件AAB的概率，再利用条件概率公式计算即得.

【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有32个基本事件,

事件A含有的基本事件数是2x2+1=5,则P(A)=•!,

4

事件A5含有的基本事件数为2x2=4,贝=

所以尸(B|A)=今黑4

5

故选：B.

22

8.如图，已知片，鸟是双曲线C：3-多=1的左'右焦点，P，。为双曲线C上两点，满足耳尸//心。，且

ab

I玛。1=2优H=5|耳H，则双曲线c的离心率为()

9

「719

D.叵

23

【答案】B

【分析】延长。耳与双曲线交于点P,易得闺?=优习，设国产|=优尸［=2L结合双曲线定义得"+，进

而在尸名鸟中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率.

【详解】延长。工与双曲线交于点P,因为片P/书尸'，根据对称性知闺

设国？=内尸1=2,则优尸|=5f,|42|=10f,可得怩目一闺尸|=3r=2a,即」=铲,

所以|PQ|=12f=争，则|Q胤=|四+2"=争，|耳尸［=］巴尸卜g,

即\P'Qf+山尸'「=|Q＜，可知&FQ=&\PF］=90。，

在月中，由勾股定理得|用P「+闺尸［2=1百用2,即=4。2，解得e=£=g.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：延长。B与双曲线交于点P，利用双曲线对称性及定义求出4尸'。=4尸乙=90°,最

后在P'FtF2中应用勾股定理得到齐次方程为关键.

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的

得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中，正确的是（）

10

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体机被抽到的概率是

0.1

B.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

C.若样本数据2石+1,2%+1,……,2/+1的方差为8,则数据再,々,…凸。的方差为2

D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为百，,若吊=务，

则总体方差/=，s；+s；)

【答案】AC

【分析】由古典概型的概率可判断A,根据百分位数定义可判断B,由数据的平均数和方差的定义可判断C,

D.

【详解】选项A：个体也被抽到的概率为点=0.1,故A正确；

选项B：由于10x60%=6,第六个数为14,第七个数为16,则第60百分位数为号3=15,故B错误;

22

选项C：设数据王鹏,…,与的平均数为元=+/,方差为s2=\［(X］-X)+(X2-X)++(/-£

则数据2%+1,2%+1,……,2/+1的平均数为

—,（2%+1）+（29+1）+，+（2%0+1）2（再+/+」+%（））+1。

x——■=2x+l,

1010

方差为+1-x）+（2々+1-%）+-+（2玉0+1-x）

=^^[（2再-2x）+（2々-2x）++（2%]0—2x）+（%2-%）++（xio-%）]=4s?=8，

所以/=2,故C正确;

选项D：设弟一■层数据为％1，%2,…,％九，第一^层数据为M，%,

则彳=3+期+…+无“，元=M+%+...+.%

nm

所以％+九2+・・・+/=，乂+为+…+%=帆・％2

S；=：［■一玉）2+伍一％）2++［“一％）［，=^yl-x2^+（y2-x2^++（%—%）］，

总体平均数X=西++—+X++y”,

n+m

总体方差一=六［(%一寸+

因为％=可，则%+……,

11

所以丁J+“+x，，+%+"%=("+〃断=0兀

n+mn+m

++(%_%++(北-司『

故D错误.

故选：AC.

10.己知直线/：依-〉+2-24=0与圆(7:(彳-4)2+(丫-1)2=，(/>0)总有两个不同的交点出,乂0为坐标原点,

则()

A.直线/过定点(2,2)

B.re(2,+oo)

C.当厂=3时，|%V|£[4,6]

D.当r=5时，CMCN的最小值为-25

【答案】ACD

【分析】根据直线方程求得定点判断A；利用点在圆内求得厂的取值范围判断B；利用弦长公式求得判断

C；利用数量积运算，结合直线与圆的关系判断D.

【详解】对于A,at-y+2-2a=0可化为。(尤-2)+(->+2)=0,

则直线/过定点尸(2,2),故A正确；

对于B,因为直线/与圆C总有两个公共点，可得点尸(2,2)在圆C内部，

所以(2-4)2+(2-1)2</，解得厂>百，故B错误；

对于C,当r=3时，圆C的方程为(x-4)2+(y-l)2=9,

所以圆心C(4,l),又P(2,2),贝IJ|CP|=JL

可得的最小值为2小尸_|"|2=4,最大值即为2r=6,故C正确;

对于D,当r=5时，圆C的方程为(x-4)2+"-1)2=25,

则CM-CN=|CM||CN|cosNMCN=25cos/MCN,

当直线/过圆心C(4,D时，cosNMCN=—l,所以cosNMCN的最小值为-I,

所以CM-CN的最小值为-25,故D正确.

故选：ACD.

11.如图，已知正方体ABC。-AAGR的棱长为2,P为底面正方形A3CO内(含边界)的一动点，则下列结

12

论正确的是（）

A.存在点尸，使得G?，平面4C，

B.三棱锥4-ARP的体积为定值

C.当点尸在棱8上时，|P4|+|P阂的最小值为2a+2

D.若点P到直线8月与到直线AD的距离相等，8的中点为E,则点P到直线AE的最短距离是当5

10

【答案】ABD

【分析】对于A选项，当点P与A重合时，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于B选项，由尸到上底面

的距离是定值即可判断；对于C选项，将平面ABCD沿。旋转至平面4月。共面，即可得到|到+|「阂的最

小值，从而得以判断；对于D选项，先得到点尸的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点到直线的最小距离,

从而得解.

【详解】对于A选项，如图，连接AG，4G，

因为在正方体ABCD-A4Gq中，A4,1平面4月GR,BRu平面A.B.C.D,,

所以BQLAA，因为A4GA为正方形，所以用RJLAG，

又因为AGM=AA，4GU平面AAC，所以耳已，平面MG，

因为AGu平面A41G，所以AC|JLBQ,同理可得AC|JL片C,

因为4。1门4。=4，BR,4Cu平面42。，所以£A_L平面片2。，

所以当点尸与A重合时，GP，平面4A。，故A正确；

13

对于B选项，三棱锥4-An尸的体积就是三棱锥尸一用AA的体积，而产到上底面的距离是定值,

所以三棱锥片-AD尸的体积是定值，故B正确；

对于C选项，当点P在棱CO上时，把平面ABC。沿8旋转，

使得旋转面与平面A4co共面，连接A'q,如图，

此时|网+忸周取得最小值|A41a在RtA耳A中，/闻=2,1^1=25/2+2,

则|AB||=也+(2+2/)2=2及+2,故C错误；

对于D,由点P到直线BBi与到直线AD的距离相等，

可知尸在以AD为准线，8为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系,

贝1]3(1,。)，P的轨迹是抛物线，其方程为J/=4x(04x41),

因为CD的中点为E,A(TO)、E(0,2),

所以AE的方程:y=2x+2,与AE平行的抛物线的切线方程设为y^2x+b,

y=2x+bc°

联立2，可得4%2+(48—4)x+Z?2=0,

y=4x

则由A=(46-4)2—16〃=0,解得。=g,可得切线方程为y=2x+：,

则点尸到直线AE的最短距离为I|2--2||_3r4-,故D正确；

有一10

故选：ABD.

14

【点睛】本题D选项的结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点尸的轨迹方程，

从而将问题转化为抛物线上的点到直线AE的距离的最值，从而得解.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.在（2尤-工）5的展开式中，x3的系数为.（用数字作答）

【答案】-80

【分析】直接用二项式定理展开的通项求出即可.

【详解】在（2x—y的展开式中通项为小=（：；（2》广,_婷丁，

所以5-左+（」？目3,解得％=1,

所以V的系数为C；2,？（1了=-80,

故答案为：-80.

13.在正项等比数列｛qj中，己知％的。3=4,。4%。6=8，。“凡+1凡+2=128,贝=.

【答案】16

3345

【分析】由题意得。落3=4,a；q'2=8两式相比得/=2,再由堤，=4,。/小=128两式相比得?-=32=q,

由此即可得解.

【详解】因为a。%=4,所以a；"'"因为a4a5a6=8,所以a：/2=8,

所以/=2,a/x%+产128,所以％3/=128,

q3"3=32=,所以“=16.

故答案为：16.

14.若对于Vme[-e,e],VyG（-1,+OO）,使得不等式4x3+ln（x+l）+（2023-机）无一l<yln（y+l）恒成立，则实

数x的范围为.

【答案】（一1,0]

【分析】由题，有[4尤3+也（元+1）+（2023-加行一1，<口111（丁+1）」.利用导数可得[加。+1）入=0,则可

得〔4/+In（%+1）+（2023-m）%-1]<0.

后将4丁+In（尤+1）+（2023-m）无一1看成关于m的函数g（m）,后分类讨论

g（7〃）在-1<x<0,x=0,x>0三种情况下的最大值与0的大小即可.

15

【详解】4丁+111(尤+1)+(2023-〃?)x—l<yln(y+l)恒成立，

等价于［4/+ln(x+l)+(2023—根)x-l［a<［yln(y+l)］向『

令f(y)=yln(y+1),则1(y)=In(y+1)+,

注意到ye(-l,O)时,r(y)<0,尸(0)=0,ye(0,")时，〃y)>0.

则〃y)在(TO)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，则〃y)N〃O)=O.

则［yIn(y+川勒=0,则［4三+In(x+1)+(2023一根)x-立曲<［yIn(y+3山

=［4V+In(x+1)+(2023-x-1］<0.

令g(77?)=-xm+4x3+2023x+ln(x+l)-l,me［-e,e］.

当x=0,g(/77)=-1<0,故x=0满足条件；

当x>0,则g(〃z)在［-e,e］上单调递减，故

g(77?)=g(-e)=ex+4x3+2023x+In(x+1)-1.

令p(x)=ex+4尤3+2023x+ln(尤+1)-1,xe(0,+oo).

则p'(尤)=12x2+e+2023+」一>0,得p(x)在(0,+e)上单调递增,

X>1时，p(x)>p(l)>0,因p(元)此时无最值，且Hxe(0,+oo),〃⑺>0.

则x>0不合题意；

当x<0,g(m)在［-e,e］上单调递增，故

g(机)=g(e)=-e尤+4x3+2023x+In(x+1)-1.

令〃(x)=-ex+4x3+2023x+In(%+1)-1,xe(-1,0).

则"(x)=12x2+—'―+2023-e.

''X+1

令h(x)=12x2++2023-e,xe(-l,O).

则〃(x)=24x-(二『<°,故/z(x)在(TO)上单调递减，

则“卜)=n'(x)>n'(0)=2024-e>0,则〃(x)在(—1,0)上单调递增，

16

则”(x)<«(o)=-1<0,则xe(-l,o)符合题意.

综上，XG(-1,0].

故答案为：（-1,。］.

【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量与恒成立，难度较大.

恒成立问题常转化为最值相关问题，本题因告知，"范围，求x范围，故还采取了变换主元的做题方法.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题13分）2024年元旦将至，国产影片与国外好莱坞大片同时上映，广大网民，对喜爱的电影进行投

票•某平台为了解观众对影片的选择情况（情况仅有“国产”“国外”），从平台所有观众中随机抽取200人进行调

查，数据如下表所示（单位：人）：

⑴把2x2列联表补充完整，试根据小概率值。=0.005的独立性检验分析对影片的选择情况是否与性别有关；

⑵若将频率视为概率，从抽取的200人中所有给出“国产”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的

女性观众的人数，求X的分布列和数学期望.

国产国外合计

男性40100

女性80

合计200

参考公式：参=(a+6)(c+d)(“+c)(6+d)'其中”=»+c+d

参考数据

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）表格见解析，有关；（2）分布列见解析，—

【分析】（1）通过计算/的值，查表即可判断；

（2）根据条件知，X~B（3,g）,继而可求得分布列和期望.

【详解】（1）2x2列联表补充完整如下：

国产国外合计

17

男性6040100

女性8020100

合计14060200

零假设为口)：对影片的选择情况与性别无关.

根据列联表中数据，经计算得:

2200x(60x20-40x80)2200…八

r2»----------------------------—=——x9.524>7.879=

100x100x140x60210005

根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断Ho不成立,

即认为对影片的选择情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.

(2)从抽取的200人中所有给出“国产”的观众中随机抽取1人为女性的概率尸=瑞=，

4

且各次抽取之间互相独立，故X〜6(3,1),

所以P(X=0)=CX(1)°x(|)3=W,P(X=1)=C；X(I)1X(1)2=罂,

P(X=2Xx(1)2x(1)'=5，尸(X=3)=C岭x9。嗜

故X的分布列为:

X0123

2710814464

P

343343343343

八271108c144。6412

月f以E(X)=0x------F1x--------F2x-------F3x-----=—

3433433433437

16.(本题15分)如图1,在平面四边形R4BC中，PA1AB,CD/IAB,CD=2AB=2~D=2Ar)=4.点£是线

段尸C上靠近P端的三等分点，将△尸DC沿。折成四棱锥尸且AP=2后，连接PA,尸民加，如图

图I图2

(1)在图2中，证明：R4//平面3DE；

18

(2)求图2中，直线AP与平面P3C所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)正

6

【分析】(1)根据线面平行的判定定理证得上4//平面

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线叱与平面P8C所成角的正弦值.

【详解】(1)连接AC交8。于点歹，连接所，AB//CD,CD=2AB,

AF1

ABF.CDF,—=-,

AC3

(2)在图1中，PA±AB,ABHCD,PA±CD,PDLCD,ADLCD,

在图2中，AD=PD=2,PA=2V2,AP2=AD2+DP2,

:.PDLAD,.也门8=骁,4。,。＜=平面48。£),二尸£＞，平面45。£),

4£),。0：平面4861),所以尸r＞_LAD,PD_LC£),而AO_LCZ),

由此以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（2,0,0）,5（220）,C（0,4,0）,尸（0,0,2）,5不=（一2,2,0）,冲=（2,2,—2）,

m-BC=-2x+2y=0

设平面P3C的法向量为加=(x,y,z),贝卜

m•PB=2x+2y-2z=0

可取机=(1,1,2),又转=(一2,0,2),

AP-m

所以cosAP,相=

API-|m|6

19

所以直线"与平面尸5C所成角的正弦值为丑.

6

17.(本题15分)已知函数/'(x)=xe*,xeR.

⑴求函数〃”=北单调区间；

⑵若过点P(lJ)(/eR)可以作曲线y=/(x)的3条切线，求实数》的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间是(-1,y);单调递减区间是(-j-1);(2)]-,，°]

【分析】(1)求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；

(2)设切点坐标为利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程/=研(一片+与+1)有三个不等实数

根，构造函数，将方程根的问题转化为函数、=。，=*(-君+%+1)图像的交点问题，利用导数判断函数的性

质，作出函数图像，数形结合，即可求解.

【详解】⑴函数〃尤)的定义域为R,/(x)=e，+W=e，(x+l),

令『'(x)>0,解得无>T,所以函数的单调递增区间是(-1,+功；

令_f(x)<0,解得x<-l,所以函数外力的单调递减区间是(-e,T)

(2)由题意可得/'(x)=(x+l)e)

设切点坐标为(/,%),则切线斜率左=(%+l)-e拓，

所以切线方程为y-x()e*,

将尸(1J)代入得t=e』(一无；+%+1).

因为存在三条切线，即方程f=e~(-x；+龙。+1)有三个不等实数根，

方程t=e%(-片+%+1)有三个不等实数根等价于函数y=f,y=e乂-片+%+1)的图像有三个交点，

设g(x)=(-炉+x+l)eA,贝！]g,(x)=-(x-l)(%+2)ex,

当xe(-2,1)时,g，(x)>0,g⑺在(-2,1)上单调递增;

在(-00,-2)和(1,+8)上，g'(X)<0,g(X)在(-00,-2)(1,+00)上单调递减，

&(-2)=-旨，g(l)=e；

当彳<子或x>于时，g(x)<0,1<尤时，g(x)>0,

20

当尤--00时，g（x）-0;当时，g（x）--00,

画出g（x）=（-炉+犬+1）/的图象如图，

要使函数y=f,y=eM（-x；+Xo+i）的图像有三个交点，需g⑵<r<0,

即q<r<0,即实数t的取值范围卜go].

【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于根据过点P（iJ）（/eR）可以作曲线y=/（x）的3条切线，求解参数的

范围，解答时要利用导数的几何意义求出切线方程，即要使得方程，=酢（-君+%+1）有三个不等实数根，构

造函数，转化为函数的图像的交点问题，利用导数判断函数性质，数形结合，即可求解.

18.（本题17分）已知抛物线。:9=2/（°>0）过点（1,。），直线/与该抛物线C相交于M,N两点，过点M

作x轴的垂线，与直线y=r交于点G,点M关于点G的对称点为P,且。，N,P三点共线.

（1）求抛物线C的方程；

⑵若过点。（2,0）作。巨，/,垂足为反（不与点。重合），是否存在定点T,使得|阿|为定值？若存在，求出

该定点和该定值；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）y2=4x；（2）存在定点使得为定值，该定值为0

【分析】（1）将点（1,小代入抛物线方程可求出P,从而可求出抛物线方程；

（2）设点手,yj,然后表示出点G,尸的坐标，由O,N,P三点共线，化简可得

2（%+为）+乂%=0,设直线/的方程为x="y+〃，代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系可得"=2"，

则直线I过定点£（0,-2）,从而可得点H的轨迹是以石。为直径的圆.

【详解】（1）因为抛物线。：丫2=2.（0>0）过点。,0）,所以p2=2p,所以p=2,

所以抛物线C的方程为y=4x.

21

⑵设点联立—4,得G3，—A-］，

又因为点M关于点G的对称点为p,所以点yj，

弁v

由O,N,尸三点共线，可得k0N=k°p,即一—=与，

2LA

44

化简得2（乂+%）+%%=。，

［x=my+n

设直线/的方程为x=〃V+〃，联“Jj—©，消去无，得/n_4切-4〃=0,

贝1］公=（4相）2一4X（T"）>0,BPm2+n>0,可得%+%=4%，%%=-4〃，

代入2（乂+%）+%%=°，可得8根—4〃=0,可得力=2:〃，

所以直线/的方程：X=my+n,即x=my+2〃z,则尤=〃《y+2）,

所以直线/过定点醺0,-2）,

因为。以，/,

所以点打的轨迹是以E。为直径的圆（除去E,。两点），圆心为半径为近，

所以存在定点7（1,-1）,使得|“刀为定值，该定值为夜.

【点睛】关键点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的定点问题，解题的关键是将直线方程

代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合。，N,尸三点共线的条件表示出直线方程，从而可求得

直线过的定点.

19.（本题17分）对于一个有穷单调递增正整数数列P,设其各项为％,g,L,«„（«>5）,若数列P中存

22

在不同的四项a0,aq,as,%