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文档简介
福建省福州市2024届高三第三次质量检测数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知复数z满足(z+l)i=l+i,贝!Jz=()
A.-1B.1C.-iD.i
2.已知角以的顶点在坐标原点,始边与1轴非负半轴重合,cosa=为其终
边上一点,则机=()
A.-4B.4C.-1D.1
/+3
3.函数=的图象大致为()
4.在菱形ABCD中,若卜8-=|明,且AD在A8上的投影向量为,则X=()
A.~~B.4C.一包D.立
2222
5.己知。=logs2,)=logz。,。=[g],贝!1()
A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a
6.棱长为1的正方体ABC。-AgGA中,点尸为5R上的动点,。为底面ABC。的中
心,则。尸的最小值为()
A石R戈「瓜n琳
3362
7.若直线丁=办+》与曲线y=e”相切,则〃+人的取值范围为()
A.(-co,e]B.[2,e]C.[e,+oo)D.[2,+oo)
8.函数/(工)=25]!15:(©1110¥+以)5血:)3>0)在(0,鼻)上单调递增,且对任意的实数4,
/(x)在m,a+兀)上不单调,则。的取值范围为()
£5
A.B.c._L*D.
252254
二、多选题
2
9.双曲线C:二1=1(。>0)的左、右焦点分别为用月,且C的两条渐近线的夹角为
a3。
6,若困司=2e«为C的离心率),则()
A.a=lB.崂
C.e=0D.C的一条渐近线的斜率为G
10.定义在R上的函数〃尤)的值域为(y,0),且〃2%)+〃%+h〃工-村=0,则()
A.〃。)=-1B./(4)+[/(1)]2=0
C./(x)/(-%)=1D./(x)+/(-%)<-2
11.投掷一枚质地均匀的硬币三次,设随机变量
-J,黑黑黑(I,",记4表示事件“XT=。”,8表示事件5=1,,,
X.
C表示事件“X+X2+X3=-l”,则()
A.3和C互为对立事件B.事件A和C不互斥
C.事件A和B相互独立D.事件8和C相互独立
三、填空题
12.1+展开式中的常数项为.
13.己知圆锥的体积为立万,且它的侧面展开图是一个半圆,则它的母线长为
3
14.设I,为数列{%}的前几项积,若T.+a“=m,其中常数"2>0,则%=(结果
用机表示);若数列为等差数列,则机=
四、解答题
2乃
15.TWC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asinC=csinB,C=石.
试卷第2页,共4页
⑴求B;
⑵若,13c面积为主叵,求BC边上中线的长.
4
16.如图,在三棱柱ABC-A笈G中,平面Me。,平面460,48=40=6。=^=2,
A^B='Jf).
(1)设。为AC中点,证明:AC1WAOB;
⑵求平面AA片与平面ACC.A夹角的余弦值.
17.从一副扑克牌中挑出4张。和4张K,将其中2张。和2张K装在一个不透明的
袋中,剩余的2张。和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌,若抽出。,
则把它放回袋中:若抽出K,则该扑克牌不再放回,并将袋外的一张。放入袋中.如此
操作若干次,直到将袋中的K全部置换为Q,
(1)在操作2次后,袋中K的张数记为随机变量X,求X的分布列及数学期望;
⑵记事件“在操作”+l(〃eN*)次后,恰好将袋中的K全部置换为。”为4,记
£=P(A).
(i)在第1次取到。的条件下,求总共4次操作恰好完成置换的概率;
(ii)试探究匕+1与巴的递推关系,并说明理由.
18.在直角坐标系xOy中,已知抛物线C:丁2=2"(0>0)的焦点为死过/的直线/
与C交于M,N两点,且当/的斜率为1时,|"N|=8.
⑴求C的方程;
(2)设/与C的准线交于点P,直线P0与C交于点。(异于原点),线段MN的中点为R,
若|少区3,求△MV。面积的取值范围.
19.若实数集4,8对均有(1+a)空1+曲,则称Af8具有Bernoulli
型关系.
⑴若集合M={x|尤叫,N={1,2},判断MfN是否具有Bernoulli型关系,并说明理由;
⑵设集合5=口柱>-1},7={尤«>/},若SfT具有Bernoulli型关系,求非负实数f的
取值范围;
(3)当weN*时,证明:"<n+-
试卷第4页,共4页
参考答案:
1.C
【分析】根据已知条件,结合复数的四则运算,即可求解.
【详解】(z+l)i=l+i,
故选:C.
2.D
【分析】根据已知条件,结合任意角的三角函数的定义,即可求解.
【详解】始边与X轴非负半轴重合,cosa=旦,尸(九2)为其终边上一点,
5
则芳==4,且机>0,解得根=1.
yjm+43
故选:D.
3.A
【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案.
Y2+3
【详解】因为函数=的定义域为R,排除CD,
V%+i
又"-x)=/(x),即/a)为偶函数,图象关于y轴对称,排除B.
故选:A.
4.B
【分析】根据给定条件,结合向量减法可得=再利用投影向量的意义求出力.
【详解】由卜8-4回=|明,得|。@=|叫,而A3CD是菱形,则是正三角形,
于是=工,ADAB=|AD||AB|cos-=-|AB|2,
332
因此4。在AB上的投影向量为四邛=所以2=
|AB|222
故选:B
5.B
【分析】判断出Ovavl,b<0,c>l,即可求解.
答案第1页,共13页
【详解】log5\<a=log52<log55=1,,0<a<1;
Z?=log2a<log2l=0,故b<0;
c=>d'故c>l,故c>a>6.
故选:B.
6.C
【分析】由题意可得OP的最小值为点。到线段BR的距离,借助相似三角形的性质计算即
可得.
【详解】由题意可得。尸的最小值为点0到线段82的距离,
在平面OQ8内过点。作OP,8R于点p,
由题意可得。2=1,DB=6,,BD、=6,平面ABC。,
因为D3u平面ABCD,则因为0pBs.RDB,
OPOB72
故---=----即CP0DD、X1
伙DD]BDT_^.
XBD,6一6
故选:C.
【分析】借助导数的几何意义计算可得a+b=(2-m)e"',借助导数得到函数〃x)=(2-x)e*
的值域即可得解.
【详解】对于y=el有y'=e:令切点为(也门,则切线方程为产6'"(>加)+心,
即y=e"'x+(l-m)e'",即有a+b=e"'=(2—m)e",
令/(尤)=(2-x)e*,则/⑺=(l—x)e"
答案第2页,共13页
当尤<1时,y,(x)>o,当x>i时,,
故〃X)在(-”,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,
故/⑺W/(l)=(2-l)ei=e,
又当x趋向于正无穷大时,“X)趋向于负无穷,
故/(x)e(-oo,e],即a+be(-co,e].
故选:A.
8.D
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得/(x)=2sin(2s-?+6,由题
9/7)777TTT5
意利用正弦函数的单调性可得等-三4],所以。V:,利用正弦函数的周期性可求“X)的
周期T=§<2兀,解得/〉二,即可得解.
2G2
【详解】因为/(九)=2sincox(上sincox+coscox)
=2百sin2cox+2sin5coscox
=sin2a)x-6cos2a)x+5/3
=2sin(26;x-q+6,
又因为且0>0,则2①1一]£[一§,—^—\,
若了⑺在%)上单调递增,
所以一、弓,所以°<o1,
因为对任意的实数。,f(x)在(。,。+兀)上不单调,
所以『3的周期7=三<2无,所以。>彳,
2。2
所以!<0
24
故选:D.
【点睛】关键点点睛:本题考查正弦函数单调性求参数,关键是整体思想的应用及对任意实
数。,/(无)在(。,。+兀)上不单调与周期间的关系.
9.ABD
【分析】求得双曲线的焦点,渐近线方程,结合离心率公式,对选项判断可得结论.
答案第3页,共13页
22,
【详解】双曲线C:t-与=1(“>0)的耳(-2",0),F,(2a,0),e=—=2,
a3aa
由|单冒=2e,可得4a=4,解得a=l,故A正确,C错误;
由双曲线的渐近线方程>=±氐,则两条渐近线的倾斜角为,
ITTT
故两渐近线的夹角为H,可得。=§,故BD正确.
故选:ABD.
10.ACD
【分析】利用赋值法及基本不等式结合选项可得答案.
【详解】令x=y=o,则有/⑼+[/(0)丁=0,解得"0)=0或/(o)=-1,
因为函数/(X)的值域为(—8,。),所以〃0)=-1,A正确;
令x=l,y=0,则有〃2)+[/⑴丁=0,即/(2)=-"⑴T
令x=2,y=0,则有八4)+[/(2)了=0,即〃4)+"(1)]4=0,B不正确;
令x=o,则有f(o)+〃y)/(_y)=o,所以y)=l,即〃X)/(T)=1,C正确;
因为〃x)<0,所以一/(力>0,-/(-x)>0,
所以「〃切+卜〃一切22"(无)=2,当且仅当/(x)=T(r)时,取到等号,
所以/(x)+/(f)<—2,D正确.
故选:ACD
11.BC
【分析】根据题意,由对立事件的定义分析A,由互斥事件的定义分析B,由相互独立事件
的定义分析CD,综合可得答案.
【详解】根据题意,A表示事件“XI+X2=0”,即前两次抛掷中,一次正面,一次反面,则
尸(A)=c;$=g,
B表示事件“乂2=1”,即第二次抛掷中,正面向上,则P(3)=;,
C表示事件“X]+X2+X3=-l",即前三次抛掷中,一次正面,两次反面,P(C)
答案第4页,共13页
依次分析选项:
对于A,事件8、C可能同时发生,则事件3、C不是对立事件,A错误;
对于B,事件A、C可能同时发生,则事件A和C不互斥,B正确;
对于C,事件A8,即前两次抛掷中,第一次反面,第二次正面,P(AB)=gxg=(,
由于尸(A)尸(3)=尸(48),则事件A和8相互独立,C正确;
对于D,事件3C,即三次抛掷中,第一次和第三次反面,第二次正面,P(BC)=ixlxl=l
ZZZO
尸(3)尸(C)wP(BC),事件8、C不是相互独立事件,D错误.
故选:BC.
12.160
【分析】由题意利用二项式定理可得解.
【详解】二项式(x+£|6的展开式的通项公式&=&2,正2,,
令6-2厂=0,可得厂=3,
所以展开式中的常数项为C:X23=160.
故答案为:160.
13.2
【分析】由侧面展开图是一个半圆可得/=2r,再根据体积建立关系即可求出.
【详解】设圆锥的底面半径为人母线长为/,
因为它的侧面展开图是一个半圆,贝1」2口=兀/,即/=2r,
又圆锥的体积为!/产>,/2一/=3,
33
则可解得r=尊=2,故母线长为2.
故答案为:2.
【分析】由已知递推关系分别令〃=1,n=2,〃=3即可求解电,然后结合等差数列的性质
即可求解心,并检验.
【详解】因为I为数列{%}的前〃项积,Tn+an=m,
答案第5页,共13页
几=1时,Tx=ax=—
2m
当冏=2时,(+出=4。2+。2=^。2+。2=根,即%=,
m+2
m
cn-uT2m
〃=3tFJ,A+%=61a2%+%=—x----q+6=根,
1'2m+2'
则n,.右m念(m+篇2),
1211
若数列{书}为等差数列,则7=彳+7
4122123
所以2(m+2)_2+疗+根+2
m2mm3
整理得,m2—3m+2—0>
解得〃z=l或加=2.
T1111
检验:当根=1时,Tn+an=l,贝!时,(+广=1,则1+厂=弘,即〒-〒=1,
11〃-1nn-\
故为以2为首项,1为公差的等差数列;
T12
当机=2时,1+%=2,则〃之2时,]+宣~=2,则1+厂二7
4-14-1
1
故工+^~=2|—+x,得%=—1,
1111
即y--l=22-1,又5=1,故〈2-1卜为常数列,即5=1,易知其为等差数列.
\n74
2m
故答案为:;1或2.
m+2
【点睛】关键点点睛:本题考查数列递推关系求通项,关键是特值思想求值并证明.
71
15.(DB=-
⑵与
【分析】(1)边化角即可得到角B;
(2)根据A=B,得。=),再根据三角形面积公式即可得到a=b=VL再由正弦定理得边
再由2A£>=AB+AC,即可得到答案.
【详解】(1)asinC=csinB,由正弦定理边化角.31145亩。=5111。$1118,
sinCw0,sinA=sinB,
答案第6页,共13页
:.A=B^A+B=TI(舍),
又,3=g
36
JL27T7T
(2)B=-,C=—,A=-,:.a=b,
636
:.S^^-absmC,即型=!/.且,得q=b=G,
2422
ac
由正弦定理一,
sinAsinC
得c=*=3,
sinA
设3c边的中点为。,连接AD,如下图:
2AD=AB+AC,即(2A£>)2=(A8+AC)2,
IP4AD2^c2+b2+2/JCCOSA,解得AO=".
2
16.(1)证明见解析;
⑵£
【分析】(1)根据等边三角形的性质得出3DLAC,根据平面ACC、,平面A3C得出301
平面ACGA,BD±AiD,利用勾股定理得出AC,A。,从而证明AC,平面;
(2)建立空间直角坐标系,利用坐标表示向量,求出平面44瓦的法向量和平面ACGA的
一个法向量,利用向量求平面AA片与平面ACGA的夹角余弦值.
【详解】(1)证明:因为。为AC中点,且AS=AC=3C=2,
所以在10ABe中,有3OLAC,且2。=相,
又平面AceaJ_平面ABC,且平面ACG4I平面ABC=AC,B£)u平面ABC,
所以平面ACGA,
答案第7页,共13页
又ADU平面ACGA,则8。,Al。,
由4台=",BD=-j3,得AD=6,
因为AD=1,AA=2,AD=K,所以由勾股定理,得AC_L4。,
又ACLBD,\D8O=D,AD.BDu平面A。B,所以AC,平面4。8;
(2)如图所示,以。为原点,建立空间直角坐标系。-孙z,
可得A(1,O,O),4(0,0,73),8(0,73,0),
贝|的=(-1,0,⑹,A3=(-1,60),
设平面AAB1的法向量为〃=(x,y'z)’
由(1)知,8£)/平面ACGA,
所以平面ACGA的一个法向量为8。=(0,-6,0),
记平面4人月与平面4口?0的夹角为a,
\n-BD\代卡
则cosa=----------=——产=——,
\n\\BD\V5xV35
所以平面AAB,与平面ACCH夹角的余弦值为£.
513
(2)(i)—:(ii)匕+1=萍"+^匕’理由见解析.
答案第8页,共13页
【分析】(1)由题意可知,X的所有取值为0,1,2,求出相应的概率,进而得到X的分布
列,再结合期望公式求出E(X)即可;
(2)(i)利用条件概率公式求解;
(ii)设事件B表示“"次操作后袋中还剩1张K”,则尸(B)=4匕,£向为〃+2次操作
后,恰好将袋中的K全部置换为Q,分2种情况求得月.=熹+P(B)x^,代入尸(8)
216
=4R,即可得到向与尸”的递推关系.
【详解】(1)由题意可知,X的所有取值为0,1,2,
71199935??1
贝|尸(*=0)=1,1=3,P(X=l)=-x-+-x-=-,X=2)=-x-=-,
448444484P4(4
所以X的分布列为:
1519
所以^(X)=0x-+lx-+2x—=—;
oo4o
(2)(i)记事件E表示“第1次取到Q”,事件/表示“总共4次操作恰好完成置换”,
则尸(E)=;,
依题意,若第一次取到Q,则剩余的3次操作,须将袋中K全部置换为Q,
①若第二次也取出Q,则第三次和第四次均须取出K,
廿如4AL12211
—2X—4X—4X—4=-3--2--,
②若第二次取出K,则第三次取出。,第四次取出K,
其概率为工x2x3xLa
KI—八244464
135
综上所述,P(EF)=------1------=—
326464
5
一5
所以P(F|E)="^=64-一
一1
P(E)32
2-
即在第1次取到Q的条件下,总共4次操作恰好完成置换的概率为卷;
13
(ii)%=哀+衿理由如下:
答案第9页,共13页
设事件8表示“〃次操作后袋中还剩1张K”,
依题意,匕为〃+1次操作后,恰好将袋中的K全部置换为Q,而发生这样的情况需“次操作
后袋中还剩1张K,且第〃+1次抽中K,
则勺=;尸(8),即尸(8)=4匕,
匕为〃+2次操作后,恰好将袋中的K全部置换为Q,发生这样需2种情况:
①“次操作后袋中还剩2张K(即前"次全取Q,概率为/),并且第〃+1次和〃+2次全取
K,
②"次操作后袋中还剩1张K,第"+1次取。,第九+2次取K,
Io1aila
所以2+1=-^x-x-+尸(B)x-x-=——+P(B)x—
〃同2"44442计3v716
1Q
又因为尸(8)=4月,所以以=击+制.
18.(l)/=4x
(2)(2,673]
【分析】(1)设出直线方程,联立抛物线方程,得到两根之和,两根之积,由焦点弦长公式
得到方程,求出。=2,得到答案;
(2)在(1)基础上得到R(2加2+1,2时,进而求出Q(m2,2m),故QR〃犬轴,得到必|=疗+1,
表达出5"畋=2(疗+1)-"U=2|Q珅,结合1<|QR|V3,得到答案.
【详解】(1)因为过尸的直线/与C交于M,N两点,故直线/的斜率不为0,
不妨设/的方程为无=殁+言,,N(x2,y2),
联立/与C的方程,得9-2“卯y-p2=0,
2m
yi+y2=P>%%=-/,
贝=玉+尤2+/?=机(y+、2)+22=2"疗+1),
.••由题可知当根=1时,|肱V|=8,
:•P=2,
答案第10页,共13页
・,・C的方程为,2=4%.
(2)由(1)知力=/;%=2m,
将R的纵坐标2+代入口=冲+1,得网2m2卡1,2时,
易知C的准线方程为4-1,又/与。的准线交于点P,
IT]
则直线。尸的方程为x=联立。尸与C的方程,得产=2冲,
:.Q,R的纵坐标相等,
...直线QR〃x轴,
2
.•.幽=|2m+l-trr\=nr+l,
•点。异于原点,
m0,
:侬<3,
•••2<2以屋6白,即$MNQ£(2,.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:
(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;
(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,
再求这个函数的最值或范围.
19.⑴具有Bernoulli型关系,理由见解析;
答案第11页,共13页
(2)口,+8)
(3)证明见解析
【分析】(1)根据定义判断是否满足(1+/21+仍即可;
(2)4f(x)=(l+x)b-bx-],xeS,Z?e(O,-H»),再对其求导,分6=1,b〉l,0<b<l=
种情况分析单调性及最值,即可求解;
(3)化简(7抬/=(1+5/,可得《>_1且根据(2)中的结论,可得
(1+J_)i<l+J_.±=l+_L,再根据%的范围求出击的范围,进而可求出(1+5声的范围,
最后可得不(7袅尸的范围.
【详解】(1)依题意,MfN是否具有Be77Toidli型关系,等价于判定以下两个不等式对于
Vx>l是否均成立:
®(1+x)1>1+x,(2)(1+尤)?>1+2x,
>1,(1+x)1=1+x,(1+x)2—l+2x+x2>1+2%
MfN具有Bernoulli型关系.
(2)令/(x)=(1+x)”-fcv-1,xeS,be(0,-H»),
则r(x)=fe[(l+x)w-l],
①当6=1时,显然有(1+a)”=1
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