福建省福州市2024届高三第三次质量检测数学试题（含答案解析）

福建省福州市2024届高三第三次质量检测数学试题

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一、单选题

1.已知复数z满足(z+l)i=l+i,贝！Jz=()

A.-1B.1C.-iD.i

2.已知角以的顶点在坐标原点，始边与1轴非负半轴重合,cosa=为其终

边上一点，则机=()

A.-4B.4C.-1D.1

/+3

3.函数=的图象大致为()

4.在菱形ABCD中，若卜8-=|明，且AD在A8上的投影向量为,则X=()

A.~~B.4C.一包D.立

2222

5.己知。=logs2,)=logz。,。=[g]，贝!1()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

6.棱长为1的正方体ABC。-AgGA中，点尸为5R上的动点，。为底面ABC。的中

心，则。尸的最小值为()

A石R戈「瓜n琳

3362

7.若直线丁=办+》与曲线y=e”相切，则〃+人的取值范围为()

A.(-co,e]B.[2,e]C.[e,+oo)D.[2,+oo)

8.函数/(工)=25]!15：(©1110¥+以)5血：)3>0)在(0,鼻)上单调递增，且对任意的实数4,

/（x）在m,a+兀）上不单调，则。的取值范围为（）

£5

A.B.c._L*D.

252254

二、多选题

2

9.双曲线C:二1=1（。>0）的左、右焦点分别为用月，且C的两条渐近线的夹角为

a3。

6,若困司=2e«为C的离心率），则（）

A.a=lB.崂

C.e=0D.C的一条渐近线的斜率为G

10.定义在R上的函数〃尤）的值域为（y,0）,且〃2%）+〃%+h〃工-村=0,则（）

A.〃。)=-1B./(4)+[/(1)]2=0

C./(x)/(-%)=1D./(x)+/(-%)<-2

11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量

-J,黑黑黑（I，",记4表示事件“XT=。”,8表示事件5=1，，,

X.

C表示事件“X+X2+X3=-l”,则()

A.3和C互为对立事件B.事件A和C不互斥

C.事件A和B相互独立D.事件8和C相互独立

三、填空题

12.1+展开式中的常数项为.

13.己知圆锥的体积为立万，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为

3

14.设I,为数列｛%｝的前几项积，若T.+a“=m,其中常数"2>0,则%=（结果

用机表示）；若数列为等差数列，则机=

四、解答题

2乃

15.TWC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asinC=csinB,C=石.

试卷第2页，共4页

⑴求B;

⑵若，13c面积为主叵，求BC边上中线的长.

4

16.如图，在三棱柱ABC-A笈G中，平面Me。，平面460,48=40=6。=^=2,

A^B='Jf).

(1)设。为AC中点，证明：AC1WAOB；

⑵求平面AA片与平面ACC.A夹角的余弦值.

17.从一副扑克牌中挑出4张。和4张K,将其中2张。和2张K装在一个不透明的

袋中，剩余的2张。和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出。，

则把它放回袋中：若抽出K,则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张。放入袋中.如此

操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q,

(1)在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X,求X的分布列及数学期望；

⑵记事件“在操作”+l(〃eN*)次后，恰好将袋中的K全部置换为。”为4,记

£=P(A).

(i)在第1次取到。的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；

(ii)试探究匕+1与巴的递推关系，并说明理由.

18.在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：丁2=2"(0>0)的焦点为死过/的直线/

与C交于M,N两点，且当/的斜率为1时，|"N|=8.

⑴求C的方程；

(2)设/与C的准线交于点P,直线P0与C交于点。(异于原点)，线段MN的中点为R,

若|少区3,求△MV。面积的取值范围.

19.若实数集4,8对均有(1+a)空1+曲，则称Af8具有Bernoulli

型关系.

⑴若集合M={x|尤叫,N={1,2},判断MfN是否具有Bernoulli型关系，并说明理由;

⑵设集合5=口柱>-1},7={尤«>/},若SfT具有Bernoulli型关系，求非负实数f的

取值范围;

(3)当weN*时，证明："<n+-

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

【详解】(z+l)i=l+i,

故选：C.

2.D

【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解.

【详解】始边与X轴非负半轴重合，cosa=旦,尸(九2)为其终边上一点，

5

则芳==4，且机>0,解得根=1.

yjm+43

故选：D.

3.A

【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案.

Y2+3

【详解】因为函数=的定义域为R,排除CD,

V%+i

又"-x)=/(x)，即/a)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B.

故选：A.

4.B

【分析】根据给定条件，结合向量减法可得=再利用投影向量的意义求出力.

【详解】由卜8-4回=|明，得|。@=|叫，而A3CD是菱形，则是正三角形，

于是=工，ADAB=|AD||AB|cos-=-|AB|2,

332

因此4。在AB上的投影向量为四邛=所以2=

|AB|222

故选：B

5.B

【分析】判断出Ovavl,b<0,c>l,即可求解.

答案第1页，共13页

【详解】log5\<a=log52<log55=1,，0<a<1；

Z?=log2a<log2l=0,故b<0；

c=>d'故c>l，故c>a>6.

故选：B.

6.C

【分析】由题意可得OP的最小值为点。到线段BR的距离，借助相似三角形的性质计算即

可得.

【详解】由题意可得。尸的最小值为点0到线段82的距离，

在平面OQ8内过点。作OP，8R于点p,

由题意可得。2=1,DB=6,，BD、=6，平面ABC。,

因为D3u平面ABCD,则因为0pBs.RDB,

OPOB72

故---=----即CP0DD、X1

伙DD]BDT_^.

XBD,6一6

故选：C.

【分析】借助导数的几何意义计算可得a+b=（2-m）e"',借助导数得到函数〃x）=（2-x）e*

的值域即可得解.

【详解】对于y=el有y'=e：令切点为（也门，则切线方程为产6'"（>加）+心，

即y=e"'x+（l-m）e'",即有a+b=e"'=（2—m）e",

令/（尤）=（2-x）e*,则/⑺=（l—x）e"

答案第2页，共13页

当尤<1时，y,(x)>o,当x>i时，,

故〃X)在(-”,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故/⑺W/(l)=(2-l)ei=e,

又当x趋向于正无穷大时，“X)趋向于负无穷，

故/(x)e(-oo,e],即a+be(-co,e].

故选：A.

8.D

【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得/(x)=2sin(2s-?+6,由题

9/7)777TTT5

意利用正弦函数的单调性可得等-三4],所以。V：,利用正弦函数的周期性可求“X)的

周期T=§<2兀，解得/〉二,即可得解.

2G2

【详解】因为/(九)=2sincox(上sincox+coscox)

=2百sin2cox+2sin5coscox

=sin2a)x-6cos2a)x+5/3

=2sin(26;x-q+6,

又因为且0>0,则2①1一]£[一§,—^—\,

若了⑺在%)上单调递增，

所以一、弓，所以°<o1，

因为对任意的实数。，f(x)在(。，。+兀)上不单调，

所以『3的周期7=三<2无，所以。>彳，

2。2

所以！<0

24

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实

数。，/(无)在(。,。+兀)上不单调与周期间的关系.

9.ABD

【分析】求得双曲线的焦点，渐近线方程，结合离心率公式，对选项判断可得结论.

答案第3页，共13页

22,

【详解】双曲线C：t-与=1(“>0)的耳(-2",0),F,(2a,0),e=—=2,

a3aa

由|单冒=2e,可得4a=4,解得a=l,故A正确，C错误；

由双曲线的渐近线方程>=±氐,则两条渐近线的倾斜角为,

ITTT

故两渐近线的夹角为H，可得。=§,故BD正确.

故选：ABD.

10.ACD

【分析】利用赋值法及基本不等式结合选项可得答案.

【详解】令x=y=o,则有/⑼+[/(0)丁=0,解得"0)=0或/(o)=-1,

因为函数/(X)的值域为(—8,。)，所以〃0)=-1,A正确；

令x=l,y=0,则有〃2)+[/⑴丁=0,即/(2)=-"⑴T

令x=2,y=0,则有八4)+[/(2)了=0,即〃4)+"(1)]4=0,B不正确；

令x=o,则有f(o)+〃y)/(_y)=o,所以y)=l,即〃X)/(T)=1,C正确;

因为〃x)<0,所以一/(力>0,-/(-x)>0,

所以「〃切+卜〃一切22"(无)=2,当且仅当/(x)=T(r)时，取到等号，

所以/(x)+/(f)<—2,D正确.

故选：ACD

11.BC

【分析】根据题意，由对立事件的定义分析A,由互斥事件的定义分析B,由相互独立事件

的定义分析CD,综合可得答案.

【详解】根据题意，A表示事件“XI+X2=0”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则

尸(A)=c；$=g,

B表示事件“乂2=1”，即第二次抛掷中，正面向上，则P(3)=；,

C表示事件“X]+X2+X3=-l"，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，P(C)

答案第4页，共13页

依次分析选项：

对于A,事件8、C可能同时发生，则事件3、C不是对立事件，A错误；

对于B,事件A、C可能同时发生，则事件A和C不互斥，B正确；

对于C,事件A8,即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，P(AB)=gxg=(,

由于尸(A)尸(3)=尸(48),则事件A和8相互独立，C正确；

对于D,事件3C,即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，P(BC)=ixlxl=l

ZZZO

尸(3)尸(C)wP(BC),事件8、C不是相互独立事件，D错误.

故选：BC.

12.160

【分析】由题意利用二项式定理可得解.

【详解】二项式(x+£|6的展开式的通项公式&=&2,正2,,

令6-2厂=0,可得厂=3,

所以展开式中的常数项为C：X23=160.

故答案为：160.

13.2

【分析】由侧面展开图是一个半圆可得/=2r,再根据体积建立关系即可求出.

【详解】设圆锥的底面半径为人母线长为/,

因为它的侧面展开图是一个半圆，贝1」2口=兀/,即/=2r,

又圆锥的体积为！/产＞，/2一/=3,

33

则可解得r=尊=2,故母线长为2.

故答案为：2.

【分析】由已知递推关系分别令〃=1,n=2,〃=3即可求解电，然后结合等差数列的性质

即可求解心，并检验.

【详解】因为I为数列｛%｝的前〃项积，Tn+an=m,

答案第5页，共13页

几=1时，Tx=ax=—

2m

当冏=2时，（+出=4。2+。2=^。2+。2=根，即%=,

m+2

m

cn-uT2m

〃=3tFJ，A+%=61a2%+%=—x----q+6=根，

1'2m+2'

则n,.右m念（m+篇2），

1211

若数列｛书｝为等差数列，则7=彳+7

4122123

所以2(m+2)_2+疗+根+2

m2mm3

整理得，m2—3m+2—0>

解得〃z=l或加=2.

T1111

检验：当根=1时，Tn+an=l,贝！时，（+广=1,则1+厂=弘，即〒-〒=1,

11〃-1nn-\

故为以2为首项，1为公差的等差数列;

T12

当机=2时，1+%=2,则〃之2时，］+宣~=2,则1+厂二7

4-14-1

1

故工+^~=2|—+x,得％=—1,

1111

即y--l=22-1,又5=1,故〈2-1卜为常数列，即5=1,易知其为等差数列.

\n74

2m

故答案为:;1或2.

m+2

【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推关系求通项，关键是特值思想求值并证明.

71

15.(DB=-

⑵与

【分析】（1）边化角即可得到角B；

（2）根据A=B,得。=），再根据三角形面积公式即可得到a=b=VL再由正弦定理得边

再由2A£>=AB+AC，即可得到答案.

【详解】（1）asinC=csinB,由正弦定理边化角.31145亩。=5111。$1118,

sinCw0,sinA=sinB,

答案第6页，共13页

：.A=B^A+B=TI(舍)，

又，3=g

36

JL27T7T

(2)B=-,C=—,A=-,:.a=b,

636

：.S^^-absmC,即型=!/.且，得q=b=G，

2422

ac

由正弦定理一,

sinAsinC

得c=*=3,

sinA

设3c边的中点为。，连接AD,如下图:

2AD=AB+AC，即(2A£>)2=(A8+AC)2,

IP4AD2^c2+b2+2/JCCOSA,解得AO=".

2

16.(1)证明见解析;

⑵£

【分析】(1)根据等边三角形的性质得出3DLAC,根据平面ACC、，平面A3C得出301

平面ACGA，BD±AiD,利用勾股定理得出AC，A。，从而证明AC,平面；

(2)建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面44瓦的法向量和平面ACGA的

一个法向量，利用向量求平面AA片与平面ACGA的夹角余弦值.

【详解】(1)证明：因为。为AC中点，且AS=AC=3C=2,

所以在10ABe中，有3OLAC,且2。=相，

又平面AceaJ_平面ABC,且平面ACG4I平面ABC=AC，B£)u平面ABC,

所以平面ACGA,

答案第7页，共13页

又ADU平面ACGA，则8。，Al。,

由4台="，BD=-j3,得AD=6，

因为AD=1,AA=2,AD=K,所以由勾股定理，得AC_L4。，

又ACLBD,\D8O=D，AD.BDu平面A。B,所以AC,平面4。8；

(2)如图所示，以。为原点，建立空间直角坐标系。-孙z,

可得A(1,O,O),4(0,0,73),8(0,73,0),

贝|的=(-1,0,⑹,A3=(-1,60),

设平面AAB1的法向量为〃=(x,y'z)’

由(1)知，8£)/平面ACGA，

所以平面ACGA的一个法向量为8。=(0,-6,0),

记平面4人月与平面4口?0的夹角为a,

\n-BD\代卡

则cosa=----------=——产=——,

\n\\BD\V5xV35

所以平面AAB,与平面ACCH夹角的余弦值为£.

513

(2)(i)—:(ii)匕+1=萍"+^匕’理由见解析.

答案第8页，共13页

【分析】(1)由题意可知，X的所有取值为0,1,2,求出相应的概率，进而得到X的分布

列，再结合期望公式求出E(X)即可；

(2)(i)利用条件概率公式求解；

(ii)设事件B表示“"次操作后袋中还剩1张K”，则尸(B)=4匕，£向为〃+2次操作

后，恰好将袋中的K全部置换为Q,分2种情况求得月.=熹+P(B)x^,代入尸(8)

216

=4R,即可得到向与尸”的递推关系.

【详解】(1)由题意可知，X的所有取值为0,1,2,

71199935??1

贝|尸(*=0)=1,1=3，P(X=l)=-x-+-x-=-,X=2)=-x-=-,

448444484P4(4

所以X的分布列为：

1519

所以^(X)=0x-+lx-+2x—=—；

oo4o

(2)(i)记事件E表示“第1次取到Q”，事件/表示“总共4次操作恰好完成置换”，

则尸(E)=；,

依题意，若第一次取到Q,则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q,

①若第二次也取出Q,则第三次和第四次均须取出K,

廿如4AL12211

—2X—4X—4X—4=-3--2--,

②若第二次取出K,则第三次取出。，第四次取出K,

其概率为工x2x3xLa

KI—八244464

135

综上所述,P(EF)=------1------=—

326464

5

一5

所以P(F|E)="^=64-一

一1

P(E)32

2-

即在第1次取到Q的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为卷;

13

(ii)%=哀+衿理由如下：

答案第9页，共13页

设事件8表示“〃次操作后袋中还剩1张K”，

依题意，匕为〃+1次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q,而发生这样的情况需“次操作

后袋中还剩1张K,且第〃+1次抽中K,

则勺=；尸（8）,即尸（8）=4匕，

匕为〃+2次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q,发生这样需2种情况：

①“次操作后袋中还剩2张K（即前"次全取Q,概率为/）,并且第〃+1次和〃+2次全取

K,

②"次操作后袋中还剩1张K,第"+1次取。，第九+2次取K,

Io1aila

所以2+1=-^x-x-+尸（B）x-x-=——+P（B）x—

〃同2"44442计3v716

1Q

又因为尸（8）=4月，所以以=击+制.

18.（l）/=4x

（2）（2,673]

【分析】（1）设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦点弦长公式

得到方程，求出。=2,得到答案；

（2）在（1）基础上得到R（2加2+1,2时，进而求出Q（m2,2m），故QR〃犬轴，得到必|=疗+1,

表达出5"畋=2（疗+1）-"U=2|Q珅，结合1<|QR|V3,得到答案.

【详解】（1）因为过尸的直线/与C交于M,N两点，故直线/的斜率不为0,

不妨设/的方程为无=殁+言，,N（x2,y2）,

联立/与C的方程，得9-2“卯y-p2=0,

2m

yi+y2=P>%%=-/，

贝=玉+尤2+/?=机（y+、2）+22=2"疗+1）,

.••由题可知当根=1时，|肱V|=8,

:•P=2,

答案第10页，共13页

・,・C的方程为,2=4%.

(2)由(1)知力=/；%=2m,

将R的纵坐标2+代入口=冲+1,得网2m2卡1,2时，

易知C的准线方程为4-1,又/与。的准线交于点P,

IT]

则直线。尸的方程为x=联立。尸与C的方程，得产=2冲,

：.Q,R的纵坐标相等，

...直线QR〃x轴，

2

.•.幽=|2m+l-trr\=nr+l,

•点。异于原点,

m0,

:侬<3,

•••2<2以屋6白,即$MNQ£(2,.

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决;

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数,

再求这个函数的最值或范围.

19.⑴具有Bernoulli型关系,理由见解析；

答案第11页，共13页

(2)口，+8)

(3)证明见解析

【分析】(1)根据定义判断是否满足(1+/21+仍即可；

(2)4f(x)=(l+x)b-bx-],xeS,Z?e(O,-H»),再对其求导，分6=1,b〉l,0<b<l=

种情况分析单调性及最值，即可求解；

(3)化简(7抬/=(1+5/，可得《>_1且根据(2)中的结论，可得

(1+J_)i<l+J_.±=l+_L,再根据％的范围求出击的范围，进而可求出(1+5声的范围,

最后可得不(7袅尸的范围.

【详解】(1)依题意，MfN是否具有Be77Toidli型关系,等价于判定以下两个不等式对于

Vx>l是否均成立：

®(1+x)1>1+x,(2)(1+尤)？>1+2x,

>1,(1+x)1=1+x,(1+x)2—l+2x+x2>1+2%

MfN具有Bernoulli型关系.

(2)令/(x)=(1+x)”-fcv-1,xeS,be(0,-H»),

则r(x)=fe[(l+x)w-l],

①当6=1时，显然有(1+a)”=1