2024年辽宁省本溪市九年级中考一模考前数学模拟预测题

辽宁省本溪市2024中考一模考前数学摸底卷

一.选择题（共10小题共30分）

1.如图，数轴上表示-3的点/到原点的距离是（）

A

---1i-----1-----1----1------1>

-4-3-2-101

,11

A.—3B.3C.—D.一

33

2.从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体

图形是（）

从

从

正

左

面

面

看

看

从上面看

3.下列所给的汽车标志中，不是轴对称图形是（）

A分BQ）C.aDR

4.下列计算正确的是（）

325A4A

A././=/B.（“3）4=/c.a+a=aD.a+a=2a

5.关于x的方程x2-2x-2=0的根的情况是（）

A.有两个不等实根B.有两个相等实根

C.没有实数根D.无法判断根的情况

6.已知关于x的分式方程———7=1无解，则小的值是（）

x-1x-1

A.1B.1或2C.0或2D.0或1

7.如图，抛物线y=Q%2+桁+。与直线歹=近交于N两点,则二次函数+

（b-k）x+c的图象可能是（）

试卷第1页，共6页

y

M

8.如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设

入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为M=kAx,y2=k2x,则关于左与k2的关系,

正确的是()

A.k2＜0＜ktB.匕＜0＜色C./＜左2＜。D,左2＜/＜。

9.如图，在A43C中，AB=AC,AE=2,BE=1,观察尺规作图的痕迹，则EC的长度是

()

试卷第2页，共6页

A.2B.3C.V3D.

10.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问

折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处

离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺.

A.4B.3.6C.4.5D.4.55

二.填空题（共5小题，共15分）

11.因式分解：ax1-4ax+4a=.

12.已知点尸（-5,2）关于原点的对称点为N（a,b）,则a+6=.

13.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的2个红球和3个白球，搅匀后从中摸出

一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是.

14.如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，44=90。，ZAOB=30。，

k

OB=4.若反比例函数y=（（左w0）的图象经过04的中点C,交N2于点。，则k=.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,在矩形内有一点P,同时满足尸C=8C

，//尸5=90°,延长CP交AD于点E,则CE=.

三.解答题（共8小题，共75分）

16.计算

试卷第3页，共6页

⑴2x(-3)2-4x(-4)+12；

Va-\)a-a

17.某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书.购买2本甲种书和1本乙种

书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元.

(1)求甲、乙两种书的单价；

(2)学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最

多可以购买多少本乙种书？

18.某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的

掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试,满分100

分，成绩整理分析过程如下，请补充完整：

【收集数据】七年级20名学生测试成绩统计如下：

67,58,64,56,69,70,95,84,74,77,78,78,71,86,91,86,86,92,86,

70

【整理数据】按照如下分数段整理、描述两组样本数据:

5060708090

成绩

七年级23753

八年级04574

【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示:

年级平均数中位数众数方差

七年级76.9ab126.2

八年级79.28174100.4

(1)请直接写出。，b的值;

(2)根据抽样调查数据，估计七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及其以上的大约有

多少人？

(3)通过以上分析，你认为哪个年级对垃圾分类知识掌握得更好，并说明推断的合理

性(说明两条理由即可).

19.2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格

购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件,

试卷第4页，共6页

6月份的销售量为400件.

(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价

1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？

20.北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用

户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、

导航、授时服务.如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达/地后，导航显示车辆

应沿北偏西45。方向行驶10千米至8地，再沿北偏东60。方向行驶一段距离到达风景区

C，小敏发现风景区C在/地的北偏东15。方向.

AC

北

寸15。

才一

(1)求/C的度数；

(2)求8,C两地的距离.(如果运算结果有根号，请保留根号)

21.如图，AD是“BC外接圆。的直径，尸是4D延长线上一点，连接C。、CF,其

中CF是。。的切线.

⑴求证：ZDCF=ACAD.

3

(2)若cos5=y,40=7,求FD的长.

22.综合与实践

问题情境：在中，乙8/C=90。，AB=6,AC=8.直角三角板£7站中乙E7W=90。,

将三角板的直角顶点。放在必A43C斜边3c的中点处，并将三角板绕点。旋转，三

角板的两边。£,。尸分别与边N8,/C交于点M,N,猜想证明：

试卷第5页，共6页

的形状，并说明理由;

问题解决:

(2)如图②，在三角板旋转过程中，当乙8=/地次时，求线段CN的长；

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当/〃=/N时，直接写出线段ZN的长.

23.如图1,抛物线y=x2+6x+c与x轴交于A、5两点，B点的坐标为(3,0),与丁轴

交于点。(0,—3)

(1)求抛物线的关系式；

(2)河是第四象限抛物线上一点，当四边形/BMC的面积最大时，求点M的坐标和四边

形/BMC的最大面积；

⑶如图2,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APBC是以3c为斜边的直角三角形?

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

1.B

【分析】此题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义即可得到结论.

【详解】解：数轴上表示-3的点/到原点的距离是3,

故选：B

2.C

【分析】

本题考查从不同方向看，关键是根据平时从不同方向看几何体得到的图形解答.根据从物体

正面、左面和上面看，所得到的图形，进行分析即可得答案.

【详解】解一个立体图形从正面、左面看到的平面图形是长方形，从上面看到的平面图形

是一个三角形，则这个立体图形是有两个底面是三角形的三棱柱.

故选：C.

3.B

【分析】

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图

形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A,C,D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，所以不是轴对称图形；

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合.

4.D

【分析】

利用同底数塞乘法法则，幕的乘方法则及合并同类项法则将各式计算后进行判断即可.

【详解】解：人错误，故不符合要求；

（片）4=32力。7,B错误，故不符合要求；

a3+a2^a5,C错误，故不符合要求；

a4+a4=2a4,D正确，故符合要求；

答案第1页，共17页

故选：D.

【点睛】本题考查同底数幕乘法，幕的乘方及合并同类项.熟练掌握相关运算法则是解题的

关键.

5.A

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.

【详解】解：•・・△=（-2『-4x1x（-2）=12>0,

.•.方程有两个不相等的实数根.

故选A.

【点睛】考查一元二次方程+云+c=0（。N0）根的判别式A=〃一4四,

当A=62-4ac>o时，方程有两个不相等的实数根.

当△=〃-4"c=0时，方程有两个相等的实数根.

当/=〃一4”<0时，方程没有实数根.

6.B

【分析】

去分母，化分式方程为整式方程（机-l）x=l,根据分式方程产生增根X=1或"Ll=0,即可

求解.

【详解】

解：当-\1,

X—1X—1

方程两边同时乘以（X-1）,得加x-2=x-l,

移项、合并同类项，得（"Ll）x=l,

•••方程无解，

x-l=0或机-1=0,

m-1=1或7〃=1,

7W=2或加=1,

故选：B.

【点睛】

本题考查了分式方程无解问题，分两种情况一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程

无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为

答案第2页，共17页

0,是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键.

7.A

【分析】根据抛物线y=ax?+6x+c与直线>=履交于M,N两点，可得方程ax?+6x+c=

质有两个不等的实数根，从而可判断；

【详解】由图像可知a>0,b>0,c>0,k<Q,则b—%>0,可排除选项8、D,由图像可

知抛物线了=。％2+bx+c与直线y=Ax有两个不同的交点，则一元二次方程ax2+bx+c=kx

有两个不等的实数根，即一元二次方程a/+（6—左）x+c=0有两个不等的实数根，所以

二次函数+（6-左）x+c的图象与x轴有两个交点，故选/.

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求

解是解题的关键.

8.D

【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即

可求解.

【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为"（加<。）的两个点/和8,

则/（加,左加），B^m,k2m）,

•・•k{m<k2m,

:.k1>k29

当取横坐标为正数时，同理可得匕〉左2，

综上所述，0>々>与

故选：D

【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标

的大小关系得到比例系数的关系.

答案第3页，共17页

9.D

【分析】根据作图判断出CE1/2,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：由作图知，CELAB,

■：AB=AC,AE=2,BE=l,

；.AB=AC=AE+BE=3,

由勾股定理得：EC=yjAC2-AE2=初4=V5，

故选：D.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

10.D

【分析】根据题意作出图形，设折断处离地面x尺，则/2=(10-x)尺，根据勾股定理求

解即可。

【详解】如图，由题意得：NACB=90°,BC=3尺,NC+4B=10尺，

cKB

设折断处离地面x尺，则N8=(10-x)尺，

在Rt448C中，由勾股定理得：x2+32=(10-x)2,

解得：x=4.55,

即折断处离地面4.55尺.

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程求解是解题的关键.

11.a(x-2)2

【分析】原式提取。，再利用完全平方公式分解即可.

【详解】解：原式=a(x2-4x+4)="(x-2)2,

故答案为：a(x-2)2.

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

答案第4页，共17页

关键.

12.3

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可求得。、6的值，再计

算加法即可.

【详解】解：由题意得：尸（-5,2）关于原点的对称点N的坐标为（5,-2）,

所以a=5,b=-2.

所以a+b=5-2=3.

故答案是：3.

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律关于

x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标

互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

■

【分析】

列举出所有可能的结果，进而求出“两次都摸出白球”的概率.

【详解】

红红白白白

红红红红红红白红白红白

红红红红红红白红白红白

白白红白红白白白白白白

白白红白红白白白白白白

白白红白红白白白白白白

由表格可知，共有25种结果，两次都摸出白球的结果有9种，

所以，两次都摸出白球概率是》9

9

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确列出所有可能

的结果.

答案第5页，共17页

14.亚

4

【分析】作CE，08交08于点E,根据题意可得Q4=O"COS3(F=4X@=2G，由点C

2

为04的中点，可得。C=VL在RSOCE中，通过解直角三角形可得CE=@,0E=-,

22

从而得到点C联号，代入函数解析式即可得到答案.

【详解】解：如图，作CELO3交05于点E,

•••=90°,ZAOB=30°,0B=4,

巧

:.OA=OB-cos30o=4x—=2y5,

2

•・•点C为。4的中点，

(9C=-O^=-X2A/3=V3,

22

­••CE1OB,

Z.OEC=90°,

ZCOE=30°,

:.CE=-OC=-xy/3=—,(9£,=OC-COS30O=A/3X—=i,

22222

邛当，

122J

•・•点C在反比例函数图象上,

,3V3373

..K=-X--=---

224

故答案为：递.

4

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的

图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键.

答案第6页，共17页

13

15.—

3

【分析】延长AP交CD于F,根据已知条件得到NCPF+NCPB=90。，根据矩形的性质得到

ZDAB=ZABC=9O°,BC=AD=3,根据余角的性质得到NEAP=NABP,推出AE=PE,根据勾

股定理CD2+DE2=CE2即可求出AE的长，继而得到结论.

【详解】解：延长AP交CD于F,

.-.ZFPB=9O°,

/.zCPF+zCPB=90°,

•・•四边形ABCD是矩形，

・・・4DAB=4ABC=90。，BC=AD=3,

.,.zEAP+zBAP=z.ABP+zBAP=90°,

.,.ZEAP=ZABP,

・.・CP=CB=3,

/.ZCPB=ZCBP,

.*.zCPF=z.ABP=zEAP,

vzEPA=zCPF,

.,.Z.EAP=Z.APE,

・・.AE=PE,

vCD2+DE2=CE2,

.-.42+(3-AE)2=(3+AE)2,

13

故答案为：—

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质

答案第7页，共17页

是解题的关键.

16.(1)46

【分析】

本题考查有理数的混合运算，分式的混合运算.

(1)先算乘方，再算乘法，最后计算加法即可；

(2)先将括号内通分，计算分式的减法，再将除法转化为乘法，将分子与分母因式分解后

再约分即可.

【详解】(1)解：原式=2X9-4X(-4)+12

=18+16+12

=46；

Q(Q-1)

(2)解:

+2)(。—2)

a-2-1)

Q—1(6Z+2)(Q—2)

17.(1)甲种书为每本25元，乙种书为每本50元

(2)40本

【分析】

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用；

(1)等量关系式：购买2本甲种书的费用+购买1本乙种书的费用=100元；购买3本甲种

书的费用+购买2本乙种书的费用=175元；据此列出方程组，解方程组，即可求解；

(2)不等关系式：购买甲种书的费用+购买乙种书的费用V2500元；据此列出不等式，解

不等式，即可求解；

找出等量关系式和不等关系式是解题的关键.

【详解】(1)解：设甲种书为每本x元，乙种书为每本丁元，由题意得

2%+>=100

3x+2y=175

答案第8页，共17页

答：甲种书为每本25元，乙种书为每本50元.

(2)解：设购买乙种书每。本，购买甲种书(60-。)本，由题意得

25(60-a)+50。<2500,

解得：a<40,

；。为整数，

二。取40,

答：该校最多可以购买40本乙种书.

18.(1)a=77.5,6=86,(2)200人，(3)八年级对垃圾分类知识掌握得更好.理由见解

析.

【分析】(1)根据中位数、众数的意义可求；

(2)求出样本中七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及其以上的百分比，再用它来估计总

体；

(3)根据平均数和方差可判断.

【详解】解：(1)将七年级的数据从小到大排列，

56,58,64,67,69,70,70,71,74,77,

78,78,84,86,86,86,86,91,92,95.

中位数是：(77+78)+2=77.5,众数是:86,

故a=77.5,6=86.

Q

(2)500x—=200(人)

答：根据抽样调查数据，估计七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及其以上的大约有200

人；

(3)因为八年级平均数比七年级的高，方差比七年级的低，我认为八年级对垃圾分类知识

掌握得更好.

【点睛】本题考查了数据的分析和根据数据对统计结果进行估计，解题关键是明确中位数、

众数、方差的意义.

19.(1)该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%

(2)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元

答案第9页，共17页

【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

（1）设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为无，根据增长率问题的

等量关系列方程求解即可；

（2）设该款吉祥物降价加元，则每件的利润为（58-35-加）元，月销售量为（400+20加）件,

根据月销售利润为8400元列方程求解即可.

【详解】（1）解：设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得:256（1+x）2=400,

解得：占=0.25=25%,%=-2.25（不符合题意，舍去），

答：该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；

（2）解设该款吉祥物降价加元，则每件的利润为（58-35-加）元，月销售量为（400+20加）

件，

根据题意得：（58-35-机）（400+20加）=8400,

整理得：加2-3加-40=0,

解得：叼=8,啊=-5（不符合题意，舍去），

答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元.

20.（1）45°

（2）5A/6千米.

【分析】（1）如图，由/尸〃。E得/4BE=/84F=45。，再求得N48C=75。，由三角形内

角和定理即可得到答案；

（2）过点2作于点“，贝1|N8//C=/AK4=90°,在中，求出

BH=5^,在中，由8C=”即可得到答案.

sinC

【详解】（1）解：如图，

答案第10页，共17页

八

•・.AF//DE,

・•・/ABE=ABAF=45°,

・•./ABC=180。—/ABE-ACBD=180。—45°-60°=75°,

•・•/ABC+ZBAC+ZC=180。，ABAC=45。+15。=60。，

・・.ZC=180。—/ABC-ABAC=180。—75°-60°=45°.

即/C的度数为45。；

(2)过点8作于点”，

则/BHC=NBH4=90。,

在RtAABH中，BH=ABsinNBAC=10sin60°=10x—=5A/3,

2

在中，BC=^-=5G=5拒+旦=5a(米)，

sinCsin4502

即8,C两地的距离为5&千米.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是前提，熟练

掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

21.(1)见详解

⑵9

【分析】

(1)根据切线的判定，连接。C,证明出。尸C即可，利用直径所得的圆周角为直角，

三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；

3

(2)由cos3=w，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD:/C:/D=3:4：5,再根据相

似三角形的性质可求出答案.

【详解】⑴

答案第11页，共17页

oA

证明：如图，连接OC,

•・•/Q是。。的直径，

:.ZACD=90°,

ZOCD+ZOCA=90°,

・・,方。是。。的切线，

?./DCF+ZOCD=90°,

/.ZOCA+ZDCF,

vOC=OA,

:.ACAD=/OCA,

ZDCF=ACAD；

(2)

3

解：・.・NB=/ADC,cosB=-f

3

/.cos/ADC=-,

5

在RtZXZC。中，

3CD

•••cosZADC=-=——,

5AD

•CD_3

,,一，

AC4

由(1)得/FCD=NF4C,

•・•/F=/F,

/\FCDsMAC,

.CDFC_FD_3

-IE-K4-FC-4y

:.FC2=FDFA,

设尸。=3x,则尸。=4x,AF=3x+7,

又,；FC?=FDFA,

即(4x『=3x(3x+7),

答案第12页，共17页

解得x=3(取正值)，

:.FD=3X=9.

【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形,

掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提.

2525

22.(1)四边形NMON为矩形；理由见解析；(2)CN=—(3)AN=—.

8;7

【分析】(1)由三角形中位线定理得到地＞〃/C,证明乙4=2A®=WDN=90。，即可证明

结论；

(2)证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG18C于点G,证明△CGNs^C/B,利用相似

三角形的性质即可求解；

(3)延长ND,使DH=DN,证明△8。“三推出8H=CN,乙DBH=^C,证明

AMBH=90°,设AM=AN=x,在.RtABMH中,利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

【详解】解：(1)四边形NMDN为矩形.

理由如下：•点〃为48的中点，点。为2C的中点，

:.MD//AC,

山MD+ZJ=18O°,

山=90°,

.■■/-AMD=90°,

••/EDF=90°,

：2=UMD=AMDN=90°,

四边形NAffiW为矩形；

(2)在RfA/lBC中，ZJ=9O°,AB=6,AC=8,

"+NC=90。，BC=JAB?+AC?=10•

•••点。是8c的中点，

：.CD=^BC=5.

,.zEDF=90。,

.-.ZM)5+Z1=900.

，:乙B=zJ\4DB,

/.Z1=ZC.

:・ND=NC.

答案第13页，共17页

过点N作NGVBC于点G,则NCGN=90。.

•••zC=zC,4CGN=4CAB=9Q°,

:ACGNsACAB.

丝=竺,BPICN,

CACB百五

,y

(3)延长ND至H,使DH=DN,连接MH,NM,BH,

H

♦.♦MD1HN,.・.MN=MH,

是5。中点，

:.BD=DC,

又•：乙BDH=^CDN,

:.ABDH3ACDN,

•••BH=CN,Z.DBH=Z.C,

・"ZC=90。，

答案第14页，共17页

VZC+ZL45C=90°,

・・"BH+UBC=90。,

设AM=AN=x,贝(JBA仁6-x,BH=CN=8-x,MN=MH=6x,

在RtABMH中,Bl^+BH^MH2,

・・.(6㈤2+(8・x)2=(亚x)2,

解得许亍25,

二线段/N的长为亍25.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾

股定理，解第(3)问的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

23.(l)y=x2-2x-3

【分析