第4章 直线与角（压轴必刷30题11种题型专项训练）（解析版）

第4章直线与角（压轴必刷30题11种题型专项训练）一．认识立体图形（共1小题）1．（2023秋•南海区校级月考）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．【分析】根据柱体、锥体及球的概念求解．【解答】解：①②⑤⑦⑧是柱体；④⑥是锥体；③是球．【点评】本题考查的是认识立体图形，关键点在于：柱体包括圆柱和棱柱，其中棱柱的侧面是几个长方形围成，且上下底面是相等的．二．几何体的展开图（共2小题）2．（2023秋•肥城市校级月考）如图所示的是某几何体的展开图．（1）这个几何体的名称是圆柱；（2）求这个几何体的体积．（π取3.14）【分析】（1）从图上可以看出，展开图中有两个相等的圆和一个长方形，说明是圆柱的展开图；（2）圆柱的底面直径是10，高是20，由此根据圆柱的体积计算公式计算结果即可．【解答】解：（1）这个几何体的名称是圆柱；（2）V＝3.14×（10÷2）2×20＝3.14×25×20＝1570．【点评】此题考查立体图形的展开图，注意识记常见立体图形的特点，正确判定；以及圆柱的体积计算公式．3．（2022秋•砀山县校级月考）我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．（1）如图①所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有①②③．（2）图②中的图Ⅰ、图Ⅱ分别是第（1）题中长方体的一种表面展开图，已知图Ⅰ的外围周长为52，求图Ⅱ的外围周长．（3）第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？并求它的外围周长．【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（2）根据外围周长的定义计算即可；（3）画出图象，根据外围组成的定义计算即可；【解答】解：（1）可能是该长方体表面展开图的有①②③．故答案为：①②③；（2）图Ⅱ的外围周长＝3×6+4×4+4×6＝58；（3）观察展开图可知，外围周长为6×8+4×4+3×2＝48+16+6＝70．【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型．三．展开图折叠成几何体（共1小题）4．（2023秋•龙岗区校级期中）如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：（1）与字母N重合的点是哪几个？（2）若AG＝CK＝14cm，FG＝2cm，LK＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【分析】（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与N重合的点即可；（2）由AG＝CK＝14cm，FG＝2cm，LK＝5cm，可得CL＝CK﹣LK＝14﹣5＝9cm，再根据长方体的表面积和体积公式计算即可．【解答】解：（1）与N重合的点有H，J两个；（2）由AG＝CK＝14cm，LK＝5cm，可得CL＝CK﹣LK＝14﹣5＝9cm，长方体的表面积；2×（9×5+2×5+2×9）＝146cm2；体积：5×9×2＝90cm3．【点评】此题考查的是由展开图折叠成几何体，要培养学生的空间想象能力．四．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）5．（2022秋•西安期末）如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为81．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，然后分析符合题意的一组数即可．【解答】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15；且每个相对面上的两个数之和相等，11+16＝27，10+15＝25，故可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，其和为81和75（11和14必须为对面，在本体图片中，11和14为邻面，故不合题意，应舍去）故答案为：81．【点评】本题主要考查整数问题的综合运用和几何体的展开图的知识点，解答本题的关键是对几何图形的观察能力和空间想象能力．五．直线、射线、线段（共2小题）6．（2022秋•凉州区校级期末）如图，在平面内有A、B、C三点．（1）画直线AC，线段BC，射线AB；（2）在线段BC上任取一点D（不同于B、C），连接AD；（3）数数看，此时图中线段共有6条．【分析】（1）（2）根据直线，射线，线段的概念，利用直尺即可作出图形；（3）根据线段的定义即可求解．【解答】解：（1）（2）如图所示：（3）图中有线段6条，即线段AB，AD，AC，BD，BC，DC．故答案为6．【点评】本题考查了线段、射线以及线段的作图，是一个基础题，在作图的过程中要注意延伸性．7．（2020秋•定远县月考）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有15条；（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？【分析】（1）根据给出的条件进行观察找出规律：当有n个点时，线段总数为：，求解即可．（2）将发现的规律用含有n的代数式表示即可．【解答】解：（1）∵当有3个点时，线段的总数为：＝3；当有4个点时，线段的总数为：＝6；当有5个点时，线段的总数为：＝10；∴当有6个点时，线段的总数为：＝15．（2）由（1）可看出，当线段AB上有n个点时，线段总数为：．【点评】此题主要考查学生对比较线段长短及规律型题的掌握情况．六．两点间的距离（共4小题）8．（2022秋•衡南县期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝20，BC＝8．（1）试求出线段AC的长；（2）如果点O是线段AC的中点．请求线段OB的长．【分析】（1）由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝20，BC＝8代入即可得到答案；（2）根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝20，BC＝8，∴AC＝AB+BC＝20+8＝28；（2）由（1）知：AC＝28，∵点O是线段AC的中点，∴CO＝AC＝×28＝14，∴OB＝CO﹣BC＝14﹣8＝6．【点评】本题主要考查了两点间的距离由线段中点的定义，找出各个线段间的数量关系是解决问题的关键．9．（2022秋•永城市校级期末）已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）求a、b、c的值；（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值；（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10；（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，①点P在AB之间，AP＝14×＝，﹣24+＝﹣，点P的对应的数是﹣；②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28，﹣24+28＝4，点P的对应的数是4；（3）当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3t+4＝14+t，解得t＝5；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3t﹣4＝14+t，解得t＝9；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+4+3t﹣34＝34，t＝12.5；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣4+3t﹣34＝34，解得t＝14.5，综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．10．（2022秋•五莲县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝10，线段AB的中点表示的数为3；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t；点Q表示的数为8﹣2t．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ＝AB；（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；（4）由点M表示的数为＝﹣2，点N表示的数为＝+3，即可得到结论．【解答】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t＝8﹣2t，解得：t＝2，∴当t＝2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，又PQ＝AB＝×10＝5，∴|5t﹣10|＝5，解得：t＝1或3，∴当：t＝1或3时，PQ＝AB；（4）∵点M表示的数为＝﹣2，点N表示的数为＝+3，∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．11．（2022秋•丰都县期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是18；（2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果|AB|＝2，求x值．【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是：|15﹣（﹣3）|＝18．（2）①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1，可得表示A、B两点之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．②如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，据此求出x的值是多少即可．【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是：|15﹣（﹣3）|＝18．故答案为：3，18．（2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．②如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，x+1＝2或x+1＝﹣2，解得x＝1或x＝﹣3．【点评】（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．（2）解答此题的关键是要明确：|x﹣a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离．七．比较线段的长短（共1小题）12．（2023•海曙区开学）一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼150米处．【分析】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案．【解答】解：假设车站距离1号楼x米，则总距离S＝|x|+2|x﹣50|+3|x﹣100|+4|x﹣150|+5|x﹣200|，①当0≤x≤50时，S＝2000﹣13x，最小值为1350；②当50≤x≤100时，S＝1800﹣9x，最小值为900；②当100≤x≤150时，S＝1200﹣3x，最小值为750（此时x＝150）；当150≤x≤200时，S＝5x，最小值为750（此时x＝150）．∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．故答案为：150．【点评】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用分段讨论的思想进行解答．八．钟面角（共1小题）13．（2022秋•泉州期末）上午10点20分时，钟面上时针和分针的夹角为170度．【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【解答】解：10点20分时，钟面上时针和分针的夹角为30×（5+）＝170°，故答案为：170．【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．九．角平分线的定义（共3小题）14．（2022秋•新民市校级期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC是60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE．【分析】首先结合图形求得最大角，然后根据角平分线的概念，发现要求的角是最大角的一半．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°∵OD平分∠BOC∴∠DOC＝∠BOC＝75°同理∠EOC＝∠AOC＝30°∴∠EOD＝∠COD﹣∠EOC＝75°﹣30°＝45°．故答案为45°．【点评】此题的重点是能够发现要求的角是最大的角的一半．15．（2022秋•兴山县期末）已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；（2）结合角的特点，∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；（3）正确作出图形，判断大小变化．【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴＝35°，＝10°，∴∠DOE＝45°；（2）∠DOE的大小不变等于45°，理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝＝＝＝45°；（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°．如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2））【点评】正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．16．（2021秋•颍东区期末）已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若以∠AOB＝10°为起始位置，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．【分析】（1）因为∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD．然后根据关系转化求出角的度数；（2）利用各角的关系求解：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC；（3）由题意得，，由此列出方程求解即可．【解答】解：（1）因为∠AOD＝160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD即∠MON＝∠MOB+∠BON＝∠AOB+∠BOD＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD＝80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC＝×180°﹣20°＝70°；（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB＝20°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，∴∠BOD＝150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON＝2：3，∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，解得t＝21．答：t为21秒．【点评】此题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解．一十．角的计算（共12小题）17．（2022秋•安乡县期末）如图，已知∠AOB＝90°，以O为顶点、OB为一边画∠BOC，然后再分别画出∠AOC与∠BOC的平分线OM、ON．（1）在图1中，射线OC在∠AOB的内部．①若锐角∠BOC＝30°，则∠MON＝45°；②若锐角∠BOC＝n°，则∠MON＝45°．（2）在图2中，射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC为任意锐角，求∠MON的度数．（3）在（2）中，“∠BOC为任意锐角”改为“∠BOC为任意钝角”，其余条件不变，（图3），求∠MON的度数．【分析】（1）①由角平分线的定义，计算出∠MOA和∠NOA的度数，然后将两个角相加即可；②由角平分线的定义，计算出∠MOA和∠NOA的度数，然后将两个角相加即可；（2）由角平分线的定义，计算出∠MOA和∠NOA的度数，然后将两个角相减即可；（3）由角平分线的定义，计算出∠MOA和∠NOA的度数，然后将两个角相加即可．【解答】解：（1）①∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠COM＝AOC，BOC，∴∠MON＝∠COM+∠CON＝∠AOB＝45°，故答案为：45°，②∵∠AOB＝90°，∠BOC＝n°，∴∠AOC＝（90﹣n）°，∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠COM＝AOC＝（90﹣n）°，BOC＝n°，∴∠MON＝∠COM+∠CON＝∠AOB＝45°，故答案为：45°；（2）∵∠AOB＝90°，设∠BOC＝α，∴∠AOC＝90°+α，∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠COM＝AOC，BOC，∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝∠AOB＝45°，（3）∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠COM＝AOC，BOC，∴∠MON＝∠COM+∠CON＝（∠AOC+∠BOC）＝（360°﹣90°）＝135°．【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠COM和∠CON的大小．18．（2022秋•平原县校级期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝75°，∠NOC＝∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°．（2）如图2，∠MON＝α，理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝α+30°，∠NOC＝∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（α+30°）﹣30°＝α．（3）如图3，∠MON＝α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝∠AOC＝（α+β），∠NOC＝∠BOC＝β，∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+β﹣β＝α+β．∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（α+β）﹣β＝α即∠MON＝α．【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．19．（2022秋•凤山县期末）O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图1，∠AOC与∠DOE的数量关系为互余，∠COF和∠DOE的数量关系为；（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据已知条件和图形可知：∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，从而可以得到∠AOC与∠DOE的数量关系；由射线OF平分∠AOE，∠AOC与∠DOE的数量关系，从而可以得到∠COF和∠DOE的数量关系；（2）由图2，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系；（3）由图3和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系．【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，∴∠AOC+∠DOE＝90°，∵射线OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝∠AOE﹣（90°﹣∠DOE）＝＝，故答案为：互余，；（2）∵OF平分∠AOE，∴，∵∠COE＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠AOE，∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝90°﹣∠AOE+∠AOE＝90°﹣∠AOE，∵∠AOE＝180°﹣∠DOE，∴∠COF＝90°﹣（180°﹣∠DOE）＝∠DOE，即；（3）．∵OF平分∠AOE，∴，∴∠COF＝∠COE+∠EOF＝90°+＝90°+＝180°﹣，即．【点评】本题考查角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．20．（2022秋•嘉兴期末）定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成1：2两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．（1）如图1，OM是∠AOB的一条内倍分线，满足∠BOM＝2∠AOM，若∠AOB＝45°，求∠AOM的度数．（2）已知∠AOB＝60°，把一块含有60°角的三角板COD按如图2叠放．将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t秒（0＜t＜180）．①t为何值时，射线OC是∠AOD的内倍分线；②在三角板COD转动的同时，射线OB以每秒n（0＜n＜1）度的速度绕O点逆时针方向旋转至OB′，在旋转过程中存在OB′恰好同时是∠AOD，∠AOC的内倍分线，请直接写出n的值．【分析】（1）根据角的和差关系求解即可；（2）①根据题意分∠DOC＝2∠AOC和∠AOC＝2∠COD两种情况讨论，分别列出方程求解即可；②根据题意得到∠AOB'＝2∠B'OC且∠B'OD＝2∠AOB'，然后列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的一条内倍分线，满足∠BOM＝2∠AOM，∴；（2）①∵将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t秒，∴∠AOC＝2t，当∠DOC＝2∠AOC时，∴，即，∴解得t＝15；当∠AOC＝2∠COD时，∴C，即∴解得t＝60；综上所述，当t＝15或60时，射线OC是∠AOD的内倍分线；②由题意得，∠AOB'＝2∠B'OC且∠B'OD＝2∠AOB'∴，即，∴解得，即：n＝．【点评】此题考查了角的和差计算，一元一次方程与几何的应用，解题的关键是题目中角的数量关系．21．（2022秋•西丰县期末）如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°，OD平分∠COE，求∠COB的度数．【分析】利用平角的定义有∠AOE＝180°，即∠COB+∠AOB+∠COE＝180°，由∠EOD＝28°，OD平分∠COE，根据角平分线的定义得到∠COE＝2∠DOE＝56°，则∠COB＝180°﹣∠EOC﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣56°，经过计算即可得到∠COB的度数．【解答】解：∵点A、O、E在同一直线上，∴∠AOE＝180°，∵∠EOD＝28°，OD平分∠COE，∴∠COE＝2∠DOE＝56°，∵∠COB+∠AOB+∠COE＝180°，而∠AOB＝40°，∴∠COB＝180°﹣∠EOC﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣56°＝84°．【点评】本题考查了角度的计算：通过几何图形得到角度的和差．也考查了角平分线的定义．22．（2021秋•义安区期末）已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝34°，则∠BOE＝68°；若∠COF＝m°，则∠BOE＝2m°；∠BOE与∠COF的数量关系为∠BOE＝2∠COF．（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）由∠COF＝34°，∠COE是直角，易求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，进而可求∠BOE，若∠COF＝m°，则∠BOE＝2m°；进而可知∠BOE＝2∠COF；（2）由于∠COE是直角，于是∠EOF＝90°﹣∠COF，而OF平分∠AOE，则有∠AOE＝2∠EOF，从而可得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2（90°﹣∠COF）＝2∠COF．【解答】解：（1）∵∠COF＝34°，∠COE是直角，∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝112°，∴∠BOE＝180°﹣112°＝68°，若∠COF＝m°，则∠BOE＝2m°；故∠BOE＝2∠COF；故答案是68°；2m°；∠BOE＝2∠COF；（2）∠BOE和∠COF的关系依然成立．∵∠COE是直角，∴∠EOF＝90°﹣∠COF，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2（90°﹣∠COF）＝2∠COF．【点评】本题考查了角的计算．解题的关键是注意找出所求角与已知角之间的关系，例如：互余、互补关系．23．（2022秋•揭西县期末）如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝40°，其它条件不变，求∠MON的值．（用含α式子表示）【分析】（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；【解答】解：（1）∵∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+60°＝170°，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠MOA＝∠AOC＝85°，∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝110°﹣85°＝25°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝∠CON＝30°，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝25°+30°＝55°；（2）当OM、ON在直线OC同侧时，∵∠AOB＝α，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+40°，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠MOA＝∠AOC＝（α+40°），∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝α﹣（α+40°）＝α﹣20°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝∠CON＝20°，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝α﹣20°+20°＝α，当OM、ON在直线OC异侧时，∠AOC+∠BOC＝360°﹣α，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝（∠AOC+∠BOC）＝（360°﹣α）＝180°﹣α．综上，∠MON＝α或180°﹣α．【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠BOM和∠BON的大小．24．（2022秋•定远县校级月考）已知∠AOB＝90°，过点O作射线OC，射线OD平分∠AOC．（1）如图1，射线OC在∠AOB的外部（90°＜∠AOC＜180°），①若∠BOC＝30°，求∠BOD的度数．②若∠BOC﹣∠BOD＝15°，求∠BOC的度数．（2）如图2，射线OC在∠AOB的内部（0°＜∠AOC＜60°），若存在射线ON（0°＜∠BON＜30°），使得∠AON﹣∠BON＝∠DON，试求出∠AOD与∠CON之间的等量关系．【分析】（1）①由角的平分线可求解∠AOD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD可求解；②由角的平分线可得∠AOD＝∠COD，设∠DOB＝x°，根据∠BOC﹣∠DOB＝15°计算可求解x值，进而求解∠BOC的度数；（2）可分两种情况：若射线ON在∠AOB的外部，则∠AON﹣∠BON＝∠AOB＝90°；若射线ON在∠AOB的内部，利用角平分线的定义及角的和差可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣60°＝30°，答：∠BOD的度数为30°；②∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，设∠DOB＝x°，则∠AOD＝∠COD＝（90﹣x）°，∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝（90﹣2x）°，∵∠BOC﹣∠DOB＝15°，∴90﹣2x﹣x＝15，解得x＝25，∴∠BOC＝90°﹣2×25°＝40°，答：∠BOC的度数为40°；（2）如图3，若射线ON在∠AOB的外部，则∠AON﹣∠BON＝∠AOB＝90°，∵∠AON﹣∠BON＝∠DON，∴∠DON＝∠AOB＝90°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴∠AOD+∠CON＝90°；如图4，若射线ON在∠AOB的内部，∵∠AON﹣∠BON＝∠DON，∠AON﹣∠AOD＝∠DON，∴∠BON＝∠AOD，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴3∠AOD+∠CON＝90°．综上，∠AOD+∠CON＝90°或3∠AOD+∠CON＝90°．【点评】本题主要考查角的平分线，角的计算，分类讨论是解题的关键．25．（2023春•莱州市期中）下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，∠EOF＝90°；（2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝70°；（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝∠AOB；（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由；【分析】（1）根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，点A、O、B在一条直线上，即可得到∠EOF的度数；（2）根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOB＝140°，即可得到∠EOF的度数；（3）根据（2）中的方法，即可得到∠EOF与∠AOB的数量关系；（4）若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系，方法同（3）．【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COF＝∠COB；∠COE＝∠AOC，又∵∠AOB＝180°，∴∠EOF＝∠COB+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝90°；故答案为：90°；（2）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COF＝∠COB；∠COE＝∠AOC，又∵∠AOB＝140°，∴∠EOF＝∠COB+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝70°；故答案为：70°；（3）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COF＝∠COB；∠COE＝∠AOC，∴∠EOF＝∠COB+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB；故答案为：∠AOB；（4）存在．∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COF＝∠COB；∠COE＝∠AOC；∴∠EOF＝∠COB﹣∠AOC＝（∠BOC﹣∠AOC）＝∠AOB．【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是依据角的和差关系进行计算．26．（2023春•宁阳县期末）已知O为直线AB上一点，∠EOF为直角，OC平分∠BOE．（1）如图1，若∠AOE＝45°，求∠COF的度数；（2）若∠EOF的位置如图2所示，OD平分∠AOC，且∠AOD＝75°，求∠COF的度数．【分析】（1）由∠AOE＝45°，可以求得∠BOE＝135°，再由OC平分∠BOE，可求得∠COE＝67.5°，∠EOF为直角，所以可得∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°；（2）由OD平分∠AOC，可得∠AOC＝2∠AOD＝150°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°，再根据OC平分∠BOE，可得∠EOC＝∠BOC＝30°，进而得出∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝60°．【解答】解：（1）∵∠AOE＝45°，∴∠BOE＝135°，∵OC平分∠BOE，∴∠COE＝67.5°，∵∠EOF为直角，∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOD＝2×75°＝150°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°，∵OC平分∠BOE，∴∠EOC＝∠BOC＝30°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了角平