高中数学暑假初高衔接讲义16+从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

遍历山河，人间值得。第第页练习主题从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式知识点一：从函数的观点看一元二次方程从函数的观点看，方程x2-2x-3=0的两个根x1=-1，x2=3，就是二次函数y=x2-2x-3当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标.这时，我们称-1，3为二次函数y=x2-2x-3的零点.一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根就是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的零点.当a＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+cp的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如图所示：判别式△=b2-4ac△＞0△=0△＜0方程ax2+bx+c=0的根有两个相异的实数根x1=；x2=有两个相等的实数根x1=x2=没有实数根二次函数y=ax2+bx+cp的图象二次函数y=ax2+bx+c的零点有两个零点x1=；x2=有一个零点x=无零点当a＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+cp的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系，请同学自己完成.例1、求证：二次函数y=2x2+3x-7有两个零点.例2、判断二次函数y=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点.例3、已知y=x2+（a2-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.对应练习：1、若二次函数y=x2-m有零点，则实数m的取值为（）A.正数B.非负数C.一切实数D.零2、已知集合A=｛x∣ax2+2x+a=0，a∈R｝，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是（）A.1B.0，1C.-1，1D.-1，0，13、已知P（m，n）是一次函数y=x+图像上的一点，函数y=x2+mx+n的两个零点的平方和等于1，则m+n=.4、已知二次函数y=3x2+2（1-a）x-a（a+2）在区间（-1，1）内存在零点，求实数a的取值范围.知识点二：从函数的观点看一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式.我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么，一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系?当a＞0时，我们有：判别式△=b2-4ac△＞0△=0△＜0方程ax2+bx+c=0的根有两个相异的实数根x1，x2（x1＜x2）有两个相等的实数根x1=x2=没有实数根二次函数y=ax2+bx+cp的图象ax2+bx+c＞0的解集（-∞，x1）∪（x2，+∞）（-∞，）∪（，+∞）Rax2+bx+c＜0的解集（x1，x2）∅∅当a＜0时，通过不等式两边同乘-1，可将问题转化为二次项系数为正的情形.例1、解下列不等式：（1）x2-7x+12＞0；（2）-x2-2x+3≥0；（3）x2-2x+1＜0；例2、（多选）下列范围满足不等式＜3的有（）A．x≤-3B．x≥C．x＞D．x＜-3对应练习：1、不等式-6x2-x+2≤0的解集是（）A.｛x∣≤x≤｝B.｛x∣x≥或x≤｝C.｛x∣x≥或x≤｝D.｛x∣≤x≤｝2、在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x-2）＜0的实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（-2，1）C．（-∞，-2）∪（1，+∞）D．（-1，2）3、（多选）已知集合A={x∣x2-x-2≥0，且x∈Z}，则中的元素是（）A．0B．2C．1D．-24、已知集合A={x∣（x-1）（x-4）≤0}，B={x∣≤0}，则A∩B=（）A．[1，2]B．[1，2）C．[2，4]D．（2，4]例3、设关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），求不等式bx2+ax+1＞0的解集．对应练习：1、已知关于x的不等式ax2+x-b＜0的解集为{x∣＜x＜1}，则=.2、关于x的不等式x2+ax-3＜0的解集为（-3，1），则a=，不等式ax2+x-3＜0的解集为.3、已知不等式ax2+2x+c＜0的解集是（-∞，）∪（，+∞），求不等式cx2+2x+a≤0的解集.4、关于x的不等式x2-2ax-8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x1-x2=15，求a的值.例4、若对任意实数x，关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0恒成立，求实数a的取值范围.对应练习：1、已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（）A．a＜-4或a＞4B．-4＜a＜4C．a≤-4或a≥4D．-4≤a≤42、设关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是（）A．a＜或a＞1B．＜a＜1C．＜a≤1D．＜a≤1或a=-13、若不等式mx2+2mx-4＜2x2+4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是（）A.（-2，2]B.（-2，2）C.（-∞，-2）∪[2，＋∞）D.（-∞，2]4、关于x的不等式（a2-4）x2+（a+2）x-1≥0的解集是R，则实数a的取值范围为（）A.（-2，）B.[-2，）C.｛-2｝D.5、已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（）A.0≤k≤1B.0＜k≤1C.k＜0或k＞1D.k≤0或k＞16、定义运算：x※y=x（1-y），若使得（x-a）※（x+a）＞1成立，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，）∪（，+∞）B．（，）C．（-∞，）∪（，+∞）D．（，）例5、某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件（x∈）与货价p元/件之间的关系为p=160-2x，生产x件所需成本为C=500+30x元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元?对应练习：1、某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台