利率期货课后习题详解

6.2课后习题详解一、问答题1．一个美国长期国债在每年1月7日和7月7日支付券息，券息率为7%，对于面值为100美元的美国国债，从2014年7月7日至2014年8月8日之间的应计利息为多少？如果这一债券为企业债券，你的答案会有什么不同？答：2014年7月7日至2014年8月8日之间共有32个日历天数，2014年7月7日至2015年1月7日之间共有184个日历天数。因此，应计利息为3.5×32/184=0.6087（美元）。如果这一债券为企业债券，我们假定2014年7月7日至2014年8月8日之间有31天，2014年7月7日至2015年1月7日之间有180天。因此，应计利息为3.5×31/180=0.6028（美元）。2．假定现在是2015年1月9日，券息率12%。在2030年10月12日到期的美国长期国债的报价为102-07。这一债券的现金价格为多少？答：2014年10月12日至2015年1月9日之间有89天，2014年10月12日和2015年4月12日之间有182天。债券的现金价格等于债券报价加上累计利息。报价为或102.21875。因此，债券的现金价格为：（美元）3．如何计算CME集团的债券转换因子？如何使用这些转换因子？答：假设对于任何到期日利息率均等于每年6％（每半年复利一次），债券转换因子等于交割月份的第1天每1美元本金的债券报价。为了便于计算，债券期限和付息次数将向下调整至最接近的3个月。转换因子说明了当债券交割时，持有短期债券期货合约的投资者将有多少收益。如果转换因子等于1.2345，投资者收到的金额等于最新的期货价格乘以1.2345，再加上应计利息。4．当一个欧洲美元期货价格由96.76变化为96.82时，一个持有2份合约多头的投资者的盈亏为多少？答：欧洲美元期货合约的价格增加了6个基点，投资者从每份合约中获得的收益为：25×6=150（美元），从而总盈利为300美元。5．对于欧洲美元期货利率所做的曲率调整的目的是什么？为什么这种调整是必要的？答：假定某欧洲美元期货的报价为95.00美元。这说明合约期限内的3个月期的期货利率为5％。曲率调整的金额显示了为估算这段时期的远期利率而应从期货利率中减去的数额。曲率调整是必要的，因为：①期货合约每日结算；②期货合约会在3个月的初期到期。这些都会导致期货利率比远期汇率更大。6.350天的LIBOR利率是3％（连续复利），而且由350天期限的欧洲美元期货合约所得出的远期利率是3.2％（连续复利）。估计440天期限的零息利率。答：由复习笔记中方程（6-3）得到的利率为：即3.0409%。7．今天是1月30日。你负责管理的债券组合价值为600万美元。债券组合在6个月后的久期为8.2年。9月份到期的国债期货的当前价格为108-15，并且最便宜可交割债券在9月份的久期为7.6年。你将如何对今后6个月内利率变化进行对冲？答：一份国债期货合约的价值为：（美元）应当卖出的合约数量为：（份）四舍五入可得：应当卖出60份合约，头寸应当在7月底全部卖出。8．一个90天期限的国库券的报价为10。某投资者将这一债券持有90天，该投资者的连续复利收益率为（基于“实际天数/365”）多少？答：国库券的现金价格为：（美元）按年计算的连续复利的收益率为：9．假定今天是2014年5月5日。一个在2024年7月27日到期、券息率为12%的政府国债报价为110-07。这一债券的现金价格为多少？答：2014年1月27日至2014年5月5日之间的天数为98天，2014年1月27日至2014年7月27日之间的天数为181天。因此，累计利息为：（美元）该债券的报价为110.2188美元，因此现金价格为110.2188+3.2486=113.4674（美元）。10．假定国债期货的价格为101-12，表6-1的4个债券中哪一个为最便宜可交割债券？表6-1答：最便宜可交割债券满足：债券报价-期货价格×转换因子的值最小，针对这4个债券，计算这一因子，得到：债券1：125.15625-101.375×1.2131=2.178债券2：142.46875-101.375×1.3792=2.652债券3：115.96875-101.375×1.1149=2.946债券4：144.06250-101.375×1.4026=1.874因而，第4个债券是最便宜可交割债券。11．假定今天是2015年7月30日。在2015年9月到期的国库券期货所对应的最便宜可交割债券的券息率为13%，预计交割时间为2015年9月30日。债券券息的支付时间为每年2月4日和8月4日。期限结构为水平，每半年复利一次的利率为每年12%。这一债券的转换因子为1.5，债券的当前报价为110美元。计算这一期货合约的报价。答：在2月4日至7月30日之间有176天，2月4日至8月4日之间有181天。因此，债券的现金价格为：（美元）连续复利利率为2ln1.06=0.1165，即每年11.65%。该债券将在5天（≈0.01370年）后会收到6.5美元的利息。利息的现值为：6.5e-0.01370×0.1165=6.490（美元）期货合约距离到期日有62天（≈0.1699年）。如果期货合约以票面利率为13%的债券为标的资产，现金期货的价格为：（116.32-6.490）e0.1699×0.1165=112.03（美元）在交割时有57天的应计利息。如果期货合约以利率为13%的债券为标的资产，期货合约的报价为：（美元）考虑转换因子，期货合约的报价为：（美元）12．一个投资者在国债期货市场上寻找套利机会。一个具有空头的投资者可以选择支付任意期限大于15年并且小于25年的债券，这一选择会带来什么复杂性呢？答：如果债券将被支付，且支付日期已知，套利将会发生。当期货价格过高时，套利者会购买债券并会卖出相同数量的债券期货合约。当期货价格过低时，套利者出售债券，并买入数量相等的债券期货合约。选择哪支债券进行交割的不确定性给套利带来复杂性。在到期时，看似是最便宜交割债券的事实上并不是最便宜交割债券。在期货价格过高的情况下，这不是一个主要问题，因为是由持有空头寸的人（如套利者）来决定要对哪个债券进行支付。在期货价格过低的情况下，套利者的头寸要复杂得多，因为他不知道该买哪种债券，不可能在所有可能的结果下锁定利润。13．假定9个月期LIBOR利率为每年8％，6个月期LIBOR利率为每年7.5％（两个利率天数计算惯例均为“实际天数/365”并连续复利）。估计在6个月时到期的3个月期欧洲美元期货报价。答：期限为6个月至9个月的远期利率为每年9％（连续复利）。这是因为3个月期每年9％的利率与6个月期每年7.5%的利率合并得出了9个月期每年8％的平均利率。按季度复利计算，远期利率为：4（e0.09/4-1）=0.09102或9.102%，这是假定计算天数按“实际天数/实际天数”。若天数计算规则为“实际天数/360”，远期利率为：9.102%×360/365=8.977%因此，在6个月后到期的3个月长度的欧洲美元期货的报价为：100-8.977=91.02（美元）这里假定期货价格和远期价格没有区别。14．假设300天期限的LIBOR零息利率是4％，而对300、398和489天到期合约的欧洲美元报价分别是95.83、95.62和95.48．计算398天和489天的LIBOR零息利率。假设在计算中不区别远期利率与期货利率。答：根据前两个欧洲美元期货合约计算出的远期利率分别为4.17%和4.38%，这是用“实际天数/360”的天数计算方式和按季度复利计算出来的。若是采用“实际天数/365”及连续复利，则上述两个远期利率分别为（365/90）ln（1＋0.0417/4）=4.2060%及（365/90）ln（1＋0.0438/4）=4.4167%，根据复习笔记中的方程（6-3），得398天的LIBOR零息利率为：489天的LIBOR零息利率为：这里假设第一类期货适用于98天，而不是通常的91天。第三类期货的报价是不需要的。15．假设一个久期为12年的债券组合用标的资产具有4年久期的期货合约来对冲。由于12年利率没有4年利率波动性大，这会给对冲造成什么影响？答：在基于久期的对冲策略中，假定收益率曲线是平行移动的。由于12年期利率的变化幅度小于4年期利率，资产组合经理会发现他所做的对冲过度了。16．假设现在为2月20日，某资金部主管意识到公司将必须在7月17日发行500万美元、期限为180天的商业票据。如果商业票据在今天发行，公司将收入482万美元（也就是说，公司可得资金482万美元，在180天后以500万美元将票据赎回）。9月份欧洲美元的报价为92.00。资金部主管如何来对冲其风险敞口呢？答：资金部主管可以通过卖出欧洲美元期货合约来对冲其风险敞口。如果利率上升，欧洲美元期货合约的头寸会带来盈利，否则会带来亏损。商业票据的久期是以欧洲美元期货合约为标的物的欧洲美元存款的2倍，欧洲美元期货合约的价格为980000美元，因此应当卖出的合约数量为：（份）四舍五入，得应卖出10份合约。17．在8月1日，某证券组合经理的债券组合价值为1000万美元。在10月份债券组合的久期将为7.1年。12月份国债期货在目前的价格为91-12，并且最便宜可交割债券在期货到期时的久期为8.8年。组合经理如何能使债券价值在两个月里对利率变化得到免疫？答：证券组合经理应当卖出国债期货。如果债券价格下降，期货头寸会带来相等的收益。应当卖出的期货合约的数量为：（份）四舍五入得，总共应当卖出88份合约。18．一个证券组合的经理采取什么样的交易可将习题17中的债券组合的久期转换为3.0年？答：习题17的解答是使久期减少为0。为了使久期从7.1减少至3.0而不是从7.1减少至0，证券组合的经理应当卖出的合约数量为：（份）四舍五入得，总共应当卖出51份合约。19．在2015年10月30日与2015年11月1日之间，你可以选择拥有券息率为12%的美国国债或者券息率为12%的美国企业债券。仔细考虑这一章所讨论的天数计算惯例，在其他条件相等的情况下，你会更愿意持有哪一个债券？忽略违约风险。答：你会更愿意持有美国国债。在“30/360”的天数计算惯例下，2015年10月30日至11月1日之间有1天。在“实际天数/实际天数”的天数计算惯例下，这期间有两天。因此，和企业债券相比，持有美国国债你会获得大约两倍的利息。这里假定两个债券的报价相同。20．假定一个在60天到期的欧洲美元期货的报价为88。介于60天与150天之间的LIBOR远期利率为多少？在这一问题中忽略期货合约与远期合约的不同。答：欧洲美元期货合约的价格为88美元，意味着欧洲美元期货的利率为每年12％。通过按季度复利并按“实际天数/360”天数计算惯例，介于60天与150天之间的远期利率为每年12％。21．一个在6年后到期的3个月欧洲美元期货合约的报价为95.20。短期利率在1年内变化的标准差为1.1％。计算介于6年与6.25年之间的LIBOR远期利率。答：使用教材6.3节的符号，σ=0.011，T1=6，T2=6.25。曲率调整为：或大约23个基点。按季度复利计息和“实际天数/360”的天数计算惯例，期货利率为4.8%。而按连续复利计息和“实际天数/365”的天数计算：（365/90）ln（1.012）=0.0484或4.84%。因此，按连续复利计息的远期利率为：4.84%-0.23%=4.61%22．解释为什么远期利率小于相应由欧洲美元期货合约中得出的期货利率。答：假定期货合约适用于期限在T1和T2之间的利率。远期利率和期货利率不同的原因有两个：①期货合约每日结算，而远期合约的结算时间是每到时间T2结算一次；②如果一个期货合约不是每日结算，那么它将在时间T1结算而不是时间T2。这两个原因往往使期货利率比远期利率更大。二、计算与分析题23．假定今天是2014年4月7日，每年券息为6％（半年付息一次）的美国国债报价为120-00，该国债的到期日为2023年7月27日，该债券的现金价格为多少？如果该债券为企业债券，你的答案会有什么变化？答：上次付息日（1月27日）与今天之间的实际天数为70天，上次付息日（1月27日）距离下次付息日（7月27日）之间的实际天数为181天，则国债的累计利息为（70/181）×3=1.16，债券的现金价格为120+1.16=121.16。企业债券按照“实际天数/360”的天数计算惯例，2014年1月27日与4月7日之间是71天，两次付息日之间是180天，国债的累计利息为（71/180）×3=1.18，因此债券的现金价格为121.18。24．某国债期货的报价为103-12，3个可交割债券的价格分别为115-06、135-12及155-28，债券相对应的转换因子分别为1.0679、1.2264及1.4169，哪一个是最便宜可交割债券？答：国债期货价格为=103.375，三个可交割债券价格分别为115.1875、135.375、155.875。三种债券的交割成本如下：115.1875－103.375×1.0679=4.7933135.375－103.375×1.2264=8.5959155.875－103.375×1.4169=9.4030可知可交割价格为115-06的债券是最便宜可交割债券。25．12月份的欧洲美元期货合约报价为98.40，一个公司预计在12月份要借入800万美元，为期3个月，利率为LIBOR加0.5%。（a）用欧洲美元期货合约，该公司可以锁定什么样的利率？（b）公司应该进入什么样的头寸？（c）如果到时的实际3个月利率为1.3%，那么期货合约的最终结算价格是多少？答：（a）根据欧洲美元期货的报价方法，锁定的利率为：100-98.40=1.6（%）。因此，实际支付的利率为1.6+0.5=2.1（%）。（b）公司预计在12月份要借入800万美元，为防止利率上升时借入资金成本增加的风险，该公司应持有800/100=8份欧洲美元期货合约的空头。当未来利率上升时，期货价格将会下降，该公司却能以约定价格（高于未来实际价格）出售期货合约，从而获利；反之，如果未来利率下降，期货价格上升，该公司可能蒙受损失。（c）在交割日，欧洲美元期货合约的交割价格为100-R，R为实际的3个月期限的欧洲美元利率。由题可知，R=1.3%，所以期货合约的最终结算价格为100-1.3=98.7000。26．在5.1~5.35年间的欧洲美元期货的报价为97.10。短期利率在1年内变化的标准差为1.4%，估计FRA的远期利率。答：远期利率＝期货利率。由题可知，T1=5.1，T2=5.35，σ=0.014。期货利率天数计量惯例为“实际天数/360”，每季度复利期货利率为每年2.9%。由于远期利率是按连续复利计算的，对应于“实际天数/365”的天数计量惯例及每季度复利，以上利率等价于：2.9%×365/360=2.94%。远期利率=2.94%-0.5×（0.014）2×5.1×5.35=2.6726%27．假设现在是2014年3月10日，2014年12月国债期货的最便宜可交割债券为8%券息，预计在2014年12月31日交割；券息支付在每年的3月1日和9月1日。对应所有期限按连续复利的利率均为每年5%，债券的转换因子为1.2191，现在的报价为137美元，计算合约期货价格的报价。答：（1）交割债券的现金价格=报价+累计利息，美国长期国债的天数计算采用的是“实际天数／实际天数（期限内）”。根据题意可知：累计利息的实际天数为9天，两次付息日3月1日至9月1日的时间天数为184天，则交割债券的现金价格为：（2）在交割日前，9月1日有一次利息的发放，3月10日～9月1日实际的计息时间为175天（即175/365=0.4795年），所以发放的利息的现值（贴现到2014年3月10日）为：4e-0.05×0.4795=3.9053（3）3月10日～12月31日（交割日）的实际天数为296天（即0.8110年），如果期货合约是以交割债券为标的，则该合约的期货价格为：（137.1957-3.9053）e0.05×0.8110=138.8061（4）9月1日～12月31日的实际天数为121天，9月1日到2015年3月1日的实际天数为182天，因为以交割债券为标的期货合约的持有者得不到9月1日～12月31日的利息，所以期货价格应为：（5）根据债券转换因子可知，1.2191份标准债券等于1份券息为8%的债券，所以国债期货合约的价格应为：28．假设一家银行可以在LIBOR市场以相同的利率借入或借出美元。90天的利率为每年10％，180天的利率为每年10.2％，两个利率均为连续复利，天数计算惯例为“实际天数/实际天数”，91天到期的欧洲美元期货的报价为89.5。对银行而言，这时会有什么样的套利机会？答：欧洲美元期货合约报价为89.5，意味着欧洲美元期货利率为每年10.5%（采用“实际天数/360”天数计算且一季度复利一次）。如果采用“实际天数/实际天数”的天数计算，有10.5%×365/360=10.646%。如果采用“实际天数/实际天数”的天数计算且连续复利时，有：4ln（1+0.25×0.10646）=0.1051即10.51%。90天和180天的远期利率都是10.4%。下面是隐含的套利机会：①买入欧洲美元期货合约；②借入180天期限的资金；③用借来的资金进行一个90天的投资。29．某加拿大公司想采用美国欧洲美元期货和外汇远期合约来生成加元的LIBOR期货合约。用一个例子解释公司如何可以达到目的。在本题中假定期货合约与远期合约等同。答：时间T到期的欧洲美元期货使得投资者能够锁定时间T至时间T*期间的远期利率，其中时间T*是时间T三个月以后。如果远期利率为，那么被锁定的美元现金流为：其中，A为本金。为将该现金流兑换为加元现金流：①为了在时间T卖出加元，该加拿大公司需进入一个外汇远期合约空头；②为了在时间T*买入加元，该加拿大公司需进入一个外汇远期合约多头。假定F和F*分别为时间T和时间T*的远期汇率（直接报价法，加元/美元）。要在时间T卖出的加元为：要在时间T*买入的加元：AF*通过远期合约，该公司将美元现金流兑换成了加元现金流：这就是加元的LIBOR期货合约，其中AF*为本金。30．在2014年6月25日，2014年6月的债券期货合约是118-23。（a）计算在2030年1月1日到期，券息为10%的债券的转换因子。（b）计算在2035年10月1日到期，券息为7%的债券的转换因子。（c）假定（a）和（b）中的债券报价分别为169.00和136.00，哪一个债券支付更便宜？（d）假定最便宜可交割债券在2014年6月25日确实被支付，卖出债券的现金价