《第七章 复数》章节复习与单元检测试卷（共三套）

《第七章复数》章节复习【体系构建】【题型探究】复数的概念【例1】(1)复数eq\f(1,－2＋i)＋eq\f(1,1－2i)的虚部是()A.eq\f(1,5)iB.eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5)iD．－eq\f(1,5)(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1 B．2C．1或2 D．－1(1)B(2)B[(1)eq\f(1,－2＋i)＋eq\f(1,1－2i)＝eq\f(－2－i,－2＋i－2－i)＋eq\f(1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(－2－i,5)＋eq\f(1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)i，故虚部为eq\f(1,5).(2)由纯虚数的定义，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.]处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．【跟踪训练】1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z2＋eq\x\to(z)2的虚部为()A．0B．－1C．1D．－2(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为()A．4 B．－1C．6 D．－1或6(1)A(2)B[(1)因为z＝1＋i，所以eq\x\to(z)＝1－i，所以z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.(2)由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，根据两个复数相等的充要条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝4，,m2＝5m＋6，))解得m＝－1，故选B.]复数的四则运算【例2】(1)已知eq\x\to(z)是z的共轭复数，若z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，则z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝eq\f(3＋2i,2＋i2)，则eq\f(z1,z2)＝()A．－4＋3i B．3＋4iC．3－4i D．4－3i(1)A(2)D[(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，代入z·eq\x\to(z)i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，由复数相等的条件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a2＋b2＝2b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))∴z＝1＋i，故选A.(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(2－3i2＋i2,3＋2i)＝eq\f(2－3i3－2i2＋i2,3＋2i3－2i)＝－eq\f(13i3＋4i,13)＝4－3i.]【跟踪训练】1．本例题(1)中已知条件不变，则eq\f(z,\x\to(z))＝.i[由例(1)解析知z＝1＋i，所以eq\x\to(z)＝1－i.eq\f(z,\x\to(z))＝eq\f(1＋i,1－i)＝i.]2．本例题(2)中已知条件不变，则z1z2＝.eq\f(16,25)－eq\f(63,25)i[z1z2＝eq\f(2－3i3＋2i,2＋i2)＝eq\f(12－5i,3＋4i)＝eq\f(12－5i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(16－63i,32＋42)＝eq\f(16,25)－eq\f(63,25)i.]1．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似．2．复数的除法运算，将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.3．利用复数相等，可实现复数问题的实数化．复数的几何意义及其应用【例3】已知z是复数，z＋2i，eq\f(z,2－i)均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.又eq\f(z,2－i)＝eq\f(x－2i,2－i)＝eq\f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq\f(1,5)(2x＋2)＋eq\f(1,5)(x－4)i为实数，∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋4a－a2>0，,8a－2>0，))解得2<a<6.∴实数a的取值范围是(2,6)．一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．【跟踪训练】2．(1)在复平面内，复数eq\f(－2＋3i,3－4i)(i是虚数单位)所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若eq\o(OC,\s\up14(→))＝2eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))，则a＝，b＝.(1)B(2)－3－10[(1)eq\f(－2＋3i,3－4i)＝eq\f(－2＋3i3＋4i,25)＝eq\f(－18＋i,25)＝－eq\f(18,25)＋eq\f(1,25)i，∴复数eq\f(－2＋3i,3－4i)对应的点位于第二象限．(2)∵eq\o(OC,\s\up14(→))＝2eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))，∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝4＋a，,－4＝6＋b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－10.))]《第七章复数》单元检测试卷一一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．已知复数z对应的向量为（O为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且复数z的模为2，则复数z为（）A． B． C． D．2．已知i是虚数单位，复数的虚部是（）A．1 B． C． D．3．已知，对应的复数为，则（）A． B． C． D．4．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A． B． C． D．5．设是虚数单位，则的值为（）A． B． C． D．6．若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0 B．1 C． D．27．复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（）A．1 B．i C．﹣i D．1+i二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，共4题20分）9．复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（）A． B．的实部是C．的虚部是 D．复数在复平面内对应的点在第一象限10．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（）A．若为纯虚数，则实数a的值为2B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是C．实数是（为的共轭复数）的充要条件D．若，则实数a的值为211．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数，则 B．若复数满足，则C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则12．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数是实数的充要条件是B．复数是纯虚数的充要条件是C．若，互为共轭复数，则是实数D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称三、填空题（每题5分，4题共20分）13．已知复数，那么_____________.14．已知、，为虚数单位，且，则____________．15．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的共轭复数为_____.16．如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是___________（用代数形式表示）.四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17．已知复数（i为虚数单位），试求实数m分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.18．实数取什么值时,复数(1)与复数相等(2)与复数互为共轭复数(3)对应的点在轴上方.19．已知i是虚数单位，O为坐标原点，向量对应的复数为，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为，分别写出：（1）向量对应的复数；（2）点对应的复数；（3）向量对应的复数.20．已知复数（i为虚数单位）.（1）求及；（2）当复数z满足时，求的最大值与最小值.21．已知复数，（），且.（1）若且，求的值；（2）设；①求的最小正周期和单调递减区间；②已知当时，，试求的值.22．在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．（1）求，及，；（2）设，求．《第七章复数》单元检测试卷一答案解析一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．已知复数z对应的向量为（O为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且复数z的模为2，则复数z为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设复数在复平面内对应的点的坐标为，根据题意可画图形如图所示，，且与x轴正方向的夹角为，，，即点Z的坐标为或.或.故选：D2．已知i是虚数单位，复数的虚部是（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由复数的概念知，复数的虚部是，故选：C.3．已知，对应的复数为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，故对应的复数为，则，故选：D.4．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，解得，故，其虚部为，故选：D.5．设是虚数单位，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设,可得：，则，，可得：，可得：，故选：B.6．若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】由题意可得：，则.故.故选：D.7．复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由题意得，∴，又复数的共轭复数的虚部为，∴，解得.∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.8．计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（）A．1 B．i C．﹣i D．1+i【答案】D【解析】由等比数列的求和公式可得：1+i+i2+i3+…+i89，而i90＝i88•i2＝i2＝﹣1，故1+i+i2+i3+…+i891+i，故选：D.二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，共4题20分）9．若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（）A． B．的实部是C．的虚部是 D．复数在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABD【解析】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项正确.故选：.10．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（）A．若为纯虚数，则实数a的值为2B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是C．实数是（为的共轭复数）的充要条件D．若，则实数a的值为2【答案】ACD【解析】∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确选项D：时，有，即，故正确故选：ACD11．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数，则 B．若复数满足，则C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则【答案】AC【解析】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；B选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B错；C选项，设复数，则，因为，所以，即，所以；故C正确；D选项，设复数，，则，因为，所以，若，能满足，但，故D错误.故选：AC.12．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数是实数的充要条件是B．复数是纯虚数的充要条件是C．若，互为共轭复数，则是实数D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称【答案】AC【解析】对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数，设，则，所以是实数，故正确；对于：若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故错误；故选：AC三、填空题（每题5分，4题共20分）13．已知复数，那么_____________.【答案】【解析】，，故.故答案为：.14．已知、，为虚数单位，且，则____________．【答案】2【解析】故答案为：215．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的共轭复数为_____________.【答案】i【解析】由，得，则.故答案为：i.16．如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是_____________（用代数形式表示）.【答案】【解析】.所求复数为.故答案为：.四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17．已知复数（i为虚数单位），试求实数m分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由，得，当时，z是实数；（2）由，得且，当时，z是虚数；（3）由题意得，.即，解得.当时，z是纯虚数.18．实数取什么值时,复数(1)与复数相等(2)与复数互为共轭复数(3)对应的点在轴上方.【答案】（1）m＝－1（2）m＝1（3）m<－3或m>5.【解析】(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.19．已知i是虚数单位，O为坐标原点，向量对应的复数为，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为，分别写出：（1）向量对应的复数；（2）点对应的复数；（3）向量对应的复数.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】如图所示，O为原点，点A的坐标为，向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为，坐标平移不改变的方向和模，（1）向量对应的复数为；（2）点对应的复数为；（3）向量对应的复数为.20．已知复数（i为虚数单位）.（1）求及；（2）当复数z满足时，求的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.【解析】复数.（1），.（2）设复数，，，它表示复数z对应的点到的距离为1，构成的图形是圆心为，半径为1的圆，画出图形，如图所示，所对应的点为，则圆心P到点A的距离为.因为表示圆P上的点到点A的距离，所以的最大值为，最小值为.21．已知复数，（），且.（1）若且，求的值；（2）设；①求的最小正周期和单调递减区间；②已知当时，，试求的值.【答案】（1），；（2）①周期，单调减区间，；②【解析】由于，所以，故.（1）当时，，则，由于所以，所以或，所以或.（2）由于，故.①函数的最小正周期为.由，解得，所以函数的单调递减区间为，.②依题意，所以.所以.22．在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．（1）求，及，；（2）设，求．【答案】（1），；，；（2）.【解析】（1）因为所以所对应的复数所以，因为所以所对应的复数所以，（2）由题因为，所以，，所以《第七章复数》单元检测试卷二一、单选题1．已知复数，则（）A． B． C． D．2．，为虚数单位，若，则的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．cosπA．2 B．-2 C．2 D．4．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+iB．+iC．﹣﹣iD．﹣﹣i5．复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（）A．B．C．D．6．将复数(1,3)对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（）A． B． C． D．7．设a∈R，若（为虚数单位）为正实数，则a=()A．2B．1C．0D．-18．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、多选题9．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是()A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等10．设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是()A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为D．复数z在复平面内对应的点在直线上11．设，，为虚数单位，则以下结论正确的是（）A．对应的点在第一象限 B．一定不为纯虚数C．一定不为实数 D．对应的点在实轴的下方12．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（）A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上B．若复数z满足，则复数C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则三、填空题13．则复数，（为虚数单位），则的虚部等于.14．若复数（为虚数单位），则______________.15．在复平面上，设点A、B、C，对应的复数分别为，顺次过A、B、C做平行四边形ABCD,则点D的坐标为_______________．16．若，，则的最大值是______.四、解答题17．计算:(1)；(2).18．已知复数z=2+im2-3m(1+i)-2+2i.当实数（1）实数；（2）纯虚数；（3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.19．已知复数满足.（1）求复数的共轭复数；（2）若，且复数对应向量的模不大于复数所对应向量的模，求实数的取值范围.20．已知复数和，若，试求的取值范围.21．设，已知，，求.22．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为，（其中为原点）.已知点对应的复数，求和分别对应的复数.《第七章复数》单元检测试卷二答案解析一、单选题1．已知复数，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的实部为，虚部为，故选2．，为虚数单位，若，则的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】A【解析】由（m+i）（2﹣3i）＝（2m+3）+（2﹣3m）i＝5-i，得，即m＝1．故选A．3．cosπA．2 B．-2 C．2 D．【答案】C【解析】cos故选：C.4．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+iB．+iC．﹣﹣iD．﹣﹣i【答案】C【解析】由给出复平面坐标系，，，则.5．复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，共轭复数为，所以为，故选C．6．将复数(1,3)对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是故选：A7．设a∈R，若（为虚数单位）为正实数，则a=()A．2B．1C．0D．-1【答案】B【解析】(a-i)2i=(a2-2ai+8．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由于，可知点位于第四象限，故选D．二、多选题9．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是()A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等【答案】BCD【解析】对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误；对于B,虚部为的虚数可以表示为,有无数个,故B正确；根据复数的分类,判断C正确；两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选:BCD.10．设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是()A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为D．复数z在复平面内对应的点在直线上【答案】AC【解析】,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对应的点不在直线上,D不正确.故选:AC11．设，，为虚数单位，则以下结论正确的是（）A．对应的点在第一象限 B．一定不为纯虚数C．一定不为实数 D．对应的点在实轴的下方【答案】CD【解析】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；当，即或时，为纯虚数，故B错误；因为恒成立，所以一定不为实数，故C正确；由选项A的分析知，对应的点在实轴的上方，所以对应的点在实轴的下方，故D正确.故选：CD.12．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（）A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上B．若复数z满足，则复数C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则【答案】CD【解析】满足的复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上，A错