《第七章 复数》单元复习与单元检测试卷（共三套）

《第七章复数》章节复习【体系构建】【规律方法收藏】1．待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z＝a＋bi(a，b∈R)，建立a，b的关系式，然后求解问题．2．解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，有时会导致计算量过大．运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计算过程．3．复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据．4．复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考察的对象之一．求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解；(3)利用几何法求解．【学科思想培优】一、复数的基本概念复数的分类，要弄清复数类型的充要条件，若复数a＋bi是实数，则b＝0，若复数a＋bi是纯虚数，则a＝0且b≠0，若复数a＋bi为零，则a＝0，且b＝0，若复数a＋bi是虚数，则b≠0.[典例1](1)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0(2)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(3)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．解析(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2－b2≥0，))即b＝0，故z是实数，A正确．若z2<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2－b2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故B正确．若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))z2＝－b2<0，故D正确．(2)a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其为纯虚数得a＝3.(3)复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.答案(1)C(2)D(3)21二、复数的四则运算复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．[典例2]计算：(1)eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)；(2)eq\f(2＋2i4,1－\r(3)i5).解(1)原式＝eq\f(\r(2)＋i,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋ii,i＋\r(2))＝i.(2)原式＝eq\f(161＋i4,1－\r(3)i41－\r(3)i)＝eq\f(162i2,－2－2\r(3)i21－\r(3)i)＝eq\f(－64,41＋\r(3)i21－\r(3)i)＝eq\f(－16,1＋\r(3)i×4)＝eq\f(－4,1＋\r(3)i)＝－1＋eq\r(3)i.三、复数及其运算的几何意义1．任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量eq\o(OZ,\s\up16(→))对应，这些对应都是一一对应，即2．设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，其对应的复平面内的点分别为Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝|eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))|＝|Z2－Z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).[典例3]已知z是复数，z＋2i，eq\f(z,2－i)均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，所以y＝－2.因为eq\f(z,2－i)＝eq\f(x－2i,2－i)＝eq\f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq\f(1,5)(2x＋2)＋eq\f(1,5)(x－4)i，且eq\f(z,2－i)为实数，所以x＝4，所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋4a－a2>0，,8a－2>0，))解得2<a<6，所以实数a的取值范围是(2,6)．[典例4]已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，∴|z1|＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2).(2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1，∵|z|＝1，∴点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，∵z1＝2－2i，∴Z1(2，－2)，∴|z－z1|为点Z1到圆上一点的距离，∴|z－z1|max＝|ZZ1|max＝eq\r(22＋22)＋1＝2eq\r(2)＋1.解法二：∵|z|＝1，∴可设z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝eq\r(cosθ－22＋sinθ＋22)＝eq\r(9＋4sinθ－cosθ)＝eq\r(9＋4\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))).∴当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝1时，|z－z1|取得最大值，最大值为eq\r(9＋4\r(2))＝2eq\r(2)＋1.四、复数方程问题[典例5]设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0，(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明对任意θ≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，方程无纯虚数根．解(1)设实数根是a，则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0.∵a，tanθ∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－atanθ－2＝0，,a＋1＝0，))∴a＝－1，且tanθ＝1.又0<θ<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,4).(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为x＝bi(b∈R，b≠0)，则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b2＋b－2＝0，,btanθ＋1＝0，))此方程组无实数解．所以对任意θ≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，方程无纯虚数根．《第七章复数》单元检测试卷一学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共8小题）1．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则复数z的虚部为（）A．1 B．2i C．±1 D．23．计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（）A．1 B．i C．﹣i D．1+i4．复数i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0 B．1 C． D．26．若（1+i）＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i7．已知（5，﹣1），（3，2），对应的复数为z，则（）A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i8．已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）Ⅱ卷（非选择题）二．多选题（共4小题）9．已知复数z＝x+yi（x，y∈R），则（）A．z2≥0 B．z的虚部是yi C．若z＝1+2i，则x＝1，y＝2 D．10．下面是关于复数z的四个命题：其中的真命题为（）A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣111．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数z∈R，则 B．若复数z满足z2∈R，则z∈R C．若复数z满足，则z∈R D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则12．若复数z满足（z+2）i＝3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A．z的虚部为3 B． C．z的共轭复数为2+3i D．z是第三象限的点三．填空题（共4小题）13．复数．14．复数对应的点在第象限，复数z的实部是．15．已知x、y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，则x+y＝．16．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1﹣i，则z的共轭复数为．四．解答题（共5小题）17．计算：（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）；（2）（2﹣i）﹣（﹣1+5i）+（3+4i）；（3）（a+bi）﹣（3a﹣4bi）+5i（a，b∈R）．18．已知复数z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是：（Ⅰ）虚数；（Ⅱ）纯虚数；（Ⅲ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．19．已知：复数z＝（1+i）2，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．20．已知复数z＝（m2﹣m）+（m+3）i（m∈R）在复平面内对应点Z．（Ⅰ）若m＝2，求z；（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，求m的值．21．已知复数z＝1+mi（m∈R，i为虚数单位），且（1﹣i）z为实数．（1）求复数z；（2）设复数z1＝x+yi（x，y∈R）满足，求|z1|的最小值．《第七章复数》单元检测试卷一答案解析一．选择题（共8小题）1．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，可得a﹣2＝0，解得a＝2．故选：C．2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则复数z的虚部为（）A．1 B．2i C．±1 D．2【解答】解：因为复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，所以，则a＝1，所以z＝2i，则复数z的虚部为2．故选：D．3．计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（）A．1 B．i C．﹣i D．1+i【解答】解：由等比数列的求和公式可得：1+i+i2+i3+…+i89，而i90＝（i4）88•i2＝i2＝﹣1，故1+i+i2+i3+…+i891+i，故选：D．4．复数i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵i，∴复数i在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．5．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0 B．1 C． D．2【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故选：D．6．若（1+i）＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i【解答】解：由（1+i）＝1﹣i，得，∴z＝i．故选：D．7．已知（5，﹣1），（3，2），对应的复数为z，则（）A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i【解答】解：∵（5，﹣1），（3，2），∴（）＝（﹣2，3），对应的复数为z＝﹣2+3i，则2﹣3i，故选：D．8．已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）【解答】解：复数i．z在复平面内对应的点在第四象限，∴，解得﹣1＜t＜1．则实数t的取值范围为（﹣1，1）．故选：B．二．多选题（共4小题）9．已知复数z＝x+yi（x，y∈R），则（）A．z2≥0 B．z的虚部是yi C．若z＝1+2i，则x＝1，y＝2 D．【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R），∴z2＝（x+yi）＝x2﹣y2+2xyi，不能判断正负，故A错误；z的虚部是y，故B错误；若z＝1+2i，则x＝1，y＝2，故C正确；|z|，故D正确．故选：CD．10．下面是关于复数z的四个命题：其中的真命题为（）A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣1【解答】解：∵z1﹣i，∴A：|z|，B：z2＝2i，C：z的共轭复数为﹣1+i，D：z的虚部为﹣1，故选：BD．11．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数z∈R，则 B．若复数z满足z2∈R，则z∈R C．若复数z满足，则z∈R D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则【解答】解：若复数z∈R，则，故A正确；若复数z满足z2∈R，则z∈R错误，如z＝i，满足z2∈R，但z∉R；设z＝a+bi（a，b∈R），由∈R，得b＝0，则z∈R，正确；若复数z1，z2满足z1z2∈R，则错误，如z1＝i，z2＝2i．故选：AC．12．若复数z满足（z+2）i＝3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A．z的虚部为3 B． C．z的共轭复数为2+3i D．z是第三象限的点【解答】解：∵（z+2）i＝3+4i，∴z，虚部为﹣3，，共轭复数为2+3i，是第四象限点．故选：BC．三．填空题（共4小题）13．复数．【解答】解：||＝|1﹣i|．故答案为：．14．复数对应的点在第四象限，复数z的实部是．【解答】解：∵，∴z对应的点的坐标为（，），在第四象限．复数z的实部是．故答案为：四，．15．已知x、y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，则x+y＝2．【解答】解：∵（x﹣2）+yi＝﹣1+i，∴x﹣2＝﹣1且y＝1；解得x＝1，y＝1，∴x+y＝2，故答案为：2．16．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1﹣i，则z的共轭复数为i．【解答】解：由（1+i）z＝1﹣i，得z，则．故答案为：i．四．解答题（共5小题）17．计算：（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）；（2）（2﹣i）﹣（﹣1+5i）+（3+4i）；（3）（a+bi）﹣（3a﹣4bi）+5i（a，b∈R）．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2+（3+1﹣3）i＝1+i．（2）原式＝（2+1+3）+（﹣1﹣5+4）i＝6﹣2i．（3）原式＝a﹣3a+（b+4b+5）i＝﹣2a+（5b+5）i．18．已知复数z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是：（Ⅰ）虚数；（Ⅱ）纯虚数；（Ⅲ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．【解答】解：z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）若z是虚数，则m2﹣3m+2≠0，即m≠1且m≠2；（Ⅱ）若z是纯虚数；则，解得m；（Ⅲ）若复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数，则2m2﹣3m﹣2+m2﹣3m+2＝0，即3m2﹣6m＝0，得m＝0或2．19．已知：复数z＝（1+i）2，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．20．已知复数z＝（m2﹣m）+（m+3）i（m∈R）在复平面内对应点Z．（Ⅰ）若m＝2，求z；（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵m＝2，∴z＝2+5i，则；（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，则m2﹣m＝m+3，即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或m＝3．21．已知复数z＝1+mi（m∈R，i为虚数单位），且（1﹣i）z为实数．（1）求复数z；（2）设复数z1＝x+yi（x，y∈R）满足，求|z1|的最小值．【解答】解：（1）由z＝1+mi（m∈R），得（1﹣i）z＝（1﹣i）（1+mi）＝（1+m）+（m﹣1）i，∵（1﹣i）z为实数，∴m﹣1＝0，∴m＝1．∴z＝1+i（2）设z1＝x+yi（x，y∈R），，∵，∴|（x+yi）﹣（1﹣i）|＝1，即|（x﹣1）+（y+1）i|＝1，∴（x﹣1）2+（y+1）2＝1，即复数z1在复平面内对应的点的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以1为半径的圆．∴|z1|的最小值为．《第七章复数》单元检测试卷二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共8小题）1．复数，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（1，0） B．（0，1） C． D．2．若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数，则（）A．a≠2 B．a≠1 C．a＝1 D．a≠1且a≠23．已知非零复数z满足i（其中是的z共轭复数，是虚数单位），z在复平面内对应点P（x，y），则点P的轨迹为（）A．x﹣y＝0（x2+y2≠0） B．x+y＝0（x2+y2≠0） C．x﹣y﹣2＝0（x2+y2≠0） D．x+y﹣2＝0（x2+y2≠0）4．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若复数z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虚数单位，则|z1﹣z2|的最大值为（）A． B． C． D．6．已知i为虚数单位，若复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，1），（1，﹣2），则复数（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．﹣4﹣3i D．﹣37．设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010i C．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i8．设m∈R，复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）＝mlnx+x，若曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）A． B．（﹣∞，0]∪{1} C．（﹣∞，0]∪{2} D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）第Ⅱ卷（非选择题）二．多选题（共4小题）9．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0 B．复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0 C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数 D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称10．若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A． B．z的实部是2 C．z的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点在第一象限11．已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（）A．w在复平面内对应的点位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的实数部分为 D．w的虚部为12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A．（1﹣i）（1+i） B． C． D．（1﹣i）2三．填空题（共4小题）13．若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为14．关于x的实系数方程x2+4x+m＝0的两个复数根为a、β，且|a﹣β|＝2，则m＝．15．若|z1﹣z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数与z2＝2+bi互为“邻位复数”，a，b∈R，则a2+b2的最大值为．16．定义复数的一种运算z1⊗z2（等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi（a，b∈R）满足a+b＝3，则z⊗最小值为．四．解答题（共5小题）17．（1）计算：（i为虚数单位）；（2）已知z是一个复数，求解关于z的方程z3i•1+3i．（i为虚数单位）．18．实数m分别取什么数值时，复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（1）与复数2﹣12i相等．（2）与复数12+16i互为共轭．（3）对应的点在x轴上方．19．设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．（2）若ω，求证：ω为纯虚数．20．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i．（1）求，及，；（2）设∠OCB＝θ，求cosθ．21．已知复数z1＝sin2x+λi，（λ，m，x∈R），且z1＝z2．（1）若λ＝0且0＜x＜π，求x的值；（2）设λ＝f（x）；①求f（x）的最小正周期和单调递减区间；②已知当x＝α时，，试求的值．《第七章复数》单元检测试卷二答案解析一．选择题（共8小题）1．复数，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（1，0） B．（0，1） C． D．【解答】解：由i；则在复平面内，z对应的点的坐标是：（0，1）．故选：B．2．若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数，则（）A．a≠2 B．a≠1 C．a＝1 D．a≠1且a≠2【解答】解：∵若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i是纯虚数，∴a2﹣3a+2＝0且|a﹣1|≠0∴a＝2，a＝1，且a≠1，a≠0，∴a＝2，∴复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数时，a≠2，故选：A．3．已知非零复数z满足i（其中是的z共轭复数，是虚数单位），z在复平面内对应点P（x，y），则点P的轨迹为（）A．x﹣y＝0（x2+y2≠0） B．x+y＝0（x2+y2≠0） C．x﹣y﹣2＝0（x2+y2≠0） D．x+y﹣2＝0（x2+y2≠0）【解答】解：由题意，z＝x+yi（x，y∈R），由i，得（x2+y2≠0），即x﹣yi＝i（x+yi）＝xi﹣y，则x＝﹣y，即x+y＝0（x2+y2≠0）．∴点P的轨迹为x+y＝0（x2+y2≠0）．故选：B．4．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵，∴的虚部为，由，得a＝2．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故选：A．5．若复数z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虚数单位，则|z1﹣z2|的最大值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），∴z2对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z1＝2+i对应的点为Z1（2，1）．如图：则|z1﹣z2|的最大值为．故选：C．6．已知i为虚数单位，若复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，1），（1，﹣2），则复数（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．﹣4﹣3i D．﹣3【解答】解：由题意，z1＝2+i，z2＝1﹣2i，则．故选：A．7．设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010i C．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+……+2020i2019．∴iS＝2i2+3i3+……+2020i2020．则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．i2021+i，∴S．故选：B．8．设m∈R，复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）＝mlnx+x，若曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）A． B．（﹣∞，0]∪{1} C．（﹣∞，0]∪{2} D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解答】解：∵z＝（1+i）（m﹣i）＝（m+1）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于实轴上，∴m﹣1＝0，即m＝1．则f（x）＝lnx+x，f′（x），又当x→0时，f（x）→﹣∞，作出函数f（x）＝lnx+x的图象如图：直线l：y＝2kx﹣1过（0，﹣1），设切点为（x0，lnx0+x0），则在切点处的切线方程为y﹣lnx0﹣x0＝（）（x﹣x0），把（0，﹣1）代入，可得﹣1﹣lnx0﹣x0＝﹣1﹣x0，即lnx0＝0，即x0＝1．则2k＝2，k＝1．而f′（x）1（x＞0），由图可知，当2k∈（﹣∞，1]，即k∈（﹣∞，]时，曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，综上可得，当k∈（﹣∞，]∪{1}时，曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点．故选：A．二．多选题（共4小题）9．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0 B．复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0 C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数 D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称【解答】解：对于选项A：复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0，所以选项A正确；对于选项B：复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，所以选项B错误；对于选项C：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi（a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，所以，所以选项C正确；对于选项D：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi（a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，则它们在复平面内所对应的点分别为（a，b）和（a，﹣b），关于x轴对称，所以选项D错误，故选：AC．10．若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A． B．z的实部是2 C．z的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点在第一象限【解答】解：由（1+i）z＝3+i，得z．∴|z|，故A正确；z的实部为2，故B正确；z的虚部是﹣1，故C错误；复数在复平面内对应的点的坐标为（2，1），在第一象限，故D正确．故选：ABD．11．已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（）A．w在复平面内对应的点位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的实数部分为 D．w的虚部为【解答】解：因为复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，则复数i；故w对应的点为（，）；|w|1；且w的实部为：，虚部为：；故选：ABC．12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A．（1﹣i）（1+i） B． C． D．（1﹣i）2【解答】解：根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N}中，n＝4k（k∈N）时，in＝1；n＝4k+1（k∈N）时，in＝i；n＝4k+2（k∈N）时，in＝﹣1；n＝4k+3（k∈N）时，in＝﹣i，∴M＝{﹣1，1，i，﹣i}．选项A中，（1﹣i）（1+i）＝2∉M；选项B中，；选项C中，；选项D中，（1﹣i）2＝﹣2i∉M．故选：BC．三．填空题（共4小题）13．若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为1【解答】解：设z＝a+bi；|1﹣z|•|1+z|＝2，即：2•，令|z|＝t．（t＞0），则t2＝a2+b2，所以2⇒4＝t4+2t2+1﹣4a2，因为a2≥0，所以4≤t4+2t2+1，所以t4+2t2﹣3≥0，解得：t2≥1或者t2≤﹣3（舍），所以t≥1，故答案为：1．14．关于x的实系数方程x2+4x+m＝0的两个复数根为a、β，且|a﹣β|＝2，则m＝3或5．【解答】解：对于方程x2+4x+m＝0，∴α+β＝﹣4，αβ＝m，①当△＝16﹣4m＜0时，设两个复数根为a、β，且设α＝a+bi，β＝a﹣bi，a，b∈R，所