《8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系》考点讲解复习与同步训练

《8.4空间点、直线、平面之间的位置关系》考点讲解【思维导图】考法一三个基本事实【例1-1】如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．【例1-2】正方体中，M，N，Q，P分别是AB，BC，，的中点．（1）证明：M，N，Q，P四点共面．（2）证明：PQ，MN，DC三线共点．【一隅三反】1．(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（）A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面2．在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（）A． B．C． D．4．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.考法二平面【例2-1】下列有关平面的说法正确的是（）A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面【例2-2】空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．三个平面将空间不可分成（）部分.A．4 B．5 C．8 D．72．（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.考法三空间点、直线、平面之间的位置关系【例3-1】一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是（）A．平行或异面 B．相交或异面 C．异面 D．相交【例3-2】．若直线与平面平行，直线，则与位置关系：（）A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点【一隅三反】1．若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交2．若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线均与直线异面B．内不存在与平行的直线C．直线与平面有公共点D．内的直线均与相交3．平面满足则与的位置关系为（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对《8.4空间点、直线、平面之间的位置关系》考点讲解答案解析考法一三个基本事实【例1-1】如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接，，则，因为，，所以四边形为平行四边形，又，平面，则平面，因为平面平面，所以．即，，三点共线．【例1-2】正方体中，M，N，Q，P分别是AB，BC，，的中点．（1）证明：M，N，Q，P四点共面．（2）证明：PQ，MN，DC三线共点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接.分别为的中点，且，分别为，的中点，且.四边形为平行四边形，且且四点共面.（2）由（1）知且必交于一点.平面平面.平面平面.又平面平面.，即三线共点.【一隅三反】1．(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（）A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面【答案】ABC【解析】在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A，B，C均正确，D不正确.故选：ABC2．在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】选项A，点，，确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在直线上，故，，，不共面，选项A错误；选项B，连接底面对角线，则由中位线定理可知，，又易知，则，故，，，共面，选项B正确；选项C，显然，，所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故故，，，不共面，选项C错误；选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是点，，确定的平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故，，，四点不共面，选项D错误.4．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.【答案】证明见解析【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.考法二平面【例2-1】下列有关平面的说法正确的是（）A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面【答案】D【解析】对于A，我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，平行四边形是平面上四条线段构成的图形，是不能无限延展的，故A错误；对于B，平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，而平面是无限延展的，无法度量，故B错误；对于C，太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；对于D，在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确.故选：D【例2-2】空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，三个平面最多将空间分成个区域.故选：D【一隅三反】1．三个平面将空间不可分成（）部分.A．4 B．5 C．8 D．7【答案】B【解析】若三个平面互相平行，则把空间分成4部分；若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有一条交线，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分.故选：B．2．（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.【答案】45【解析】（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定5个平面.故答案为：（1）4；（2）5.考法三空间点、直线、平面之间的位置关系【例3-1】一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是（）A．平行或异面 B．相交或异面 C．异面 D．相交【答案】B【解析】如图（1）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为相交直线；如图（2）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为异面直线，综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.故选:B.【例3-2】．若直线与平面平行，直线，则与位置关系：（）A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点【答案】D【解析】若直线与平面平行，直线，则直线与可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.故选：D.【一隅三反】1．若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交【答案】D【解析】因为、为异面直线，所以、所成的角为锐角或直角，因为直线与平行，所以与所成的角为锐角或直角，所以与的位置关系是异面或相交，故选：D2．若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线均与直线异面B．内不存在与平行的直线C．直线与平面有公共点D．内的直线均与相交【答案】C【解析】若直线不平行于平面，则直线与平面相交或在平面内；对于A，内的直线与直线异面，可能相交，也可能平行，故不成立；对于B，当在平面内就存在与平行的直线，故不成立；对于C，当直线与平面相交与在平面内都有公共点，故成立；对于D，内的直线均与相交，可能异面，也可能平行；故不成立.故选：C.3．平面满足则与的位置关系为（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对【答案】C【解析】例如正方体的四个侧面都与底面垂直，它们之间有平行有相交．故选：C．《8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（精练）》同步练习【题组一三个基本事实】1．（多选）下面四个条件中，能确定一个平面的是（）A．一条直线 B．一条直线和一个点C．两条相交的直线 D．两条平行的直线2．（多选）下列叙述中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则重合D．若，则3．以下不属于公理的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补D．平行于同一条直线的两条直线平行4．下列说法正确的是（）A．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面B．平面与平面相交，它们只有有限个公共点C．经过三点，有且只有一个平面D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合5．下面四个条件中，能确定一个平面的是（）A．空间中任意三点 B．空间中两条直线C．空间中两条相交直线 D．一条直线和一个点【题组二平面】1.若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作（）A．A∈b∈β B．A∈b⊂βC．A⊂b⊂β D．A⊂b∈β2．如图所示，用符号语言可表述为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n3．已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒C．A∈，A∈β⇒D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.5．在空间中，两个不同平面把空间最少可分成___________部分，最多可分成___________部分.6．用符号语言表示下列语句，并画出图形.（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；（2）直线l在平面α内，直线m不在平面α内.【题组三空间点、直线、平面之间的位置关系】1．一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直，则它与另一条的位置关系不可能的是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直2．若异面直线分别在平面内，且，则直线l（）A．与直线都相交B．至少与中的一条相交C．至多与中的一条相交D．与中的一条相交，另一条平行3．若a，b是异面直线，直线，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交4．和是异面直线，且，则过点与都相交的直线（）A．不存在 B．无数条 C．唯一一条 D．最多一条5．已知三条直线，，满足：与平行，与异面，则与（）A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交6．已知，，是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（）A．若直线，异面，，异面，则，异面B．若直线，相交，，相交，则，相交C．若，则，与所成的角相等D．若，，则7．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A．异面或平行 B．异面或相交C．异面 D．相交、平行或异面8．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（）A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面9．空间中，直线a与平面的位置关系不可能是（）A．平行 B．相交 C．异面 D．直线在平面内10．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（）A．只和这个平面内的一条直线平行 B．只和这个平面内的两相交直线不相交C．和这个平面内的任何一条直线都平行 D．和这个平面内的任何一条直线都不相交11．设直线不在平面内，直线在平面内，则下列说法正确的是（）A．直线与直线没有公共点 B．直线与直线异面C．直线与直线至多一个公共点 D．直线与直线不垂直12．在正方体中，判断下列直线间的位置关系：①与________；②与________；③与(为的中点)________；④与________.《8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（精练）》同步练习答案解析【题组一三个基本事实】1．（多选）下面四个条件中，能确定一个平面的是（）A．一条直线 B．一条直线和一个点C．两条相交的直线 D．两条平行的直线【答案】CD【解析】对于选项A：一条直线不能确定一个平面，故选项A不正确；对于选项B：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B不正确；对于选项C：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C正确；对于选项D：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D正确；故选：CD2．（多选）下列叙述中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则重合D．若，则【答案】AD【解析】对于选项A：直线上有两点在平面内，则直线在平面内；故选项A正确；对于选项B：若，则不一定是两个面的公共点.故选项B错误；对于选项C：若，当三点共线时，则不一定重合.故选项C错误；对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，故选项D正确.故选：AD.3．以下不属于公理的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】C【解析】在中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故是公理；在中，由公理二得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故正确；在中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故是定理，不是公理；在中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故是公理；故选：C4．下列说法正确的是（）A．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面B．平面与平面相交，它们只有有限个公共点C．经过三点，有且只有一个平面D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合【答案】D【解析】对于，当点在直线上时，说法不正确；对于，当平面与平面相交，它们无数个公共点，这些公共点在一条公共直线上，说法不正确；对于，经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，说法不正确；对于，如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，说法正确.故选：D5．下面四个条件中，能确定一个平面的是（）A．空间中任意三点 B．空间中两条直线C．空间中两条相交直线 D．一条直线和一个点【答案】C【解析】A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；B.空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；C.空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；D.一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.故选：C.【题组二平面】1.若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作（）A．A∈b∈β B．A∈b⊂βC．A⊂b⊂β D．A⊂b∈β【答案】B【解析】点A在直线b上，记作，b在平面β内，记作，故选：B2．如图所示，用符号语言可表述为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【答案】A【解析】根据点、线、面的位置关系的符号表示可得α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选：A3．已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒C．A∈，A∈β⇒D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合【答案】C【解析】，A∈β，由基本事实可知为经过A的一条直线而不是A.故的写法错误.故选：C4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M_______l.【答案】【解析】∵a∩b＝M，所以，因为，所以，因为，所以.故答案为：5．在空间中，两个不同平面把空间最少可分成___________部分，最多可分成___________部分.【答案】34【解析】两个平行平面将空间分成3部分，两个相交平面可以将空间分成4部分，故答案为：3；46．用符号语言表示下列语句，并画出图形.（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；（2）直线l在平面α内，直线m不在平面α内.【答案】（1），图形见解析（2），，图形见解析【解析】（1），图形如图：（2），，图形如图：或【题组三空间点、直线、平面之间的位置关系】1．一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直，则它与另一条的位置关系不可能的是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直【答案】B【解析】若该直线与两平行线中另一条也平行，则三条直线都平行，不满足该直线与其中一条平行线垂直，所以该直线与另一条线不可能平行，故选：B2．若异面直线分别在平面内，且，则直线l（）A．与直线都相交B．至少与中的一条相交C．至多与中的一条相交D．与中的一条相交，另一条平行【答案】B【解析】因为，所以，则与a平行或相交，与b平行或相交，又为异面直线，所以不能与同时平行，即与可都相交，也可能与一条相交，所以A、C、D错误，故选：B3．若a，b是异面直线，直线，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交【答案】D【解析】若a，b是异面直线，直线，则c与b不可能是平行直线．否则，若，则有，得出a，b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾，故c与b的位置关系为异面或相交，故选：D4．和是异面直线，且，则过点与都相交的直线（）A．不存在 B．无数条 C．唯一一条 D．最多一条【答案】D【解析】∵，∴由点和直线确定一平面，是异面直线，则直线与平面可能相交可能平行，若，则过直线不可能同时与都相交，若与相交，则过交点与的直线与相交或平行，∴过点与都相交的直线最多只有一条．故选：D．5．已知三条直线，，满足：与平行，与异面，则与（）A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交【答案】C【解析】如图所示：与可能异面，也可能相交，不可能平行．用反证法证明一定不平行，假设，又，则，这与已知与异面矛盾，所以假设不成立，故与不可能平行.故选：C.6．已知，，是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（）A．若直线，异面，，异面，则，异面B．若直线，相交，，相交，则，相交C．若，则，与所成的角相等D．若，，则【答案】C【解析】对于A，若直线，异面，，异面，则，相交、平行或异面，故A错误；对于B，若直线，相交，，相交，则，相交、平行或异面，故B错误；对于C，由直线所成的角的定义可得若，则，与所成的角相等，故C正确；对于D，若，，则，相交、平行或异面，故D错误.故选：C.7．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A．异面或平行 B．异面或相交C．异面 D．相交、平行或异面【答案】D【解析】a和b是异面直线，b和c是异面直线，根据异面直线的定义可得：可以是异面直线，如下所示：也可以相交也可以平行故选：.8．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，，且