人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》单元同步练习及答案

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》单元同步练习《8.1基本立体图形》同步练习第1课时棱柱、棱锥、棱台A组基础题一、选择题1．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定3．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形 B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形4．(多选题)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱柱 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台5．(多选题)下列说法错误的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？10．试从正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．B组能力提升一、选择题1．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥2．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④二、填空题3．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．三、解答题4.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？5.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．《8.1基本立体图形》同步练习答案解析第1课时棱柱、棱锥、棱台A组基础题一、选择题1．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()【答案】C[动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定【答案】A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]3．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形 B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形【答案】C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．①②]4．(多选题)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱柱 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台【答案】ACD[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]5．(多选题)下列说法错误的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【答案】ABC[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．①②]二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【答案】12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12cm.]7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．【答案】eq\r(10)[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(10).]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．【答案】3[如图，三棱台可分成三棱锥C1­ABC，三棱锥C1­ABB1，三棱锥A­A1B1C1，共3个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图①所示，三棱锥A1­AB1D1(【答案】不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1­ACD1(【答案】不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1­ABD(【答案】不唯一)．①②③B组能力提升一、选择题1．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥【答案】B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]2．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④【答案】B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]二、填空题3．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．【答案】10[在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]三、解答题4.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解](1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．(3)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－eq\f(1,2)a2－a2－a2＝eq\f(3,2)a2.5.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．[解]把长方体的部分面展开，如图，有三种情况．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为eq\r(90)，eq\r(74)，eq\r(80)，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为eq\r(74).《8.1基本立体图形》同步练习第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体A组基础题一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤ B．①和②C．③和④ D．①和④2．图①②中的图形折叠后的图形分别是()①②A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是()A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为30°等腰三角形 D．其他等腰三角形4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A．32B．eq\f(32,π)C．eq\f(16,π)D．eq\f(8,π)二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．8．一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2.三、解答题9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．10．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．B组能力提升一、选择题1.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是()A．棱柱 B．棱台C．棱锥 D．球的一部分2.(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的二、填空题3．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．则绳子的最短长度的平方f(x)＝________.三、解答题4．球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径．5．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．《8.1基本立体图形》同步练习答案解析第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体A组基础题一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤ B．①和②C．③和④ D．①和④【答案】D[根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是()①②A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱【答案】B[根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是()A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为30°等腰三角形 D．其他等腰三角形【答案】A[设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2πr＝π·eq\f(a,2)，则r＝eq\f(a,4)，故轴截面是边长为eq\f(a,2)的等边三角形．]4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B[一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B．]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A．32B．eq\f(32,π)C．eq\f(16,π)D．eq\f(8,π)【答案】B[若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为eq\f(8,π)，其轴截面的面积为eq\f(32,π)；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为eq\f(4,π)，其轴截面的面积为eq\f(32,π).]二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．【答案】圆柱[一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．【答案】②[因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2.【答案】9π[设截面圆半径为rcm，则r2＋42＝52，所以r＝3.所以截面圆面积为9πcm2.]三、解答题9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解]如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12cm，所以高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.B组能力提升一、选择题1.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是()A．棱柱 B．棱台C．棱锥 D．球的一部分【答案】A[由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA′)，当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′),当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段(靠近AB),当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AB),当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB),当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD),同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；Q在C处，P在AA′上运动；P，Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选A．]2.(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB[如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．]二、填空题3．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．则绳子的最短长度的平方f(x)＝________.【答案】x2＋16(0≤x≤4)[将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝eq\f(L,l)＝eq\f(π,2).由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝eq\r(x2＋16)(0≤x≤4)．所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]三、解答题4．球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径．[解]设两个平行截面圆的半径分别为r1，r2，球半径为R.由πreq\o\al(2,1)＝5π，得r1＝eq\r(5).由πreq\o\al(2,2)＝8π，得r2＝2eq\r(2).(1)如图，当两个截面位于球心O的同侧时，有eq\r(R2－r\o\al(2,1))－eq\r(R2－r\o\al(2,2))＝1，即eq\r(R2－5)＝1＋eq\r(R2－8)，解得R＝3.(2)当两个截面位于球心O的异侧时，有eq\r(R2－5)＋eq\r(R2－8)＝1.此方程无解．由(1)(2)知球的半径为3.5．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．[解]圆台的轴截面如图，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心．过点D作DF⊥AB于点F，交GH于点E.由题意知DO1＝1，AO2＝4，∴AF＝3.∵DE＝2EF，∴DF＝3EF，∴eq\f(GE,AF)＝eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,3)，∴GE＝2.∴⊙O3的半径为3.∴这个截面面积为9π.《8.2立体图形的直观图》同步练习A组基础题一、选择题1．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一个()A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋eq\r(2) B．eq\f(1＋\r(2),2)C．eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)4．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是()ABCD5．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是()A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．B组能力提升一、选择题1.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A．2 B．4C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)2．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2cm B．3cmC．2.5cm D．5cm二、填空题3．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18eq\r(2)，则原正方形的面积为________．三、解答题4.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．5．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．《8.2立体图形的直观图》同步练习答案解析A组基础题一、选择题1．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一个()A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形【答案】A[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．]2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm【答案】C[由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm，2cm，1.6cm.]3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋eq\r(2) B．eq\f(1＋\r(2),2)C．eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)【答案】A[画出其相应平面图易求，故选A．]4．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是()ABCD【答案】CD[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]5．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是()A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】ACD[对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．【答案】(4,2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．【答案】2.5[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．【答案】2[△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解](1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．①②③(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝eq\f(1,2)EC．(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC．B组能力提升一、选择题1.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A．2 B．4C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)【答案】D[设△AOB的边OB上的高为h，由题意，得S原图形＝2eq\r(2)S直观图，所以eq\f(1,2)OB·h＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×2×O′B′.因为OB＝O′B′，所以h＝4eq\r(2).故选D．]2．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2cm B．3cmC．2.5cm D．5cm【答案】D[由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5cm.故选D．]二、填空题3．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18eq\r(2)，则原正方形的面积为________．【答案】72[如图所示，作出正方形OABC的直观图O′A′B′C′，作C′D′⊥x′轴于点D′.S直观图＝O′A′×C′D′.又S正方形＝OC×OA．所以eq\f(S正方形,S直观图)＝eq\f(OC×OA,O′A′×C′D′)，又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝eq\r(2)C′D′，即C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，所以eq\f(S正方形,S直观图)＝eq\f(OC×OA,OA×\f(\r(2),2)O′C′)＝eq\f(2O′C′,\f(\r(2),2)O′C′)＝2eq\r(2).又S直观图＝18eq\r(2)，所以S正方形＝2eq\r(2)×18eq\r(2)＝72.]三、解答题4.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．[解]四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝eq\r(2)，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2eq\r(2).5．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解](1)画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.①②《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习A组基础题一、选择题1．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．963．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶34．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．8.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.三、解答题9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．11．建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．B组能力提升一、选择题1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A．3πB．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)π D．12．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(2),3)二、填空题3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．三、解答题4．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．5．一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习答案解析A组基础题一、选择题1．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【答案】C[∵VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96【答案】B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3【答案】B[两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B．]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)【答案】A[如图所示，正方体的A′、C′、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，则正四面体边长为eq\r(2)a.∴正方体表面积S1＝6a2，正四面体表面积为S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).]5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)【答案】C[由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4·\f(x＋y,2)·h′＝x2＋y2，,z2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－x,2)))eq\s\up12(2)＝h′2，))消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).]二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．【答案】eq\r(6)[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).]7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．【答案】eq\r(3)eq\f(\r(2),12)[S表＝4×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\r(3)，V体＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×12×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),12).]8.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.【答案】eq\f(\r(3),3)a[在三棱锥A1­ABD中，AA1是三棱锥A1­ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵V三棱锥A1­ABD＝V三棱锥A­A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×d，∴d＝eq\f(\r(3),3)a.∴点A到平面A1BD的距离为eq\f(\r(3),3)a.]三、解答题9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．[解]以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD­ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V长方体，同理，VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝eq\f(1,6)V长方体，∴V四面体ABCD＝V长方体－4×eq\f(1,6)V长方体＝eq\f(1,3)V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．[解]如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S侧＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S侧＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).11．建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．解：设长方体的长、宽、高分别为am，bm，hm，水池的总造价为y元．∵V＝abh＝16，h＝2，b＝2，∴a＝4.则有S底＝4×2＝8(m2)，S壁＝2×(2＋4)×2＝24(m2)，y＝S底×120＋S壁×80＝120×8＋80×24＝2880(元)．B组能力提升一、选择题1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A．3πB．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)π D．1【答案】B[如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为eq\r(2)，故底面积为(eq\r(2))2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).则几何体的体积为2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).]2．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(2),3)【答案】D[由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为eq\r(2)，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).]二、填空题3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．【答案】90138[该几何体的体积V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋eq\f(1,2)×4×3×2＋eq\r(32＋42)×3＋3×4＝138.]三、解答题4．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．[解]如图，连接EB，EC．四棱锥E­ABCD的体积V四棱锥E­ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F­EBC＝V三棱锥C­EFB＝eq\f(1,2)V三棱锥C­ABE＝eq\f(1,2)V三棱锥E­ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱锥E­ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E­ABCD＋V三棱锥F­EBC＝16＋4＝20.5．一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？[解]设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(PO1,PO)，令A1B1＝x，而PO＝h，则PO1＝eq\f(h,a)x，于是OO1＝h－PO1＝h－eq\f(h,a)x＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,a))).所以所求三棱柱的侧面积为S＝3x·heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,a)))＝eq\f(3h,a)(a－x)x＝eq\f(3h,a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2))).当x＝eq\f(a,2)时，S有最大值为eq\f(3,4)ah，此时O1为PO的中点．《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》同步练习A组基础题一、选择题1．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为()A．πQ B．2πQ C．3πQ D．4πQ2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．83．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．34．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A．eq\f(5,9)倍B．eq\f(9,5)倍C．2倍D．3倍5．把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cm6．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．2π B．3πC．4π D．6π7．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(32π,3) D．4π8．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．2eq\r(10) B．2eq\r(5)C．3 D．29．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．1∶3 B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9 D．eq\r(3)∶210．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)二、填空题11．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．12．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．13．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．14．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)15．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．三、解答题16．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．17．如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？18．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．19．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．B组能力提升一、选择题1.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为()A．24π B．28πC．32π D．36π2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A．4∶3 B．3∶1C．3∶2 D．9∶43．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是()A．eq\f(C3,4πS) B．eq\f(4πS,C3)C．eq\f(CS,2π) D．eq\f(SC,4π)二、填空题4．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．5．圆柱内有一个内接长方体ABCD­A1B1C1D1，长方体的体对角线长是10eq\r(2)cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，则圆柱的底面半径为________cm，高为________cm.6．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．7．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.8．将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A．(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．三、解答题9．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12m，高为4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪种方案更经济些？10．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》同步练习答案解析A组基础题一、选择题1．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为()A．πQ B．2πQC．3πQ D．4πQ【答案】B[正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S＝2πrl＝2π·eq\r(Q)·eq\r(Q)＝2πQ.故选B．]2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8【答案】C[圆台的轴截面如图，由题意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．3【答案】A[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A．eq\f(5,9)倍B．eq\f(9,5)倍C．2倍D．3倍【答案】B[设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).]5．把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cm【答案】D[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·63＋eq\f(4,3)π·83＋eq\f(4,3)π·103，得R3＝1728，检验知R＝12.]6．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．2π B．3πC．4π D．6π【答案】B[由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S＝π×12＋eq\f(1,2)×4×π×12＝3π.]7．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(32π,3) D．4π【答案】B[根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,3).]8．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．2eq\r(10) B．2eq\r(5)C．3 D．2【答案】A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).故选A．]9．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．1∶3 B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9 D．eq\r(3)∶2【答案】B[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶eq\r(3)，故截面把圆锥母线分为1∶(eq\r(3)－1)两部分，故选B．]10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)【答案】B[设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).∴圆柱的体积为V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故选B．]二、填空题11．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．【答案】3[设此球的半径为R，则4πR2＝eq\f(4,3)πR3，R＝3.]12．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．【答案】eq\f(3,2)[设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).]13．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．【答案】2[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.]14．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)【答案】3[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．]15．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．【答案】eq\f(7000π,3)eq\r(3)cm3[180°＝eq\f(20－10,l)×360°，∴l＝20，h＝10eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)·h＝eq\f(7000\r(3)π,3)(cm3)．]三、解答题16．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．[解]设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝eq\f(1,3)πl，得l＝6r.又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圆锥的高h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(\f(15,7))))eq\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))eq\s\up12(2))＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.17．如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？[解]因为圆锥形铅锤的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)×20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为xcm，则小圆柱的体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))eq\s\up12(2)x＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.故杯里的水将下降0.6cm.18．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解]该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).19．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．[解]因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也是Rt△ABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，设O′C＝r，OC＝R，则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，所以∠O′CO＝30°，所以eq\f(r,R)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，即R＝eq\f(2,\r(3))r，(*)又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10eq\r(3).所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10eq\r(3))2＝1200π.球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(10eq\r(3))3＝4000eq\r(3)π.B组能力提升一、选择题1.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为()A．24π B．28πC．32π D．36π【答案】C[由题意知球的半径R＝4，所以球的表面积为4πR2＝64π.设圆柱的底面半径为r，高为h，则r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up12(2)＝42，得4r2＋h2＝64，即h2＝64－4r2，所以圆柱的侧面积S＝2πrh＝2πeq\r(r2h2)＝2πeq\r(r264－4r2)＝4πeq\r(r216－r2)＝4πeq\r(－r2－82＋64)(0＜r＜4)，所以当r2＝8，即r＝2eq\r(2)时，圆柱的侧面积最大，最大值为32π.此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π－32π＝32π.]2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A．4∶3 B．3∶1C．3∶2 D．9∶4【答案】C[作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝eq\r(3)R，则l＝eq\r(h2＋r2)＝2eq\r(3)R，所以eq\f(S圆锥侧,S球)＝eq\f(πrl,4πR2)＝eq\f(π×\r(3)R·2\r(3)R,4πR2)＝eq\f(3,2).]3．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是()A．eq\f(C3,4πS) B．eq\f(4πS,C3)C．eq\f(CS,2π) D．eq\f(SC,4π)【答案】D[设圆柱底面半径为r，高为h，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ch＝S，,C＝2πr，))∴r＝eq\f(C,2π)，h＝eq\f(S,C).∴V＝πr2·h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))eq\s\up12(2)·eq\f(S,C)＝eq\f(SC,4π).]二、填空题4．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．【答案】eq\f(πr2a＋b,2)[采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝eq\f(πr2a＋b,2).]圆柱内有一个内接长方体ABCD­A1B1C1D1，长方体的体对角线长是10eq\r(2)cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，则圆柱的底面半径为________cm，高为________cm.【答案】510[设圆柱底面半径为rcm，高为hcm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r2＋h2＝10\r(2)2，,2πrh＝100π，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝5，,h＝10.))即圆柱的底面半径为5cm，高为10cm.]6．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．[解]设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq\r(3)π.所以S＝S底＋S侧＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.7．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.【答案】eq\f(9π,2)[当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3，半径为eq\f(3,2)，此时体积V＝eq\f(9π,2).]8．将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A．(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．[解](1)横截面如图长方形所示，由题意得A＝x·eq\r(4－x2)(0<x<2)．(2)V＝1·xeq\r(4－x2)＝eq\r(－x2－22＋4)，由上述知0<x<2，所以当x＝eq\r(2)时，Vmax＝2.即截得棱柱的体积的最大值为2.三、解答题9．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12m，高为4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪种方案更经济些？[解](1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2.方案一：仓库的底面直径变成16m，则其体积V1＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))eq\s\up12(2)×4＝eq\f(256,3)π(m3)；方案二：仓库的高变成8m，则其体积V2＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(