押辽宁卷第20-21题（锐角三角函数、圆的综合题）-备战2024年中考数学临考题号押题（解析版）

押辽宁卷第20-21题押题方向一：锐角三角函数解直角三角形3年辽宁真题考点命题趋势2023年丹东中考第23题方位角从今年的辽宁省中考来看，锐角三角函数的应用是中考中的必考题型，一般以解答题的形式出现，而且最近出现了一些和实际操作相关综合题；预计2024年辽宁卷还将考察，熟练掌握基础知识点，避免失分。2023年盘锦中考第21题仰、俯角2021年辽宁中考第21题坡度坡角1．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2【分析】过点B作BD⊥AC于点D，则∠ABD=31°,∠CBD=61°，进而得出AD≈0.6BD，CD≈1.8BD，根据AC=10nmile，得出AD+CD=0.6BD+1.8BD=10【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵AE⊥AC,CF⊥AC，∴BD∥∴∠ABD=31°,∠CBD=61°，∴AD=BD⋅tan∠ABD=BD⋅tan∵AC=10nmile∴AD+CD=0.6BD+1.8BD=10，解得：BD=25∴BD≈4.2nmile答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2nmile

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB=40m，BD=20m，∠BDF=159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：3≈1.73，sin21°≈0.36，

【答案】CE的长约为62m【分析】延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，可得BG=HE，CM∥AH，从而∠CAH=∠MCA=30°，∠CBH=∠MCB=45°，设BH=xcm，则AH=x+40m，分别在直角△ACH和直角△CBH中求出CH的长，最后利用平角定义可得∠BDG=21°，从而在Rt△BDG中，求出【详解】解：如图，延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，

由题意得：BG=HE，CM∥AH，∴∠CAH=∠MCA=30°，∠CBH=∠MCB=45°，设BH=xcm，∵AB=40m，则AH=x+40在Rt△ACH中，CH=AH⋅tan30°=3在Rt△CBH中，CH=BH⋅tan45°=xm，∴x=3解得：x=203∴CH=20∵∠BDF=159°，∴∠BDG=180°−∠BDF=21°，在Rt△BDG中，BD=20m，∴BG=BD⋅sin21°≈20×0.36=7.2m∴BG=EH=7.2m∴CE=CH+HE=203∴CE的长约为62m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是解决问题的关键．3．（2022·辽宁·中考真题）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM=30°（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC的长；(2)求这棵大树CD的高度（结果取整数）．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43【答案】(1)斜坡BC的长为30米(2)这棵大树CD的高度约为20米【分析】（1）根据题意可得：∠CAE=15°，AB=30米，根据三角形的外角性质可求出∠ACB=15°，从而得出AB=BC=30米，即可得出答案．（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，然后在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后进行计算即可解答．【详解】（1）解：由题意得∠CAE=15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB=∠CBE−∠CAE=15°，∴∠ACB=∠CAE=15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）解：在Rt△CBE中，∠CBE=30°，BC＝30米，∴CE=1∴BE=3在Rt△DEB中，∠DBE=53°，∴DE=BEtan53°≈153∴DC＝DE﹣CE＝203∴这棵大树CD的高度约为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用．理解题目背景：首先，仔细阅读题目，理解题目所描述的实际背景和问题要求。识别出题目中的关键信息，如角度、边长、高度等。建立数学模型：根据题目描述，将实际问题转化为数学问题。构造直角三角形，并确定已知和未知的边和角。利用锐角三角函数的定义和性质，建立方程或不等式。应用三角函数知识：根据题目中的条件，选择适当的三角函数（正弦、余弦、正切）进行计算。如果需要，可以使用三角函数的特殊值或基本公式进行简化。解方程或不等式：解出建立的方程或不等式，得到未知量（如边长、角度）的解。注意检查解的合理性，确保符合题目中的实际条件。验证答案：将求得的解代入原题目中，检查是否符合题目要求。如果有条件，可以使用其他方法或工具进行验证。注意单位换算：在实际应用中，单位可能不同（如米、厘米、度、弧度等）。在计算过程中，要注意单位换算，确保计算结果的单位与题目要求一致。多练习：通过大量的练习，熟悉各种类型的应用题目和解题方法1．一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按压柄△BCD按压到底时，此时(1)求BD旋转到BD(2)求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95【答案】(1)18π(2)7.3cm【分析】本题考查了求扇形面积，解直角三角形的应用；（1）根据平行线的性质得出旋转角为36°，进而根据扇形面积公式，即可求解．（2）过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H．解Rt△BDG，【详解】（1）解：∵BD′∥EF∴∠∵∠DBE=108°，∴∠DBD∵BD=6，∴BD旋转到BD′扫过的面积为（2）过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BDRt△BDG中，DG=BD⋅sin36°≈6×0.59=3.54cm，Rt△BEH中，HE=BE⋅sin72°≈4×0.95=3.80cm，∴DG+HE=3.54cm+3.80cm=7.34cm≈7.3cm，∵BD∴点D到直线EF的距离约为7.3cm2．2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′（如图1）：①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．(sin(1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？(2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC=23①利用现有数据，根据cos∠BPC=23，计算出汽车行AP加上冲锋舟行②在线段AC上任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．【答案】(1)方案③较好(2)①55【分析】本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间是突破口，难度较大．（1）解直角三角形ABC，可得出AB、AC的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较；（2）①在Rt△BPC中求出BP、PC的长度，继而得出AP的长度，这样即可求出汽车行AP加上冲锋舟行BP的总时间；②分两种情况讨论，1)当点M在AP上时，2)当点M在PC上时，过点M作MH⊥BP于点H，表示出tM、tP，根据cos∠BPC=23，可得PH=23MP【详解】（1）解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=20km，∠BAC=22°37′，∴AB=BCsin∠BAC=∵DC=48−33=15km∴BD=方案①需要用时：AB60km/h=52方案②需要用时：AC90+BC方案③需要用时：3390+25∴方案③较好；（2）解：①∵cos∠BPC=PC设PC=2x，BP=3x，则BC=5解得：x=45即可得PC=85km，∴AP=AC−PC=(48−85故可得所用时间为：48−85②延长BP过M作MH⊥BP于H，点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，用时tM汽车开到P放冲锋舟下水，用时tP∵∠BPC=∠MPH∴cos∠BPC=cos∠MPH=PH∴PM90∴t=====BM−BH∵BM>BH，∴t∴t∴当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM综上可得汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．3．天柱塔，又名天中塔，驻马店市标志性建筑，是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔AB的高度，塔前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1:3．在离C点60米的D处，用测角仪测得塔顶端A的仰角为42°，测角仪DE的高为1.5米，求塔AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan【答案】58.8米【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，坡度坡角问题，以及含30度角的直角三角形的性质．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长AB交DC于点F，过点E作EG⊥AF，垂足为G，根据题意可得AF⊥DC，ED=FG=1.5米，EG=DF，再根据已知可得在Rt△BCF中，tan∠BCF=33，从而可得∠BCF=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BF=6米，CF=63米，从而可得EG=DF=DC+CF=60+63【详解】解：延长AB交DC于点F，过点E作EG⊥AF，垂足为G，由题意得，AF⊥DC，ED=FG=1.5米，EG=DF，∵斜坡BC的坡度i=1:3∴BFCF在Rt△BCF中，tan∠BCF=BF∴∠BCF=30°，∵BC=12米，∴BF=12BC=6∵CD=60米，∴EG=DF=DC+CF=60+6在Rt△AEG中，∠AEG=42°，∴AG=EG⋅tan42°≈60+6∴AB=AG+FG−BF=54+5.43答：塔AB的高度约为58.8米．4．如图1是某地公园里的一座纪念碑，将其抽象为图2，已知∠A=120°，∠B=106°，∠C=128°，∠D=126°，AE=600cm，DE=400

(1)求证：AB∥(2)求纪念碑的高度．（参考数据：sin6°≈0.105，cos6°≈0.995，tan6°≈0.105，sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376．）【答案】(1)见解析(2)386.6厘米【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，矩形的判定和性质及解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）过点C作CF∥AB，然后利用平行线的判定和性质即可证明；（2）过点A作AL⊥DC的延长线于点L，过点E作EP⊥CD的延长线于点P，过点E作EO⊥AL于点O，得出四边形LPEO为矩形，再由各角之间的关系确定∠OED=∠EDP=54°，∠AEO=6°，然后利用解三角形求解即可．【详解】（1）证明：过点C作CF∥AB，如图所示：

∵∠B=106°，∴∠BCF=180°−106°=74°，∵∠BCD=128°，∴∠DCF=128°−74°=54°，∵∠D=126°，∴∠DCF+∠D=180°，∴DE∥CF，∴AB∥DE；（2）过点A作AL⊥DC的延长线于点L，过点E作EP⊥CD的延长线于点P，过点E作EO⊥AL于点O，如图所示：

∴四边形LPEO为矩形，∴EP=OL，∵AB∥DE，∠A=120°，∴∠AED=60°，∵∠CDE=126°，∴∠OED=∠EDP=54°，∴∠AEO=60°−54°=6°，∴EP=DE⋅sin54°=400×0.809≈323.6厘米，OA=AE⋅sin6°=600×0.105=63.0厘米，∴EP=OL=323.6厘米，∴AL=AO+OL=386.6厘米．5．某学习数学兴趣小组要测大树BC的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为45°，然后从距A点水平距离为9米高3米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为22°．依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin22°≈

【答案】11米【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．过点D作DG⊥BC于点G，设BC=x米，先求得AC=BC=x米，则DG=CH=AC+AH=x+9米，在Rt△BDG【详解】解：如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，设BC=x米，

在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∴AC=BC=x米，又AH=9米，∴在矩形DGCH中，DH=CG=3米，DG=CH=AC+AH=x+9在Rt△BDG中，由tan∠BAG=解得：x=11经检验，x=11是方程的解．答：大树的高度约为11米．6．“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：活动目的测量风力发电机的塔杆高度测量工具无人机、皮尺等测量示意图说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺测量出CD的长度，利用无人机分别在A点、B点（B点在A点的正上方）测量出塔杆顶端P的仰角和俯角测量数据斜坡CD的坡角30°CD的长度18米AB的长度53米点A处测量的仰角45°点B处测量的俯角18°请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，【答案】该通信塔的塔杆PD的高度为31米【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线；延长PD交AC于点F，延长DP交BE于G，设AF=BG=x米，由含30∘的直角三角形的性质可得DF=12CD=9米，由三角函数分别求出PF=x米，【详解】解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于G，由题意得：PF⊥AF,DG⊥BE，AB=FG=53米，AF=BG，设AF=BG=x米，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD=18米，∴DF=1在Rt△PAF中，∠PAF=45°，∴PF=AF⋅tan45°=x米，在Rt△BPG中，∠GBP=18°，∴GP=BG⋅tan18°≈0.325x米，∴FG=PF+PG=x+0.325x=1.325x米，∴1.325x=53，解得：x=40，∴PF=40米，∴PD=PF−DF=40−9=31米，答：风力发电机的塔杆PD的高度约为31米．7．从2024年1月1日起，国务院、中央军事委员会颁布的《无人驾驶航空器飞行管理暂行条例》正式实施，非经营性活动的微型无人机适飞空域高度不超过50米．如图，在水平地面上选择观测点A和B，无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为37°；无人机垂直上升10m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°．AB=20m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．请你判断此次无人机起飞是否在允许的范围内．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan63°≈2.0【答案】在允许的范围内【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长DC交AB的延长线于点E，根据题意可得：DE⊥AB，然后设CE=xm，则DE=10+xm，在Rt△ACE和Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出【详解】解：延长DC交AB的延长线于点E，由题意得，DE⊥AB，

设CE=xm，∴DE=DC+CE=10+x在Rt△ACE中，∠CAE=37°，tan37°=AE=4BE=4在Rt△BDE中，∠DBE=63°，tan63°=10+x解得x=30

，

经检验，x=30是原方程的解∵30+10=40<50，∴此次无人机起飞在允许的范围内．8．位于卫辉市东南隅的镇国塔，是河南省重点保护文物．镇国塔为七层六角楼阁式砖塔，塔每层的六个角上都悬挂着一个风铃，风吹起的时候叮当作响，悦耳动听．某数学小组在老师的指导下，测算镇国塔的高度．如图，已知AD=2m，在点D处测得镇国塔的顶端E的仰角为33°，自A向镇国塔走30m到达点B，测得镇国塔的顶端E的仰角为60°（点A，B，C在一条直线上）．则数学小组测算的镇国塔的高度CE是多少？（结果精确到0.1m．参考数据：sin【答案】数学小组测算的镇国塔的高度CE约为34.3m．【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作DF⊥CE，垂足为F，根据题意可得：AD=CF=2m，AC=DF，设BC=xm，则AC=DF=(x+30)m，然后分别在Rt△BCE和Rt△DEF中，利用锐角三角函数的定义求出CE和EF的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．【详解】解：过点D作DF⊥CE，垂足为F，

由题意得：AD=CF=2m，AC=DF，设BC=xm，∵AB=30m，∴AC=DF=AB+BC=(x+30)m，在Rt△BCE中，∠EBC=60°，∴EC=BC⋅tan60°=3在Rt△DEF中，∠EDF=33°，∴EF=DF⋅tan33°≈0.649(x+30)m，∵EF+CF=CE，∴0.649(x+30)+2=30.649x+19.47+2=33x−0.649x=19.47+2解得：x≈19.82，∴CE=3∴数学小组测算的镇国塔的高度CE约为34.3m．9．综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物DE前有个斜坡AB，已知∠BAH=30°,AB=12m某学习小组在A处测得广告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为27°，广告牌CD=3m(1)求点B到地面距离BH的长；(2)设建筑物DE的高度为ℎ（单位：m）；①用含有ℎ的式子表示线段EH的长（结果保留根号）；②求建筑物DE的高度（tan27°取0.5,【答案】(1)BH的长为6m(2)①HE的长为(ℎ+63)m；②建筑物DE【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．（1）在Rt△ABH中，利用30度角的性质求解即可；（2）①在Rt△ABH中，求出AH=63，在Rt△ADE中，求出AE=ℎ，进而可表示线段EH②过点B作BF⊥DE，垂足为F，可得BF=HE=ℎ+63,BH=EF=6，从而CF=ℎ−3，在【详解】（1）由题意得BH⊥AH在Rt△ABH中，∠BAH=30°,AB=12，∴BH=12AB=6．即BH（2）①在Rt△ABH中，cos∠BAH=AH∴AH=AB⋅cos∠BAH=12×cos在Rt△ADE中，由tan∠DAE=DEAE,DE=ℎ,∠DAE=∴HE=AH+AE=ℎ+63．即HE的长为②如图，过点B作BF⊥DE，垂足为F．根据题意，∠BFE=∠FEH=∠H=90°，∴四边形BFEH是矩形．∴BF=HE=ℎ+63∴CF=CD+DE−FE=3+ℎ−6=ℎ−3．在Rt△BFC中，tan∠CBF=CF∴CF=BF⋅tan∠CBF．即ℎ−3=(ℎ+63∴ℎ=6答：建筑物DE的高度约为16m．10．阅读下列材料，回答问题．任务：利用浮球测量一个玻璃栈道的高AB，玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上．工具：如图2，工具有一把皮尺（测量长度小于AB）、一台测角仪及一架无人机．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪的功能是测量俯角的大小．例如：如图3，测角仪可测得∠POQ的度数，测角仪的高度忽略不计．小明利用无人机测量玻璃栈道的高AB，其测量和求解过程如下．测量过程：如图4，任选玻璃栈道上的一点M，从桥边（与桥高度相同）释放无人机，无人机竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机的下降速度为vm/s求解过程：由题意，知∠MNA=∠BMN=∠NAB=90°，∴四边形ABMN为①，∴AB=MN=②m．

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容．(2)小明求得AB用到的几何知识是．(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高AB．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用）要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．【答案】(1)①矩形②vt(2)矩形的对边相等(3)AB=tanαtanβ【分析】本题主要考查了应用与设计作图，结合物理知识，熟练运用矩形的判定与性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键．（1）根据矩形的判定和性质以及物理知识解答即可；（2）根据矩形的性质解答即可；（3）根据正切锐角的三角函数值的定义来解答即可．【详解】（1）解：由题意，知∠MNA=∠BMN=∠NAB=90°，∴四边形ABMN为矩形，∴AB=MN=vtm．故答案为：矩形，vt；（2）小明根据矩形的对边相等来设计方案；故答案为：矩形的对边相等；（3）在B的一侧取一点E，用测角仪测量∠BEA=α，再取一点F，测量EF的长a，以及∠BFA=β，如图：

∵AB⊥FB，∴tanα=ABBE，∴BE=ABtanα，又∵BF−BE=a，∴AB=tanαtanβ11．无人机在实际生活中已被广泛应用．如图所示，某人利用无人机测大楼BC的高度，无人机在空中点A处，测得楼底B点的俯角为53°，测得楼顶C点的俯角为14°，控制无人机水平移动35米至点D处，测得楼顶C点的俯角为31°，（点A，B，C，D在同一平面内，且A，D在BC的同侧），求大楼BC的高度．(tan14°≈14【答案】大楼BC的高度约为65米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．延长BC交AD于点G，根据题意可得：BG⊥AG，AD=35米，然后设DG=x米，则AG=(35+x)米，分别在Rt△ACG和Rt△CDG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而列出关于x的方程进行计算可求出AG和CG的长，最后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：延长BC交AD于点G，由题意得：BG⊥AG，AD=35米，设DG=x米，∴AG=AD+DG=(35+x)米，在Rt△ACG中，∠CAG=14°，∴CG=AG⋅tan14°≈1在Rt△CDG中，∠CDG=31°，∴CG=DG⋅tan31°≈3∴14解得：x=25，∴CG=35x=15（米)在Rt△ABG中，∠BAG=53°，∴BG=AG⋅tan53°≈60×4∴BC=BG−CG=80−15=65（米），∴大楼BC的高度约为65米．12．某校“综合与实践”小组的同学把“民心河护坡的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，2课题民心河护坡的调研与计算调查方式资料查阅、实地查看了解调查内容功能护坡是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等护坡时剖面图

相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AB和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135°，∠EDC=60°，ED=6m，计算结果………【答案】BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．过点E作EF⊥CD，在Rt△EFD中求出EF和DF的长，在Rt△BCG中求出BG和BC的长，再求AB即可．【详解】解：过点E作EF⊥CD，垂足为F，由题意得：AE=FG=1.5m，AG=EF，在Rt△EFD中，ED=6m，∴EF=ED·sin60°=6×3DF=ED·cos60°=6×1∴AG=EF=33∵CD=3.5m，∴CG=FG+DF−CD=1.5+3−3.5=1m∵∠BCD=135°，∴∠BCG=180°−∠BCD=45°，在Rt△BCG中，BG=CG·tan45°=1mBC=CG∴AB=AG−BG=33∴BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m．13．某学校无人机社团为了提升该小组成员使用无人机的能力，特意组织成员到户外进行实地测量小山的高度．测量时，先将无人机上升到距地面800m高度的B处，此时测得山顶A点的俯角是14°；再控制无人机水平移动至点C，测得BC=462m，此时测得山顶A点的俯角为31°，求山顶A点距地面的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，【答案】602m【分析】本题考查解直角三角形的应用．作AD⊥BC于点D，并反向延长交水平面于H点，则AD=CD⋅tan∠ACD=CD⋅tan31°，AD=BD⋅tan∠ABD=BD⋅tan14°，可求BD，再求CD，后求AD=CD⋅tan31°，则可求AH．【详解】解；如图，作AD⊥BC于点D，并反向延长交水平面于H点，∴∠ADB=90°．在Rt△ADC中，∠ACD=31°，∴AD=CD⋅tan∠ACD=CD⋅tan31°，在Rt△ABD中，∠ABD=14°，∴AD=BD⋅tan∠ABD=BD⋅tan14°∵BD=BC+CD，BC=462m，∴CD⋅tan31°=∴0.6CD=0.25462+CD∴CD=330m．∴AD=CD⋅tan31°=330×0.6=198m∴AH=800−198=602m答：山顶A点距地面的高度为602ｍ．14．暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的树CD正好抵着高树AB的中点D．救援的小明通过测量得到了以下数据：BC=9.1米，∠B≈53°，∠C≈45°，（取(1)求两树的支撑点D离地面高多少米？(2)求高树比低树高多少米（结果保留一位小数）．【答案】(1)DE为5.2米(2)高树比低树高5.7米【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；（1）过D点作DE⊥BC于E点，由tan53°=DEBE≈43，设BE=3x米，DE=4x米；由∠C≈45°（2）由（1）得，BE、CE、DE的长度，由勾股定理得BD、CD，由D是中点即可求得AB，从而求得AB−CD，即高树比低树高多少．【详解】（1）解：过D点作DE⊥BC于E点，如图，∵tan53°=DE∴设BE=3x米，DE=4x米．又∵∠C≈45°，∴∠CDE=45°，即CE=DE=4x米，∵BC=BE+CE=9.1，即3x+4x=9.1，解得：x=1.3，∴4x=5.2米；答：DE为5.2米；（2）解：由（1）得，BE=3x=3×1.3=3.9（米），CE=4x=4×1.3=5.2（米），DE=4x=4×1.3=5.2（米），由勾股定理得，BD=DCD=D∵点D是AB的中点，∴AB=2BD=13（米），∴AB−CD=13−7.28≈5.7（米），答：高树比低树高5.7米．15．双流区某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行无人机试飞比赛，该兴趣小组利用所学知识对某同学的无人机高度进行了测量．如图，他们先在点E处用高1.5m的测角仪EF测得无人机A的仰角为45°，然后沿水平方向EB前行20m到点C处，在点C处测得无人机A的仰角为65°．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断此同学的无人机是否超过限高要求？（参考数据：sin65°≈0.9，【答案】此同学的无人机飞行高度小于50米，未超过限高要求，理由见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接FD并延长交AB于点G，根据题意可得：FE=CD=BG=1.5m，FD=CE=20m，FG⊥AB，然后设DG=xm，则FG=(x+20)m，分别在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：此同学的无人机没有超过限高要求，理由：连接FD并延长交AB于点G，由题意得：FE=CD=BG=1.5m，FD=CE=20m，FG⊥AB，设DG=xm，∴FG=DF+DG=(x+20)m，在Rt△ADG中，∠ADG=65°，∴AG=DG⋅tan65°≈2.1x(m)，在Rt△AFG中，∠AFG=45°，∴AG=FG⋅tan45°=(x+20)m，∴2.1x=x+20，解得：x≈18.18，∴AG=x+20=38.18(m)，∴AB=AG+BG=38.18+1.5=39.68(m)，∵39.68m<50m，∴此同学的无人机没有超过限高要求．16．北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务．如图，⊙O是地球的平面示意图，点P是一颗北斗卫星，在北纬60°的点A（即∠POA=60°）观测，BC是点A处的地平线（即BC与⊙O相切于点A），测得∠PAC=16°，已知地球半径约为6400km，图中各点均在同一平面内，请计算PO的长．（结果精确到1km，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，【答案】PO的长约为25399km．【分析】本题考查了解直角三角形的应用和切线的性质，过点A作AD⊥OP，垂足为点D，由三角函数cos60°=ODOA，sin60°=ADOA，∠OAD=30°得OD=3200km，AD≈5536km，再根据切线的性质得【详解】解：如图，过点A作AD⊥OP，垂足为点D，在Rt△AOD中，∠AOD=60°，∠ADO=90°，OA=6400km，∴cos60°=ODOA，sin60°=AD解得OD=3200km，AD≈5536∵BC与⊙O相切于点A，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵∠PAC=16°，∠PAD=∠PAC+∠OAC−∠OAD=76°，在Rt△ADP中，∠ADP=90°，∠PAD=76°，tan76°=PD∴PD≈4.01×5536=22199.36，∴PO=PD+OD=22199.36+3200≈25399km答：PO的长约为25399km．17．项目化学习项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形；（2）实地测量图书馆门口场地的大小；（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中MN为地面所在水平线，CD和DF是无障碍通道，并且∠CDF=2∠DFE，立柱CG，DE均垂直于地面，GE=6米，FE=4米．解决问题：若原台阶坡道的长度（线段AB的长度）为5米，坡角α的度数为23°，BC∥MN，求出无障碍通道的总长（线段CD和DF的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：sin23°≈0.40，cos【答案】226【分析】延长MN，CD，交于点H，过点B作BK⊥MN于点K，证明四边形BCGK为矩形，得出BK=CG，解直角三角形求出BK=AB×sinα=5×sin23°≈2（米），得出DF=DH，根据等腰三角形的性质得出EH=EF=4米，根据勾股定理求出CH=C【详解】解：延长MN，CD，交于点H，过点B作BK⊥MN于点K，如图所示：则∠BKG=∠BKA=90°，∵BC∥MN，∴∠KBC=180°−∠BKG=90°，∵CG⊥MN，∴∠CGK=∠CGH=90°，∴∠BKG=∠CGK=∠CBK=90°，∴四边形BCGK为矩形，∴BK=CG，∵AB=5米，α=23°，∴BK=AB×sinα=5×sin23°≈2（米），∴CG=2米，∵∠CDF=2∠DFE，∠CDF=∠DFE+∠DHE，∴∠DFE=∠DHE，∴DF=DH，∵DE⊥FH，∴EH=EF=4米，∴GH=GE+EH=6+4=10（米），在Rt△CGH中，根据勾股定理得：CH=C∴CD+DF=CD+DH=CH=226【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．18．如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:3的斜坡AB前进107米到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（计算结果精确到1米，参考数据：【答案】古树DE的高度约为11米【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点B作BF⊥AD，垂足为F．延长DE交BC的延长线于点G，根据题意可得：BF=DG，DG⊥BG，再根据已知可设BF=2x米，则AF=3x米，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理进行计算可求出BF的长，再在Rt△DCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，最后在Rt△CGE中，利用锐角三角函数的定义求出【详解】解：过点B作BF⊥AD，垂足为F．延长DE交BC的延长线于点G，由题意得：BF=DG，DG⊥BG，∵斜坡AB的坡度为i=2:3∴BFAF∴设BF=2x米，则AF=3在Rt△ABF中，AB=A∵AB=107∴7x=10解得：x=10，∴BF=DG=20米，在Rt△DCG中，∠DCG=60°，∴CG=DGtan60°=在Rt△CGE中，∠ECG=37°，∴EG=CG⋅tan37°≈20∴DE=DG−EG=20−53∴古树DE的高度约为11米．19．如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢ABCD的长AB=4m，卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转．A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为0.7m，货厢对角线AC，BD的交点G可视为货厢的重心，测得(1)若tan∠BAN=33，求点B(2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故，若tan∠BAN=1，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：sin23.6°≈0.40，cos23.6°≈0.92，cos【答案】(1)A，B两点在垂直方向上的距离BH为2m(2)不会发生事故，理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．（1）作BH⊥AN，垂足为H，解直角三角形即可求得；（2）作GE⊥AN，CF⊥AN，垂足分别为E，F，解直角三角形求得AC、AG，然后进而求得AE≈0.78>0.7，即可求得结论．【详解】（1）解：过点B作BH⊥AN，垂足为H，∴∠AHB=90°，∵在Rt△ABH中，tan∠BAN=3∴∠BAH=30°，∴BH=1答：A，B两点在垂直方向上的距离BH为2m．（2）不会发生事故，理由如下：分别过点G，C作GE⊥AN，CF⊥AN，垂足分别为E，F，∴∠AEG=∠AFC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AG=GC=12AC∵在Rt△ABC中，cos∠CAB=AB∴AC=AB∴AG=50∵在Rt△ABH中，tan∠BAH=1，∴∠BAH=45°，∴∠GAE=∠CAB+∠BAH=23.6°+45°=68.6°，∵在Rt△GAE中，cos∠GAE=AE∴AE=AG⋅cos∠GAE≈50∵0.78>0.7，∴货车不会发生事故．20．达坂城风力发电站位于乌鲁木齐市区与达坂城区之间的公路旁，风区风能资源十分丰富，光热条件优异，由上百座巨大的发电风车组成，是中国最大的风能基地，有中国“风谷”之称．如图，某校学生测量其中一座风车的轮载高度（风轮旋转中心到基地平面的垂直距离）AB，先在点C处用测角仪测得其风车顶端A的仰角为32°，再由点C走50米到点E处，测得风车顶端A的仰角为45°．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度CD=EF=1.5米，求该座风车的轮载高度AB．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85．【答案】87米【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键过点F作FG⊥AB于点G，则四边形CDFE、BEFG、BCDG均为矩形，DF=CE=50米，BG=EF=CD=1.5米，GF=AGtan45°=AG，tan∠ADG=AGDG，即tan32°=AGGF+50【详解】解：过点F作FG⊥AB于点G，则四边形CDFE、BEFG、BCDG均为矩形，∴DF=CE=50米，BG=EF=CD=1.5米，在Rt△AGF中，∵∠AGF=90°，∠AFG=45°，∴GF=AG在Rt△ADG中，∵DG=GF+FD=GF+50（米），∴tan∠ADG=AGDG，即∴0.63≈AG解得，AG≈85.1（米），∴AB=AG+BG=85.1+1.5≈87米，答：该座风车的轮载高度AB约为87米．押题方向二：圆的综合应用3年辽宁真题考点命题趋势2023年丹东卷第22题切线的证明从近年辽宁中考来看，圆的解答题考查的综合性较强，一般会和三角形、四边形综合，解题时除了会用到圆本身的公式外，还经常综合三角形的全等和相似，勾股定理等知识点；预计2024年辽宁卷还将继续重视对圆的考查。2023年阜新卷第19题阴影面积的计算2023年锦州卷第22题圆与三角形综合1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，点P是⊙O外的一点，PC⊥AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PD=PE，延长PD交BA的延长线于点F．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若DF=4，PE=72，cos∠PFC=【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据PD=PE，得出∠PED=∠PDE，进而得出∠PDE=∠BEC，易得∠B=∠ODB，根据PC⊥AB，得出∠B+∠BEC=90°，则∠ODB+∠PDE=90°，即可求证PD是⊙O的切线；（2）易得PD=PE=72，则PF=PD+DF=152，根据cos∠PFC=45，求出CF=PF⋅cos∠PFC=6，OF=DFcos∠PFC=5【详解】（1）证明：∵PD=PE，∴∠PED=∠PDE，∵∠PED=∠BEC，∴∠PDE=∠BEC，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵PC⊥AB，∴∠BCP=90°，则∠B+∠BEC=90°，∴∠ODB+∠PDE=90°，即∠ODP=90°，∴PD是⊙O的切线；（2）解：∵PD=PE，PE=7∴PD=7∵DF=4，∴PF=PD+DF=15∵cos∠PFC=4∴CF=PF⋅cos∠PFC=15∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥PD，则∠ODF=90°，∴OF=DF∴OC=CF−OF=6−5=1，根据勾股定理可得：OD=OF2∴OB=OD=3，∴BC=OB−OC=3−1=2,CE=PC−PE=9∴根据勾股定理可得：BE=C【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤．2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE．

(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若∠ABC=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接OD，根据OB=OD，得出∠OBD=∠ODB．根据BD平分∠ABE，得出∠OBD=∠EBD，则∠EBD=∠ODB．根据DE⊥CB得出∠EBD+∠EDB=90°，进而得出∠ODB+∠EDB=90°，即可求证；（3）连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，通过证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC=60°，OB=OC=BC=2．求出OF=OB⋅sin60°．最后根据S阴影【详解】（1）解：连接OD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵BD平分∠ABE，∴∠OBD=∠EBD，∴∠EBD=∠ODB．∵DE⊥CB，∴∠EBD+∠EDB=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，∵AB=4，∴OB=1∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，OB=OC=BC=2．∵∠ABC=60°，OF⊥BC，OB=2，∴OF=OB⋅sin60°=2×3∴S阴影

【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式S=nπ3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，AE为⊙O的直径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D．

(1)求证：AB=BD；(2)点F为⊙O上一点，连接EF，BF，BF与AE交于点G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG=37，求⊙O【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为154；【分析】（1）根据AB与⊙O相切于点A得到∠OAC+∠BAD=90°，再根据BD⊥OB得到∠BCD+∠D=90°，再根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA即可根据角的关系解答；（2）连接OF，过点D作DM⊥AB，交AB延长线于点M，在Rt△ABG等多个直角三角形中运用三角函数的定义求出⊙O半径r=154，再根据勾股定理求出BM=3，【详解】（1）证明：如图，

∵AE为⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∴∠OAC+∠BAD=90°，∵BD⊥OB，∴∠OBD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BCD=∠OCA，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BAD=∠D，∴AB=AD．（2）连接OF，过点D作DM⊥AB，交AB延长线于点M，如图，

在Rt△ABG中，∠GAB=90°，∴tan∠ABG=AG∴AG=AB⋅tan∠ABG=15∵∠E=45°，∴∠AOF=2∠E=90°，∴∠AOF=∠OAB，∴OF∥AB，∴∠OFG=∠ABG，∴tan∠OFG=tan∠ABG=3设⊙O的半径为r，∴r−15∴r=15∴tan∠OBA=OA∵DM⊥AB，∴∠M=90°，∴∠BDM+∠DBM=90°，∵BD⊥OB，∴∠OBD=90°，∴∠OBA+∠DBM=90°，∴∠BDM=∠OBA，即tan∠BDM=tan∠OBA=3∴设BM=3x，DM=4x，在Rt△DBM中，∠M=90°，∵BM2+D∴3x2+4x∴BM=3，DM=4，∴AM=AB+BM=8，∴AD=A【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆、三角形的线段、角度关系并运用数学结合思想．掌握圆的基本性质和定理：圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。切线定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。圆的面积和周长公式：S=πr²和C=2πr。利用直径和半径：当题目中涉及直径时，注意直径上有个隐藏的中点（圆心），并利用直径所对圆周角为直角来构造直角三角形。当需要添加辅助线时，考虑连接圆心和切点，或者连接圆心和圆外的一点，或者连接两切点。理解三角形与圆的关系：三角形内切圆：过圆心作三角形各边的垂线段，构造特殊的边角关系和三角形。三角形外接圆：利用三角形外接圆的性质，如三角形的外心是外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等。利用角度和弧度的关系：圆的与角度密不可分，掌握圆心角、圆周角、同弦角和相交弦角等概念和公式。对于已知的角度信息，需要将其转换为数学中的弧度制，弧度值=度数×π/180。画图辅助：根据题目所给信息，画出相应的圆、直线和角度图形，以便更好地理解和解题。注意图形的准确性和完整性，避免因为图形不准确而导致理解偏差。1．已知，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点D，过点C作射线CP交AB的延长线于点P，且∠BCP=1(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AC=25，tan∠BCP=1【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角为90度可得∠ADC=90°，根据等腰三角形三线合一可得∠CAD=12∠BAC，结合已知条件可得∠BCP=∠CAD，进而推出∠ACD+∠BCP=90°，即可证明PC（2）解：连接CM，先证△MBC∽△DBA，推出BDBM=BABC，再解Rt△ADC求出CD=2，AD=4，进而求出【详解】（1）证明：如图，连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∠ACD+∠CAD=90°，又∵AB=AC，∴∠CAD=1又∵∠BCP=1∴∠BCP=∠CAD，∴∠ACD+∠BCP=90°，即∠ACP=90°，又∵AC为⊙O的直径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接CM，则∠AMC=90°，∴∠BMC=∠BDA=90°，又∵∠MBC=∠DBA，∴△MBC∽△DBA，∴BDBM又∵tan∠BCP=tan∠DAC=CD∴AD=2CD，∵在Rt△ADC中，AD∴2CD2∴CD=2，AD=4，∴BC=2CD=4，BD=DC=2，又∵BDBM∴BM=BD⋅BC∴AM=AB−BM=AC−BM=25【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质，圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解决本题的关键．2．如图，△ABC内接于⊙O，点O在△ABC的内部，直径AE交线段BC于点D，点P是BC延长线上一点，连接PA，满足∠PAC=∠ABC．(1)求证：直线PA是⊙O的切线；(2)若AB=1，AC=5−12，点C为PD【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，圆周角定理等等：（1）连接CE，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACE=90°，则∠AEC+∠CAE=90°，再由同弧所对的圆周角相等得到∠PAC+∠CAE=90°，进而得到∠PAE=90°，据此可证明结论；（2）根据直角三角形的性质得到AC=CP=5−12，PD=2AC=5−1，证明△PAC∽△PBA【详解】（1）证明：如图所示，连接CE，∵AE是直径，∴∠ACE=90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∵∠AEC=∠ABC，∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠CAE=90°，∴∠PAE=90°，即AE⊥AP，∵AE是直径，∴直线PA是⊙O的切线；（2）解：∵∠PAD=90°，点C为PD的中点，∴AC=CP=5−12∵∠PAC=∠ABC，∠P=∠P，∴△PAC∽△PBA，∴PCPA=AC∴PA=1，∴cos∠P=AP3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接DB，AC，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点F，且∠ABD=2∠BDC．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，tan∠BDC=12【答案】(1)见解析(2)OE=5【分析】（1）连接OC，由∠BOC=2∠BDC，∠ABD=2∠BDC，得∠BOC=∠ABD，则OC∥DB，所以∠OCF=180°−∠F=90°，即可证明CF是⊙O的切线；（2）先求得AB=25，AB=5BC=25，BC=2，由BFCF=tan∠FCB=tan∠BDC=CFDF=12，得CF=2BF，则BC=【详解】（1）证明：连接OC，则∠BOC=2∠BDC，∵∠ABD=2∠BDC，∴∠BOC=∠ABD，∴OC∥DB，∵CF⊥DB，∴∠F=90°，∴∠OCF=180°−∠F=90°，∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，∴∠ACB=90°，OC=OB=5，AB=2∵∠A=∠BDC，∴BCAC∴AC=2BC，∴AB=A∴BC=2，∴∠FCB+∠OCB=90°，∠A+∠ABC=90°，且∠OCB=∠ABC，∴∠FCB=∠A=∠BDC，∴BFCF∴CF=2BF，∴BC=C∴BF=2∴DF=2CF=4BF=4×2∴BD=DF−BF=8∵OC∥DB，∴△OCE∽△BDE，∴OEBE∴OE=5∴线段OE的长是55【点睛】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为BD的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA=∠B．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DE=2，【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）连接OD，先根据圆周角定理得出∠ADB=90°，再证明∠ODB=∠CDA，从而得出∠ODC=90°，即可得证；（2）连接OE，先利用圆心角、弧、弦的关系，得出∠BOE=∠DOE，由圆周角定理得出∠BOE=2∠BDE=60°，证明△ODE为等边三角形，再根据图中阴影部分的面积=S【详解】（1）证明：如图，连接OD，，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠OAD+∠ODB=90°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵∠B=∠CDA，∴∠ODB=∠CDA，∴∠ODA+∠CDA=90°，即∠ODC=90°，∴OD⊥CD，∵OD为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：如图，连接OE，，∵E为BD的中点，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE=2∠BDE=60°，∴∠DOE=60°，∵OD=OE，∴△ODE为等边三角形，∴OD=DE=2，∵∠COD=180°−∠BOE−∠DOE=60°，∴CD=3∴图中阴影部分的面积=S5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．(1)求证：直线FE是⊙O的切线：(2)若AC=13，BC=10，求DE长．【答案】(1)见解析(2)DE=【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、切线的判定，难度适中，熟练掌握切线的判定是解答的关键．（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可证得∠ABC=∠C，根据平行线的判定与性质可证得FE⊥OD，然后根据切线的判定即可证得结论；（2）根据圆周角定理得出∠ADB=90°，再由等腰三角形的性质得出BD=CD=5，利用勾股定理确定AD=AC【详解】（1）证明：如图，连接OD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线FE是⊙O的切线；（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，BC=10，∴BD=CD=5，∵AC=13，∴AD=AC∴12AD⋅CD=1解得：DE=606．如图AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BC的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E，(1)①求证：∠DCB=∠CAD；②求证：CD(2)若DE=2，AE=4，求【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)PC【分析】本题考查与圆有关的性质和概念，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．（1）①由圆周角定理即可得证；②证明△CED∽△DCA即可得证；（2）连接OD，DB，OD交BC于点G，由②得出而得出∠P=90°，△PCD∽△ADB，利用对应边成比例即可解答．【详解】（1）证明：①∵D为劣弧BC的中点，∴BD∴∠DCB=∠CAD，②∵∠DCB=∠CAD，∠CDE=∠CDA，∴△CED∽∵DE∴CD（2）如图，连接OD，DB，OD交∵DE=2，AE=4∴AD=DE+AE=6，∵CD∴CD=23∵BD∴OD⊥CB，∴∠OGC=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴OD∥∴∠P=90°，∵四边形ACDB是⊙O内接四边形，∴∠PCD=∠ADB，∴△PCD∽∴PC7．如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长AO交BC于点D，过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，交过点A且与BC平行的直线于点H，连结AG．

(1)判断AH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠BAC=56°，求∠H和∠BAG的大小；(3)若GF=1，tan∠ABC=2，求OD【答案】(1)AH与⊙O相切，详见解析(2)∠H=28°，∠BAG=28°，详见解析(3)OD=5【分析】（1）根据等腰三角形性质得AD⊥BC，BD=CD，再根据AH∥BC得AH⊥AD，据此可得AH与⊙O的位置关系；（2）根据等腰三角形性质得∠BAD=∠CAD=28°，则∠ABC=62°，再根据CF⊥AB得∠BCF=28°，然后根据平行线性质及圆周角定理可得∠H和∠BAG的度数；（3）设BD=a，则BD=CD=a，BC=2BD=2a，根据tan∠ABC=2得AD=2a，再根据∠AGC=∠ABC，GF=1得AF=2GF=2，进而得AC=AB=5a，BF=AB−AF=5a−2，在Rt△BCF中由勾股定理得CF2=BC2−BF2=−a2+45【详解】（1）AH与⊙O相切，理由如下：∵⊙O为等腰△ABC的外接圆，AB=AC，延长AO交BC于点D，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AH∥BC，∴AH⊥AD，∵AO为⊙O的半径，∴AH是⊙O的切线，即AH与⊙O相切；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=56°，∴∠BAD=∠CAD=1∴∠ABC=90°−∠BAD=90°−28°=62°，∵CF⊥AB，∴∠BCF=90°−∠ABC=90°−62°=28°，∵AH∥BC，∴∠H=∠BCF=28°，∴∠BAG=∠BCF=28°；（3）设BD=a，则BD=CD=a，BC=2BD=2a，在Rt△ABD中，tan∠ABC=AD∴AD=2a，∵∠AGC=∠ABC，∴tan∠AGC=tan∠ABC=2，在Rt△AGF中，GF=1，tan∠AGC=AF∴AF=2GF=2，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=A∴AC=AB=5a，在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF∴−a整理得：6a解得：a1=2∴AD=2a=4设OD为x，连接OB，如下图所示：

则OA=OB=AD−OD=4在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB即45解得：x=5故OD的长为52【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．8．如图，PB是⊙O的切线，切点为B，点A在⊙O上，且PA=PB．连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D，连接OP．(1)证明：PA是⊙O的切线；(2)证明：DB(3)若BD=4，sin∠ADP=35【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【分析】（1）连接OB，证△APO≌△BPO，求出∠OAP=∠OBP=90°即可；（2）连接AB，BC，证明∠DBC=∠BAD，可得△DBC∽△DAB，然后相似三角形的性质即可得证；（3）先解Rt△BOD求出OB=3，OD=5，则CD=2，证明BC∥OP，利用平行线分线段成比例求出BP，最后在Rt△BOP利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB，即∠OBP=90°，∵OA=OB，PA=PB，OP=OP，∴△APO≌△BPO，∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥AP，又OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线；（2）证明：连接AB，BC，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴∠DBC+∠ABP=90°，∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，又∠PAB+∠BAD=90°，∴∠DBC=∠BAD，又∠D=∠D，∴△DBC∽△DAB，∴DBDA∴DB（3）解：在Rt△BOD，sin∠ADP=3∴设OB=3x，则OD=5x，∴BD=O又BD=4，∴4x=4，∴x=1，∴OB=OC=3，OD=5，∴CD=2，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OP平分∠APB，又PA=PB，∴AB⊥OP，又AB⊥BC，∴BC∥OP，∴BDBP=CD∴BP=6，∴OP=B【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交CB于点D，过点D作OD⊥CB交AB于点O．(1)求证：直线CD是以点O为圆心，OA为半径的⊙O的切线；(2)如果：sin∠CAB=35，BC=3【答案】(1)见详解(2)20【分析】（1）根据“平行线＋角平分线”得等腰三角形即可证明；（2）先由锐角三角函数求出AB=5，由sin∠CAB=sin∠BOD=BDOB=35，设BD=3x，OB=5x【详解】（1）证明：∵OD⊥BC，∴∠ODB=90°，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠CAD=∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∴∠DAO=∠ADO，∴OA=OD，∵点O到直线CD的距离为d=OD，半径为R=OA，∴直线CD是以点O为圆心，OA为半径的⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AC，∴∠BOD=∠CAB，∵∠C=90°，sin∠CAB=BC∵BC=3，∴AB=5，∴sin∠CAB=sin∠BOD=BD∴设BD=3x，OB=5x，在Rt△BDO中，DO=O∴AO=OD=4x，∴AB=9x=5，∴x=5∴AO=4x=20∴⊙O的半径为209【点睛】本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．10．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，BD是直径，EF切⊙O于点A，交CB的延长线于点E，过点D作DF⊥CD，垂足为D；

(1)求证：四边形EBDF是平行四边形；(2)若FD=52，CD=4，求【答案】(1)见解析(2)9【点睛】（1）根据等腰三角形的性质，切线的性质以及平行线的判定可得BD∥EF，再根据圆周角定理，垂直的定义以及平行线的判定可得DF∥CE即可；（2）根据平行四边形的性质和面积的计算方法求出半径OA，再根据勾股定理求出BC即可．本题考查切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形、三角形面积的计算，掌握切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形、三角形面积的计算方法是正确解答的关键．【详解】（1）证明：如图，连接OA，

∵AB=AD，OB=OD，∴OA⊥BD，∵EF是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥EF，∴BD∥EF，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，即BC⊥CD，∵DF⊥CD，∴DF∥CE，∴四边形BDFE是平行四边形．（2）解：∵四边形BDFE是平行四边形，∴BE=DF=52，∵S∴BD⋅OA=10，∵BD=2OA，∴OA=5，BD=2在Rt△BCD中，BD=25，CD=4∴BC=B∴CE=2+511．已知，AB是⊙O的直径，点C是半圆AB的中点，点D在⊙O上，且点D与点C在AB的两侧，直线DE是⊙O的切线，点D是切点．

(1)如图1，若DE∥AC，求(2)如图2，若∠BDE=23∠ABC，BD=5【答案】(1)22.5°(2)5【分析】（1）先得出OD⊥DE，根据C为半圆AB的中点，得出∠CAB=∠CBA=45°，再结合三角形外角性质，列式计算，即可作答．（2）先根据角的运算，得出∠BDE=30°，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，得出△OBD是等边三角形，结合AC=AB⋅sin∠ABC，代入数值进行计算，即可作答．【详解】（1）解：如图1．连接DO，并延长交AC于点M．

∵DE是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥DE．∵DE∥AC，∴OM⊥AC，∴∠AMD=90°，∵C为半圆AB的中点，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠AMD=90°，∴∠AOM=∠AMD−∠CAB=90°−45°=45°，∵OA=OD．∴∠BAD=∠ADO=1（2）解：如图2，连接OD．

∵∠BDE=23∠ABC∴∠BDE=30°，∵OD⊥DE，∴∠ODE=90°∵∠ODB=∠ODE−∠BDE，∴∠ODB=90°−30°=60°．∵OD=OB．∴△OBD是等边三角形，∴OB=BD=5，∴AB=2OB=10．∵∠ABC=45°，∠ACB=90°，∴AC=AB⋅sin∠ABC=10×sin45°=10×【点睛】本题考查了圆周角定理，切线性质，三角形外角性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．(1)求证：∠BAD=∠CAD；(2)连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GF的长．【答案】(1)证明见解析(2)GF=【分析】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）由题意易得BD=（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有OE=12CG,OE∥CG【详解】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴OE=1∴△AOF∽△CGF，∴OACG∵OE=3，∴CG=6，∵⊙O的半径为5，∴OA=OG=5，∴56∴GF=613．如图，在锐角△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点O作OE∥BC，交⊙O于点E，AD与CE交于点(1)求证：∠ACE=∠DCE；(2)若AC=4，△CDF的面积与△COE的面积之比为2:3，求CF的长．【答案】(1)证明见解析；(2)CF=4【分析】（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）易证S△COES△CAE=12，由于S△CDF本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．【详解】（1）证明：∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE，∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）∵O是AC中点，∴S△COE∵S△CDF∴S△CDF∵AC是⊙O直径，∴∠AEC=∠FDC=90°，∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴CFCA∴CF=314．如图，CD是⊙O的直径，AE⊙O相切与点B，连接BC、BD，过圆心O作OE∥BC，连接EB并延长，交DC延长线于点(1)求证：∠D=∠E；(2)若F是OE的中点，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)2π【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．（1）先根据圆周角定理和平行线的性质证得∠E=∠OBD，再根据等腰三角形的性质证得∠D=∠