第8讲 数学广角-数与形（教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）人教版

第8讲数学广角-数与形知识点一：数与形1.从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。

2.有些计算问题或较为复杂的题目可以通过画图，把数字、算式转化成图形，使复杂的问题简单化、抽象的问题直观化，解决起来会更直观、更简单。考点一：数与形【例1】仔细观察如图，你知道第七幅图有多少个圆形吗？请你画一画、写一写．【思路分析】根据图示，第一幅圆形个数：1个；第二幅圆形个数：1+2＝3（个）；第三幅圆形个数：1+2+3＝6（个）；……：第7幅圆形个数：1+2+3+……+7＝28（个）．【规范解答】解：如图：1+2+3+4+……+7＝（1+7）×7÷2＝4×7＝28（个）答：第七幅图有28个圆形．【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．1．如图所示，用火柴搭1条“金鱼”需要8根火柴，搭2条“金鱼”需要14根火柴．（1）按上面的图示规律填写下表．“金鱼”条数1……所需火柴根数8……（2）搭7条“金鱼”需要几根火柴？有56根火柴，可以搭多少条“金鱼”？【思路分析】根据图示，搭1条“金鱼”需要8根火柴；搭2条“金鱼”需要8+6＝14（根）火柴；搭3条“金鱼”需要8+6+6＝20（根）火柴；……；搭n条“金鱼”需要8+6（n﹣1）＝（6n+2）根火柴．（1）根据规律完成填表．（2）根据规律计算搭7条“金鱼”需要的火柴根数及56根火柴可以搭“金鱼”的条数【规范解答】解：（1）填表如下：“金鱼”条数1234……所需火柴根数8142026……（2）8+（7﹣1）×6＝8+6×6＝8+36＝44（根）6n+2＝566n＝54n＝9答：搭7条“金鱼”需要44根火柴；有56根火柴，可以搭9条“金鱼”．【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．2．（2020•雄县）二进制时钟是一种“特殊的时钟”，它用4行6列24盏灯来表示时间（图1）竖着看，从左到右每两列为一组，每列依次表示时、分、秒的十位数字和个位数字；每列从下往上的灯依次表示1、2、4、8（●表示灯亮，〇表示灯熄灭，灯灭代表0），同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数加起来得到对应的数．例如，图1中最右侧一列，从下往上第一、二、三盏灯是，分别表示数字1、2、4，1+2+4＝7，此时这列灯表示数字7，按照这样的表示方法，请在图2的括号里写出此时时钟表示的时刻．图3是雯雯同学上午进入校门的时刻，请涂出二进制时钟上的显示．【思路分析】根据所给图示，发现每行与每列的变换规律：竖着看，从左到右每两列为一组，每列依次表示时、分、秒的十位数字和个位数字；每列从下往上的灯依次表示1、2、4、8（●表示灯亮，〇表示灯熄灭，灯灭代表0），同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数加起来得到对应的数．然后利用规律做题即可．【规范解答】解：．【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现规律，并运用规律做题．3．（2020春•上街区期末）根据前三个算式的规律，写出其他算式的得数，并说明理由．在完成第①题时，我是这样想的：被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以相同的数．在完成第②题时，我是这样想的：除数不变，被除数乘几（0除外），商就乘相同的数．【思路分析】①根据所给算式发现：被除数不变，除数乘2、3、……6，商就除以2、3、……6．据此完成题目，并总结规律．②根据所给算式发现：除数不变，被除数乘2、3、……8，商也乘2、3、……8．据此完成题目，并总结规律．【规范解答】解：如图：在完成第①题时，我是这样想的：被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以相同的数．在完成第②题时，我是这样想的：除数不变，被除数乘几（0除外），商就乘相同的数．故答案为：被除数不变，除数乘几，商就除以相同的数．除数不变，被除数乘几，商就乘相同的数．【名师点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．一．选择题（共6小题）1．（2019秋•大田县期末）根据1÷11＝0.，2÷11＝0.，3÷11＝0.，可以推出9÷11＝（）A．0. B．0. C．0. D．0.【思路分析】根据1÷11＝0.，2÷11＝0.，3÷11＝0.，可以看出循环节都是两个数字，循环节的两个数字是9与被除数的乘积；由此规律，可知9÷11的循环节是81，据此解答．【规范解答】根据题意与分析可得：根据1÷11＝0.，2÷11＝0.，3÷11＝0.，可以推出9÷11＝0.．故选：D．【名师点评】注意式子的运算结果中数字之间的联系，发现规律，进一步解决问题．2．（2020•顺德区）如图是用棋子摆成的图形，摆第一个图形需要3枚棋子，摆第二个图形需要6枚棋子，摆第三个图形需要9枚棋子……照这样的规律摆第11个图形需要（）枚棋子．A．27 B．30 C．33 D．36【思路分析】观察图形可知，摆第一个图形需要3＝3×1枚棋子，摆第二个图形需要3×2＝6枚棋子，摆第三个图形需要3×3＝9枚棋子，摆第四个图形需要3×4＝12枚棋子……，据此可得摆第n个图形需要3n枚棋子，据此即可解答问题．【规范解答】解：根据题干分析可得：摆第一个图形需要3＝3×1枚棋子，摆第二个图形需要3×2＝6枚棋子，摆第三个图形需要3×3＝9枚棋子，摆第四个图形需要3×4＝12枚棋子…，据此可得摆第n个图形需要3n枚棋子，当n＝11时，11×3＝33（枚）答：照这样的规律摆第11个图形需要33枚棋子．故选：C．【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．3．（2019•北京）寒假的时候，同学们去莲花山滑雪场滑雪，有些同学用雪杖摆成了如图：像上面那样摆10个三角形，至少需要（）根滑雪杖．A．21 B．20 C．9 D．30【思路分析】根据图示，摆1个三角形，需要滑雪杖：3根；摆2个三角形，需要滑雪杖：3+2＝5（根）；摆3个三角形，需要滑雪杖：3+2+2＝7（根）……摆n个三角形，需要滑雪杖：3+2（n﹣1）＝（2n+1）根．据此解答．【规范解答】解：摆1个三角形，需要滑雪杖：3根摆2个三角形，需要滑雪杖：3+2＝5（根）摆3个三角形，需要滑雪杖：3+2+2＝7（根）……摆n个三角形，需要滑雪杖：3+2（n﹣1）＝（2n+1）根……摆10个三角形需要滑雪杖：2×10+1＝20+1＝21（根）答：摆10个三角形，至少需要21根滑滑雪杖．故选：A．【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．4．（2018秋•福州期末）用小棒摆正六边形，（如图所示），按照这样的方法摆下去，摆n个正六边形需要（）小棒．A．6n B．5n C．5n+1 D．6n+1【思路分析】根据图示，摆1个正六边形需要小棒根数：6根；摆2个正六边形需要小棒根数：6+5＝11（根）；摆3个正六边形需要小棒根数：6+5+5＝16（根）；……摆n个正六边形需要小棒根数：6+5（n﹣1）＝（5n+1）根．据此解答．【规范解答】解：摆1个正六边形需要小棒根数：6根；摆2个正六边形需要小棒根数：6+5＝11（根）；摆3个正六边形需要小棒根数：6+5+5＝16（根）；……摆n个正六边形需要小棒根数：6+5（n﹣1）＝（5n+1）根．答：摆n个正六边形需要（5n+1）根小棒．故选：C．【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现规律．5．如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，请根据此规律，计算出m的值是（）A．86 B．74 C．52【思路分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积加左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是8，右上是10；然后求出m的值即可．【规范解答】解：第四图左下角的数是：6+2＝8右上角的数是：8+2＝10那么右下角的数m就是：10×8+6＝86故选：A．【名师点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．6．（2019春•凤凰县月考）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，n等于（）A．52 B．74 C．86【思路分析】观察前三个图可得：左上角、右上角、左下角同一位置的数都是连续的递增双数；0+4×2＝8，2+6×4＝26，4+8×6＝52，右下角的数的规律是：左上角的数+右上角的数×左下角的数＝右下角的数；据此解答即可．【规范解答】解：右上角的数：8+2＝10左下角的数：6+2＝8所以n＝6+10×8＝6+80＝86故选：C．【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．二．填空题（共6小题）7．（2020春•磐石市期末）按规律填数：（1）2，4，6，8，10，12，14．（2）56，46，36，26，16．【思路分析】（1）2，4，6，8，这四个数连续的双数，依次增加2即可；（2）56，46，36，26，这四个数个位都是6，十位是5、4、3、2，依次减少1个十；据此解答即可．【规范解答】解：（1）8+2＝1012+2＝14所以，2，4，6，8，10，12，14．（2）这些数个位都是6，十位是5、4、3、2、1；所以，56，46，36，26，16．故答案为：10，14；16．【名师点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．8．认真观察如图，看从中受到什么启发，然后再计算出后面算式的结果．＝＝＝【思路分析】根据图示，观察算式可知：分子是1，分母分别是2的1次方，2的2次方，2的3次方，……求这些分数的和为最后一个分数的分母做分母，分子是分母减1．据此解答．【规范解答】解：＝；＝；＝1﹣（）＝1﹣＝故答案为：；；．【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．9．（2020•无锡）探索实践：如图，用“十字形”分割正方形．分割一次，可以分成4个正方形；分割二次，可以分成7个正方形……用这样的“十字形”连续分割3次，可以分成10个正方形；连续分割拟n次，可以分成（3n+1）个正方形；要分成100个正方形需要分割33次．【思路分析】根据图示，分割一次，可以分成4个正方形；分割二次，可以分成4+3＝7（个）正方形；分割3次，可以分成4+3+3＝10（个）正方形；……连续分割n次，可以分成4+3（n﹣1）＝（3n+1）个正方形；据此解答．【规范解答】解：分割1次，正方形个数：4个分割2次，正方形个数：4+3＝7（个）分割3次，正方形个数：4+3+3＝10（个）……分割n次，正方形个数：4+3（n﹣1）＝（3n+1）个……3n+1＝1003n＝99n＝33答：连续分割3次，可以分成10个正方形；连续分割拟n次，可以分成（3n+1）个正方形；要分成100个正方形需要分割33次．故答案为：10；（3n+1）；33．【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．10．（2020•唐县）观察如图的点阵图，找规律．第五个点阵图有18点，第n个图形共有3（n+1）个点．【思路分析】根据图示可知，第一个点阵图点数：1+2+3＝2×3＝6（个）；第二个点阵图点数：2+3+4＝3×3＝9（个）；第三个点阵图点数：3+4+5＝4×3＝12（个）；……；第n个点阵图点数：3（n+1）个．据此解答．【规范解答】解：第一个点阵图点数：1+2+3＝2×3＝6（个）第二个点阵图点数：2+3+4＝3×3＝9（个）第三个点阵图点数：3+4+5＝4×3＝12（个）……第五个点阵图点数：（5+1）×3＝6×3＝18（个）……第n个点阵图点数：3（n+1）个答：第五个点阵图有18点，第n个图形共有3（n+1）个点．故答案为：18；3（n+1）．【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．11．找规律，填一填．（1）1001、2002、3003、4004、5005、6006．（2）九千一百、八千二百、七千三百、六千四百、五千五百、四千六百．【思路分析】（1）2002﹣1001＝1001、3003﹣2002＝1001，规律：每次增加1001；（2）九千一百、八千二百、七千三百、规律：千位数字每次减少1，百位数字每次增加1；据此解答即可．【规范解答】解：（1）3003+1001＝40044004+1001＝50055005+1001＝6006所以，1001、2002、3003、4004、5005、6006．（2）九千一百、八千二百、七千三百、六千四百、五千五百、四千六百．故答案为：4004、5005、6006；六千四百、五千五百、四千六百．【名师点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．12．（2020•海安市）现有若干个圆环，它们的外直径都是5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起（如图所示）拉紧后测量总长度．圆环个数1234…总长度（cm）591317…像这样，10个圆环拉紧后的长度是41厘米．如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是（4n+1）厘米．【思路分析】根据图示可知：1个圆环的长度是5厘米；2个圆环的总长度是5+4＝9（厘米）；3个圆环的总长度是：5+4+4＝13（厘米）；……n个圆环的总长度是：5+4（n﹣1）＝（4n+1）厘米．据此解答即可．【规范解答】解：1个圆环的长度是5厘米2个圆环的总长度是5+4＝9（厘米）3个圆环的总长度是：5+4+4＝13（厘米）……10个圆环的总长度是：4×10+1＝40+1＝41（厘米）……n个圆环的总长度是：5+4（n﹣1）＝（4n+1）厘米答：10个圆环拉紧后的长度是41厘米．如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是（4n+1）厘米．故答案为：41；（4n+1）．【名师点评】此题关键是从简单情形入手，找出图形之间的联系，数字之间的运算规律，利用规律解决问题．三．判断题（共5小题）13．（2014•吉州区模拟）用小棒照图搭正方形，搭一个正方形用4根，搭两个正方形用7根，搭a个正方形有4a根．×．（判断对错）【思路分析】通过观察易得搭一个正方形要火柴4根；搭两个正方形要火柴（4+3）根，即7根；搭三个正方形要火柴（4+3×2）根，即10根，由此得到搭a个正方形要火柴4+3×（a+1）＝3a+1根，据此即可解答．【规范解答】解：观察第一个图得，搭一个正方形要火柴4根；观察第二个图得，搭两个正方形要火柴（4+3）根，即7根；观察第三个图得，搭三个正方形要火柴（4+3×2）根，即10根，所以搭a个正方形要火柴4+3×（a﹣1）＝3a+1根．故答案为：×．【名师点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．14．（2012•岳麓区）按1、8、27、64、125、216的规律排，横线中的数应为64．正确．（判断对错）【思路分析】此题关键是发现以上数列是按各数的立方顺序排列的．【规范解答】解：13＝1；23＝8；33＝27；43＝64；53＝125；63＝216．由此发现规律：以上数列是按1、2、3、4、5、6的立方顺序排列的，43＝64．故答案为：正确．【名师点评】认真观察，发现数列中的规律，从而利用规律解决问题．15．（2017秋•临漳县期末）第五个点阵中点的个数是：1+4×4＝17．√（判断对错）【思路分析】根据题干，第一个点阵有1个点，第二个点阵上下左右各增加了一个点即有：1+1×4个点，第三个点阵上下左右各增加了2个点即有：1+2×2个点由此可得：第n点阵的点数＝1+（n﹣1）×4，由此规律即可解决判断．【规范解答】解：根据题干分析可得：第n点阵的点数＝1+（n﹣1）×4，n＝5时，点数个数为：1+（5﹣1）×4＝1+4×4＝17．所以原题说法正确．故答案为：√．【名师点评】抓住题干，从特殊的例子推理得出一般的结论，由此即可解决此类问题．16．（2019•河南模拟）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒．√．（判断对错）【思路分析】摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒（4+3）根，即7根；摆三个正方形要小棒（4+3×2）根，即10根，由此得到摆n个正方形要小棒4+3×（n﹣1）＝3n+1根；然后把n＝10代入3n+1中即可求出摆10个正方形需要的小棒数．【规范解答】解：摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒（4+3）根，即7根；摆三个正方形要小棒（4+3×2）根，即10根，…，所以摆n个正方形要小棒：4+3×（n﹣1）＝3n+1（根）；n＝10，3×10+1＝31（根）；答：摆10个正方形一共需要31根小棒．原题说法正确．故答案为：√．【名师点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．17．（2011•新都区）如图：那么第7个点阵有45个点．×．（判断对错）【思路分析】根据图形，第一个图是1个点，第二个图有1+4个点，第三个图有1+4+6个点，第四个图有1+4+6+8个点，依次第五个图有1+4+6+8+10个点，第六个图有1+4+6+8+10+12个点，第七个图有1+4+6+8+10+12+14个点，求出和，然后与45比较大小，即可得解．【规范解答】解：1+4+6+8+10+12+14＝5555＞45所以第7个点阵有45个点的说法是错误的；故答案为：×．【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．四．应用题（共6小题）18．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起．（1）2张桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子拼在一起可坐多少人？（2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照如图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？（3）若在（2）中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐多少人？【思路分析】（1）根据图示2张桌子拼一起，可以坐：6+2＝8（人），3张桌子拼一起，可以坐：6+2+2＝10（人）．（2）先根据（1）的规律，计算5张桌子拼一起，可以坐的人数：6+2+2+2+2＝14（人），再计算40张桌子可以拼成几个大桌子，然后乘14，计算可坐人数．（3）根据规律计算8张桌子拼一起，可以坐的人数：6+2+2+2+……+2＝6+2×（8﹣1）＝20（人），然后计算40张桌子可以拼成几个大桌子，乘20就是一共可坐的人数．【规范解答】解：（1）6+2＝8（人）6+2+2＝10（人）答：2张桌子拼在一起可坐8人；3张桌子拼在一起可坐10人．（2）6+2+2+2+2＝14（人）8×14＝112（人）答：共可坐112人．（3）6+2+2+2+2+2+2+2＝6+2×（8﹣1）＝6+14＝20（人）40÷8×205×20＝100（人）答：改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐100人．【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．19．（2020•衡阳县）小红用黑白两种方块照下图这样拼图．（1）观察图形并填表．图序123……图中黑方块的个数468……（2）思考问题并填空．①图序为10的图中黑方块有22个；图序为n的图中黑方块有（2n+2）个．②小红拼成的一个图中白方块有26个，这个图的图序为8．【思路分析】（1）根据所给图示，图1黑色方块4个；图2黑色方块4+2＝6（个）；图3黑色方块：4+2+2＝8（个）．（2）①结合图示发现黑色方块的排列规律：图1黑色方块4个；图2黑色方块4+2＝6（个）；图3黑色方块：4+2+2＝8（个）；……第n个图形黑色方块的个数为：4+2（n﹣1）＝（2n+2）个．据此解答．②图中白方块的排列规律为：图1：5个；图2：5+3＝9（个）；图3：5+3+3＝11（个）；……第n个图形白方块个数：5+3（n﹣1）＝（3n+2）个．据此计算白方块是26个是第几个图形．【规范解答】解：（1）填表如下：图序123……图中黑方块的个数468……（2）①图1黑色方块4个图2黑色方块4+2＝6（个）图3黑色方块：4+2+2＝8（个）……图10黑方块的个数：2×10+2＝20+2＝22（个）……第n个图形黑色方块的个数为：4+2（n﹣1）＝（2n+2）个答：图序为10的图中黑方块有22个；图序为n的图中黑方块有（2n+2）个．②白方块的排列规律为：图1：5个图2：5+3＝9（个）图3：5+3+3＝11（个）……第n个图形白方块个数：5+3（n﹣1）＝（3n+2）个3n+2＝263n＝24n＝8答：白方块有26个，这个图的图序为8．故答案为：6，8；22，（2n+2）；8．【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．20．（2020•海安市）海安某步行街要铺设一条人行道，人行道长400米，宽1.6米．现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（如图是铺设的局部图示）．（1）请帮忙算一算，铺设这条人行道一共需多少块地砖？（不计损耗）（2）铺设这条人行道一共需要多少块红色地砖？（不计损耗）【思路分析】（1）利用长方形面积公式：S＝ab，计算人行道的面积，然后用人行道的面积除以每块地砖的面积，就是所需块数．（2）根据图形的排列规律，每4×4＝16（块）方砖中，有4块是红色的，求所需地砖块数包含几个16，再乘4，计算所需红色地砖的块数即可．【规范解答】解：（1）400×1.6÷0.42＝640÷0.16＝4000（块）答：铺设这条人行道一共需4000块地砖．（2）4000÷16×4＝250×4＝1000（块）答：铺设这条人行道一共需要1000块红色地砖．【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现地砖排列的规律．21．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，第6个图形需要黑色棋子多少个？则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子多少个？【思路分析】根据图示，第一个图形可以摆：1×3＝3个棋子；第二个图形可以摆棋子个数：2×4＝8（个）；第三个图形可以摆棋子个数：3×5＝15（个）；……第n个图形可以摆棋子个数：（n+2）n个，据此解答．【规范解答】解：第一个图形可以摆棋子数：1×3＝3个第二个图形可以摆棋子数：2×4＝8（个）第三个图形可以摆棋子数：3×5＝15（个）……第6个图形可以摆棋子数：（6+2）×6＝8×6＝48（个）