备战2024年高考数学一轮复习课时训练

课件园PAGE第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念1.已知集合A＝{1，3}，B＝{1，2，m}，若AB，则实数m＝________．答案：3解析：∵AB，∴集合A中的元素必在集合B中，则3∈B，得m＝3.2.已知A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x>a}，若AB，则实数a的取值范围是________．答案：a≤－3解析：A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x>a}，AB，则a≤－3.3.若{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围为________．答案：[0，＋∞)解析：由条件知集合非空，则a≥0.4.已知A＝{x|x2－2x－3≤0}，若实数a∈A，则a的取值范围是________．答案：[－1，3]解析：由条件知a2－2a－3≤0，从而a∈[－1，3]．5.A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则BA时，a＝________．答案：1或2解析：验证a＝1时B＝满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．6.若自然数n使得作加法n＋(n＋1)＋(n＋2)运算均不产生进位现象，则称n为“给力数”，例如：32是“给力数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“给力数”，因为23＋24＋25产生进位现象．设小于1000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A，则集合A中的数字之和为________．答案：6解析：“给力数”的个位取值：0、1、2，“给力数”的其他数位取值：0、1、2、3，所以A＝{0，1，2，3}．所以集合A中的数字之和为6.7.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}．若A中只有一个元素，则a＝________．答案：0或1解析：当a＝0时，此时方程有一个根；当a≠0时，则Δ＝4－4a＝0，得a＝1.8.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________．答案：4解析：A＝{x|0<x≤4}，B＝{－∞，a}，AB，故c＝4.9.已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，求(m－n)2013的值．解：由M＝N知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝1，,log2n＝m，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝m，,log2n＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝1，,m＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝2，))故(m－n)2013＝－1或0.10.对于集合A、B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如：A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．据此，试解答下列问题：(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D及D×C；(2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A、B；(3)若A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．解：(1)C×D＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)}，D×C＝{(1，a)，(2，a)，(3，a)}．(2)A＝{1，2}，B＝{2}．(3)12个．11.已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x≤2)))).若AB，求实数a的取值范围．解：A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a＝0，则A＝R；②若a<0，则A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤x<－\f(1,a)))))；③若a>0，则A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)<x≤\f(4,a))))).当a＝0时，若AB，此种情况不存在．当a<0时，若AB，如图，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)>－\f(1,2)，,－\f(1,a)≤2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<－8，,a≤－\f(1,2)，))∴a<－8.当a>0时，若AB，如图，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≥－\f(1,2)，,\f(4,a)≤2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a≥2，))∴a≥2.综上，实数a的取值范围是a<－8或a≥2.第2课时集合的基本运算1.已知集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝________答案：{1，2，3}解析：由题易知a＝1，b＝2，M∪N＝{1，2，3}．2.已知集合P＝{－1，m}，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(3,4)))))，若P∩Q≠，则整数m＝________．答案：0解析：m∈Q，即－1<m<eq\f(3,4)，而m∈Z，∴m＝0.3.已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{－1，0，1}，B＝{－2，－1，0}，则A∩∁UB＝________．答案：{1}解析：因为∁UB＝{1，2}，所以A∩∁UB＝{1}．4.设集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝________．答案：{0，1，2}解析：P＝{0，1，2}，M＝{－3，－2，－1，0，1，2，3},P∩M＝{0，1，2}．5.已知集合A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________．答案：0或3解析：∵A∪B＝A，∴BA.又A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝eq\r(m).由m＝eq\r(m)得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.6.已知全集U＝R，集合A＝(－∞，0)，B＝{－1，－3，a}，若(∁UA)∩B≠，则实数a的取值范围是________．答案：[0，＋∞)解析：∵A＝(－∞，0)，∴∁UA＝[0，＋∞)．∵(∁UA)∩B≠，∴a≥0.7.已知集合A＝{y|y＝eq\r(－x2＋2x)}，B＝{x||x－m|<2013}，若A∩B＝A，则m的取值范围是________．答案：(－2012，2013)解析：集合A表示函数y＝eq\r(－x2＋2x)的值域，由t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，可得0≤y≤1，故A＝[0，1]．集合B是不等式|x－m|<2013的解集，解得m－2013<x<m＋2013，所以B＝(m－2013，m＋2013)．因为A∩B＝A，所以AB.如图，由数轴可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2013<0，,m＋2013>1，))解得－2012<m<2013.8.给定集合A，若对于任意a、b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确的结论是________．(填序号)答案：②解析：①中，－4＋(－2)＝－6A，所以不正确；②中设n1、n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1、k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{－4，0，4}，A2＝{－2，0，2}，则A1、A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．9.设集合U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．解：此时只可能是a2＋2a－3＝5，易得a＝2或－4.当a＝2时，A＝{2，3}符合题意．当a＝－4时，A＝{9，3}不符合题意，舍去．故a＝2.10.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0，3]，求实数m的值；(2)若A∁RB，求实数m的取值范围．解：由已知得集合A＝{x|－1≤x≤3}．(1)∵A∩B＝[0，3]，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3，)))∴m＝2.(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}．∵A∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.11.设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁IM)∩N；(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(∁IM)∩N＝{2}．(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴BA，∴B＝或B＝{2}．当B＝时，a－1>5－a，∴a>3；当B＝{2}时，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a＝3；综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.“x>0”是“x≠0”答案：充分而不必要解析：对于“x>0”“x≠0”；反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．2.已知命题p：n∈N，2n＞1000，则綈p为__________．答案：n∈N，2n≤10003.命题“x∈R，使得xsinx－1≤0”的否定是____________．答案：x∈R，使得xsinx－1>0解析：直接改写，原命题的否定为“x∈R，使得xsinx－1>0”．4.已知a、b、c是非零实数，则“a、b、c成等比数列”是“b＝eq\r(ac)”的________(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)条件．答案：必要不充分解析：若非零实数a、b、c成等比数列，则b2＝ac，即b＝±eq\r(ac)，∴非零实数a、b、c成等比数列是b＝eq\r(ac)的必要不充分条件．5.已知命题p：若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．命题q：若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b).给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③非p；④非q.其中真命题是________．(填序号)答案：②④解析：命题p为真命题．若a＝2>b＝－1，而eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)>eq\f(1,b)＝－1，命题q为假命题．由真值表可知，p或q、非q为真命题．6.已知a、b、c、d为实数，且c>d.则“a>b”是“a－c>b－d”的________条件．答案：必要而不充分解析：显然充分性不成立．又若a－c>b－d和c>d都成立，则同向不等式相加得a>b，即由“a－c>b－d”“a>b”．7.“a≥eq\f(1,8)”是“对x是正实数，2x＋eq\f(a,x)≥c”的充要条件，则实数c＝________．答案：1解析：若c<0，则a≥0，不符合题意；若c>0，eq\f(a,x)≥c－2x，根据x是正数，有a≥cx－2x2，∵y＝cx－2x2在x是正数时，值域是y≤－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,4)))eq\s\up12(2)＋c×eq\f(c,4)＝eq\f(c2,8)，则a≥eq\f(c2,8)，于是eq\f(c2,8)＝eq\f(1,8)c＝1.8.存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))解析：由题意知只需满足相应方程x2－4bx＋3b＝0的判别式Δ>0，则4b2－3b>0，解得b<0或b>eq\f(3,4).9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．解：(1)逆命题：两个三角形相似，则它们全等，为假命题；否命题：两个三角形不全等，则它们不相似，为假命题；逆否命题：两个三角形不相似，则它们不全等，为真命题．(2)逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零，为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除，为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零，为真命题.10.设条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：条件p为：eq\f(1,2)≤x≤1，条件q为：a≤x≤a＋1.p对应的集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>1或x<\f(1,2)))))，q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x<a}．∵p是q的必要不充分条件，∴BA，∴a＋1>1且a≤eq\f(1,2)或a＋1≥1且a<eq\f(1,2).∴0≤a≤eq\f(1,2).故a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).11.已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B为函数y＝x2－2x＋a的值域，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}，命题p：A∩B≠；命题q：AC.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．解：(1)A＝[1，2]，B＝[a－1，＋∞)，若p为假命题，则A∩B＝，故a－1>2，即a>3.故a的取值范围为(3，＋∞)．(2)若命题p∧q为真命题，则p和q都为真命题．命题p为真，则a≤3.命题q为真，即转化为当x∈[1，2]时，f(x)＝x2－ax－4≤0恒成立．(解法1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝1－a－4≤0，,f（2）＝4－2a－4≤0，))解得a≥0.(解法2)当x∈[1，2]时，a≥x－eq\f(4,x)恒成立，而x－eq\f(4,x)在[1，2]上单调递增，故a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,x)))eq\s\do7(max)＝0.综上，a的取值范围为[0，3]．

第二章函数与导数第1课时函数及其表示1.下列对应f是从集合A到集合B的函数有________个．①A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－2|；②A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；③A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0.答案：22.已知函数y＝f(x)，集合A＝{(x，y)|y＝f(x)}，B＝{(x，y)|x＝a，y∈R}，其中a为常数，则集合A∩B的元素有________个．答案：0或1解析：设函数y＝f(x)的定义域为D，则当a∈D时，A∩B中恰有1个元素；当aD时，A∩B中没有元素．3.若f(eq\r(x)＋1)＝x＋1，则f(x)＝___________．答案：x2－2x＋2(x≥1)解析：令t＝eq\r(x)＋1，则x＝(t－1)2，所以f(t)＝(t－1)2＋1.4.已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________．答案：3x＋eq\f(5,x)(x≠0)解析：由题可设φ(x)＝ax＋eq\f(b,x)，代入φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝16，φ(1)＝8，得a＝3，b＝5.5.已知函数f(x)＝3x－1，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≥0，,2－x，x<0.))若x≥eq\f(1,3)，则g(f(x))＝________．答案：9x2－6x解析：当x≥eq\f(1,3)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≥0，所以g(f(x))＝(3x－1)2－1＝9x2－6x.6.工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,6－x)，0<x≤c，,\f(2,3)，x>c))(c为常数，且0<c<6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．若将日盈利y(万元)表示为日产量x(万件)的函数关系，其关系式为________________．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3（9x－2x2）,2（6－x）)，0<x≤c,0，x>c))解析：当x>c时，p＝eq\f(2,3)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))·x·3－eq\f(2,3)·x·eq\f(3,2)＝0；当0<x≤c时，p＝eq\f(1,6－x)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6－x)))·x·3－eq\f(1,6－x)·x·eq\f(3,2)＝eq\f(3（9x－2x2）,2（6－x）).7.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq\f(1－x2,1＋x2)，则f(x)的解析式为____________．答案：f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)（x≥0），,－x2－4x（x<0）.))若f(x)≤3，则x的取值范围是________．答案：[－1，9]∪(－∞，－3]解析：f(x)≤3等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,\r(x)≤3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－x2－4x≤3，))解得0≤x≤9或－1≤x＜0或x≤－3，即－1≤x≤9或x≤－3.9.(1)已知f(x)是二次函数，且方程f(x)＋3x＝0有两根0和1.若f(x＋4)＝f(－x)，求f(x)；(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a、b，有f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，求f(x)．解：(1)设f(x)＋3x＝ax(x－1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－(a＋3)x，由f(x＋4)＝f(－x)，得f(x)的图象关于x＝2对称，所以eq\f(a＋3,2a)＝2，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x.(2)令a＝b＝x，则f(x－x)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x2－x.由于f(0)＝1，所以f(x)＝x2＋x＋1.10.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))g(x)＝x＋2.(1)若f(g(a))＝g(f(－1)，求a的值；(2)解不等式f(1－x2)>f(2x)．解：(1)由条件，g(f(－1))＝3，g(a)＝a＋2，所以f(g(a))＝g(f(－1))即为f(a＋2)＝3.当a＋2≥0，即a≥－2时，(a＋2)2＋1＝3，所以a＝－2＋eq\r(2)；当a＋2<0，即a<－2时，显然不成立，所以a＝－2＋eq\r(2).(2)由f(1－x2)>f(2x)，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,1－x2>2x，))解得－1<x<eq\r(2)－1.所以不等式的解集为(－1，eq\r(2)－1)．11.是否存在正整数a、b，使f(x)＝eq\f(x2,ax－2)，且满足f(b)＝b及f(－b)<－eq\f(1,b)？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正整数a、b满足题意．∵f(x)＝eq\f(x2,ax－2)，f(b)＝b，∴eq\f(b2,ab－2)＝b，即(a－1)b＝2.∵a、b∈N*，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.)))当a＝3，b＝1时，f(x)＝eq\f(x2,3x－2)，此时－b＝－1，∴f(－b)＝f(－1)＝－eq\f(1,5)>－1＝－eq\f(1,b)，因此a＝3，b＝1不符合题意，舍去；当a＝2，b＝2时，f(x)＝eq\f(x2,2x－2)，此时－b＝－2，∴f(－b)＝f(－2)＝－eq\f(2,3)<－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,b)，符合题意．∴存在a＝2，b＝2满足条件使f(x)＝eq\f(x2,2x－2).第2课时函数的定义域和值域1.设集合A＝{x|eq\a\vs4\al(y＝\f(1,1＋\f(1,x)))}，则A＝________．答案：{x|x≠－1且x≠0}解析：由x≠0，且1＋eq\f(1,x)≠0可得答案．2.函数f(x)＝eq\r(1－2log6x)的定义域为_______________．答案：(0,eq\r(6)]解析：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,1－2log6x≥0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,log6x≤\f(1,2)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x≤6\s\up6(\f(1,2))＝\r(6)))0<x≤eq\r(6).3.若集合M＝{y|y＝2－x}，N＝{y|y＝eq\r(x－1)}，则M∩N＝_______________．答案：{y|y>0}解析：M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)))))＝{y|y>0}，N＝{y|y≥0}，∴M∩N＝{y|y>0}∩{y|y≥0}＝{y|y>0}．4.函数y＝eq\r(x)－x(x≥1)的值域为________．答案：(－∞，0]解析：y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，因为x≥1，所以y≤0.5.若函数y＝eq\f(1,2)x2－2x＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b＝________．答案：2解析：y＝eq\f(1,2)x2－2x＋4＝eq\f(1,2)(x－2)2＋2，显然f(2b)＝2b，结合b>1，得b＝2.6.函数y＝eq\f(x2,x2－x＋1)的最大值为________．答案：eq\f(4,3)解析：若x＝0，则y＝0；若x≠0，则y＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2)－\f(1,x)＋1)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).7.若函数f(x)＝eq\r(2x2－2ax＋a－1)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．答案：0≤a≤1解析：2x2－2ax＋a－1≥0，即x2－2ax＋a≥0恒成立，∴Δ≤0，∴0≤a≤1.8.若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数y＝f(f(x))的值域是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：x＜0时，f(x)＝2x∈(0，1)，eq\f(1,2)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)＜1，f(f(x))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，同理可得x＞0时，f(f(x))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，综上所述，函数y＝f(f(x))的值域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).9.(1)求函数f(x)＝eq\f(ln（x＋1）,\r(－x2－3x＋4))＋(5x－4)0的定义域．(2)已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数y＝f(x2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))的定义域．解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，1)).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0≤x2≤1，,0≤x＋\f(4,3)≤1，)))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,－\f(4,3)≤x≤－\f(1,3)，)))所以－1≤x≤－eq\f(1,3)，即函数f(x)的定义域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3))).10.已知a>1，函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋1)(x∈[1，3])，g(x)＝x＋eq\f(9,x＋1)＋4(x∈[0，3])．(1)求f(x)与g(x)的值域；(2)若x1∈[1，3]，x2∈[0，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，试求a的取值范围．解：(1)f(x)＝eq\f(a（x＋1）＋（1－a）,x＋1)＝a＋eq\f(1－a,x＋1).因为a>1，所以f(x)在[1，3]上是增函数，所以函数f(x)的值域为[eq\f(1,2)(a＋1)，eq\f(1,4)(3a＋1)]．由g(x)＝(x＋1)＋eq\f(9,x＋1)＋3≥2eq\r(（x＋1）·\f(9,x＋1))＋3＝9，当且仅当(x＋1)＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2∈[0，3]时，取等号，即g(x)的最小值为9.又g(0)＝13，g(3)＝eq\f(37,4)，所以g(x)的最大值为13.所以函数g(x)的值域为[9，13]．(2)由题意知，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（a＋1），\f(1,4)（3a＋1）))[9，13]，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（a＋1）≥9，,\f(1,4)（3a＋1）≤13，))解得a＝17.因为a>1，所以a＝17符合．11.设函数f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(1＋x)＋eq\r(1－x).(1)设t＝eq\r(1＋x)＋eq\r(1－x)，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数h(t)；(2)求函数f(x)的最值．解：(1)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,1－x≥0，)))∴－1≤x≤1，∴t2＝(eq\r(1＋x)＋eq\r(1－x))2＝2＋2eq\r(1－x2)∈[2，4]，∴t∈[eq\r(2)，2]．由eq\r(1－x2)＝eq\f(1,2)t2－1，∴h(t)＝eq\f(1,2)t2＋t－1，t∈[eq\r(2)，2]．(2)由h(t)＝eq\f(1,2)t2＋t－1＝eq\f(1,2)(t＋1)2－eq\f(3,2)∈[eq\r(2)，3]，∴f(x)的最大值为3，最小值为eq\r(2).第3课时函数的单调性1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是________．(填序号)①y＝eq\r(x)；②y＝eq\f(1,x)；③y＝2x－1；④y＝|x|.答案：①③④2.函数y＝x－eq\f(1,x)的单调增区间为________．答案：(－∞，0)，(0，＋∞)3.已知f(x)＝x2＋x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))________(填“≤”或“≥”)f(2)．答案：≥解析：∵f(x)的对称轴方程为x＝－eq\f(1,2)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上为增函数．又a2＋eq\f(1,a2)≥2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))≥f(2)．4.函数f(x)＝2x＋log2x，x∈[1，2]的值域是________．答案：[2，5]解析：因为f(x)＝2x＋log2x在区间[1，2]上为增函数，所以f(x)∈[2，5]．5.若函数f(x)＝x2＋ax与g(x)＝eq\f(a,x－1)在区间(1，2)上都是增函数，则实数a的取值范围是________．答案：[－2，0)解析：若f(x)在(1，2)上是增函数，则a≥－2；若g(x)在(1，2)上是增函数，则a<0.6.函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是_________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))解析：函数f(x)的定义域是(－1，4)．令u(x)＝－x2＋3x＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)的减区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).∵e>1，∴函数f(x)的单调减区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).7.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f(1)<f(lnx)，则x的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))∪(e，＋∞)解析：|lnx|>1，所以lnx<－1或lnx>1，所以0<x<eq\f(1,e)或x>e.8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x<0，,（a－3）x＋4a，x≥0))满足对任意的x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0成立，则a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))解析：对任意的x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0成立，说明函数f(x)是减函数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a－3<0，,a0≥（a－3）×0＋4a，))此不等式组的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).9.设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)．(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0，求实数a、b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解：(1)a＝1，b＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋2x＋1，所以g(x)＝x2＋(2－k)x＋1，因为g(x)在[－2，2]上是单调函数，所以[－2，2]eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(k－2,2)))或[－2，2]eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－2,2)，＋∞))，解得k≤－2或k≥6.10.设函数f(x)＝eq\r(x2＋1)－ax.(1)当a≥1时，证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数；(2)当x∈[0，2]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明：设x1、x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，由f(x1)－f(x2)＝(eq\r(xeq\o\al(2,1)＋1)－ax1)－(eq\r(xeq\o\al(2,2)＋1)－ax2)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),\r(xeq\o\al(2,1)＋1)＋\r(xeq\o\al(2,2)＋1))－a(x1－x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,\r(xeq\o\al(2,1)＋1)＋\r(xeq\o\al(2,2)＋1))－a)).∵0≤x1<x2，∴eq\f(x1＋x2,\r(xeq\o\al(2,1)＋1)＋\r(xeq\o\al(2,2)＋1))∈(0，1)．而a≥1，∴eq\f(x1＋x2,\r(xeq\o\al(2,1)＋1)＋\r(xeq\o\al(2,2)＋1))－a<0.又x1－x2<0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[0，＋∞)上是单调减函数．(2)解：当x＝0时，f(x)＝1>0，此时a∈R.当x∈(0，2]时，由f(x)≥0恒成立，得a≤eq\f(\r(x2＋1),x).而eq\f(\r(x2＋1),x)＝eq\r(1＋\f(1,x2))≥eq\f(\r(5),2)，∴a≤eq\f(\r(5),2).综上，满足条件的实数a的范围是a≤eq\f(\r(5),2).11.已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))<2.解：(1)令x＝y，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.(2)设0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1))).∵0<x1<x2，∴eq\f(x2,x1)>1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))>0，即f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f(6)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,6)))＝f(36)－f(6)，∴f(36)＝2，原不等式等价于f(x2＋3x)<f(36)．由(2)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋3>0，,\f(1,x)>0，,x2＋3x<36，)))解得0<x<eq\f(3\r(17)－3,2).第4课时函数的奇偶性及周期性1.已知奇函数f(x)的定义域为(－2a，a2－3)，则a＝________．答案：3解析：(－2a)＋(a2－3)＝0，且－2a＜0.2.已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lgx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))))＝_________．答案：－lg2解析：因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＝lgeq\f(1,100)＝－2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))))＝f(－2)＝－f(2)＝－lg2.3.若函数f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)是奇函数，则实数a＝________．答案：eq\f(1,2)解析：由f(－x)＝－f(x)恒成立可得a＝eq\f(1,2).4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，若f(1.5)＝1，则f(2014.5)＝________．答案：－1解析：由f(x＋1)＝－f(x)，知f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(2014.5)＝f(0.5)＝f(－1.5)＝－f(1.5)＝－1.5.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x<0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a、b∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则a＋3b＝________．答案：－10解析：因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，函数f(x)的周期为2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，根据f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x<0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))得到3a＋2b＝－2.又f(1)＝f(－1)，得到－a＋1＝eq\f(b＋2,2)，即2a＋b＝0，结合上面的式子解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝－10.6.已知奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的增函数，若f(a－2)＋f(a2－4)<0，则a的取值范围是________．答案：(eq\r(3)，2)解析：由已知得f(a－2)<－f(a2－4)，因f(x)是奇函数，故－f(a2－4)＝f(4－a2)，于是f(a－2)<f(4－a2)．又f(x)是定义在(－1，1)上的增函数，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<4－a2，,－1<a－2<1，,－1<a2－4<1))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3<a<2，,1<a<3，,－\r(5)<a<－\r(3)或\r(3)<a<\r(5)))eq\r(3)<a<2.7.已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则满足f(x0)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))时x0的取值范围是_________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在区间上是偶函数，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调递增函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x0|>\f(π,3)，,－\f(π,2)≤x0≤\f(π,2)，))即x0的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).8.设函数f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝_________．答案：2解析：f(x)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，令g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，则g(x)是奇函数，图象关于原点对称，由于f(x)的图象是由g(x)的图象向上平移1个单位而得，所以f(x)的图象关于(0，1)对称，所以M＋m＝2.9.设f(x)＝eq\f(－2x＋a,2x＋1＋b)(a、b为实常数)．(1)证明：当a＝b＝1时，f(x)不是奇函数；(2)设f(x)是奇函数，求a与b的值．(1)证明：f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋1)，f(1)＝eq\f(－2＋1,22＋1)＝－eq\f(1,5)，f(－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,2)＝eq\f(1,4)，所以f(－1)≠－f(1)，f(x)不是奇函数．(2)解：f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－2－x＋a,2－x＋1＋b)＝－eq\f(－2x＋a,2x＋1＋b)对任意实数x成立．化简整理得(2a－b)·22x＋(2ab－4)·2x＋(2a－b)＝0，这是关于x的恒等式，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b＝0，,2ab－4＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))10.设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求k的值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0对任意实数x恒成立的t的取值范围．解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2.(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，由于f(1)<0，∴a－eq\f(1,a)<0，∴0<a<1.∴f(x)在R上是减函数．不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0等价于f(x2＋tx)<f(x－4)．∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立．∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3<t<5.11.设y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－x2.(1)求当x<0时，f(x)的解析式；(2)请问是否存在这样的正数a、b，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,b)，\f(1,a)))？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当x<0时，－x>0，于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝2x＋x2，即f(x)＝2x＋x2(x<0)．(2)假设存在，则由题意知g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，x∈[a，b]，a>0,所以eq\f(1,a)≤1，a≥1,从而函数g(x)在[a，b]上单调递减．于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2a－a2＝\f(1,a)，,2b－b2＝\f(1,b)，)))所以a、b是方程2x－x2＝eq\f(1,x)的两个不等正根，方程变形为x3－2x2＋1＝0，即(x－1)(x2－x－1)＝0，方程的根为x＝1或x＝eq\f(1±\r(5),2).因为0<a<b,所以a＝1，b＝eq\f(1＋\r(5),2).第5课时函数的图象1.函数f(x)＝eq\f(2x＋1,x－1)图象的对称中心的坐标是________．答案：(1，2)解析：f(x)＝2＋eq\f(3,x－1).2.函数f(x)＝(2－a2)x＋a的图象在区间[0，1]上恒在x轴上方，则实数a的取值范围是________．答案：(0，2)解析：由题意，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）>0，,f（1）>0，))即可．3.设函数y＝f(x)是定义在R上，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线________对称．答案：x＝1解析：由y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]，知y＝f(1－x)的图象是由y＝f(－x)的图象向右平移1个单位而得，而函数y＝f(x－1)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移1个单位而得，函数y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，所以函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．4.函数f(x)＝|x2－ax＋a|(a>0)的单调递增区间是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))5.不等式lg(－x)<x＋1的解集是________．答案：(－1，0)6.任取x1、x2∈(a，b)，且x1≠x2，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)是(a，b)上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的是________．(填序号)答案：④7.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有________个．答案：10解析：根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；当0<x<10时，|lgx|<1；x>10时，|lgx|>1.因此结合图象及数据特点y＝f(x)与y＝|lgx|的图象交点共有10个．8.已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，均有f(x)＜eq\f(1,2)，则实数a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，2]解析：由题知，当x∈(－1，1)时，f(x)＝x2－ax＜eq\f(1,2)，即x2－eq\f(1,2)＜ax.在同一坐标系中分别作出二次函数y＝x2－eq\f(1,2)，指数函数y＝ax的图象，如图，当x∈(－1，1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，只需eq\f(1,2)≤a≤2且a≠1.故实数a的取值范围是eq\f(1,2)≤a＜1或1＜a≤2.9.作出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间．(1)y＝|3x－1|；(2)y＝|x－2|(x＋1)．解：(1)y＝|3x－1|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1，x≥0，,1－3x，x<0，))图象如下，其单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)．(2)由y＝|x－2|(x＋1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,4)，x<2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)－\f(9,4)，x≥2，))图象如下，其单调增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))和(2，＋∞)，单调减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).10.已知定理：“若a、b为常数，g(x)满足g(a＋x)＋g(a－x)＝2b，则函数y＝g(x)的图象关于点(a，b)中心对称”．已知函数f(x)＝－1＋eq\f(1,a－x).(1)试证明函数f(x)的图象关于点(a，－1)中心对称；(2)当x∈[a－2，a－1]时，求证：f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).证明：(1)∵f(a＋x)＋f(a－x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,a－（a＋x）)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,a－（a－x）)))＝－2，∴函数f(x)的图象关于点(a，－1)中心对称．(2)由f(x)＝－1＋eq\f(1,a－x)＝－1－eq\f(1,x－a)，知f(x)在(－∞，a)和(a，＋∞)上均为增函数，∴f(x)在[a－2，a－1]上单调递增，从而f(x)∈[f(a－2)，f(a－1)]，即f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).11.已知a、b是实数，函数f(x)＝ax＋b|x－1|(x∈R)．(1)若a、b∈(－2，2)，且函数f(x)在(0，＋∞)内存在最大值，试在平面直角坐标系xOy内，求出动点(a，b)运动区域的面积；(2)若b>0，且关于x的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有2个，试求eq\f(a,b)的取值范围．解：(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－b）x＋b，x≤1，,（a＋b）x－b，x>1，))结合f(x)的图象知，f(x)在(0，＋∞)内存在最大值的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b≥0，,a＋b≤0，))且两个等号不同时成立．当a、b∈(－2，2)时，点(a，b)运动区域的面积为4.(2)f(x)<0b|x－1|<－ax，即|x－1|<－eq\f(a,b)x.在同一坐标系内作出函数p(x)＝|x－1|和q(x)＝－eq\f(a,b)x的图象，由图可知，－eq\f(2,3)≤eq\f(a,b)<－eq\f(1,2).第6课时二次函数1.函数y＝2x2－8x＋2在区间[－1，3]上的值域为________．答案：[－6，12]解析：y＝2(x－2)2－6.x＝2时，y最小为－6；x＝－1时，y最大为12.2.设f(x)＝x2＋ax＋3，不等式f(x)≥a对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．答案：－6≤a≤2解析：依题意，x2＋ax＋3－a≥0对x∈R恒成立，故函数的图象恒在x轴的上方或与x轴最多只有一个公共点，从而Δ＝a2－4(3－a)≤0.3.二次函数f(x)＝2x2＋5，若实数p≠q，使f(p)＝f(q)，则f(p＋q)＝________．答案：5解析：由f(p)＝f(q)，知二次函数图象的对称轴为x＝eq\f(p＋q,2)，则f(p＋q)＝f(0)＝5.4.已知函数f(x)＝ax2＋(1－3a)x＋a在区间[1，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是________．答案：[0，1]解析：若a＝0，满足题意；若a≠0，则a＞0且－eq\f(1－3a,2a)≤1.5.函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝a时有最小值，当sinx＝1时有最大值，则实数a的取值范围是________．答案：[－1，0]解析：当sinx＝a时有最小值，则－1≤a≤1；当sinx＝1时有最大值，说明1比－1更远离a，所以a≤0，所以－1≤a≤0.6.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．答案：－2x2＋4解析：f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2.∵f(x)是偶函数，∴ab＋2a＝0，∴a＝0或b＝－2.当a＝0时，f(x)＝bx2不符．当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2.∵值域为(－∞，4]，∴2a2＝4.∴f(x)＝－2x2＋4.7.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为实数，a≠0)的图象过点C(t，2)，且与x轴交于A、B两点，若AC⊥BC，则a＝________．

答案：－eq\f(1,2)解析：设y＝a(x－x1)(x－x2)，由条件，a(t－x1)(t－x2)＝2，又AC⊥BC，利用斜率关系得，eq\f(2,t－x1)·eq\f(2,t－x2)＝－1，所以a＝－eq\f(1,2).8.设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①当c＝0时，y＝f(x)是奇函数；②当b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．上述命题中正确的是________．(填序号)答案：①②③解析：①由c＝0，得f(x)＝x|x|＋bx为奇函数；②当b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c，此时方程f(x)＝0有唯一一个实数根－eq\r(c)；③在函数y＝f(x)的图象上任取一点(x，y)，其关于点(0，c)的对称点为(－x，2c－y)，可判断该点仍在y＝f(x)的图象上；④当c＝0，b＜0时，方程f(x)＝0有三个实数根．故①②③正确，④错误．9.设a为实数，函数f(x)＝x|x－a|，其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)写出函数f(x)的单调区间．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x|x|,因为定义域为R，它关于原点对称，且f(－x)＝－x|－x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．当a≠0时，因f(a)＝0，f(－a)＝－a|2a|，所以f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)，所以f(x)是非奇非偶函数．(2)当a＝0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a＞0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax，x≥a，,－x2＋ax，x<a，))f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))和(a，＋∞)，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a)).当a＜0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax，x≥a，,－x2＋ax，x<a，))f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2))).10.已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，且f(x)在闭区间[－2，2]上恒为非负数，求实数a的取值范围．解：f(x)＝x2＋ax＋3－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋3－a－eq\f(a2,4).由题意，f(x)≥0在x∈[－2，2]上恒成立，即[f(x)]min≥0.当－eq\f(a,2)<－2，即a>4时，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a，由7－3a≥0，得a≤eq\f(7,3)，这与a>4矛盾，此时a不存在．当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，[f(x)]min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝3－a－eq\f(a2,4)，由3－a－eq\f(a2,4)≥0，得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.当－eq\f(a,2)>2，即a<－4时，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上所述，实数a的取值范围是[－7，2]．11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f(c)＝0，当0<x<c时，恒有f(x)＞0.(1)当a＝1，c＝eq\f(1,2)时，解不等式f(x)<0；(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；(3)若f(0)＝1，且f(x)≤m2－2km＋1对所有x∈[0，c]，k∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)当a＝1，c＝eq\f(1,2)时，f(x)＝x2＋bx＋eq\f(1,2).f(x)的图象与x轴有两个不同交点，因feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，设另一个根为x2，则eq\f(1,2)x2＝eq\f(1,2)，所以x2＝1，于是f(x)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)f(x)的图象与x轴有两个交点，因f(c)＝0，设另一个根为x2，则cx2＝eq\f(c,a)，故x2＝eq\f(1,a).所以三交点的坐标分别为(c，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，0))，(0，c)．又当0<x<c时，恒有f(x)>0，则eq\f(1,a)>c，于是，以这三交点为顶点的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－c))c＝8，故a＝eq\f(c,16＋c2)≤eq\f(c,2\r(16)c)＝eq\f(1,8)，于是a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).(3)由题意，当0<x<c时，恒有f(x)>0，所以f(x)在[0，c]上是单调递减的，且在x＝0处取到最大值1.要使f(x)≤m2－2km＋1对所有x∈[0，c]，k∈[－1，1]恒成立，必须f(x)max＝1≤m2－2km＋1成立，即m2－2km≥0.令g(k)＝－2km＋m2，对所有k∈[－1，1]，g(k)≥0恒成立，只要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(g（1）≥0，,g（－1）≥0，)))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m2－2m≥0，,m2＋2m≥0，)))解得实数m的取值范围为m≤－2或m＝0或m≥2.第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)1.化简eq\r(\f(3b,a))·eq\r(3,\f(a2,3b))(a>0，b>0)＝________．答案：eq\r(6,3ab)2.已知3a＝2，3b＝eq\f(1,5)，则32a－b＝________．答案：20解析：32a－b＝eq\f(32a,3b)＝eq\f(4,\f(1,5))＝20.3.比较log25与log58的大小为________．答案：log25>log58解析：log25>log24＝2，log58<log525＝2.4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up6(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))－eq\f(2,3)＋eq\f(1,\r(5)＋2)－eq\r(9－4\r(5))＝________．答案：eq\f(19,18)5.设lg2＝a，lg3＝b，则log512用a、b可表示为________．答案：eq\f(2a＋b,1－a)解析：log512＝eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(2lg2＋lg3,1－lg2).6.已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＝4，则f(2014)＝________．答案：0解析：因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＝－alog22014－blog32014＋2，f(2014)＝alog22014＋blog32014＋2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＋f(2014)＝4.由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＝4，所以f(2014)＝0.7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤2，,f（x－1），x>2，))则f(2＋log32)＝________．答案：6解析：因为2<2＋log32<3，所以f(2＋log32)＝f(1＋log32)＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.8.已知2lgeq\f(x－y,2)＝lgx＋lgy，则eq\r(\f(x,y))＝________．答案：1＋eq\r(2)解析：由已知得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))eq\s\up12(2)＝lg(xy)，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))eq\s\up12(2)＝xy，即x2－6xy＋y2＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))eq\s\up12(2)－6eq\f(x,y)＋1＝0，所以eq\f(x,y)＝3±2eq\r(2).因eq\f(x－y,2)>0及x、y＞0，故x＞y＞0，即eq\f(x,y)＞1，从而eq\f(x,y)＝3＋2eq\r(2)，eq\r(\f(x,y))＝1＋eq\r(2).9.计算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log23＋log89)(log34＋log38＋log272)．解：(1)原式＝2lg5＋lg2·(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2(1＋lg5＋lg2)＝2lg5＋2lg2＝2.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log23＋\f(2,3)log23))(2log32＋3log32＋eq\f(1,3)log32)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)log23))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)log23))＝eq\f(80,9).10.已知a＞1，且a＋a－1＝3，求下列各式的值．(1)aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\f(1,2)；(2)a－a－1；(3)eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up6(\f(1,2))－a－\f(1,2)))（a2＋a－2－4）,a4－a－4).解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up6(\f(1,2))－a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝a＋a－1－2＝1.∵a＞1，∴aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\f(1,2)＝1.(2)