湖南省娄底市2024届高三下学期3月高考仿真模拟考试数学试题

湖南省娄底市2024届高三下学期3月高考仿真模拟考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．(x+1x)A．15 B．10 C．5 D．12．已知实数a，且复数z=a+2i2+i的实部与虚部互为相反数，则复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在△ABC中“sinA=cosB”是“C=90A．必要不充分条件. B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．双曲线x2a2,−y2b2=1的左､右焦点分别为A．213 B．2 C．3 D．5．已知四棱锥P−ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为PC中点，则（）A．BE∥平面PAD B．PD⊥平面ABCDC．平面PAB⊥平面PAD D．DE=EB6．已知圆C:(x−1)2+(y+2)2=16，过点D(0,A．4x+3y−3=0 B．3x−4y+4=0C．x=0或4x+3y−3=0 D．4x+3y−3=0或3x−4y+4=0.7．已知圆内接四边形ABCD中，AD=2,∠ADB=π4,A．5π12 B．π2 C．7π128．若直线ex−4y+eln4=0是指数函数y=ax(a>0且A．2或12 B．e C．e D．e或二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．已知a,b,A．若a⊥b,a⊥cB．若α⊥β,a⊥αC．若a∥b,a∥c,a∥α，则D．若a⊥α,b⊥β,10．对于事件A与事件B，若A∪B发生的概率是0.72，事件B发生的概率是事件A发生的概率的2倍，下列说法正确的是（）A．若事件A与事件B互斥，则业件A发生的概率为0.36B．P(B∣A)=2P(A∣B)C．事件A发生的概率的范围为[0D．若事件A发生的概率是0.3，则事件A与事件B相互独立11．已知函数f(x)的定义域和值域均为{x∣x≠0,x∈R}，对于任意非零实数x,y,x+y≠0，函数f(x)满足：f(x+y)(f(x)+f(y))=f(x)f(y)，且A．f(12)=2C．f(x)在定义域内单调递减 D．f(x)为奇函数三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知函数f(x)=sin(π3x+φ)+|x−2|的图象关于直线x=2对称，则φ可以为13．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，下顶点为A，过A、F的直线14．龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m个关卡，分别为：G1,G2,⋯,Gm，记挑战每一个关卡Gk(k=1,2,⋯,m)失败的概率为ak，其中ak∈(0,1),a四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．若抛物线Γ的方程为y2=4x，焦点为F，设P,（1）若|PF|=3，求直线PF的斜率；（2）设PQ中点为R，若直线PQ斜率为22，证明R16．如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB，CD',AB⊥AD,AB=AD=2,（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）已知点F为线段AB的中点，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.17．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,（1）求b,c的值及（2）若点D在AC上，且B,I,D三点共线，试讨论在BC边上是否存在点M，使得BI⋅18．已知函数f(x)=xex（1）求函数f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)⩽e（3）设g(x)=f(x)−e2x+2aex−4a19．设数集S满足：①任意x∈S，有x⩾0；②任意x,y∈S（x,y可以相等），有x+y∈S或|x−y|∈S，则称数集（1）判断数集A={0,1,2,（2）若数集C={a1,a2（i）当n=5时，求证：a1（ii）当a1,a

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】A,B,C10．【答案】B,C,D11．【答案】B,C12．【答案】φ=−π13．【答案】x14．【答案】53；15．【答案】（1）解：易知焦点F(1,0)，因为|PF|=xP+1=3，所以x（2）解：设P(x1,y1代入y2=4x，可得y2−42y+42ι=0，由韦达定理可得：16．【答案】（1）证明：连接BD，因为AB=AD，且AB⊥AD，所以BD=2因为PD=2AD，所以PD=BD.因为E是棱PB的中点，所以因为DE⊥PC,PC,PB⊂平面PBC，且PC∩PB=P，所以因为BC⊂平面PBC，所以DE⊥BC.由题意可得BC=BD=2AB，则BC因为BD,DE⊂平面PBD，且BD∩DE=D，所以BC⊥平面因为PD⊂平面PBD，所以BC⊥PD.因为PD=BD=2AB,PB=2AB，所以因为BD,BC⊂平面ABCD，且BD∩BC=B，所以PD⊥平面（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)从而PB=(2,2,设平面PBC的法向量为m=(x则m⋅PB=0m⋅BC=0设直线EF与平面PBC所成角为α，则sinα=|cos⟨m所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为3617．【答案】（1）解：△ABC内切圆圆I的面积为3π，可得圆I的半径为r=3，则S△ABC=由余弦定理得b2+c所以(bc)2−56bc=0，解得bc=56，所以b+c=15，因为由余弦定理得：cos∠ABC=1（2）解：记圆I与BC边切于点E，根据切线长定理可求得BE=6,若BI⋅BM=CI⋅CM，则所以在BC边上存在点M，使得BI⋅依题意可知I为内心，则BD平分∠ABC，记∠ABD=∠DBC=θ，则cos∠ABC=cos2θ=11故cosθ=1+cos2θ在△ABD中，∠ADB=π−2π3−θ又sin(π所以BD=739518．【答案】（1）解：f(x)的定义域为R,所以当x<1时，f'(x)>0；当x>1时，所以f(x)的增区间为(−∞,1)，减区间为（2）证明：即证xex⩽exℎ'(x)=1−x−e2xex，令m(x)=1−x−∴当x<0时，m(x)>0,ℎ'(x)>0；当∴ℎ(x)在(−∞,0)上单调递增，在∴ℎ(x)⩽ℎ(0)=0，所以xex⩽（3）解：当0⩽a⩽12时，g(0)=2a−4a当a>12=−e所以此时g(x)<0恒成立，不满足题意；综上，所以a的最大值为1219．【答案】（1）解：证明：对于数集A,4+1∉A,|4−1|∉A，所以数集对于数集B，任意对x,y∈B,|x−y|∈B，所以数集（2）解：（i）当n=5时，数集C={a1,a5+a5=2因为0⩽a1<又因为a5+a4>因为a1=0<a因为a4+a3>又因为a1=0<a4−因为a5−a3=则a3所以a2−a1=（ii）若数集C={a1,a2,⋯具体如下：因为an所以an+a因为a1所以a