2024高考数学一轮复习 圆锥曲线大题（含答案）

2024高考一轮复习圆锥曲线大题

选择题（共1小题）

1.（2024秋•黄州区校级期末）假设直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点，

那么k的取值范围是1）

A.〔-2ZH2ZS.）B.[-1,1）C.[0,D.〔1,2ZIE）

3333

二.填空题（共2小题）

22

2.〔2024秋•烟台期末）（4,2）是直线1被椭圆一+匚=1所截得的线段的中点，那么1的

369

方程是.

3.（2024•和平区校级模拟）过点M12,-2p）作抛物线x?=2py[p>0）的两条切线，切

点分别为A、B,假设线段AB中点的纵坐标为6,那么抛物线的方程为.

三.解答题（共9小题）

4.〔2024春•杭州期中）圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8

[I）试求圆C的方程；

（II）当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且

MD|=A|PD|.求点M的轨迹方程.

5

5.[2024•陕西）如图，设P是圆x?+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD

上一点,且|MD|=&|PD|.

5

〔工）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程

[n）求过点[3,0）且斜率2的直线被C所截线段的长度.

5

22

6.（2024•新课标n）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：〔a>b>0）右焦点

ab

的直线x+y-%=0交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为2.

（工）求M的方程

（II）C,D为M上的两点，假设四边形ACBD的对角线CD_LAB,求四边形ACBD面积

的最大值.

22I-

7.12024秋•安徽月考）椭圆C：2+J=1〔｛a>b>0｝）的离心率e=*2,且由椭圆上顶

2,29

ab乙

点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2.

[I）求椭圆C的方程；

[n）P（0,2）,过点Q[-1,-2）作直线1交椭圆C于A、B两点[异于P）,直线PA、

PB的斜率分别为ki、k2.试问kl+k2是否为定值？假设是，恳求出此定值，假设不是，请

说明理由.

22

8.〔2024秋•新乡校级月考）椭圆C的方程为=+J=l（a>b>0）,左、右焦点分别为

2,2

ab

Fi、F2,焦距为4,点M是椭圆C上一点，满意/FIMF2=60。，且S八『=2叵

u

AF.MF92

[1）求椭圆C的方程；

（2）过点P[0,2）分别作直线PA、PB交椭圆C于A、B两点，设PA、PB的斜率分别

是ki,k2,且ki+k2=4,求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围.

9.[2024秋•丰台区期末）抛物线C：y2=2px[p>0）的焦点F[1,0）,O为坐标原点，A,

B是抛物线C上异于O的两点.

[I）求抛物线C的方程；

[II）假设直线OA,OB的斜率之积为-上，求证：直线AB过x轴上肯定点.

2

10.12024秋•邛珠市校级月考）A、B是抛物线y2=2px[p>0）上的两点，且OAJ_OB（O

为坐标原点），求证：

[1）A、B两点的横坐标之积为定值；

〔2）直线AB经过定点.

22

11.12024•东城区二模）椭圆一+Jl（a〉b〉0）的左焦点F11-1,0）,长轴长与短轴

a2b2

长的比是2：、/京

[I）求椭圆的方程；

（II）过Fi作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点，假设m_Ln,求证：

lABlICDl

为定值.

22I-

12.12024•四川）如图，椭圆E：2―+工_=1（a>b>0）的离心率是足，点P[0,1）在

2,29

ab乙

短轴CD上，且衣•而=-1

（I）求椭圆E的方程；

in）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数入，使得

瓦•无+入其•而为定值？假设存在，求人的值；假设不存在，请说明理由.

2024高考一轮复习圆锥曲线大题

参考答案与试题解析

选择题(共1小题)

1.(2024秋•黄州区校级期末)假设直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点，

那么k的取值范围是()

A.〔2^)B.[-1,1)C.[0,D.(1,2^〕

3333

【分析】依据直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点，可得直线与双曲线联

立方程有两个不等的负根，进而构造关于k的不等式组，解不等式可得答案.

y=kx+2

【解答】解：联立方程(12得

xy=6

(1-k21X2-4kx-10=0...(1)

假设直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点,

那么方程金有两个不等的负根

A=16k2+40(l-k2)>0

应选D

【点评】此题考察的学问点圆锥曲线中的范围问题，其中分析出题目的含义是直线与双曲线

联立方程有两个不等的负根，是解答的关键.

二.填空题(共2小题)

22

2.〔2024秋•烟台期末)(4,2)是直线1被椭圆=+工-=1所截得的线段的中点，那么1的

369

方程是x+2y-8=0•

【分析】设直线1与椭圆交于Pi〔xi,yi)、P21X2,y2),由〃点差法〃可求出直线1的斜率

【解答】解：设直线1与椭圆交于Pi(xi,yi)、P2[X2,y2),

将Pl、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线1斜率

一了2__x/X2__X/X2二_4__工

X.-x24(y,+y2)---------------4X22,

,yi+y2

4,-----------

2

由点斜式可得1的方程为x+2y-8=0.

【点评】此题考察椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是"点差法〃.

3.(2024•和平区校级模拟)过点M(2,-2p)作抛物线x?=2py[p>0)的两条切线，切

点分别为A、B,假设线段AB中点的纵坐标为6,那么抛物线的方程为x2=2y或x2=4y.

【分析】设过点M的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于0,

再利用韦达定理，结合线段AB中点的纵坐标为6,可求抛物线的方程.

【解答】解：设过点M的抛物线的切线方程为：y+2p=k(x-2)与抛物线的方程联立消y

得：x2-2pkx+4pk+4p2=0

此方程的判别式等于0,；.pk2-4k-4P=0

设切线的斜率分别为kl,k2,那么kl+k2=_l

D

2,2

此时x=pk)/.y=2(k+p)

zpZ

设A〔xi,yi),B(x2,y2),那么12=yi+y2=2(ki+k2)+4p=-4.^

D

：.p2-3p+2=0

/.p=l或p=2

所求抛物线的方程为x2=2y或x2=4y

故答案为：x?=2y或x?=4y.

【点评】此题考察抛物线的切线，考察韦达定理的运用，考察中点坐标公式，属于中档题.

三.解答题(共9小题)

4.(2024春•杭州期中)圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8

[I)试求圆C的方程；

(II)当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且

MD|=1|PD|.求点M的轨迹方程.

5

【分析】iI)求出到直线3x+4y+15=0的距离，利用8=24^二^，求出圆的半径，即可

求出圆C的方程；

(II)设点M的坐标是[x,y),P的坐标是(xp,yp),确定坐标之间的关系，利用P在

圆x2+y2=25上，求点M的轨迹方程.

【解答】解：〔工〕圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8,

而圆心到直线3x+4y+15=0的距离d=3,

由弦长公式得8=2#=7^，所以k5

所以所求圆的方程为x?+y2=25；15分)

(口)设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xp,yp),

:点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=W_|PD|,

5

xp=x,且yp=@y,,：P在圆x2+y2=25上，

4

匚22

.\x2+〔”y）2=25,整理得—+匚=i，

42516

22

即C的方程是工+匚=1.〔5分）

2516

【点评】此题考察圆的方程，考察直线与圆的位置关系，考察代入法求圆的方程，考察学生

分析解决问题的实力，属于中档题.

5.（2024・陕西）如图，设P是圆x?+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD

上一点,且|MD|=_1|PD|.

5

〔工）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程

［n）求过点［3,0）且斜率且的直线被C所截线段的长度.

5

【分析】〔I）由题意P是圆x?+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上

一点，且|MD|=W|PD|,利用相关点法即可求轨迹；

5

in）由题意写出直线方程与曲线c的方程进展联立，利用根与系数的关系得到线段长度.

【解答】解：［I）设M的坐标为［x,y）P的坐标为［xp,yp）

Xp=X

由得：5

在圆上,

22

-x22=25,即C的方程为工-+工-=1

+2516

［U）过点（3,0〕且斜率为9的直线方程为：y=1（x-3）＞

55

设直线与C的交点为A（xi,yi）B1x2,y2）,

将直线方程尸凯-3）代入领方程,磴+营口即:

线段AB的长度为|AB|=八|12）2+以-了2）2=1（1线）区12）2

V255

【点评】此题重点考察了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考察了联立直线方程与曲线方

程进展整体代入，还有两点间的距离公式.

22

6.（2024•新课标U）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：〔a>b>0）右焦点

ab

的直线x+y-%=0交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为2.

2

〔工）求M的方程

in）C,D为M上的两点，假设四边形ACBD的对角线CD_LAB,求四边形ACBD面积

的最大值.

【分析】（I）把右焦点（c,0）代入直线可解得c.设A1x1,yi）,B[X2,y2）,线段AB

的中点P[xo,yo）,利用"点差法〃即可得到a,b的关系式，再与a2=b?+c2联马上可得到a,

b,c.

in）由CDLAB,可设直线CD的方程为y=x+t,与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,

即可得到弦长|CD|.把直线x+y-、巧=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到

弦长|AB|,利用S四边形ACBD费1ABl⑸即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调

性即可得到其最大值.___

【解答】解：〔I〕把右焦点[c,0）代入直线x+y-后0得c+0-«=0,解得c=«.

设A（xi,yi）,B[X2,y2）,线段AB的中点P（xo,yo）,

ab

b2X1-x2

x（7）=。，又6斗得，

—二0，即a2=2b2.

2。

a2=2b2

fk2_o

联立得a2$2+c2.解得b-J

.a2=6

22

AM的方程为=+工_=L

63

in)：CD，AB,.,.可设直线CD的方程为y=x+t,

y=x+t

联立，v2v2，消去丫得至113*2+41*+212-6=3

—+—=1

I63

•..直线CD与椭圆有两个不同的交点，

.,.△=16t2-12(2t2-6)=72-8t2>0,解-3<t<3(*).

2

设C〔X3,y3),D〔x*y4),'x+x4二一冬，叼/二2t2_~

ICD=7(1+I2)[(x+)2-4

3X4X肃12[(-与」-4X写

2V2-V18-2t2

3

x+y-V3=0

联立《v2”2得至IJ3x2-4遂x=0,解得x=0或且

W13

63

交点为A(0,立〕，B

?.|AB|=0)1-亨-我)2=孚

.01,...14A/62V2*718-2t28V3,718~2t2

..S四边形ACBD=£>1ABi|CD|=^-X—^-X__3—

乙乙J09

.•.当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为之捉，满意[*).

3

...四边形ACBD面积的最大值为刍捉.

3

【点评】此题综合考察了椭圆的定义、标准方程及其性质、"点差法〃、中点坐标公式、直

线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的

面积计算、二次函数的单调性等根底学问，考察了推理实力、数形结合的思想方法、计算实

力、分析问题和解决问题的实力.

22r~

7.（2024秋•安徽月考）椭圆C：^+X—=\[{a>b>0}）的离心率e=",且由椭圆上顶

2,29

ab乙

点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2.

[I）求椭圆C的方程；

（n）P（0,2）,过点Q（-1,-2）作直线1交椭圆C于A、B两点（异于P）,直线PA、

PB的斜率分别为kl、k2.试问kl+k2是否为定值？假设是，恳求出此定值，假设不是，请

说明理由.

【分析】〔I）留言椭圆的离心率，a、b、c的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求

椭圆C的方程；

[U）利用直线斜率存在与不存在两种状况，通过直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标,

求出直线PA、PB的斜率分别为ki、k2.ki+k2为定值.

a2_-,b2,+c2

c_V2

【解答】解：（I）由题意得a2，解得a~=8,b~=4,

-ybc=2

22

所以椭圆C的方程为幺+?_=1....5分

84

[II）ki+k2为定值4,证明如下：.为分

（i）当直线1斜率不存在时，1方程为x=-1,

22(~r)_4+vn

于是ki=.k2=

o-(-i)=0-(-1)-2'

所以ki+k2=4为定值....8分

Hi)当直线1斜率存在时，设1方程为y-[-2)=k[x-(-1)],BPy=kx+k-2,

设A(xi,yi),B〔X2,y2),

x=-1

由方程组J„22,消去y,得〔1+21?)x2+4k[k-2)x+2k2-8k=0,

—+—=1

I84

'_-4k(k-2)

Xi+Xo-Q

l+2k2

由韦达定理得〈2〔*)…10分

2k2-8k

•匕+上斗-2'-2(71-2)x2+(y2-2)X1

.・K1丁-----------------1--------------------二---------------------------------------------------------

*xx

X]x2l2

(kxj+k-4)x2+(kx2+k-4)町

xlx2

2kxix2+4)(x[+x2)

xlx2

=2k+〔k-4)»A1X2,

xlx2

将(*)式代入上式得ki+k2=4为定值....13分.

【点评】此题考察椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考察转化

思想以及计算实力.

22

8.(2024秋•新乡校级月考)椭圆C的方程为=+J=l(a>b>0),左、右焦点分别为

a2b,2

Fi、F2,焦距为4,点M是椭圆C上一点，满意NFIMF2=60。，且S-5=2叵

u

AF.MF92

(1)求椭圆c的方程；

[2)过点P[0,2)分别作直线PA、PB交椭圆C于A、B两点，设PA、PB的斜率分别

是ki,k2,且ki+k2=4,求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围.

【分析】(1)设|MFi|=m,|MF2|=n,利用余弦定理，结合三角形的面积公式，可求a,结

合c,可求b,即可求椭圆C的方程；

(2)设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程，利用韦达定理，结合ki+k2=4,可得

m=k-2,即可证明直线AB过定点，利用△》(),求出直线AB的斜率k的取值范围.

【解答】11)解:设|MFi|=m,|MF2|=n,那么

O

VZFIMF2=60,且irT,

14J

/.16=m2+n2-mn，—mn•,

_223

m+n=4

2a=4AR,

a=2万，

Vc=2,

Ab=7a2-c2=4,

22

椭圆C的方程为工+匚=i；

84

[2)证明：设直线AB的方程为y=kx+m,A(xi,yi),B1x2,y2),那么

y=kx+m代入椭圆方程，可得12k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0,

・,4km2m-8

..Xl+X2=--------,X1X2=---------,

2k2+12k2+1

Vki+k2=4,

+-

.kxj+m-2kx2n>2

-------------+---------------=4，

X1x2

m=k-2,

二・直线AB的方程为y=kx+k-2,即y=k(x+1)-2,

・,・直线AB过定点(-1,-2).

VA=(4km)2-4(2k2+l)(2m2-8]>0,m=k-2,

：.k[7k+4)>0,

；.k>0或k<-A.

7

【点评】此题考察椭圆的方程，考察余弦定理，考察三角形面积的计算，考察韦达定理的运

用，考察学生的计算实力，属于难题.

9.〔2024秋•丰台区期末）抛物线C：y2=2px[p>0）的焦点F[1,0）,O为坐标原点，A,

B是抛物线C上异于O的两点.

[I）求抛物线C的方程；

1II）假设直线OA,OB的斜率之积为-L,求证：直线AB过x轴上肯定点.

2

【分析】〔I）利用抛物线C：y2=2px[p>0）的焦点F（1,0）,可得抛物线C的方程；

1II）分类探讨，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可

求直线方程，即可得出结论.

【解答】〔工〕解：因为抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）,所以虻1,p=2-

得到抛物线方程为y2=4x.--------------------------------------------------------------------------------------

----------------（4分）

22

[n）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A（工一，t）,B（—,-t）

44

It[

因为直线OA,OB的斜率之积为-L所以。一厂二一看，化简得t?=32.

22_1_2

W

所以〔8,t〕，B[8,-t),此时直线AB的方程为x=8.------------------------------

-(7分〕

②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b,A(XA,yA),B〔XB,yB)

f2_

联立方程<y=4x,化简得ky2-4y+4b=0.------------------------------------(9

y=kx+b

分)

依据韦达定理得到VAyB=&｝，

因为直线OA,OB的斜率之积为-工，所以得到也即xAXB+2yAyB=0.——

2XAXB

_________________〔11分〕

22

得到V；V：+2发了=°'

化简得到yAyB=0(舍)或yAyB=-32.----------------------------------------(12

分)

又因为了人力=詈-32,b=-8k，

所以y=kx-8k,即y=k(x-8).

综上所述，直线AB过定点〔8,0〕.----------------------------------------------

--(14分)

【点评】此题考察抛物线的方程，考察直线与抛物线的位置关系，考察分类探讨的数学思想,

考察学生的计算实力，属于中档题.

10.12024秋•邛味市校级月考)A、B是抛物线y2=2px[p>0)上的两点，且OAJ_OB(O

为坐标原点)，求证：

[1)A、B两点的横坐标之积为定值；

〔2)直线AB经过定点.

【分析】(1)OAJ_OB时，设直线AB：x=my+n,代入抛物线方程，可得y?-2pmy-2pn=0,

利用OALOB,即可证明A、B两点的横坐标之积为定值；

(2)由[1)知，直线AB：x=my+2P过定点(2p,0).

【解答】证明：[1)OA_LOB时，设直线AB：x=my+n.

代入抛物线方程，可得y2-2pmy-2pn=0,

(yiYo)2

'/OA±OB,xix2+yiy2=----------+yiy2=0,

4D2

.*.yiy2=-4p2=-2pn,

n=2p，

・・X1X2=

(2)由[1)知，直线AB：x=my+2P过定点[2p,0).

【点评】此题考察抛物线方程，考察学生的计算实力，考察直线与抛物线的位置关系，比拟

根底.

22

11.12024•东城区二模)椭圆工+工~=l(a〉b>O)的左焦点Fl(-1,0),长轴长与短轴

a2b2

长的比是2：V3.

[I)求椭圆的方程；

[II)过Fi作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点，假设mJ_n,求证：1+1

lABlICDl

为定值.

【分析】〔I)由长轴长与短轴长的比是2：近，C=l,结合a2=b2+c2求出a2,b2,那么椭

圆的方程可求；

(II)分直线m的斜率存在且不等于0和斜率不存在两种状况探讨，斜率不存在时干脆与

椭圆方程联立求线段的长，斜率存在且不等于0时射出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦

长公式，借助于根与系数关系求证.

'2a：2b=2：M

【解答】〔I)解：由得，c=l

2_,2,2

(a-b+c

解得：a=2,b=V3.

22

故所求椭圆方程为工-+匚=1;

43

[II)证明：由[I)知Fi[-1,0),当直线m斜率存在时，设直线m的方程为：y=k

(x+1)[k#0).

'y=k(x+l)

222

由，v22,得〔3+41?)x+8kx+4k-12=0.

—+^-=1

43

由于△>(),设A(xi,yi),B(x2,y2),

即〃右__8k24k2-12

那AWXI+Xn-------7，XiX2二厂

3+4k23+4〃

AB

寸(l+k2)[(xi+x2)2-4xiX2]

2

J(l+k)[(222

8k、HV4k-12,_12(l+k)

------)-4X-------J--------^―

3+41？3+4/3+4kz

同理|CD|JO芋D

3储+4

3+4k2q3k2+47(l+k2)7

所以

12(l+k2)12(l+k2)12(l+k2)