辽宁省2023-2024学年高二年级下册3月联合考试数学试卷（含答案解析）

辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期3月联合考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知Z1=2+2i,Z2=l+3i,贝！|（）

A.Zj>z2B.Zj<z2C.|zi|>|z2|D.|zi|<|z2|

2.已知集合A={-2,—1,0,1,2},B=则AB=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{1,2}

22

3.已知双曲线C：1r-%=1（。>0]>0）的一条渐近线与直线y=2无垂直，则双曲线C

的离心率为（）

A.空B.小C.好D.73

22

nnn

4.已知0为第二象限角，若疝5=-疝],则,在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.函数/（x）=sin£-|log3x|的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.若。》-^]（〃€?4*）的展开式中各项系数和为16,则其展开式中的常数项为（）

A.54B.-54C.108D.-108

7.若球的两个平行截面的面积分别为10兀和16兀，球心到这两个截面的距离之差为0,

则球的直径为（）

A.3后B.4y/2C.50D.60

8.己知/（无）是定义在R上的偶函数，当VX],Ze[0,+oo）,且工产马时,

"*一"％）>4（/+々）恒成立,"2）=16,则满足〃lnm）W4（ln机）2的根的取值范围

玉~X2

为（）

11

A.—,eB.C.[l,e2]D.2

e7°

二、多选题

9.为了得到函数/（x）=sin（2x-gj的图象，只需把正弦曲线上所有的点（）

9Jr1

A.先向右平移茎个单位长度，再将横坐标缩短到原米的纵坐标不变

B.先向右平移:个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

c.先将横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，再向右平移E个单位长度

/3

D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移三JT个单位长度

2兀

10.已知q,弓是夹角为彳的单位向量，且〃=,一24力='+弓，贝U（）

A.|a|="B.aC.。与b的夹角为gD.4在b方向上

的投影向量为-gb

11.对于直线4:以+2y+3Q=0,，2：3%+（Q-l）y+3-〃=0,则（）

2

A.4〃4的充要条件是。=3或a=—2B.当a时，4U

C.直线4经过第二象限内的某定点D.点P（l,3）到直线乙的距离的最大值为

3后

12.在四面体ABCD中，棱A2的长为4,/15,3£）,。，3£>,3£>=。=2,若该四面体

的体积为拽，则（）

3

TT

A.异面直线48与8所成角的大小为§B.AC的长不可能为4近

C.点。到平面A3C的距离为3亘D.当二面角A-BC-Z）是钝角时，其正

7

切值为-新

三、填空题

13.若某圆锥的侧面积为底面积的2倍,则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为.

14.在ABC中，内角A3,C的对边分别为a,dc,且a=26cosC,则这个三角形一定

是三角形.

15.已知抛物线丁=8尤的焦点为尸为坐标原点，M为抛物线上异于点。的动点，则

MF

—的最小值是.

试卷第2页，共4页

16.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每

人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比

赛，则四人参加比赛的不同方案一共有一种；如果符合以上条件的各种方案出现的概

率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑

雪，则P(a4)=.

四、解答题

17.计算下列各式.

(1)0.125^-^+[(-2)2,+(夜、君)6；

(2)^-lg25+lg2-lgA/0?T-log29xlog32.

18.已知函数/。)=/+匕1+6(匕>0)有唯一零点，函数g(x)=^^(x<0).

X

(1)求g(x)的单调递增区间，并用定义法证明；

⑵求g(x)的值域.

19.已知集合4=",42144},集合8={41og3(2x+l)<2}.

⑴当"=求&A)B.

(2)已知“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，求a的取值范围.

21.如图，多面体是由三棱柱ABC-ABG截去部分后而成，。是&A的中

点.

D

B

(1)若40=AC=3,AO，平面ABC,BC，AC,求点C到平面B/Q的距离；

2

(2)如图，点E在线段AB上，且AE=wEB,点尸在cq上，且CG=Xb,问4为何

值时，所〃平面瓦G。？

22

22.已知椭圆T：0+斗=i(〃〉b〉o)的左、右顶点分别为AB,左焦点为耳(-。,0),过

ab

点耳作x轴的垂线与T在第二象限的交点为M,的面积为斗，且然=，AB.

⑴求T的方程；

⑵己知点尸为直线8x+7y-113=。上一动点，过点P向T作两条切线，切点分别为

J,K.求证：直线JK恒过一定点。，并求出点0的坐标.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】根据复数的定义即可判断AB,根据复数的模的计算公式即可判断CD.

【详解】由复数Z=2+2i,Z2=l+3i,可得两个复数不能比较大小，故AB错误，

|ZI|=V4Z4=2A/2,|Z2|=A/1T9=A/W,所以闾＜团，故C错误，D正确.

故选：D.

2.C

【分析】由3=，，猾40,解出不等式，得到集合8,再由交集的定义即可得到结果.

【详解】由8=竟W0,得3=卜卜2＜xV"，

又因为A={-2,—1,0,1,2},

所以AB={-1,0,1}

故选：C.

3.C

b1

【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线y=2x垂直求出一=；；,进而求出离心率.

a2

f«b

【详解】双曲线C：］-a=1（。＞0,6＞0）的渐近线方程为＞=±：尤，

,双曲线的一条渐近线与直线y=2x垂直，

•••双曲线C一条渐近线的斜率为-所以-2=-4，即2==，

2a2a2

因此双曲线C的离心率e=£==

故选：C.

4.C

7T717T

【分析】由2EH—＜。＜2E+兀,左£Z,得到EH—＜—＜kn-\—，左wZ,再对左赋值，根据

2422

°°

sin-=_sin,判断.

【详解】解：因为。为第二象限角，

答案第1页，共17页

TT

所以2E+—<e<2E+7i,A；£Z,

2

贝！Jfai+工<g<E+工，归$Z,

422

、r,▼八rt兀d兀、r,1Trt5兀0371

当左二0时，一<一<一,当k=1时，一<—<一,

422422

因为sin-=-sin-，

所以sin1<0,所以W在第三象限，

故选:C

5.B

【分析】在坐标平面中画出两个函数的图像，从而可判断零点的个数.

【详解】函数f(x)=sin:-|现3》|的零点个数，

即函数g(x)=sin晟与=|k>g3N的交点个数，

在坐标平面中画出两个函数的图像，如图所示：

则两个图像交点的个数为2,

故选：B

6.A

【分析】令％=1,结合已知求出〃，再求出展开式的通项，令元的指数等于零，即可得解.

【详解】令x=l,可得(3-1)〃=16,所以〃=4,

则［彳-/］展开式的通项为K+I二色⑶广［」］=(_球了飞％5,

令4—2x=0,得X=2,

所以展开式中的常数项为(-1)2X32C^54.

故选：A.

7.D

答案第2页，共17页

【分析】根据题意作出截面图，即可根据勾股定理给求出球的半径.

【详解】设球心为。，半径为R,

若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图：

设。4=d,

由题可得A£>=4,BC=M，AB=肥,OD=OC=R,

R2=42+6?2\d=y[2

则，L，解得

[店=410)2+3+伪2[R=3sj2

故球的直径为2R=6y/2.

若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图:

设OA=d,

由题可得43=4,BC=回,AB=-j2,OD=OC=R,

R2=42+d2

则，L，2,解得d=-忘(不合题意舍去).

^-=(V10)2+(Vr2-6/)2

故选：D.

8.D

【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得相的取值范围.

【详解】设玉>%,由"6"%)士+%),

石一马

得〃占)-7(%2)>4(%+%)(玉一%2)=4(片-考)，

答案第3页，共17页

所以〃玉)一4片＞/(&)—4若,

4g(x)=/(x)-4x2,则g&)＞g(%),

所以函数g(x)在[。,+巧上单调递增，

因为了⑺是定义在R上的偶函数，所以〃T)=/(X),

所以对任意的xeR，g(-x)=f(-x)-4(-x)2=f(x)-4x2=g(x),

所以，函数g(x)为R上的偶函数，Mg(2)=/(2)-4x(2)2=16-16=0,

由/(In?")V4(ln%)2,可得了(Inm)-4(ln〃z)240,即g(lnm)Wg(2),

即|ln涧W2,所以-2Wln机＜2,解得机e4-,e2,

故选：D

【点睛】方法点睛：形如"龙J-"%)的已知条件,往往是给出函数的单调性，可以利用

玉-x2

函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化

为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.

9.AC

【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.

【详解】正弦曲线〉=5山尤先向右平移m个单位长度，

得到函数〉=5也'-^]的图象，

再将所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，

得到函数/(x)=sin[2x-[^|的图象，故A正确，B错误；

先将正弦曲线V=sinx上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，

得到函数'=5吊2》的图象，再向右平移三个单位长度，

得到函数/(MsingT)的图象，故C正确，D错误.

故选：AC

10.ABD

【分析】利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，还有投影的定义求解.

答案第4页，共17页

【详解】设a与6的夹角为。，

对B,因为〃•/?=（G—2与）,（G+4）=G-，e?-2e?———,B正确;

对A,a\=J（e1~2e2}—4e）-e2+4^2=币,A正确;

对C,网='[1+62）=+2q.弓+1=1'

1

所以cose=*=W=-a，c错误；

同WV714

IInb_\-\a-bb_ab1_If,

对D,a在6方向上的投影为同COS°M=|叶丽•同=%『6=-56,D正确.

故选：ABD

11.ABC

【分析】求出“〃2的充要条件即可判断A；根据两直线垂直得充要条件即可判断B；求出直

线4经过的定点即可判断C；判断何种情况下点尸(1,3)到直线4的距离最大，并求出最大值,

可判断D.

【详解】对于A,若“4，

贝Ija(a—1)—6=0,解得。=3或a=—2,

经检验，符合题意，所以。=3或。=-2,

所以“儿的充要条件是"=3或。=—2,故A正确；

对于B,当a=y时，3<7+2(fl—1)=———=0,所以/1_L/2，故B正确;

对于C,由4：3x+(a_l)y+3_q=0,得(y—l)a+3x-y+3=0,

f7

fy-l=0x=--

令a一记解得3,

曲7+3=0J

所以直线4经过定点位于第二象限，故C正确；

对于D,由4:以+2>+3〃=0,得(x+3)a+2y=0,

%+3=0%=-3

令2尸。,解得

y=0

答案第5页，共17页

所以直线4过定点M(-3,o),

当PM，4时，点P(l,3)到直线4的距离的最大,

最大值为归必=4-3-1)2+(0一3『=5,故D错误.

故选：ABC.

12.ACD

【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sinNC£>E=^,即可由异面直线的角

2

的定义求解A,根据余弦定理即可求解B,根据等体积法即可求解C,根据二面角的几何法，

结合同角关系即可求解D.

【详解】在平面内过。作ED//AB,且ED=AB,

由于AB_LBD,故四边形ABDE为矩形，

CD±BD,DE±BD,CDcDE=C,CD,DEu平面CDE,故5D1平面CDE,

故匕-ABO=%-EZM=%-CDE=gsCDE=CDEX2=^^，

S=-CDED-sinZCDE=-x2x4sinZCDE=4sinZCDE,

■rCnDEF22

故匕A*=~S「Mx2=」x4sinNCr>Ex2=逑，因止匕sin/CDE=3，

—

CAD/J3332

由于/CDE«0,TI),所以NCDE=/或

由于NCC®为异面直线AB与CO所成角或其补角,故异面直线AB与8所成角的大小为三71,

A正确，

2兀

当NCD£=一时，

3

CE=VCD2+ED2-2CD-DEcosZCDE=+4?—2x2x4x]—)=2币,

由于应平面CZ)E,AE〃BD,.1AEJ_平面CDE,CEu平面CDE,

故AE_LEC,此时AC=CC£2+A£2=逝8+4=4夜，故B错误,

当ZCDE'时，CE=VCD2+ED2-2CD-DEcosZCDE=+4?-2x2x4xg=2技

止匕时AC=>]CE2+AE2=J12+4=4，

由于BCTCO+BD?=2"Afi=4,

答案第6页，共17页

16+32-85A/2

当AC=40时，cosABAC=®sinZBAC=—

2x4x472-8'8

aABC=-AB-ACsinZBAC=-x4x4V2x—=2",

228

当AC=4时，cosZBAC=l,+：6;8=故sin/R4C=^,

2x4x444

SABr=-AB-ACsinZBAC=-x4x4x^-=2^,

'ABC224

4A/3

综上可得5ABe=2币,故点D到平面ABC的距离为产一=里」=岭=冥H,C正确,

1S2币7

3°5ABCABC

当AC=4时，AB=AC=4,Cr＞=BD=2,取BC中点为0,连接

则ZAC©即为二面角的平面角，

OD=^BC=^CD2+DB-=y/2AO=ylAB--OB--=714,

22

14+2-(BD+AD)14+2-20=」＜o

所以cos/AQD=

2x5/14x5/22xy/14xy/2S

A/6

故ZAOD为钝角，符合题意，此时tan44。£>=竺幺丝=』-=-#,

cosZAOD1

正

当AC=4时，"=AC=4,Cr>=BD=2,取3C中点为0,连接。1,0。，

则ZAOD即为二面角A-3C-Z)的平面角，

OD=^BC=^CD2+DB~=y/2AO=-^AB'-OB2="一(何=/

22

14+2-(BD+AD)2-2°=」＜o

所以cosNAO。=

2x5/14x5/22x714x72S

瓜

故ZAOD为钝角，符合题意，此时tanNAOD="幺丝=金-=-迷，

cosZAOD1

正

473

当AC=40，由于S°BC=；X2X2=2,点A到平面。3c的距离为不上一=/叵=2』,

2，qSABC

3DBC

设A在平面DBC的投影为H,^HA=2y/3,ikHD=^AD--HA1=J(2肩-(2国=2叵

答案第7页，共17页

HC=VAC2-/M2=,卜何一（2可=2A/5,

因此点。为以AC为圆心，以半径为2形,2方为半径的圆的交点，

显然交点位于BC,同。的一侧，（如图），故此时二面角A-BC-D为锐角，不符合要求,

故D正确，

故选：ACD

【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：

（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：

①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；

（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面

角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.

13.6

【分析】设出圆锥的底面半径r和母线/,根据条件得到人/的关系式，由此可表示出圆锥

h

的高//,根据tan6='可求结果.

r

【详解】设圆锥的底面半径和母线长分别为广，I,

母线与底面所成的角为凡由题意可得兀〃=2无/，得/=2r,

由勾股定理可得圆锥的高h=J尸一尸=7（2r）2-r2=V3r,

所以tan0=或=,

rr

故答案为：G

14.等腰

【分析】利用余弦定理化角为边，进而可得出答案.

【详解】因为。=2bcosC,

由余弦定理得a=26"十°,^a2^a2+b2-c2,所以6=c,

2ab

所以这个三角形一定是等腰三角形.

答案第8页，共17页

故答案为：等腰.

【分析】设”（私办伽＞0）,则“2=8如故修2）’,再利用换元法

吧々

\MO\Jm23*+8〃zm.62+I8Qm...

结合二次函数的性质即可得解.

【详解】尸（2,0）,设“（根,〃皿＞0）,则/=8帆，

贝1J|MT7]=m+2,|MO|=y/m2+n2=yjni2+8m,

故阳』+2_.+2）2

22

\MO\1m+&wVm+8m

令，=机+2/〉2,则根=。一2,

M=回+2）2_If2Id_1

n

22,

则|MO|Vm+8m^|（r-2）+8（/-2）*+4-12_1Z+1+1

Vt2t

,11।（124八4

当―=2，即/=6时，~_r+7+1=~,

t6ktt/max3

、万

所以\后MF的\最小值是包.

\MO\2

故答案为：a

2

2

16.30-

3

【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加

法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解.

【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共C；A；=36种，

答案第9页，共17页

其中甲、乙参加同一项目的方案A；=6种，

则所求的参赛方案一共有36-6=30种；

因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目,

则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有C；C；A；=24种方案，

若甲单独选择跳台滑雪,则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，

故总共有A；C；=4种不同的方案；

若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项

目，

故共有C；A；=4种不同的方案；

同理，乙单独选择跳台滑雪,有A；C；=4种不同的方案;

乙和一人共同选择跳台滑雪,有C；A；=4种不同的方案，总共有16种方案.

16

302

所以尸出加=制243

30

9

故答案为：30；-.

【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺

不漏，从而得解.

17.(1)75

⑵-;

【分析】(1)由指数运算法则，直接计算即可得出结果

(2)根据对数运算法则，直接计算即可得出结果；

【详解】(1)0.125-5-1|]+[(-2)2]2+(V2X^/3)6

=出一1+2+2,33"=2+1+8*9=75

(2)1lg25+lg2-lgA/0l-log29xlog32

答案第10页，共17页

2

=lg5+lg2-lgl0-21og23xlog32

18.（l）g（M的单调递增区间为卜8,一庭），证明见解析

（2）（-0,0]

【分析】（1）由函数/（冗）=%2+云+6。>0）有唯一零点，可得A=0,即可求出b,再利用

定义法求函数的增区间即可；

（2）根据函数的单调性求函数的值域即可.

【详解】（1）因为函数/（%）=/+/?%+63>0）有唯一零点，

所以八=。2-24=0,解得m=2A/6（m=—2^6舍去），

所以/（%）=—++6=f+2^/6x+6,g（%）=）=x-\---F2^6（x<0）,

xx

函数g（'）的单调递增区间为卜哈-指），

令石VX2V，

则g（xj-g（尤2）=玉f+色-色"-尤「也包=（平「6）&-々）,

玉x2XxX2XxX2

因为占<%<-庭，所以西一起<0,占%>6,

所以g（无J_g（无2）=（"毛'J%"'VO,即g（玉）<8（々），

所以函数g（x）在卜泡-上单调递增，

令一aV&V%4<。，

则g（尤3）-g（无J=无色一9=国一无4一其土辿=应匚辿匚"，

x3x4x3x4x3x4

因为一"<x3<x4<0,

所以工3—％4<°，0<玉%2<6,

答案第11页，共17页

所以g(W)-g(x4)=(%X46)(X3巧)>0,即g(xj>g(xj,

•X3X4

所以函数g(x)在卜病,0)上单调递减，

综上所述，g(x)的单调递增区间为卜8,-6卜

⑵由⑴知g(x)1mx=gt")=o,

当％f_oo时，g(x)->YO,

所以g(x)的值域为(e,0].

19.⑴他A)c5={x-g<x<0或3Vx<4}

Q)a>也

4

【分析】(1)先根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合48,再根据补集和交集的

定义即可得解；

(2)由题意可得A是8的真子集，再由。分类讨论即可得出答案.

当a=；,A=L1<2^'<4U(x|-l<x-l<

2}={x|04x43}

故”={x|x<0或x>3},

所以低A)cB={x-g<x<(^3<_r<4}；

(2)因为“xeA”是的充分不必要条件，所以A是B的真子集,

当a>4时，A=0,符合题意；

xl

当“W0时，A=[x\a<2-<^=[x\x<2}f不符合题意,

当0<aW4时，A={x|aV2'T<41={x|l+log2d5<x<3},

0<a<4

/54

所以l+log2«>-l'解得

答案第12页，共17页

a＞显.

综上所述,

4

20.(1)|

(2)-y

TT7T（冗、

【分析】（1）根据-结合诱导公式求解即可；

（2）先根据商数关系及二倍角公式化简，再根据诱导公式及二倍角公式将所求角化为已知

角，进而可得出答案.

【详解】（1）sin仁-0卜sin1

3

sin空+a5兀

cos-----Fa

tanp«1U212

(2)+++

112JtanB^5兀sinN+a

cos-----Fa

11212112

.5兀](5nA

sin-----Fcc|+co2s-----FOL

112J112人2

.(5兀)『5兀).(5兀。)

U2)112)(6)

2_2_2

sinf^+J+26/^cos21W+a12cos2+

218

7.

21.(1)3亚

【分析】1）由3cLeD,CD，CQ，可得CD，面DC画，即点C到面4G。的距离等于CD；

in2

（2）当几=1时，直线EF〃平面80。，理由如下：在AC上取点G,使得AG=§GC,

GE〃平面4G。，取。用的中点“，连接可得GF//AH,则G尸〃平面4G。，所以平

面GEF7/平面片G。，可得证.

【详解】（1）多面体ABC-瓦G。是由三棱柱ABC-A瓦G截去一部分后而成，

答案第13页，共17页

是AA的中点，AD_L平面ABC,3Cu平面ABC,:.AD±BC

又BC±AC,ADAC=A,ADu面DACG，ACu面DACG，

3cl面。ACG,又CDu面DACG,

则3c_LCD,而8C//8g,所以CD_LBC，

又：AD=AC=3,。是A4的中点，；.CD=3&，DC、=3叵,

可得Cf^+Gh=CC「，即CD_LG。，DCiB{CX=Q,

DC]u面DC[B[,BCu面0c用，

C£)J_面。G与，

•••点C到面BCD的距离CD=30

(2)当/Lug时，直线EF〃平面8CQ,

理由如下：设AD=3,则即=6,

2

在AC上取点G,使得AG=§GC,

所以GE//BC,而BCgG,GE<Z平面BQ,BXC}u平面B©D,

所以GE〃平面片G。，

取CC,的中点“，连接A”，可得AH//£»G，

102

当2=1时，HF=-FC,所以GR〃AH,则G/〃DC1，

GFcz平面B£D,DC,u平面B£D,所以Gf7/平面B£D,

GFcGE=G,G/u平面GE/,GEi平面GEF,

所以平面GEF/I平面81c°,EFu平面GEF,

所以政〃平面4G。，

答案第14页，共17页

B\

288140

（2）证明见详解，。［五3■，mJ

【分析】（1）表示出各点的坐标，由A^=‘AB,得”,6,c的关系式，然后再根据△理居的

面积，列式得关于a，b，c的关系，两式联立求解得化即可得椭圆的标准方程；

（2）利用过椭圆上一点。（%,%）的切线方程可得直线夕的方程和直线PK的方程，从而得

直线JK的方程，整理可证问题.

【详解】（1）由题意可得人（-。,0）,B（a,0）,£（-G。）

i