广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高考数学五模试卷含解析

广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高考数学五模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线C：■—与=1（。>0力>0）的左右焦点分别为月，工，尸为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近

a"b~

FO）

线上一点，P,。均位于第一象限，且2QP=PF2,QF1Q2=则双曲线。的离心率为（）

A.73-1B.73+1C,而+2D.V13-2

|log3（x+l）|,xe（-l,8）

2.已知/（x）=4r、若/'[（阴―l）/（x）]—2<0在定义域上恒成立，则加的取值范围是（）

——-,xe[8,+oo）-

A.（0,+8）B.[1,2）C.[1,+8）D.（0,1）

3.设耳,用分别是双线=-/=1（。〉0）的左、右焦点，。为坐标原点，以耳耳为直径的圆与该双曲线的两条渐近

a

线分别交于A,B两点（A,B位于y轴右侧），且四边形。为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x±y=0B.底±>=0C.x+43y=QD.3x±y=0

4.设a,b,c为正数，贝!J"a+b>c"是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不修要条件

5.下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）

A.正方体B.球体

C.圆锥D.长宽高互不相等的长方体

6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

3115

C.—D.

1616

7.已知/'(x)=l—2cos2(ox+—)(。＞0).给出下列判断:

①若/(为)=1,/(%2)=-1，且后一%21m^=兀，则右=2；

②存在。e(0,2)使得/(x)的图象向右平移3个单位长度后得到的图象关于V轴对称;

O

4147A

③若/(X)在［0,2可上恰有7个零点，则①的取值范围为24524j

④若/(x)在-白；上单调递增，则0的取值范围为(°，3.

L64」I3」

其中，判断正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

8.在ABC中，角4、B、C所对的边分别为。、b、c,若acosB—bcosA=£,则"一*=()

42c2

9.执行如图所示的程序框图，则输出的5=()

ZC2019

/输出5/

若3%+neN的展开式中含有常数项，且〃的最小值为。，则,力2_/公=（

8U

A.36"D.25"

F

11.甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这

四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

12.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的

面积为（）

正视图到视图

_.一

D.722

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；

随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的L4倍作为其奖金.若随机变量吊和弱分别

表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则O（6）=,E（6）-E（6）=.

^<3

14.若x、V满足约束条件卜+y22,贝！|2=尤+2），的最小值为.

x-3y<6

15.已知函数/■（x）Tsinx|+|cosx|,则下列结论中正确的是•①/（九）是周期函数；②/（%）的对称轴方程

为x=1,左eZ；③/(%)在区间］上为增函数；④方程〃x)=:在区间一子,0有6个根.

16.某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是cm3;最长棱的长度是cm.

俯视图

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图1,在等腰MAABC中，ZC=90°,D,E分别为AC,A5的中点，歹为CD的中点，G在线

段8C上，且6G=3CG。将AAD石沿OE折起，使点A到A的位置(如图2所示)，且人尸工⑺。

(2)求平面ABG与平面ABE所成锐二面角的余弦值

18.(12分)已知圆0:/+丁=%定点4(1,0)为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆。，设动点P的

轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程

(2)过点。(2,0)的直线/与C交于E尸两点，已知点。(2,0),直线x=x0分别与直线。及。方交于S,T两点，

线段ST的中点〃是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.

19.(12分)设A6c的内角A、3、C的对边长分别为“、力、J设S为ABC的面积，满足5=

⑴求B；

⑵若6=百，求(6—1)。+2c的最大值.

20.(12分)已知函数/(x)=ae'—炉.

(1)若曲线Ax)存在与V轴垂直的切线，求〃的取值范围.

3

(2)当4^1时，证明：f(x)..1+x——X?.

21.(12分)在中，ABC=90，tanNACB=工.已知E,F分别是BC,AC的中点.将ACEF沿防折

2

起，使C到C的位置且二面角C'—跖―3的大小是60。，连接C'8CA,如图：

(1)证明：平面AFC'，平面ABC'

(2)求平面AFC与平面BEC所成二面角的大小.

7T

22.(10分)在四棱锥尸—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ZABC=-,PE,面

2

ABCD,AD=3AE,AB=BC=2AE=2,PC=3.

(1)在线段上是否存在点P，使〃面？A3,说明理由;

(2)求二面角E—PC—。的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

22

由双曲线的方程二-与=1的左右焦点分别为耳,耳，P为双曲线C上的一点，。为双曲线C的渐近线上的一点,

ab~

且P,Q都位于第一象限，且2QP=PF；,。耳•QE2=0，

可知P为。工的三等分点，且。耳，QB，

点。在直线桁-砂=0上，并且|OQ|=c,则Q（a,b）,F,（c,0）,

设P（XQ1）,则2（西一区/—/?）=（。一如一丁）,

行/口2a+c2bn/2〃+c2b、

解得为==—,%=§，a即nP（7-三），

代入双曲线的方程可得（2"+：/—！=1,解得e=f=A-2,故选D.

4a24a

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重

要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出。，。，代入公式e=£；②只需要

a

根据一个条件得到关于”,仇C的齐次式，转化为a，C的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得e（e的取值范围）.

2、C

【解析】

QQ

先解不等式〃x）W2,可得出5,求出函数y=/（x）的值域，由题意可知，不等式（加-§在定义

域上恒成立，可得出关于根的不等式，即可解得实数机的取值范围.

【详解】

|log3（x+l）|,xe（-l,8）

〃X）=4r、，先解不等式〃x）W2.

——-,XG[8,+OO）

、工一6

①当—l<x<8时，由/（x）=|log3（x+l）|<2,得—2Wlog3（x+l）W2,解得—■|《xV8,此时—■|<x<8；

4

②当xN8时，由/（x）=——<2,得]之8.

x-6

fQ

所以，不等式/（X）W2的解集为§>.

下面来求函数y=/(x)的值域.

当—l<x<8时，0<x+l<9,则Iog3(1+1)<2，此时/(x)=|log3(x+l)|»。；

当x»8时，x-6>2,此时/(x)=^^e(O,2].

综上所述，函数y=/(x)的值域为[。，转)，

由于/■■加一1)/(x)]—2<0在定义域上恒成立，

Q

则不等式("7-1)7(x)2-§在定义域上恒成立，所以，加-120,解得加

因此，实数加的取值范围是[L+8).

故选：c.

【点睛】

本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中

等题.

3^B

【解析】

由于四边形。为菱形，且|。笈|=|。4],所以AA。8为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形。4巴§为菱形，|。巳所以4人。鸟为等边三角形，ZAOF2=60°,两渐近线的斜

率分别为6和-6.

【点睛】

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

4、B

【解析】

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：a,b,c为正数，

二当a=2,b=2,c=3时，满足a+b>c,但片+廿〉。?不成立，即充分性不成立，

若/+/>(?，贝!J(a+6)2-,BP(a+b)2>c2+2ab>c2,

即«a+by>后，即a+b>c,成立，即必要性成立，

则“a+b>c”是+廿〉。2”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键.

5、C

【解析】

根据基本几何体的三视图确定.

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是

全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

6、D

【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【详解】

执行该程序可得S=O+g+：+<+g=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

7、B

【解析】

7T

对函数/(%)化简可得/(%)=sin(2Gx+：),进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换,

6

对四个命题逐个分析，可选出答案.

【详解】

因为/(x)=l-2cos2(G%+P)=—cos(2G%+」)=sin(2Gx+P),所以周期T=-^-=—,

3362a)co

1jr1

对于①，因为|石一为|.=TI=-T,所以7=2兀=—,即。=—,故①错误；

1lmin2co2

对于②，函数/(幻的图象向右平移三个单位长度后得到的函数为y=sin(2ox-丝+q)，其图象关于y轴对称，则

636

〃万T7T7T

——^+―=—+E(左£Z),解得G=-1—3左(左EZ),故对任意整数左，口e(0,2),所以②错误；

362

对于③，令/Cx)=sin(2s+C)=0,可得2妙+巴=%兀(左eZ),则%=勺~———,

662a)12口

因为/(0)=sin2>0,所以/Xx)在［0,2可上第1个零点方>0,且玉=’———,所以第7个零点

62Gl2G

7171ce717137141兀4——“人=一„,

---——I-3T=-——l=—一，若存在第8个零点4，贝！I

2①12G2a)12Gco12G

-7i-----兀_1_7T］--兀---兀---_1_7兀_4_7_兀_

82G12G22@12G2a)12G'

4］兀47兀4147

所以工742兀<%8，即----<2兀<-----,解得——<a><—,故③正确；

12®12®2424

JTTTTT22

对于④，因为/'(())=sin：,且0e，解得co<一,又<9>0,所以0<0<一,

6L64CTt717133

2(0x--1--<—

462

故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算

求解能力与推理能力，属于中档题.

8、D

【解析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.

【详解】

a+c--b-+c--a-c

由余弦定理得:a---------------b-------------=—

lac2bc4

M〃2_序

整理可得：a2-b2=—,，巴?=！1.

42c28

故选：D.

【点睛】

本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.

9、B

【解析】

运行程序，依次进行循环，结合判断框，可得输出值.

【详解】

起始阶段有，=1,5=3,

第一次循环后5=4=-2，，=2,

1-32

1_2

第二次循环后了=3，，=3,

2

.1-

第三次循环后一2一，7=4,

i---

3

第四次循环后5=工=V，，=5,

所有后面的循环具有周期性，周期为3,

当，=2019时，再次循环输出的S=3,，=2020,此时2020>2019,循环结束，输出S=3,

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.

10、C

【解析】

3x+)(〃eN*)展开式的通项为

告’=0,1,,n,因为展开式中含有常数项，所以“一生厂=0,即r=|“为整

数，故n的最小值为1.

所以『y/a2-x2dx=1y/52-x2dx=—.故选C

a52

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第厂+1项，由特定项得出厂值，最后求出

其参数.

11、C

【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答

案.

【详解】

①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话,

故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；

②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故

乙说谎，年纪最大的也不是乙；

③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，

故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；

④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大

的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年

纪最大的是丙.

综上所述，年纪最大的是丙

故选：C.

【点睛】

本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理

能力，属于中档题.

12、D

【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P-ABC.S^,AC=,S“AC=J五，5080=2,故最大面的面积为d.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、20.2

【解析】

分别求出随机变量6和6的分布列，根据期望和方差公式计算得解.

【详解】

设a,b^{l,2,1,4,5},则p（备=a）=|,其。1分布列为：

612145

11111

rn

55555

E(莅)=1x(1+2+1+4+5)=1.

D(敬)=|x[(1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(4-1)2+(5-1)2]=2.

&=1.4|。-加的可能取值分别为：1.4,2.3,4.2,5.6,

42332211

P(6=1.4)=?=-,PU2=2.3)笠=历，P©=4.2)飞=历，P—5.6)=*历，可得分布列.

$1.42.34.25.6

2321

p

510To10

E(42)=1.4x—h2.3x-----1-4.2x------1-5.6x—=2.3.

5101010

：.E(6)-E=0.2.

故答案为：2,0.2.

【点睛】

此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.

14、1

【解析】

作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数z=x+2)，取得最小时对应的最优解，代入目标

函数计算即可.

【详解】

><3

作出不等式组,x+y22所表示的可行域如下图所示:

x-3y<6

平移直线z=x+2y,当直线z=x+2y经过可行域的顶点A(3,-1)时，该直线在X轴上的截距最小，此时z取最小值,

即Zmin=3+2x(-1)=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

15、①②④

【解析】

由函数/(x)=|sinx\+|cosx|=^|sinx|+|cosx|)*=^1+|sin2x|)对选项逐个验证即得答案.

【详解】

函数=|sinx\+|cosx\=J(|sinx\+|cosx|y=Jl+'in21，

・・•/(%)是周期函数，最小正周期为”，故①正确；

当sin2x=±l或sin2x=0时，/(%)有最大值或最小值，此时2x=。乃+■^或2%=/肛/eZ,即工=今+?或

%=—JeZ,BPx=,kGZ.

24

，/(九)的对称轴方程为％=子，左eZ,故②正确；

当时'此时，='in2M在［i，,］上单调递减'在上单调递增‘「./(x)在

(jr34\

区间I，彳上不是增函数，故③错误；

作出函数/(尤)的部分图象，如图所示

，方程〃x)=］在区间-彳,0有6个根，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.

16、22百

【解析】

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,侧棱？底面ABC。,

由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度.

【详解】

由三视图还原原几何体如下图所示：

该几何体为四棱锥，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,ADrAB,侧棱底面ABCD,

3

则该几何体的体积为V=-x0+2)x2x2=2(cm

32v

PB=A/22+22=2V2(cm),PC=V22+22+22=2布(cm),

因此，该棱锥的最长棱的长度为2&m.

故答案为：2；2瓜

【点睛】

本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析

⑵叵

5

【解析】

(1)要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点"，连接DM，根据条件证明。〃/ABE,。河//bG,即

BE//FG,

(2)以R为原点，FC所在直线为X轴，过口作平行于的直线为y轴，五4所在直线为Z轴，建立空间直角坐标

系尸一孙z,求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：取的中点以，连接DM.

；BG=3CG,二G为CM的中点.

又尸为CD的中点，，/G//ZW.

依题意可知。则四边形为平行四边形，

：.BE//DM,从而BE//FG.

又FGu平面A^G,BEa平面APG,

BE//平面A[FG.

(2)DE_LAD},DEJ_DC,且A】。DC=D,

二。石_1_平面ADC,4Fu平面ADC,

DEl^F,

\FLDC,且DEcDC=D,

，平面

•・・以斤为原点，FC所在直线为X轴，过歹作平行于CB的直线为y轴，五4所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

F-xyz,不妨设CD=2,

则网0,0,0）,4（0,0,退），5（1,4,0）,£（—1,2,0）,G（l,l,0）,

F\=（0,0,73）,FG=（1,1,0）,4石=卜1，2,-&），EB=（2,2,0）.

设平面ABG的法向量为4=&,%,zi）,

n-F\二0

则

n-FG=0

令西=1,W71=（1,-1,0）.

设平面AXBE的法向量为加=（%,%，Z2），

m-AE=0—x2+2%-A/3Z2=0

则，，即

m-EB=02々+2%=0

令工2=1,得"?=（1,_1,一6）

从而c°s＜利…―=巫,

v2xy/55

故平面\FG与平面AXBE所成锐二面角的余弦值为半.

【点睛】

本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档

题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行

四边形，这些都是证明线线平行的常方法.

18、（1）=+1=1；（2）存在，氐+2y—26=0.

【解析】

（1）设以AP为直径的圆心为3,切点为N,取A关于V轴的对称点A',连接A'P,计算得到|AP|+|AP|=4,故

轨迹为椭圆，计算得到答案.

（2）设直线的方程为》="+（2-后），设石（西,口），/（%,%），加（%，%），联立方程得到

%-（/_2）,ST=\（/-2）,计算一"=一逝，得到答案.

再一2%—2—2

【详解】

（1）设以AP为直径的圆心为3,切点为N,贝］|0同=2—忸4|,|0@+忸A|=2,

取A关于。轴的对称点A,连接A'P,故,天+|期=2（|0同+|则）=4>2,

所以点P的轨迹是以AA为焦点，长轴为4的椭圆，其中a=2,c=l,

22

曲线方程为工+乙=1.

43

（2）设直线的方程为x="+（2-"），设£（石,%）,/（马,为），河（为，为），

直线。石的方程为y—2）,乂=」^（%-2）,同理力=上不（%—2）,

为一2%—2x2-2

所以刀°=%+*=七（"°-©+亡-2）'

即2%=M+%=2y%-6（M+%）,

%—2%―2X2-23]'

卜丁+（j-曷,...（3/+4）J+（⑵—6^r）y+9t2-12^3t=0,

3x2+4y2-12=0

9t2-1286后-⑵

所以％%=，%+%=

3/+43r+4

2押-128

代入得一^7=----------f=------3t+九,---------=一6,百/+2y—2^3=0，

x0―2%-12后r-6后-⑵；10为0

t[7---v3x---------+3]

3»+43〃+4

所以点M都在定直线后+2y—2g=0上.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

TC1—

19、⑴H；⑵2遍.

【解析】

⑴根据条件形式选择S=sin3,然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出；

2

TT

⑵由⑴求出角3=利用正弦定理和消元思想，可分别用角A的三角函数值表示出

即可得至U（g_l）a+2c=2（6—1）sinA+4sinl再利用三角恒等变换，化简为

（石一1）。+2°=2A/6sin[A+j

,即可求出最大值.

【详解】

1〃22_b2

（1）VS=—acsinBcosB=---------------即a2+c2-b2=2accosB,

2flac

/+/-⑹变形得：L£,

.••5=acsinB=x2accosB

整理得：tanB=6，

71

又B=—

3

27r

(2):A++C=,；・0<A<-9

3

由正弦定理知"蛆^=®^=2sinA-sinC

出止整无理.用sin_8.兀，C—.—oin

sin—sinBT-4

3

(百一l)a+2c=2(百一l)sinA+4sin

=2sinA+4sin|—A

(3

=2y/3sinA+2^3cosA

=2V6sinlA+^j<2V6,当且仅当A=?时取最大值.

4

故(6-1)a+2c的最大值为2娓.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的

转化能力和数学运算能力，属于基础题

2

20、(1)a,-(2)证明见解析

e

【解析】

2x设

(1)f\x)=aex-21=0在%£区上有解,a———g(x)=1j,求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.

331

(2)证明/(x)..l+x—只需证或―£」+x—记x—1,求导得到函数的单调性，得

到函数的最小值，得到证明.

【详解】

(1)由题可得，/(幻=改'一2%=0在％€1i上有解，

e2%人/、2%，/、2—2x

则。=>，令g(x)=F，g(x)=一「，

eee

当尤<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

2

所以x=l是g(x)的最大值点，所以④一.

e

(2)Sa®,aexex,所以/(%)..e*-必，

要证明了(%)..1+%—53尤2,只需证，一/.1+]—3即证/+耳1丁—九一10.

记h(x)-ex+~^2~=ex+x-l,hr(x)在R上单调递增，且/z'(0)=0,

当x<0时，〃(%)<0,〃(%)单调递减；当x>0时，。(%)>0,//(%)单调递增.

所以x=0是飘x)的最小值点，/i(x)./(O)=O,则/+、2_%_10,

2

3

^/(%)..1+%--%2.

【点睛】

本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.

21、(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(1)设AC的中点为G,连接尸G,设BC'的中点为H,连接G”，EH,从而N5EC即为二面角C'—防―3的

平面角，ZBEC=60，推导出即，BC',从而所，平面BEC',则ABLEH,即进而以平

面ABC',推导四边形EHGb为平行四边形，从而FG〃EH,FGL平面ABC',由此即可得证.

(2)以3为原点，在平面B