2024年1月“七省联考”考前数学押题预测卷3解析版（新高考地区专用）

2024年1月“七省联考”押题预测卷03

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合人=凶（31）（，-5）叫,5={X12X<8},则AB=（）

z「4J」3-」4八

A.（7,5]B.-.5C.-,4ID.-,4I

【答案】D

[解析]因为A={X|（3X—4）（X—5）W0}=I，5,B={x|2x<8}=（-^,4）,

所以4B=（4]

故选：D.

2.设xwR,贝U“sin%=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

【答案】A

【解析】因为sin?%+COS?%=1可得：

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xwR,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知非零向量°,〃满足人=（G,1）,（a,b）=^,若（a-则向量。在向量。方向上的

投影向量为（）_

]]C

A.—bB.—bC.—bD.b

422

【答案】A

【解析】因为（〃一切_1_〃，所以（〃一叶£=〃2一1.8=0,

.・.忖—gWW=0,又匕=（6,1）,所以W=J（G『+]2=2,・・.忖=1或.|=。（舍去），

所以Q,Z?=a2=l,

a-b717

所以Q在〃方向上的投影向量为nnn2=1〃.

m4

故选：A

abab

4.形如,我们称为"二阶行列式”，规定运算，=ad-历，若在复平面上的一个点/

caca

z1-i

对应复数为Z,其中复数Z满足=i,则点/在复平面内对应坐标为（）

1+211

A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(3,-2)

【答案】A

【解析】由题意可得：z—(l+2i)(l—i)=z—(3+i)=i,

则z=i+(3+i)=3+2i,

所以点/在复平面内对应坐标为(3,2).

故选：A.

5.已知圆G：炉+/+4%+3=0,圆。2：/+/—8x+12=0,下列直线中不能与圆。，G同

时相切的是()

A.百》+3>=。B.\/3x-3y=0

C.x+J35y+8=0D.x—V35y—8=0

【答案】D

【解析】由题意知：G：(x+2y+y2=ic：(x—4『+y2=4,

所以圆G的圆心为（-2,0）,半径为1；圆G的圆心为（4,0），半径为2,

,2词

对于A,圆G的圆心（-2,0）到直线的距离为4==1,与半径相等，故满足相切条件,

2+32

圆G的圆心（4,0）到直线的距离为4=2=2,与半径相等，故也满足相切条件,

+32

即直线6x+3y=0是两圆的一条公切线;

,2国

对于B,圆。的圆心（-2,0）到直线的距离为4=了、==1,与半径相等，故满足相切条件,

J（百）+32

圆的圆心（4,0）到直线的距离为a=万=r-=2,与半径相等，故也满足相切条件,

心）+才

即直线氐-3y=0是两圆的一条公切线；

对于C,圆G的圆心（-2。到直线的距离为4=不法

-1

-,与半径相等，故满足相切条件,

圆。2的圆心（4,0）到直线的距离为4=「，与半径相等，故也满足相切条件，

即直线工+后丁+8=0是两圆的一条公切线；

1~2~81

对于D,圆a的圆心（-2,0）到直线的距离为4

/+卜回3不满足相切条件,

即直线x-后y-8=0不可能是两圆的公切线;

故选：D.

6.若函数/（x）=2sin[（yx-]j（（y>0）在（0,兀）内恰好存在4个％,使得/（毛）=1,则。的取

值范围为（）

-19外（1991「79、（79~

L62J（62」[22）（22」

【答案】B

【解析】令f（x）=2sin|ox—3]=1,则a）x--=—+2kit,^cox--=—+2kn,keZ,

7I3j3636

JI、7兀

即①工=—+2kji,或GX=-----b2k7i,kwZ

26

兀7兀5兀19719兀

故cox可取一,T,-T,-6-,T

由于%£（0,兀），贝|J£（0,5）,

1OyrQ1OO

要使在（0,兀）内恰好存在4个％,使得/=则解得

6262

故选：B

7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤

芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是

多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤

掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒

杂质含量不超过2mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为（参考数据：lg2土0.30,lg3/0.48）

）

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【解析】设经过W层尸产棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为九贝i」y=80x(l-=80x(g)，

令80x(，<2,解得[2]<—,两边取常用对数得“1g=Wig4，即〃lg321g40

UJUJ403402

BPn(lg3-lg2)>l+21g2,因为1g2ao.30,lg3«0.48,

所以(0.48-0.30)“21.60,解得〃堞，因为”N*,所以〃的最小值为9.

故选：A

-

8.b=sin—,Q—05,则a,b,c的大小关系为().

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】设NAO8=ae(0,5],作出单位圆，与x轴交于A点，则A(l,0),

过点A作AC垂直于无轴，交射线08于点C,连接AB,过点8作3D，尤轴于点。，

由三角函数定义可知AC=tan。，BD=sina,AB=a

设扇形Q4B的面积为M,则Son。>SMO,即gtana>；sina,故

tancr>a>sina,

因为gwlag)，所以tang>:>sin?,

又cos』>0,由tan，>工得sinL>』cos1,即占>°,

555555

令/(无)=e*—左一1,x<0,

则/'(x)=e*—1,当x<0时，/'(%)=1—1<0,

故/(x)在(-“⑼上单调递减，

所以/1_g]>/(0)=0,所以e4>1,

故c>b,

综上，a<b<c.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.已知随机变量J服从二项分布：J*8,：],设〃=24+1,则"的方差。（〃）=3

B.数据L3,5,7,9,11,13的第60百分位数为9

C.若样本数据%,々，％的平均数为2,则3再+2,3々+2,…,3%+2的平均数为8

D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是《

【答案】BC

【解析】对于A,易知。（0=8*3[1-£]=1,而〃=24+1,

所以。（77）=22*。侑）=6,A错误；

对于B,共有7个数据，而7x60%=4.2,故第60百分位数为9,B正确；

对于C若样本数据%,々，…,5的平均数为2,

则3再+2,3马+2,…,3当+2的平均数为3x2+2=8,C正确;

对于D,由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，

2

每个个体被抽到的概率都是玄，D错误.

故选：BC

10.在正四棱台ABC。—A4CQ中，AB=3,44=2,例=正则（）

A.该正四棱台的体积为"亚

6

B.直线AA与底面ABC。所成的角为60°

c.线段4c的长为10

D.以A1为球心，且表面积为6兀的球与底面ABCZ）相切

【答案】BD

【解析】连接AC,AC,过4作A"，AC,垂足为”.

因为"=3,44=2,所以AC=3&，AG=2夜，

所以AH=36；6=与,AHN.—AH=9,

所以该正四棱台的体积V=^X（AB2+JAB?AB；+44?）="四，A错误.

AH1

直线AA与底面ABCD所成的角为NAAH，由COSNAA"1所以NAA"=60°,B正

确.

____________((r-\2一

4c=3V2--+—=匹,c错误

112JI2,

设以4为球心，且表面积为6兀的球的半径为尺，则4兀n=6兀，解得氏=曰=4〃，

所以以A为球心，且表面积为6兀的球与底面ABCZ）相切，D正确.

4,尸件\

小区.......

/\/

-----%

故选：BD.

2

11.已知双曲线好一亍=1,直线]：丁=立+机（左#±2）与双曲线有唯一的公共点瓶过点〃且

与/垂直的直线分别交X轴、y轴于A（%,0），3（0,%）两点.当点〃变化时，点?（x°,九）之

变化.则下列结论中正确的是（）

k

12

A.k=m+4B.y0=—x0

c.P点坐标可以是（7,后）D.”一尸有最大值:

【答案】ACD

2_y^=]

【解析】对于A,联立，4一消y可得（4—左2卜2—2物优—苏―4=0,

y=kx+m

直线与双曲线只有一个公共点，且左。上2,则A=0,

4k2m2-4（4-）（-m2-4）=0,：,k2=rrr+4,即选项A正确;

kk2m2-k2-4（k4

对于B,由方程可得=---，贝I」=----+m=-------=—，，M---,,

mmmm1加mJ

4\（

则AB的直线方程为＞+—=-7x+—，令y=。，x=----，

mk\m）0m

令x=0,y,所以％=区（），即B错误；

0m

对于C,则易知。（一又,一~~|,若——=y/6,则加=--f=,

\mmJm

7

k2=—+4=—,取k=—----二一5x*-=7,即_?(7,指)，所以C正确;

66V6m5\/

飞

对于D,可得q—与=工—空=心二比二巴=±1±竺二£

片y：25k②2525k225k225k2

‘左241]I4ii

=——+^TT+-^~2I.L+-=—>当且仅当左=±忘时，等号成立，即D正确；

12525k)5V25x25525

故选：ACD

12.已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,它们的导函数分别为了'(%),g'(x),且

〃x)+g(2—x)=5,g(x)—/(尤—4)=3,若g(x+2)是偶函数，则下列正确的是().

A.g<2)=0

B./(x)的最小正周期为4

C./(九+1)是奇函数

2024

D.g⑵=5,贝(左)=2024

k=l

【答案】ABD

【解析】A选项，g(x+2)为偶函数,故g(-x+2)=g(x+2),

两边求导得，-g'(-x+2)=g\x+2),

令x=0得—g'(2)=g<2),解得g'(2)=0,A正确;

B选项，因为/(x)+g(2-x)=5,g(-x+2)=g(x+2),

所以f(x)+g(x+2)=5①,

因为g(%)—/(X—4)=3,所以g(x+2)—/(X—2)=3②，

则①②相减得，〃力+〃x-2)=2③，

X/(x-2)+/(x-4)=2@,

则③④相减得——4)=0,BP/(x)=/(x-4),

又/(x)N/(x-2),故八》)的最小正周期为4,B正确;

C选项，假如/(尤+1)为奇函数，则/(—尤+1)+/(%+1)=0,

当x=l时，可得/(0)+/(2)=0,

但2)=2,当后2可得1(2)+〃0)=2,

显然不满足要求，故/(九+1)不是奇函数，C错误；

D选项,因为〃x)+g(2-x)=5,所以〃0)+g(2)=5,

又g(2)=5,故"0)=0,

由B选项得+2)=2,故〃2)+〃0)=2,解得"2)=2,

且〃3)+/⑴=2,

由B选项知/(力的一个周期为4,故/(4)=/(0)=0,

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=4,

2024

贝IJZ/W)=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=506x4=2024,D正确.

k=\

故选:ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式(x-2)(l+x)"的展开式中，所有项系数和为-256,则/的系数为(用数字作

答).

【答案】-48

【解析】令x=l可得二项式(x-2)(1+X)”的所有项系数和为—2"=—256,所以〃=8.

二项式(l+x)8的展开式的通项公式为(+1=C>x"r=Q,1,­­,8,

所以(x-2)(1+x)"的展开式中，w的系数为C；-2Cj=-48.

故答案为：-48

14.随机变量。有3个不同的取值，且其分布列如下：

J4sina4cosa2sin2<z

££

pa

44

则EC)最小值为,

【答案】】

【解析】依题意知,+,+。=1，则”=’，贝I]E(4)=sina+cosa+sin2a,

442

设/=sintz+cosa=叵sin贝I］te［一行,0］,

故sin2a=(sina+cosa)2-1=t2-1,所以E©-t2+t-l-^t+1丫5

--------,

2)4

当0,0］时，E©取最小值一：，

故答案为：-：

4

已知数列｛｝满足出+…+〃记数列｛

15.44+22"T%=2,an-tn］的前〃项和为，若

S“4百0对任意的“eN*恒成立，则实数/的取值范围是—

…【答案…】岛「12司1T

【解析】由4+2/+…+2"T4=n-2",

当〃=1时，％=2,

2

当九22时,由7+2a2-+----卜2"'4="•2"得q+2a2-+-----F2"an_i=("T)-2j

两式相减并化简得4,=H+1(K>2),

也符合上式，所以。〃=〃+1,

令2-tn=n+l-tn=(l-t^n+l,

d+i—包=。一t)5+i)+i—[(i—t)〃+i]=i—/为常数,

所以数列｛么｝是等差数列，首项4=2-入

g、ic2-7+(1-/)〃+11-t23T

所以S“=---------------------x扑=----nH-------n,

〃222

3-t

对称轴为23-£,

n=--------=----------

1-t2-2t

由于用《510对任意的〃wN*恒成立，

上<0

21211

所以Q，解得7TWK；；；，

9.5<-—<10.51110

〔2-2t

所以/的取值范围是号,巳.

上―,[121T

故答案为：77，一

16.已知正实数x,y满足ye*=lnx-lny,则J+lny的最小值为—

x

【答案】e-l##-l+e

V1%

,AYYXin一

【解析】由ye'=lnx—Iny得yev'=ln一,即把，=2ln二=ln2・e>

设/⑺=fe',则〃x)=yIn-,r(/)=e(+l),

IyJ

当f>T时，/⑺>0,所以/⑺在(-L4W)上单调递增.

因为X,y均为正实数，所以ye，=ln—>0,

y

(xyxx

由/(x)=/In—,可得x=ln—,即>

1—VV

由y'=一知，当O<X<1时，y>0,单调递增，

ee

YX\J

当尤>1时，y<0,单调递减，所以y==e0,—.

eAeA【ej

e%]]]]

则一+lny=—+lny,0<y«-.令g(〃)=—+ln〃,0<〃<一,

xyeue

则g'（M）=-4+L=q<0,所以g（M）在。一上单调递减，

uuu\e_

所以g（"）mM=g（：]=e—l,所以;+lny»e—l,即J+lny的最小值为e—1.

故答案为：e-1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在一ABC中，角4B,。的对边分别为a,b,c,

（2/?、

sin2A+sin2B=[sinC-----3---sinAsinBJsinC.

（1）求C；

（2）若c=2而'，a=3h,点〃在边4?上，且NACD=/BCD,求切的长.

2jr3

【答案】⑴y（2）-

【解析】（1）由已知借助正弦定理可得:

2A/3.空空absinC,

sin2A+sin2B=sinC--------sinAsinBsinC+/72=

373

即2abcosC=一^^~abstnC，即tanC=-y/3，

3

Ce(O,7r),故。=二27r；

3

(2)由余弦定理知/+9〃-52=26・36,:・b=2,

I7T17T127r

由SACB»+SACM=S%C知，_b.CD-Sm-+^b-CD-Sm-=-b-3b-Sm—,

33

即GD=—Z?=—.

42

18.已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足S〃=-a.，%=1.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

2乐,〃为偶数

.为奇数，求数列也｝的前〃项和以.

（2）设数歹!）也｝满足b,t=<4+2।an_22

册an+2

4n+1-44〃

【答案】(1)一〃(2)-----------1--------

32〃+1

【解析】(1)因为4，

n

时,El=5%，

两式相减得工二-7，

%”1

，2_G。3_3dn_n

一乙，——，L,一

q%2an_xn-1

相乘得£=〃，所以。"=〃(〃22),

当”=1时符合上式，

所以a.=n-

2","为偶数

(2)bn=<9+——2,“为奇数'

nn+2

2211

当〃为奇数时包=1+—+1-------2=2

nn+2n〃+2

2n

24+2+2fl--+---+.+—,―1

T2n=2+2+

I3352〃-12n+l

4(1—4")4〃

1-42n+l

4"+i—44n

=----------1--------.

32»+l

19.如图，直三棱柱ABC-44G中，一ABC为等腰直角三角形，CA=CB,E,6分别是棱

AA，CCi上的点，平面平面〃是AB的中点.

(1)证明：CM〃平面5EF；

(2)若AC=AE=2,求平面3EF与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)逅

3

【解析】⑴过户作阳交助于。，因为平面平面”44,

平面BEFI平面ABB]A=BE,

EDu平面则EDLBE,

.•.ED_L平面ABBA，

M为中点，且C4=CB,:.CM±AB,

又惧_L平面ABC,CMu平面ABC,

A^LCM,又AB,"u平面,

ABcA4]=A,CM_L平面ABAA,

:.CM//FD,CM.平面EDu平面BEF，

:.CM//平面BEF.

(2)CMIIDF,

可确定一平面CMDF,

CF11AAi,CF<z平面ABB】A,的u平面ABB,A}

.•.CF//平面ABBJA,CFu平面QWD尸，

平面CMD/7c平面ABB]A=MD,

:.CF//MD,

，四边形CMDF为平行四边形，

AF

：.CF=MD=—=1

2

以CA,CB,CC;为X,y,Z轴建系，

则3(0,2,0),石(2,0,2),下(0,0,1),

设根=(x,y,z)为平面BEF的法向量，

EF=(-2,0,-l),BF=(0,-2,1),

m-EF=0f2x+z=0

则〈，即Lc，令x=l,贝Uy=-l,z=-2,

m-BF=012y-z-0

■-m=(1,-1,-2)是平面BEF的一个法向量，

"=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，

2sgM|=|扁|/

平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为逅.

3

y不

20.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入

一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四

个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打

开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲

的选择之外的一个空箱子.

（1）计算主持人打开4号箱的概率；

（2）当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还

是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）

【答案】（1）：（2）甲应该改选1号或3号箱.

【解析】（1）设A，4,A,分别表示1,2,3,4号箱子里有奖品，

设片,坊,坊,区分别表示主持人打开1,2,3,4号箱子,

则。且A，4,4,4两两互斥.

由题意可知，事件A，4，4的概率都是:，P（B4|4）=|'2（即4）=g，「（即&）=；，

4)=0.

P(B4\

4\(\111

由全概率公式，得尸(B4)=Zp(a)p(sjA)=i3+£+7=z.

z=i4\^ZJL)3

（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱、2号箱、3号箱里有奖品的条件概率分别为

P(A§4)P(A)P(即A)=3

P⑷坊）=P(B&)-P(Bj-8

P（&54）_P（A）P肉4）=3

尸（阕氏）=

尸（用）"P（Bj"8

通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.

21.已知椭圆氏—+2L=1,椭圆上有四个动点4B,C,D,CD//AB,与a'相交于户点.

164

（1）当48恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线/〃与比的斜率之积是否为定

值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；

（2）若点〃的坐标为（8,6）,求直线的斜率.

【答案】（1）是定值，定值为5（2）

43

【解析】（1）由题意知，a=4,b=2,所以A（0,2）,B（4,0）,所以配=一；，

设直线"的方程为y=—gx+/（//2）,设。&，x）,C（x2,>2）,

（22

土+上=1

联立直线切与椭圆的方程164,整理得好―2a+2产—8=0，

V=——九+/

r2

由A=4/一4（2/一8）〉o,解得一20</<20，月//2,

2

则%+%=21,x1x2=2t-8,

所以"华

11、2c

—X]/-Q%（z玉+%）+彳+%—2/

X]九2-4再

t2—4t2-4

———F%2-2t———F2/-%-2t

玉工2一4再七马一4%

4

F~一占J,

2f2-8-4占4

故直线皿与理的斜率之积是定值，且定值为f_

⑵设4（w,%），B（x4,y4）,£>（%,j）,记丽=几说（470）,

X-8=AX-AX

得3

y-6=Ay3-Ay

2

又4