【高考数学二轮复习突破精炼】第32讲 解析几何中长度面积和、差、商、积（解析版）（新高考专用）

第32讲解析几何中长度面积和、差、商、积

【典型例题】

例1.如图.已知抛物线C：V=4x,直线过点P（2,l）与抛物线C相交于A,B两点,抛物

线在点A,3处的切线相交于点T,过A,8分别作x轴的平行线与直线上/:y=2x+4交

于M,N两点.

（I）证明：点T在直线/上，且IMTRNTI；

（H）记AAA",ABNT的面积分别为3和邑.求S+S2的最小值.

【解析】解：（I）证明：因为A3不平行于x轴，设直线的方程为了=畋+2

>J,8（号，y2）>

因为）2=4%，不妨令y>0,则y=26,

12

所以y=i，所以々=*2=-,

所以过A点的切线方程为y-y=2（x-岂），

乂4

整理得yj=2x+g,

同理，过点5的切线方程为％y=2x+"，

联立两切线方程，解得T（华，

又甘阳+2T得/_4阳+4时8=0,

[y-=4x

所以》+丫2=4"7，％%=4a-8，

代入可得7(机-2,2机)，满足y=2x+4,

所以点T在直线/：y=2x+4I:,

乂

y”=%，yN=y2>

所以+y*=y+%=4m=2%,

所以T为”，N的中点，BP।wr|=|AT|.

（II）由（I）可得仞（"U，%）,A（^-,%）,

所以|AM|=T-T^,同理|8M|="-2二

4242

所以£+52=：(1的+|8"闪汉&|=；(曰—巧1+亨一51冈竺匹

乙乙乙*T4乙乙

1+以2-2（%+%）+16J（x+%）2-分历

一（---------------------；X-------------------------

242

=^fl6m2-2(4/77-8)-8m+16]xy]\6m2-4(4/??-8)

=4(J"J-〃?+2)3=4(J(…;1+§3,

当机=g时，S,+52=4(小”_；)2+13有最小值孚.

22

例2.已知耳，F?分别是椭圆C：T+*=l(a>0>0)的左、右焦点，动点M在椭圆C上,

历

△M月心面积最大值为2,离心率e=y.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点月的直线/与椭圆C交于A,8两点，问：是否存在实数r,使得

|人耳|+|州|="必||8耳|恒成立.如果存在.求出f的值.如果不存在，说明理由.

c_V2

a2

【解析】解:1）山题意可得」x2cxb=2,

2

a2=b2+c2

解得/=4,/=2,c2=2.

22

故椭圆C的标准方程为—r+^=1.

42

（2）如图，由（1）可知耳（-也,0）,6（夜,0）.

当直线/的斜率不存在时，IA耳|+|8耳|=5=1,

a

则，=四上1生1=2,

IA7-||BF、|

当直线/的斜率存在时，设其斜率为A,

则直线/的方程为y=/（x+应），A（xt,yt）B（x2,y2）.

y=k（x+>/2）

联立22,

—x+-v^-=1

整理得(2A:2+l)x2+4垃k?x+4左2—4=0,

40炉4炉一4

则h1ll…"内⑷小E'

从而\xt-x21=yj(xt-x2)-4xtx2=

故|4月|+1B4|=AB=y/k2+\|x,-x,|=，

由题意可得IAFt|=J/+1|x1+V2|,|BFt|=J/+1\x2+y/l\,

2

则|AFt||BFt\=(k+1)|玉/+夜(A,+X2)+2|=,

因为|A耳|+|8耳|="44||明|,

4吐4

所叱"侬』2

2(公+1)

2r+1

综上，存在实数f=2,使得|4甲+|561=川西||3£|恒成立.

2:2

例3.在平面直角坐标系X。)，中，己知椭圆C:£+方=13>6>0)的右顶点为4(2,0),且

其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形.过点TQ,0)(-2<f<2)且与x轴不重

合的直线/与椭圆C交于P,Q两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设尸。的中点为"，试判断是否存在实数f,使得|AV『-它篁为定值.若存在，求

4

出f的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由.

【解析】解：(I)由题意可知，a=2,Hb=c,又因为标=从+。2,解得6=c=0,

22

所以椭圆。的方程为匕+2=1:

42

(2)存在实数工=2,使得।AM阳£为定值.理由如下:

34

因为M是PQ的中点，故

|AM|2-1^L=|AM|2-\MP^=(AM+MP)(AM-MP)^APAQ,

4

由题意可知，宜线尸。的斜率不为0,设尸。的方程：x=my+t,(meR,(-2<r<2)),

x=my+t

22

与椭圆C的方程联立，\xv,消去x,整理得(1+2)：/+2股y+产-4=0,

—+—=1

42

2m,t~—4

设尸(再，y)，。(与，y)>则y+%=--~=—~-，

2"+2m+2

因为A(2,0),所以AP=(x-2,yJ=(机％+，-2,%)，AQ=(my2+t-2,y2),

则APAQ=(myt+1-2)(my2+t-2)+yty2=(〃/+l)y%+-2)(y+必)+。-2y，

所以A户A0="孕生2,

m+2

若对任意帆eR，APA0=«2,.-2)为定值,则.=2或，=2,

nr+23

因为一2vf<2,所以r=2,此时，|/VW|2-L^L=AP-AQ=O.

34'

存在实数f=2,使得।A"『-If红为定值，且定值为0.

34

22

例4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:=+1=im>b>0)的左、右焦点分别为《、£,

ab-

且离心率为专，过坐标原点。的任一直线交椭圆C于M、N两点，且1+1Ng1=4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)点P(f,O)为椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为理的直线/交椭圆C于A、B

2

两点，试判断是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理

由.

【解析】解：(1)由己知，得g为平行四边形，

所以|M行|+|”|=|A/f；|+|^|=2a=4,所以a=2,

又因为e=£=1,所以c=0力=血，

a2

22

所以椭圆C的标准方程为三+匕=1…(5分)

42

(2)直线/的方程为y=»"(xT),设4(%，＞,i)，B(x2,y2),

夜

y=——(x-t)2

联立方程2?】，得2d-2a+，-4=0,所以芯+/=----

—+^-=1

42

2

所以|PA『+1尸8『=(%-f)2+y：+(x2-t)+

113

=(玉一1)2+/(%-)2+(/7)2+/02-1)2=/(%2+)

=；［(项+々)2-2与(『一产+4)=6为定值...(12分)

例5.在平面直角坐标系My中，椭圆。:与+当=1（。＞人＞0）的焦距为2,一个顶点与两个

ab

焦点组成一个等边三角形.

（I）求椭圆C的标准方程；

（n）椭圆c的右焦点为尸，过尸点的两条互相垂直的直线直线/,与椭圆。交于p,

Q两点，直线4与直线x=4交于T点.

⑺求证：线段PQ的中点在直线OT上；

3）求明的取值范围.

\PQ\

C_1

【解析】解：（I）由椭圆得Z=解得。=2,c=l,b=G，

2c=2

22

故所求椭圆的标准方程为三+E=1.

43

22

（II）⑺设直线PQ的方程为：x=my+1,代入楠圆方程二r十上v＞=1得

43

（3m2+4）y2+6my-9=0,

则判别式△=36帆2+4x9（3病+4）＞0,

设P（X，％）,Q（X2,y2）,PQ的中点G（x（）,%）,

nili-6m-9

则Y+%=o2/，=,2J

3m+43机+4

I-4

则%=#+%）=a2”，^^my+\=,

2+4Q3M+4

-3m3加2+43/n

3nr+444

设直线fT的方程为：y=-m（x-\）f得丁点坐标为（4,-3机）,

3m

4

,,^OG=k<XT，

即线段尸。的中点在直线O7上；

(")当相=0时，PQ的中点为尸，7(4,0),

2a2\TF\_

则|7/|=3,|PQ|=J=3,

a\PQ\~

当〃件0时，ITF|=J(4-1)2+(-3加)2=3,加，+1,

|加上卜*"7上河,用工汨标=8/,西焉三焉二⑵*

防若・哈小的卡日

设f=J〃/+1,则/>1,

£

贝Uy=3心+1+1=3f+1=3Q+3)在(1,+8)为增函数,

V/«2+lt1

则y>3+l=4,

贝ij--(3>/=+1+一)>-x4=l,

44

综上明.」，

IPQI

故求变1的取值范围是口，+00).

1至1

22

例6.若椭圆C:=+4=l(a>人>0)上有一动点P,P到椭圆C的两焦点耳，F,的距离之

ab‘

2

和等于2立，P到直线x=±的最大距离为2+a.

C

(I)求椭圆的方程；

(II)若过点M(2,0)的直线/与椭圆C交于不同两点A、8,。4+。8=口尸(。为坐标原点)

且|PA-P8|<手，求实数f的取值范围.

2a=2五

【解析】解：(/)由已知得，]，:a=5/2,bc=l,

—x2cxZ?=1

[2

又・.・片=匕2+02,「2=1,c=l,

.••椭圆的方程为：—+y=i.

2

(〃)/的斜率必须存在，即设/:y=A:(x—2),

V2_.

联立'，消去y得1+2公(x_2)2=2,

y=k(x-2)

得(1+2公*-8公x+8尸-2=0,

由△=Mk4-8(1+2k?)(4公-1)=8(1-2F)>0可得公<工,

2

设4芭，y),B(X2,外)，

对a>2_2

由韦达定理可得：%+%=上二，±x,=5一，

“&l+2k2"-1+2左2

04+OB=rOP(O为坐标原点)

(A,+x2.y,+y2)=t(x,y),

/.Xl+X2=tXy+>2="，

18公17,,21"

…7百’"”(西-2)+伙”2)]=7言

,点P在椭圆上，

,(弘2)2216k2

,•产(1+2储)2t\]+2k2)2~

.♦.原2=»([+2&2),

2

\6k_8____8

1+2--*-1+2小

\PA-PB\=\AB\=y/l+k2|%-x"=yjl+k2■地。二号)-<—,

■i+2r3

k2>-,

4

42

将!＜公＜1代入得竺＜一＜4，即一2＜/＜—域或辿＜f＜2,

42933

普5半,2）

则f的取值范围是（-2,

22

例7.如图，椭圆/方=叱八。）的左焦点为人过点F的直线交椭圆于A，B两点,

3

IA用的最大值为|8F|的最小值为加，满足=

4

(I)若线段AB垂直于x轴时，|AS|=|,求椭圆的方程；

(II)若椭圆的焦距为2,设线段钻的中点为G,他的垂直平分线与x轴和y轴分别交

于。，£两点，O是坐标原点，记△GFD的面积为I,AOED的面积为S2,求

2*422ss2

'S,+S2

【解析】解：(1)设厂(-C,0)(00),则根据椭圆性质得

3

M=a+c，m=々一。而M»m=—a2，

4

a

所以有〃2—02=%2,即。2=4。2,即。=勿,

4

又也=3且/“2+C2,

a2

得a=1,护=—,

4

2

因此椭圆的方程为：/+q=1,(4分)

4

22

(H)由(I)可知a=2,6=6,椭圆的方程为三+乙=1.

43

根据条件直线AB的斜率•定存在且不为零，设直线A3的方程为y=Z(x+c),

并设4(X1,%),B(X2,y2),

则由直线与椭圆方程消去y并整理得，(4公+3)/+8以，+4公一12。2=0

从而有％+&=-4：；"3，?+丫2=无（芭+W+2c）=彳我"3，（6分）

4ct2

所以G（-与一3ck

4F+3>

4k2+3

3M

因为DG_LAB，所以年+3J=T,所以赤=9L

04k2+3

~4k^~X°

k2

c=1得到x=-

l}4r+3

qan2Q

由RtAFGD与RtAEOD相似，所以一=—r=9+—>9.（10分）

iS9^

229

<

令工=r,贝h>9,从而二41=一

9

邑SJ+SJ/41

+

9-

Q

即离7的取值范围是（0,房）.

例8.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:《+y2=1,抛物线E:r=2py的焦点尸是C的

一个顶点，设P（x（）,%）是E上的动点，且位于第一象限，记E在点P处的切线为/.

（I）求〃的值和切线/的方程（用%,为表示）;

（H）设/与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为。，直线8与过P且垂直于X轴

的直线交于点用.

(i)求证：点M在定直线上;

q

(ii)设/与y轴交于点G,记APEG的面积为APQM的面积为S2,求，的最大值.

【解析】解：(/)由题意椭圆C：E+f=l,可得e=£=2,椭圆的上顶点(0,1),

5aV5

因为，抛物线E：/=2py的焦点厂是C的一个顶点，所以6=1,

所以抛物线的焦点厂为(0,1),则p=2,E:x2=4y,

直线/方程为2(丫+%)=书).即2y-书)+2%=0

(II)(i)证明：设P(Xo，%),A(X1,%),B(X2,y2),

方+城=1,今+%2=],两式相减可得：必2一城=一也2一父)，

可得kAR=-1.-L,

占一占5yI+y25kOD

ii2

所以《W/相=一4，即有-%OD=一丁，

2?

直线8的方程为了=-'工，当工二不时\可得y

5x(}5

7

即有点M在定直线y=-±上;

(而)直线/的方程为y=；x()x-%,令x=0,可得G(0,-%),

11]%+1](%+]2

则£=FG||七|=-x0(l+%»2=力PM||—|=-——，

2222%+；22%+：

3/-----1——

S2(r-1)(/+|)2(3/-1)(r+|)2(-\―^)22

IjlH_55_552_2・4f_8

当r=3,即为=1时，垦取得最大值§

5°5S23

例9.斜率为％的直线交抛物线f=4y于A,B两点,已知点3的横坐标比点A的横坐标

大4,直线y=-fcr+l交线段AB于点R,交抛物线于点P,Q.

(I)若点A的横坐标等于0,求|PQ|的值；

(II)求|PR|・|QR|的最大值.

设尸(%,y),Q(X2,y2),则占+工2=-4，=-4,

.-JPQ\=Jl+(-l)2J16+16=8.

(〃)设AB的方程为丫=丘+匕，代入尸=4)，得：x2-4kx-4h=0,

22

xB-xA=J16k+166=4,k=\-h.

Aki可得7k

联立方程组

2

联立方程组一"+1得/+4辰—4=0,

U=4y

/.尤]+/=T&，x[x2=-4，

■.IPRklQR1=-d+公)(占一4)(9—4)

=—(1+k~)[x]x2一与(1]+九2)+项]

“2

二一(1+攵2)(-4+2公+一)

4

9〃27、，625

418144

.,.当A=±亚时，IPQMQW取得最大值股.

6144

2

例10.如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆「:土+丁=1的左、右焦点分别为耳、F2,

设尸是第一象限内「上的一点，PFr尸鸟的延长线分别交「于点Q「Q2.

(1)求△P4G的周长；

(2)求△尸耳0面积的取值范围；

(3)设小弓分别为△PKQ2、△「乙。|的内切圆半径，求的最大值.

【解析】解：(I)耳，鸟为椭圆C的两焦点，且P，0为椭圆上的点,

：.PFt+PF1=Q2F{+Q2F2=2a,从而得到^PQ声的周长为4a.

由题意，得4〃=4a,即的周长为4&.

(2)由题意可设过尸0的直线方程为x=o?y+l,PG,%),Q2(X2.y2)(x(,>0,y()>0).

x=my+1

联立消去x得(团*+2)y2+2my-1=0,

x2+2/=2

i.ni2m1

则为+%=--=，%=--，

根+2m+2

rciq..I,21n64-I88-

Vm+2m+24-2(m+2)

令t="r^(0<r，，

m+22

则1%—必1=小8«—/),,0(当f时等号成立，即机=0时),

所以=；1耳月11%—必1=:'2|%—%1=1%—％1”夜，

22

故aPFtQ2面积的取值范围为(0,血].

(3)设。|(X],yj,直线4P的方程为y=—(x+1),

q+1

将其代入椭圆「的方程可得三+U~y(x+1)2=1，

2(x°+1)-

整理可得(2%+3)x2+4y江一3片-4%=0,

则"二-3%；-4%,得司=_逗匕，y=_2i1_(_逗匕+i)=__工_,

2XQ+32Ao+3x04-12x0+32x0+3

故方-答与，-产”

2x0+32x0+3

当飞时，直线5P的方程为丫="」5-1),

%一1

将其代入椭圆方程并整理可得(-2%+3)丁-4y"-3片+4xo=O.

同理，可得。,(3金,」一)，

2%-32x()-3

因为=gx4低,=；x4住，

IXMS_S”2,_s-S_?x2,(-%)2*2，(-)|)

加以'—"一百一百—一272一—272-

_乂-%_忆为_%)_2®%_2近2近_』

24242%+32%-3xj+18%2-x°।1瓯”21或一屋

当且仅当为=言,%=噜时，等号成立.

轴时，易知尸(1,殍)，X=一存丫2=-*,

此时4-4=中=克＞＜逑」，

2724105

综上，弓-弓的最大值为工.

例11.如图，P是抛物线C:y=；V上一点，直线/过点尸且与抛物线C交于另一点。.

(I)若直线/与过点P的切线垂直，求线段尸。中点M的轨迹方程；

(H)若直线/不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求空+凹的取值范围.

|5P||SQ|

【解析】解：(I)设尸(玉，y),Q(X2,y2),M(x0,%),依题意石工0,>0,y2>0.

由y=L?,①

2

得y'=x.

・・・过点P的切线的斜率%=%，

直线/的斜率片

.••直线/的方程为卜_1片=一工(犬_芭)，②

2xf

7

联立①②消去y,得产+工》一片—2=0.

王

M是P。的中点

玉+X,1121,、

%=丁"1%=尹-六。”)

消去%>得%=***---r+Mx。x0),

2%

PQ中点M的轨迹方程为y=%2+白■+l(xw0).

(H)设直线/:y=fcc+b,依题意七0,b#0,则7(0/).

分别过尸、Q作PP'±x轴，QQ'lx轴，垂足分别为P'、Q'.则

\ST\\ST\\OT\\OT\网

\SP\\SQ\\PfP\\QfQ\|y||必1

由y=g%2,y=Ax+b消去入，得y?一2/2+》)y+〃2=。③

2

则y+%=2"+b),yxy2=b.

\ST\|S7|=\hU-+-)..2\h\\-^-=2\b\

-----------1------------

\SP\\SQ\%必V

%、为可取一切不相等的正数，

Isr|I,M,/士M国曰小、

■——L+J——ST-|的1A取l值氾围是(2,国).

\SP\|SQ|

【同步练习】

已知椭圆+£

1.=1(。＞人＞0)的一个焦点与抛物线丁=4x的焦点相同,F,,名为椭

圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/:y=依+加(〃?w0)交椭圆C于A,3两点.

①若x轴上任意一点到直线4工与距离相等，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐

标；

若直线/的斜率是直线。4,08斜率的等比中项，求AAOB面积的取值范围.

【解析】解：(1)由抛物线的方程V=4x得其焦点为(1,0),则桶圆中c=l,

当点用为椭圆的短轴端点时，片g面积最大，此时S=gx2cx6=l,

；.b=l,耳，尸2为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，△〃/;；居面积的最大值为1,

a2=lr+c2=2,

椭圆的方程为；+丁=1；

W2=]

(2)联立(万+，一，得(1+2-)9+4叱+2>-2=0,

y=kx-\-m

由△=16公小2-4(2^2+l)(2nt2-2)=8(2妤-w72+l)>0,得1+2代>>(*)

设4占，X)，B(X2,y2),

2

mil4km2m—2

则X+X=-------------r,XXo=------

21+2公।-1+2公

g,ykx,+m必hcy+m,,八kx.+tnkx^+tn

^1_=2±!——t4f+&=o,ZA——=o,

®k}==^Z_=222——，由得——+

X]-1X]—1x>-1%>-1X1-1x5—1

—24km

所以2Axi毛+G"-A)(芯+W)-2m=0,即2Z•--+(加一^)(---^p-)一2m=0,得利=-2k,

：.直线/的方程为y=k(x—2)，

因此直线/恒过定点，该定点坐标为(2,0).

②直线/的斜率是直线。4,08斜率的等比中项，

；・%小%.=公，即"=公，得的+⑼例得h〃(X1+X2)+%2=0,

XyX2XiX2

4k2m2。八十八

------7+，犷=0，乂机W0,

\+2k2

6=g,代入(*),得0<川<2.

|4例=，1+&2|%一々|=53(2-祖2).

设点O到直线•的距离为d,则“=」虫==乌㈣，

SAAOB=；IAB⑶=gyj3(2-m)2五'g'=与yjn^Q-而与J(、+厂”7=当，

zz.75乙zvZ乙

5

当且仅当〃?2=2-〃P,即4=1£(0,2)时，AAO5面积取最大值

2

故AAO3面积的取值范围为(0,三].

2.已知耳，鸟分别是椭圆cg+a=l(aM＞0)的上、下焦点，其中耳也是抛物线

G：d=4y的焦点，点M是C1与C?在第二象限的交点，且|M£|=g.

(1)求椭圆G的方程；

(2)己知AS,0),8(0,a),直线y=fcc(k＞0)与AB相交于点£＞,与椭圆C1相交于点E,F

两点，求四边形AEB尸面积的最大值.

【解析】解：(1)由抛物线G：x2=4y的焦点，得焦点6(0,1).

设%)(毛＜0),由点M在抛物线上，

:"町1=[=%+1，*=4%，解得%=：,=-^3^,

c2=\=er—b2

〃=4

联立48，解得

斯十次=1h2=3

故椭圆的方程为上+工=1.

(2)由(1)可知：|AO|=石，|8O|=2.设成内，y),F(x2,%)，其中演<七，

把y=履代入二+二=1,可得X?=-%=.x2>0,y2=-y>0,且=12.

433F+4

故四边形AEBF的面积S=S++SMEF=2X2+&?=42、+屁＞

4

=+3y；+46弘%，，JX2+3y；+2x(2巧)底”)=276.

当且仅当2%时上式取等号.

四边形AEB尸面积的最大值为2#.

221

3.已知椭圆C：T+方=1(。＞人＞0)的离心率为g,6，鸟分别是椭圆的左，右焦点，P是

椭圆C上一点，且耳鸟的周长是6.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设斜率为左的直线交x轴于T点，交曲线C于A,8两点，是否存在％使得

lATf+lBTf为定值，若存在，求出发的值；若不存在，请说明理由.

【解析】解：(I)由题意可知加+2c=6，—=—»

a2

解得a=2,c=1»

a2=b2+c21：.b2=3

)2

椭圆C的方程为三十匕=1.

43

(II)假设存在％,则攵wO,设4石，y),B(X2,%)，

设直线4?的方程为：x=fny+n,丁(〃,0),

X=冲+〃

X2V2，消去工得：(3/n2+4)y2+6mny+3/?2-12=0,

—+—=1

(43

6nm3n2—12

2；，X%=22;，

3m+43m+4

2222

△=36mn-4(3n-12)(3〃+4)=48(3川+4-M)>0,

••.IAT『+1F=(%—〃)2+城+(/—〃了+%?

=(二+l)(y：+%2)

=(4+1)[(乂+%)2-2乂%]

6nm3n2-12

二(>+1)[(-2

3〉+43加+4

黑簿[(3布-4)1+4(3.+4)],

要使IA”+|*『为定值,

则有3机2—4=0,所以加=±7=,

所以4='=.

m2

4.设圆C与两圆（x+石y+y2=4,（x-石产+丁=4中的一个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程；

（2）已知点M（竽，竽），F4,0）,且尸为Z,上动点，求||MP|-|尸P||的最大值及

此时点P的坐标.

【解析】解：（I）两圆的半径都为2,两圆心为£（-行，0）、鸟（6，0）,

由题意得：|C4|+2=|C5|-2或|Cg|+2=||-2,

.力eg||CK11=4=2av£玛|=245=2c,

可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在X轴上，凡实轴为4,焦距为26的双曲线,

因此a=2,c=#>>则b?=c，-a2=1,

所以轨迹工的方程为耳-产=].

4,

谈一0

(2)过点M,F的直线/的方程为)，=显----(x-V5),

即y=-2(x-逐)，代入二-/=1,解得：烂,心=幽

4515

故直线/与双曲线£的交点为z(手，

因此工在线段MF外，弓在线段内，故尸7；||=|MF|=石）.（衅）2=2,

\\MT2\-\FT2\\<\MF\=2,若点尸不在叱上，贝iJ|MP|—|FP|<|M/|=2,

综上所述，|MP|-|EP|只在点工处取得最大值2,此时点尸的坐标为2

5.已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(-4,O),且与x轴、y轴分别交于点B(x,0),C(O,y)

两个动点，记点M(x,y)的轨迹为曲线「.

(1)求曲线「的方程:

(2)过点尸(1,0)的直线/与曲线「交于P,Q两点，直线OP,0。与圆F:(x-l>+y2=l

的另一交点分别为M,N(其中O为坐标原点)，求△OWN与AOP。的面积之比的最大值.

【解析】解：(1)设动圆的圆心为(a,0),因为经过(T,0),且与x轴、y轴分别交于点8(x,0),

C(0,y)两个动点，

则a>-2,半径为aM,

圆的方程为(x-a)2+V=(“+4)2,与x轴的另一个交点为B(2a+4,0),与y轴的交点为

C(O,y)，

即x=2a+4，y2=84+16,

y2=4x,

即「的方程为V=4x；

(2)由(1)作下图：

设过尸点的直线方程为x=my+l,显然机是存在的,

,,2—d

联立方程：\yr,得丁_4畋-4=0,

x=my

y+y2=4m…①，yiy2=-4…②,

设P(»,2t),Q(s2,2s),

代入①②得fs=—1，r+s=2%…③

则宜线OP的方程为y=2*,立线0Q的方程为y=-x,

ts

(x-1)2+/=1

联立方程：2

y=—x

2/4/9v24v

解得，*)，同理N(7TT占)，

4/2\t\

•・•可M先/+4〃+4'

同理可得：|CW|=-^二，

J/+4

:\OP\=7(r)2+(2r)2=21r|Vr2+4.\OQ\=2\s\Vr+4,

.Sw44.

22

"Sh0PQ\OP\\OQ\(t+4)(s+4)⑸,+4(户+/)+i6」

由③得/+s2=Q+s)2-2rs=4〃/+2,代入④得：=——

SXOPQ16”+25

显然当，"=0时最大，最大值为<•.

25

在)，且焦距为2.

2

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点M(2,0)的直线/交椭圆C于点A,3两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点,

且满足04+08=，OP,其中,2),求|AB|的取值范围.

【解析】解：(1)依题意椭圆C:J+g=l(a>b>0)过点(1,等)，且焦距为2.

22

a=b+]“2=2

W-11,=«

b2=\

所以椭圆C的方程为、+y2=i.

⑵由题意可知该直线/存在斜率，设其直线/方程为y=Z(x-2),

y=k(x-2)

由I/,消去y得(1+2左2)/-8后与+83-2=0,

—+y~=1

12'

所以△=8(1-2左