广东省深圳市初中部2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案及解析）

2022fo23学年度第二学期期中考试

初二年级数学试卷

说明：

1.答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上.

2.考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一

律无效.

3.全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分.

一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1.在平面直角坐标系中，将点（一2,3）向右平移4个单位长度后得到点的坐标为（）

A.（2,3）B.（-6,3）C,（-2,7）D.

(-2,-1)

2.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（

3.已知龙〉》，下列不等式一定成立的是（

A.x-6<y-6B.2x<2y

2x+l>2y+1

4.分式的值为o,贝”的值为（

x+3

B.-3

5.如图，在Rt_A5C与中，已知NA=N£>=90。，添加一个条件，不能使得

Rt_ABCmRt_DCB的是（）

A.AB=DCB.AC=DBC.ZABC=ZDCBD.

BC=BD

6.如图，在，ABC中，BC=2,ZBAC>90°.A5的垂直平分线交BC于点E,AC

的垂直平分线交BC于点R则的周长为（）

7.如图，点0为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，^OAB是边长为2的等边三角

形，以。为旋转中心，将AOAB按顺时针方向旋转60°,得到aOA'B',那么点A'

1，6

2x-a<1

8.已知不等式组〈〜°的解集为则（a+1）（b-1）值为（）

x-2b>3

A.6B.-6C.3D.-3

9.已知a+Z?=l,ab=-6,则/匕―+a分的值为（）

A.57B.120C.-39D.-150

10.如图，点尸为定角/AOB的平分线上的一个定点，且4WPN与NA06互补，若

NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：

①OA/+ON的值不变；②NPNM=NPOB；③的长不变；④四边形PMON的面积

不变，其中正确结论的是（）

o

B

A①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二.填空题（共5小题，每题3分，共15分）

11.若分式一^有意义，则X的取值范围是—•

x-2

12.如图，在一A5C中，44c=60。，点。在上，AD=12,DEJ.AB,

DF1AC,垂足分别为E,F,且DE=DF，则。石的长为.

BDC

13.如图，A3CD是一张长方形纸片，S.AD=2AB,沿过点。的折痕将A角翻折，使得点

A落在上（如图中的点A）,折痕交A5于点G,那么/A£>G=.

14.定义运算min{a,b}­当。之h时，min{«,b}=b■当时，min{«,b}=a；

如：min{4,0}=0；min{2,2}=2；min{-3,—l}=-3.如图，已知直线+与

%=依-2相交于点P（—2,l）,若min{x+/%kx-2}=kx-2,结合图像，写出x的取值

范围是；

15.已知RtZkABC中，44c=60。，以A5和边向外作等边和等边

BCE.若AB工BC,过B作5M垂足为点M,DB=叵,如图，则做f=

三.解答题（共7小题，其中16、17每题7分，18题6分，19题8分，20、

21、22题9分，共55分）

2x-7＜3（x-l）

16.解不等式组1、，并将解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解.

5--（x+4）＞x

-5-4-3-2-10123456

1Y~—4x+4

17.先化简，再求值：（1---）--＞其中x是不等式3—尤N0的正整数解.

x-1x-1

18.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平

面直角坐标系，的顶点都在格点上.

（1）将A5C向右平移6个单位长度得到△4用£,请画出用a；

（2）画出与关于点。对称的△4^G；

（3）若将,ABC绕某一点旋转可得到△A与G，请直接写出旋转过程中点A到点4所经

过的路径长度.

19.如图，:ABC等边三角形，AE=CD,AD.BE相交于点P,3。，4。于0,

PQ=4,PE=1.

(1)求证：ZBPQ=60°；

(2)求A。的长.

20.某网店预测一种时尚7恤衫能畅销，用4000元购进这种T恤衫，很快售完，接着又用

5400元购进第二批这种T恤衫，第二批T恤衫数量是第一批T恤衫数量的1.5倍，且每件

T恤衫的进价第二批比第一批的少5元.

(1)求第一批T恤衫每件的进价是多少元？

(2)若第一批T恤衫的售价是70元/件，老板想让这两批T恤衫售完后的总利润不低于

4060元，则第二批T恤衫每件至少要售多少元？(T恤衫的售价为整数)

21.阅读材料：要把多项式卬w+aa+Zwi+Zm因式分解，可以先把它进行分组再因式分

解：am+an+bm+bn—(am+cm)+(bm+bn)=a(m+n~)+b(jn+ri)=(m+ri){a+6)这种因式

分解的方法叫做分组分解法.

(1)请用上述方法因式分解：x2-y2+2x-2y；

(2)已知a、b、°是_48。三边的长，且满足/+。2-2仇a—b+c)=0,试判断

的形状，并说明理由;

1。

(3)若加、〃、p为非零实数，且4。“一"y=(P-")(根一P)，求证：2p=m+n.

22.教材知识储备

三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

如图1,E、P分别是的中点，则ER就是的中位线，则有所〃3C,

EF=~BC,请依据以上知识点，回答下面问题:

如图2,在RtZvLBC中，NA=90。，=点。，E分别在边AB,AC上，AD=AE,

连接OE,CD,点、M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

(1)观察猜想：

图2中，线段PW与PN的数量关系是位置关系是—；

(2)探究证明：

把VADE绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，连接MN,PM,PN,判断—PMN的

形状，并说明理由；

(3)拓展延伸:

若AD=4,AB=9,VADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出,的面积取

得最大值时CD的长.

2022fo23学年度第二学期期中考试

初二年级数学试卷

说明：

1.答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上.

2.考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一

律无效.

3.全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分.

一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1.在平面直角坐标系中，将点（一2,3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（）

A.（2,3）B.（-6,3）C,（-2,7）D.

（-2,-1）

【答案】A

【解析】

【分析】根据直角坐标系的坐标平移即可求解.

【详解】一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加4,故选A

【点睛】此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.

2,下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；

B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误；

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定

义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，

3.已知X>y,下列不等式一定成立的是（）

A.x-6<y-6B.2x<2yC.-2x>-2yD.

2x+l>2y+l

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查不等式性质，根据不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不

等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个

负数，不等式方向改变，逐项判断即可得到答案.

【详解】解：A、由龙>可知x—6>y—6,该选项错误，不符合题意；

B、由x>y,可知2x>2y,该选项错误，不符合题意；

C、由x>y,可知-2x<—2y,该选项错误，不符合题意；

D、由龙〉》，可知2x+l>2y+l,该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查不等式性质，熟记不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不

等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一

个负数，不等式方向改变，是解决问题的关键.

2

4.分式X上-0」的值为0,则x的值为（）

x+3

A.3B.-3C.±3D.9

【答案】A

【解析】

fx2-9=0

【分析】根据分式值为零的条件，可得，据此即可求解.

x+3w0

X2_Q

【详解】解：・・•分式的值为0,

x+3

%2—9=0

・・・〈，

九十3w0

解得％=3.

故选A.

【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件为分母不为

零，分子为零.

5.如图，在Rt_A5C与刘/kDCB中，已知NA=N£>=90°,添加一个条件，不能使得

用一的是（）

A.AB=DCB.AC=DBC.ZABC=NDCBD.

BC=BD

【答案】D

【解析】

【分析】要证明HTABCZM.DGB,由已知条件NA=NO=90°,BC=BC,再加

一个条件，可以根据HL,A45来判断.

【详解】解：根据三角形全等的判定定理，

A,ZA=ZD=90°,AB=DC,BC=BC,符合HL,能使得用_ABC0Rt_DCB

成立，不符合题意；

B,ZA=ZD=90°,AC=DB,BC=BC,符合HL,能使得

成立，不符合题意；

C,ZA=ZD=90°,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合A45,能使得

此-ABC空Rt_DCB成立,不符合题意；

D,ZA=ZD=90°,BC=BD,BC=BC,不能使得WABCGRLDCB成立，符

合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的

判定定理：SSS,SAS,ASA,AAS,HL.

6.如图，在d45。中，BC=2,ZBAC>90°.A3的垂直平分线交BC于点E,AC

的垂直平分线交BC于点尸，则△M万的周长为（）

A.2B.1C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由垂直平分线的性质可得AE=5石，CF=AF,根据的周长为

AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC求解即可.

【详解】解：「AB的垂直平分线交于点E,AC的垂直平分线交5C于点孔

AE=BE,CF=AF,

△AER的周长为AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=2,

AAEF的周长为2,

故选：A.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质.熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离

相等是解题的关键.

7.如图，点。为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，AOAB是边长为2的等边三角

形，以O为旋转中心，将AOAB按顺时针方向旋转60。，得到AOA'Bz,那么点A'

1,5/3）

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意和旋转的性质可得旋转后点/'与点8重合，故求出点2的坐标即可.

【详解】解：作BCJ_x轴于C,如图，

,/AOAB是边长为2的等边三角形，

：.OA=OB=2,AC=OC=1,ZBOA=60°,

点坐标为（-2,0）,。点坐标为（0,0）,

在RtABOC中，BC=722-I2=亚,

.•.8点坐标为（-1,Q）;

•..△OAB按顺时针方向旋转60°,得到△04发,

/.ZAOA'=ZBOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',

二点与点8重合，即点"的坐标为（-1,招），

故选D.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质和旋转的性质，明确旋转后点，的位置是求解

的关键.

2x-a<1

8.已知不等式组〈的解集为则(a+1)(b-1)值为()

x-2b>3

A.6B.-6C.3D.-3

【答案】B

【解析】

2x-a<1

【分析】先解关于X的不等式组1〜c得到用a、b表达的解集，并和解集-1<X<1

x-2b>3

对比即可得到a、b的值，再代入(a+l)(b-1)进行计算即可.

【详解】解不等式2x—。<1得：龙<等,

解不等式九一2Z?>3得：x>2Z?+3,

2x-a<1_,_a+1

・,・不等式组〜c的解集为:2b+3<%<------,

[x-2b>32

2x-a<l

又♦.•不等式组〈c的解集为：

x-2b>3

.••2b+3=-1,3=1,

2

解得：a=l,b=—2,

.•.(a+l)(/?-l)=2x(-3)=-6.

故选B.

2x-a<1

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，“通过解不等式组1〜°得到解集：

x-2b>3

2匕+3<x<，，并和解集-1<X<1对比从而得到a=l,。=一2”是解答本题的关键.

9.已知a+b=l,ab=—6,则4人—2a的值为()

A.57B.120C.-39D.-150

【答案】D

【解析】

【分析】根据提公因式法、完全平方公式即可解决此题.

【详解】解：a3b-2a2b2+ab3

=ab^a2-2"+/)

=ab[cr+2ab+b2-4aZ?)

a+b-1,ab--6,

，原式=-6x[r-4x(-6)]=—6x25=—150.

故选：D.

【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形应用、因式分解，熟练掌握完全平方公式、提

公因式法是解决本题的关键.

10.如图，点尸为定角/A06的平分线上的一个定点，且/MPN与NA05互补，若

ZMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与。4、相交于“、N两点，则以下结论：

①OM+ON值不变；②NPNM=NPOB；③的长不变；④四边形尸MQV的面积

不变，其中正确结论的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】作尸E，。凶于E,PFLOB于F,如图所示，根据题中条件，只要证明

POE会POF,-PEM—PFN,根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到

答案.

【详解】解：作PELQ4于E,PF工OB于F,如图所示:

ZPEO=ZPFO=90°,

:.ZEPF+ZAOB^\SO°,

ZMPN+ZAOB=180°,

ZEPF=ZMPN,

ZEPM=ZFPN,

OP平分/A03,尸ELQ4于E,PFLOB于F,

:.PE=PF,

在△POE和.POE中，

ZPOE=ZPOF

<NPEO=ZPFO,

PO=PO

；•ZXPOEOOqPOF(AAS),

:.OE=OF,PE=PF,

在△OEM和占PFN中，

「/MPE=NNPF

<PE=PF,

ZPEM=4PFN

PEMAP/W(ASA),

EM=NF,PM=PN,

OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE,

.•.ON+ON为定值，故①正确，

VZMPN+ZAOB^1SO0,设/PON=a,则ZAQB=2NPON=2〃,

；•ZMPN=180°-2ZPON=180°-2a,

PM=PN,

:.ZPMN=4PNM=a

：.ZPNM=ZPON,故②正确

*/AP£M之PFN,

-S丛PEM-S9NF，

一S四边形PMON=S四边形PE。/=定值，故④正确，

在旋转过程中，一是顶角不变的等腰三角形，

的长度是变化的，

的长度是变化的，故③错误；

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

二.填空题（共5小题，每题3分，共15分）

X

11.若分式一^有意义，则X的取值范围是—•

x-2

【答案】x#2

【解析】

【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案.

Y

【详解】解：•.•分式一:有意义,

x-2

x—2H0

解得，x牛2

故答案为：x#2

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答

此题的关键.

12.如图，在一A5C中，44c=60。，点。在6C上，AD=12,DEJ.AB,

DFJ.AC,垂足分别为E,F,且DE=DF，则OE的长为.

【答案】6

【解析】

【分析】根据角平分线的判定定理求出/D4E,根据直角三角形的性质计算，得到答案.

【详解】■：DEJ.AB,DF1AC,DE=DF，

：.ZBAD=ZCAD=-ABAC=30°,

2

在直角三角形ADE中，ZZME=30°,

DE=-AD=6.

2

【点睛】本题考查的是角平分线的判定、直角三角形的性质，掌握到角的两边距离相等的

点在角的平分线上是解题的关键.

13.如图，A3CD是一张长方形纸片，且AD=2AB,沿过点。的折痕将A角翻折，使得点

A落在上（如图中的点A）,折痕交A5于点G,那么NADG=.

【答案】15

【解析】

【分析】根据三角函数即可求得NZM'C的度数，进而根据一AGC%AAGD,求得

ZADG=ZADG,即可求解.

【详解】解：•••？!£>=2AB,AB^CD,

AD=2CD,

/.AD=2CD,

,/ZC=90°,

：.ZDAC=30°,

：.ZADA=30°,

•：」AGONAGO,

：.ZADG^ZArDG=15°.

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，全等三角形的性质，正确求得"A'C=30。是

解题的关键.

14.定义运算min{a,b]：当。之匕时，min{«,b}=b；当时，min{«,b}=a-

如：min{4,0}=0；min{2,2}=2；min{-3,-l}=-3.如图，已知直线必=x+/〃与

%=区-2相交于点P（—2,l）,若min{x+m,kx-2]=kx-2,结合图像，写出x的取值

范围是；

【答案】x>-2##-2<x

【解析】

【分析】根据题意得％+加2近-2,结合图象可得结论

【详解】解：Vmin{x+/w,kx-2}=kx-2,

:.x+m>kx—2,

为2%，

由图象得：x>-2,

故答案为：x>-2.

【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新

定义的内含.

15.已知RtZXABC中，44c=60。，以AB和为边向外作等边△相£)和等边

BCE.若AB上BC,过8作曲/，£)£，垂足为点M,DB=母,如图，则=

【答案】2^1##—742

1414

【解析】

【分析】利用直角三角形的性质求得BC=后，延长线D3交CE于尸，根据等边三角形的

性质求得EF=巫，BF=晅,在RtZ\"E中，利用勾股定理求得。£=内，最后利

22

用面积法求解即可.

【详解】解：如图，•••△A3。是等边三角形,

:.AB=AD=DB=4i，ZSAZ)=60°,

AC

在RtZXABC中，ZACB=90°-ABAC=30°,

AC=2AB=272>BC=dAC2-AB2=屈'

••ZBCE是等边三角形，

:.BC=BE,NCBE=60°,

：.ZDBE=360°-90°-60°-60°=150°,

延长线03交CE于R

ZFBE=180°-ZDBE=30°,

..二BCE是等边三角形，

/.BF1CE,BC=CE=&，

.口口娓呐30

22

.,/r3725母

・・Dn7r7—DnRB+Br=V2H------=------,

22

在RtzXOEE中，DE=ylDF2+EF2=V14，

:.DExBM=DBxEF,

:.屈xBM=V2x—,

2

：.BM=叵^,

14

故答案为：也.

14

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键

是明确题意，找出所求问题需要的条件.

三.解答题（共7小题，其中16、17每题7分，18题6分，19题8分，20、

21、22题9分，共55分）

2x-7<3（x-l）

16.解不等式组《1，、，并将解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解.

5--（x+4）>x

IIIII[iIIII>

-5-4-3-2-10123456

【答案】不等式组的解集为-4<xW2,在数轴上表示见解析，最小整数解是-3

【解析】

【分析】先分别解不等式，得出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可.

2x-7<3（x-l）@

【详解】解：\lz、…

5--（%+4）>x@

由①得，x>—4,

由②得，x<2,

此不等式组的解集为-4<x<2,

在数轴上表示如图.故最小整数解是-3.

__（J__।111------------------।——।——I--------------->

-5-4-3-2-10123456

【点睛】本题考查解不等式组及在数轴上表示其解集，解题的关键是掌握解一元一次不等

式组的方法及确定出不等式组的解集.

17.先化简，再求值：（1--—~丝注，其中尤是不等式3—无20的正整数解.

x-1x-1

【答案】1.

【解析】

【分析】将原式被除式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用完

全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数

的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，再由关于X的不等式求出解集得到X

的范围，在范围中找出正整数解得到X的值，将X的值代入化简后的式子中计算，即可得到

原式的值.

【详解】解：原式=（三口——匚）+区2）：

x-1x-1x-1

x-2x-1

一----X-----------------

-%-l（%-2）2

1

-7^2

3—x<0的正整数解为x=L2,3

但x/LxH2

所以x=3

原式的值，=1

x—2

【点睛】此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法

则.

18.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平

面直角坐标系，ABC的顶点都在格点上.

（1）将向右平移6个单位长度得到,请画出△Aaq；

（2）画出与关于点。对称△人打。2；

（3）若将，ABC绕某一点旋转可得到△人&。2,请直接写出旋转过程中点A到点4所经

过的路径长度.

【答案】（1）作图见详解

（2）作图见详解（3）5兀

【解析】

【分析】（1）根据图示，可知各点的坐标，向右平移6个单位长度，则各点的

坐标的横坐标加6,由此得到对应点的坐标，连接各点即为所有图形；

（2）由（1）可知44用G各点的坐标，关于原点对称的点，则对称图形的坐标变为原来坐

标的相反数，由此得到对应图形点的坐标，连接各点即为所求图形；

（3）根据二ABC各点坐标的特点与△4与C2各点的特点，以及旋转的性质，即可求出对应

点的弧长.

【小问1详解】

解：根据图示可知，A(—3,5),5(-4,1),C(-l,2),向右平移6个单位长度得

△AB©,

.•.4(3,5),片(2,1),G(5,2),如图所示，连接点A，片,G，

△ABG即为所求图形.

【小问2详解】

解：中点4(3,5),g(2,1),G(5,2),关于原点对称得△儿与。2,

；.4(―3,-5),5,(-2,-1),C2(—5,—2),如图所不，连接4，_82，02,

A^B2C2即为所求图形.

【小问3详解】

解：：中A(—3,5),B(-4,1),C(-l,2),中点4(—3,-5),

C2(-5,-2),如图所示，连接对应点3,为，CC交于点M，如图所示,

当A绕点/顺时针旋转180。时，点A到点4所经过的路径长为半圆ALg,且半径为

MA=5；

当A绕点M逆时针旋转180。时，点A到点A所经过的路径长为半圆AK4,且半径为

MA=5,

]80°

ALA,=AKA,=-----x2兀x5=5兀，

--360°

；•点A到点A所经过的路径长5万.

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，图形结合，理解并掌握平移，对

称，旋转的性质，弧长的计算公式是解题的关键.

19.如图，ABC为等边三角形，AE=CD,AD,BE相交于点P,3。，4。于0,

PQ=4,PE=1.

（2）求的长.

【答案】（1）见解析（2）9

【解析】

【分析】（1）由，ABC是等边三角形，可知AB=AC,ZBAC=ZC=60°.证明

ABE^G4D（SAS）,则/ABE;NC4Z）.根据

ABPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ABAC,求解即可;

(2)由BQLAD,ZBPQ=60°,可得NP3Q=30。.根据3P=2P。，求59的

值，根据5E=5F+?E,求BE的值，由A3E且一C4£>(SAS),可得4。=鹿，进而

可得AD的值.

【小问1详解】

证明：：一/RC是等边三角形，

/.AB=AC,ZBAC=ZC=60°.

ABE和.G4D中，

AB=AC

<ZBAE=ZACD,

AE=CD

：.ABE^CAD(SAS),

：.ZABE=ZCAD.

：.NBPQ=ZABE+NBAP=ZCAD+ZBAP=ABAC=60°,

ZBPQ=60°；

【小问2详解】

解：•.♦3QLA。，ZBPQ=6Q°,

：.NPBQ=3O。.

:.BP=2PQ=8,

：.BE=BP+PE=9,

•；ABE%GAD(SAS),

AD=BE=9,

A。的长为9.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，

30°所对的直角边等于斜边的一半.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

20.某网店预测一种时尚T恤衫能畅销，用4000元购进这种T恤衫，很快售完，接着又用

5400元购进第二批这种T恤衫，第二批T恤衫数量是第一批T恤衫数量的1.5倍，且每件

7恤衫的进价第二批比第一批的少5元.

(1)求第一批T恤衫每件的进价是多少元？

(2)若第一批T恤衫的售价是70元/件，老板想让这两批T恤衫售完后的总利润不低于

4060元，则第二批T恤衫每件至少要售多少元？(7恤衫的售价为整数)

【答案】(1)50元(2)66元

【解析】

【分析】(1)设第一批T恤衫每件的进价为x元，根据题意，列出方程，即可求解；

(2)设第二批7恤衫的售价为y元，根据题意，列出方程，即可求解.

【小问1详解】

解：设第一批T恤衫每件的进价为x元，根据题意，得：

4000,u5400

xx-5

解得：x=50,

经检验，1=50是原方程的解，且符合题意,

答：第一批T恤衫的进价为50元；

小问2详解】

解：设第二批7恤衫的售价为y元，根据题意，得:

40005400

（70-50）x+[y-（50-5）]x>4060,

5050-5

解得：y265.5,

恤衫的售价为整数，

第二批T恤的售价至少为66元，

答：第二批T恤的售价至少为66元.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出

方程和不等式是解题的关键.

21.阅读材料：要把多项式卬因式分解，可以先把它进行分组再因式分

解：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+ri)+b(m+n)=(m+n)(a+b)这种因式

分解的方法叫做分组分解法.

(1)请用上述方法因式分解：x2-y2+2x-2y；

(2)已知a、b、＜?是_45。三边的长，且满足/+。2-2仅a-b+c)=0,试判断

的形状，并说明理由;

,1,

(3)若相、〃、p为非零实数，且4。"一")~=(p-")(机一p),求证：2p=m+n.

【答案】(1)(x-y)(x+y+2)

(2)ABC的形状是等边三角形，理由见解析

(3)见解析

【解析】

【分析】(1)根据要求进行因式分解即可；

(2)对〃+c2—2仇a—b+c)=O进行分组分解得(a—b)2+(6—c)2=0,即

a-b=0,b-c=0,则a=6=c,进而可判断」IBC的形状；

2

(3)-(m-ri)-p),整理得，~(m+n\-p=0，则

42

g(根+〃)—"=0,进而结论得证.

【小问1详解】

解：x2,-y-1+2x-2y=(x2-y2)+2(x-y)

=(x+y)(x-y)+2(x-y)

=(x-y)(x+y+2),

x2-y2+2x-2y=(x-y)(x+y+2)；

【小问2详解】

解：的形状是等边三角形，理由如下:

,•*a?+/—2b(a—Z?+c)—0

•**a2+c2—2ba+2b2—2bc=0，

：.(a2-2ba+b2)+(c2+b2-2bc)=0,

・・・(a-bf+s—c)2=。，

:・a—b=Qb—c=0,

••ci—b—cf

・・・cABC的形状是等边三角形；

小问3详解】

12

证明：一(m—几)=(p-n)(m-p),

/.—1m2--1mn+—1n2=pm—p2—mn+pn,

移项整理得，—m2+—mn+—n2—pm—pn+p2=0,

424

m+n

j()—P(加+〃)+p?=0，

2

=0>

"=0,即2P=m+n.

【点睛】本题考查了综合提公因式与公式法进行因式分解，新定义下的运算，等边三角形

的判定等知识.解题的关键在于理解题意并正确的运算.

22.教材知识储备

三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

如图1,E、尸分别是一ABC的中点，则所就是ABC的中位线，则