2024年广东高三学业水平合格性考试数学试卷试题三（含答案详解）

2024年广东省普通高中合格性考试数学模拟冲刺卷（三）

学校：___________姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合M={-1,0,1,2},N={1,2,3},则McN=（）

A.{1,2}B.{1,2,3）

C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

2.如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（）

3.一元二次不等式/一工一2<0的解集是（）

A.{x|x<2}B.{邓<x<2}C.{尤<-1或x>2}D.{x|-l<x<2}

4.某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法

抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）

A.6,12,9B.9,9,9

C.3,9,15D.9,12,6

log23

5.2+log2V2=（）

57l

A.—B.3C.—D.3+

22

6.下列函数中，既是奇函数且在区间（。,+8）上又是增函数的为（）

A.f（x）=x2B./（x）=2T

C./（x）=log2xD.〃力=尤3

7.连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（）.

A.只有2次出现反面B.至少2次出现正面

C.有2次或3次出现正面D.有2次或3次出现反面

8.已知一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（）

A.辿%B.4岳C.8万D.12万

3

9.已知。>万，则下列不等式中成立的是（）

A.2">2"B.ab>b-C.a2>b2D.-<|

ab

10.平面向量a=（l,-2）,。=（2,加），若d//6，则（）

A.73B.2C.乖D.76

11.已知函数y=3sin2x的图象为C,为得到函数y=3sin（2x+1］的图象，只需把C上的所有点（）

7T

A.纵坐标不变，横坐标向左平移行个单位

7T

B.纵坐标不变，横坐标向右平移正个单位

C.纵坐标不变，横坐标向左平移2个单位

D,纵坐标不变，横坐标向右平移个单位

12.下列说法正确的是（）

A.若卜|<印贝立<力B.若“，6互为相反向量，贝必+6=0

C.空间中两平行向量相等D.在四边形A8CZ）中，AB-AD=DB

二、填空题

13.已知sin（z<0,cos«>0,则&是第象限角.

14.若x>2,则x+工的最小值为__________.

x-2

15.函数,⑴=-3sin的+］的最小正周期是2无，则。=

⑹已知小）=［Ui）（x>2），则/（“5））=——•

17.设向量°,b的夹角的余弦值为g,且忖=1,M=3,则（2a+今6=.

18.为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到1cm）,

并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过168cm的男生的人数为.

试卷第2页，共4页

三、解答题

19.如图，在△ABC中，ZA=30°,。是边A8上的点，CD=5,CB=1,DB=3

c

(1)求4CBD的面积；

(2)求边AC的长.

20.某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季.经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量(单

位：mm)依次达到12.1,12.0,10.4,10.5,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1.记这组数据的第40百分

位数与平均数分别为肛元.

⑴求加，无；

(2)己知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲、乙两种植物，当月降水量低于

12.0mm时甲种植物需要浇水，当月降水量低于150mm时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲、乙两种植

物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率.

21.某城市出租车，乘客上车后，行驶3km内(包括3km)收费都是10元，之后每行驶Um收费2元，超

过15km,每行驶1km收费为3元.

(1)写出付费总数》与行驶路程x收费之间的函数关系式；

(2)乘客甲需要乘坐出租车与在15km处等候的乘客乙共同到达20km处的目的地，当出租车行驶了15km

后，乘客甲和乙有两种选择：两人一起换乘一辆出租车或者继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km路程，

请给出你对甲和乙的选择建议，并说明理由.

22.如图所示，四棱锥P-ABCE)的底面ABC。是矩形，尸3，底面ABC。，AB=BC=3,BP=3,CF=|cP,

DE=-DA.

3

⑴证明：E尸P平面

(2)求直线PC与平面AD尸所成角的正弦值.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】根据交集运算求解.

【详解】由题意可得：MCN={1,2}.

故选：A.

2.A

【分析】利用概率公式计算即可得.

41

【详解】共有8个数，其中偶数的个数为4个，故P=9=

82

故选：A.

3.D

【分析】运用一元二次不等式的解题规则进行求解.

【详解】解：即为("2)(x+l)<0,

所以不等式X2-X-2<0的解集为何-1<x<2}.

故选：D.

4.D

【分析】按照分层抽样计算规则计算可得.

【详解】依题意高一抽取27x知=9人，高二抽取27x黑=12人，高三抽取27x簿=6

人.

故选：D

5.C

【分析】根据对数的运算可求得答案.

17

-

2-2-

故选：c.

6.D

【分析】根据哥函数，指数函数，对数函数的单调性和奇偶性逐一判断即可.

【详解】对于A,因为〃-力=*=/(力，所以函数“X)为偶函数，故A不符题意;

对于B,函数/(》)=2"为非奇非偶函数，故B不符题意；

答案第1页，共7页

对于C,函数/(x)=log2X为非奇非偶函数，故C不符题意；

对于D,=所以函数为奇函数，

又函数〃%)=尤3在区间(0,+句上又是增函数，故D符合题意.

故选：D.

7.D

【分析】根据对立事件定义判断.

【详解】连续抛掷一枚硬币3次，正面出现的次数有0』,2,3,因此事件“至少2次出现正面”

的对立事件是“正面出现0次或1次”即“有2次或3次出现反面”，

故选：D.

8.B

【分析】根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，由此可求出外接球的半径，再

根据球的体积公式，即可求出结果.

【详解】若棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，

则球的直径等于正方体的体对角线长，即2尺=庐三酉=2々，(其中R是该球的半径)，

所以尺=有，则球的体积丫=9"K=4母.

故选：B.

9.A

【分析】A选项可根据指数函数性质判断，BCD选项可以举反例得出.

【详解】A选项，根据指数函数y=2*(xeR)单调递增可知，a>6=2">2〃，A选项正确；

BCD选项，取。=1力=-1,B选项变成-1>1,C选项变成1>1,D选项变成1<-1,BCD

均错误.

故选：A

10.C

【分析】利用向量平行求出加，再利用模长公式求解答案.

【详解】因为a//b，所以lxm=-2x2,解得m=T,所以。-6=(-1,2),所以卜一万卜君.

故选：C.

11.A

答案第2页，共7页

【分析】利用三角函数图象变换可得出结论.

【详解】因为y=3sin[2x+1]=3sin21尤+三]

为得到函数y=3sin（2x+费的图象，只需把C上的所有点纵坐标不变，横坐标向左平移已

个单位，

故选：A.

12.D

【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D.

【详解】对于A,向量不可以比较大小，所以A错误；

对于B,若a,b互为相反向量，则a+b=O，故B错误；

对于C,两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误；

对于D,四边形4BCD中，AB-AD=DB>故D正确.

故选：D

13.四

【分析】由三角函数的正负，判断角所在的象限；

【详解】sina<0,角a在第三，四象限和y轴非正半轴；

costz>0,角a在第一，第四象限和无轴非负半轴；

综上可知，满足sina<0,且cos<2>0,则a是第四象限.

故答案为：四

14.4

【分析】利用基本不等式求最值.

【详解】由已知x>2,得x-2>0,

所以x+」一=尤-2+—'―+222、/-2）•——+2=4,

x—2x—2vx—2

当且仅当x-2=二，即x=3时，等号成立，

x-2

故答案为：4.

15.±1

【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可.

【详解】因为函数/（无尸基也加+弓的最小正周期是2兀，

答案第3页，共7页

2兀。

所以可得同=2兀，解得0=±1,

故答案为：±1.

16.-##0.5

2

【分析】利用分段函数的解析式，结合指数与对数的运算即可得解.

［详解］因为=蓝)，

log3(x-2),(x>2)

所以/(5)=log33=l,所以/(/(5))=/(1)=2T=；.

故答案为：.

17.11

【分析】设a与6的夹角为凡依题意可得cos0=g,再根据数量积的定义求出a.6,最后

根据数量积的运算律计算可得.

【详解】解：设a与6的夹角为，，因为a与6的夹角的余弦值为g,即cos6=；,

又W=l,W=3,所以。.6=瓦忖8$。=卜3*：=1,

所以(2a+b)力=2eb+62+=2x1+3?=11.

故答案为：11.

18.64

【分析】根据频率分布直方图得到身高超过168cm的频率，再乘以样本容量100可得答案.

【详解】由频率分布直方图可知,组距为4,由于结果精确到1cm,故后三组身高超过168cm,

身高超过168cm的频率为4x(0.07+0.06+0.03)=0.64,

故身高超过168cm的学生人数为100x0.64=64.

故答案为：64

19.(1)1^；(2)56

4

【分析】(1)由余弦定理求得cosB,即可得出sinB,再由面积公式即可求解；

(2)由正弦定理即可求解.

【详解】(1)在△CBD中，由余弦定理可得cos3=-,

2x3x714

答案第4页，共7页

则sinB=71-cos2B=

14

=4x7又巫兽B

2,CBD2144

（2）在ABC中，由正弦定理得空；•=4%,

sinAsinB

7_AC

即J.1%8，解得AC=56.

2IT

20.⑴m=12.3mm,%=13.5mm；

12

⑵甲、乙两种植物都需要浇水的概率为1,二者中有植物需要浇水的概率为；.

63

【分析】（1）由百分位数、平均数求法求机，无；

（2）根据数据的频率估计所求概率即可.

【详解】（1）由数据从小到大为10410.5,12Q12.1,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1,

121+125

又10x40%=4,则第40百分位数为m=-----=12.3mm,

2

丁"皿-10.4+10.5+12.0+12.1+12.5+14.1+14.3+14.3+16.7+18.1…

平均数尤=-------------------------------------------------=13.5mm.

（2）由数据及题设知：12个月中降水量低于12.0mm有2个月，降水量低于15.0mm有8个

月，

12

所以甲、乙两种植物都需要浇水的概率为二，二者中有植物需要浇水的概率为；.

63

10,0<x<3

21.（1）y=<2x+4,3<x415；（2）两人一起换乘一辆出租车更划算.理由见解析.

3x-ll,x>15

【分析】（1）由题可知，分三段0<x〈3、3<xW15和x>15,写出y与x的函数关系即可；

（2）根据（1）中的函数关系，分别求出两人一起换乘一辆出租车和两人继续乘坐这辆出租

车的付费总数，比较大小后，选择较小者即可.

【详解】解：（1）当0<x43时，>=10；

当3<E5时，y=10+2（x-3）=2x+4；

当x>15时，y=10+2xl2+3（x-15）=3%-ll

10,0<x<3

综上所述，y=<2x+4,3<x<15

3x-ll,x>15

答案第5页，共7页

（2）若两人一起换乘一辆出租车，贝|'=34+2x5+4=48元，

若两人继续乘这辆出租车，则y=3x20-11=49,

故两人一起换乘一辆出租车更划算.

【点睛】此题考查函数的实际应用，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题

22.（1）证明见解析

⑵至

10

【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明所与平面ABP的法向量垂直即可；（2）利用空间向

量求线面角即可.

【详解】（1）由题意知，BC,BA,3尸两两互相垂直，以8为原点，BC,BA,所在

直线分别为％MZ轴