广东省广州市2023-2024学年高二年级下册基础测试数学试题（含答案解析）

广东省广州市天河中学高中部2023-2024学年高二下学期基

础测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.由A村去2村的道路有4条，由8村去C村的道路有3条，从A村经3村去C村不

同的走法有()

A.7种B.9种C.11种D.12种

2.已知=C.4,则x的取值为()

A.7B.8C.9D.10

3.”少的展开式中/的系数为()

A.15B.-15C.5D.-5

4.下列求导不正确的是()

A.(3/+cosx^f=6x-sinxB.(x-exy={x+i)ex

sinxV_xcosx-sinx

C.(2sin2x)'=2cos2xD.

x)x2

5.已知函数/(%)=%-In|%|,则/(X)的图象大致为

6.2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除

常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、

乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

7.三个数。=理，6=ln后，。=苧的大小顺序为（）

e3

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

8.使函数〃尤）=xeX-x-lnx-a在（0,e]上存在零点的实数”的范围是（）

A.B.[l,+oo）C.L+℃）D.[e,+oo）

二、多选题

9.已知（3x+2）i°=%+々1%+々2%2++aioM°,贝（）

A.%=210B.“0—4+%％+L+=1

C.%+%+〃4+L+%。=1D.展开式中二项式系数最大的项为第5

项

10.A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A.若A、8两人站在一起有24种方法

B.若A、B不相邻共有72种方法

C.若A在B左边有60种排法

D.若A不站在最左边，2不站最右边，有78种方法

11.关于函数f（x）=-+lnx,下列说法正确的是（）

X

A.尤=2是/（X）的极大值点

B.函数y=/（x）-x有且只有1个零点

C.存在正整数乙使得/（x）>丘恒成立

D.对任意两个正实数外,马,且x产%,若/（占）=/（马），则%+龙2>4

三、填空题

12.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我省某农业经济部门派4位专家各自在周一、

周二两天中任选一天对某县进行调研活动的种数为,周一、周二都有专家参加调

研活动的种数为.

试卷第2页，共4页

13.已知“eN*,满足C，+2C：+22C：+.+2-C：=243,则+x+y)”的展开式中

的系数为.

Int

14.已知函数/(尤)=xe",g(x)=2xln2x,若/(玉)=8(%)=/,f>0,则；丁的最大值

为________

四、解答题

15.已知函数/(%)=炉_3公-1在x=-l处取得极值.

⑴求实数。的值；

⑵当xe~2,l］时，求函数Ax)的最值.

16.已知克)"的展开式中的第二项和第三项的系数相等.

⑴求n的值；

(2)求展开式中所有二项式系数的和；

(3)求展开式中所有的有理项.

17.已知函数=--lnx+x-2a,aeR.

⑴求函数的单调区间；

⑵若函数有两个不同的零点A,巧，求。的取值范围.

18.已知函数/(无)=尤(1"—〃7-1),m^R.

(1)若加=2,求曲线y="x)在点(e"(e))处的切线方程；

(2)当x>l时，求函数/⑺的单调区间和极值；

(3)若对于任意xe［e,e］,都有f(x)<41nx成立，求实数机的取值范围.

19.①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论:

若函数“X),g(x)的导函数分别为尸(x),g'(x),且映〃x)=!吧g(x)=o,则

/Wr(x)

lrim—二hrm—；

②设a>0,左是大于1的正整数，若函数〃无)满足：对任意工目0同，均有〃》号/(£|

成立，且理〃尤)=。，则称函数〃x)为区间［。,可上的左阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

⑴证明〃x)=x3-3x不是区间［0,3］上的2阶无穷递降函数；

1

(2)计算：+;

⑶记了0=笠邛，代10'3；求证：〃')>L

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】根据分步乘法计数原理，第一步由A村去3村的道路有4种走法，由8村去C村的

道路有3种走法，一共3x4种走法.

【详解】由分步乘法计数原理知有4x3=12种不同的走法.

故选：D.

2.D

【分析】利用组合数的性质求解即可.

【详解】=/，且X+2XX-4

根据组合数的性质，x+2+x-4=18

解得x=10.

故选：D.

3.C

【详解】二项式(1+展开式的通项为(r=0,l,2,3,4,5),

故展开式中尤2的系数为C；-C；=10-5=5.

故选：C.

4.C

【分析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断.

【详解】A：(3x2+cosx)=(3x2y+(cosx)'=6x-sinx;

B：(工.靖)=(x)rex+x(exy=ex+xex=(1+x)ex;

C：(2sin2x)=2cos2xx2=4cos2x;

D.(sin%)_(sin%)’•%—sinx・(%)’_xcosx-sinx

IXJx2x2

故选：C.

5.A

【详解】函数的定义域为xwO,当％<。=/(%)=X-ln(-%),为增函数，故排除B,D,

1丫-1

当％>0=/(%)=%—In%,f(%)=1—=-----,x>1,fr(x)>0.0<x<1=>f\x)<0

xx

故函数是先减后增;

答案第1页，共11页

故选A.

6.B

【分析】分成恰有2个部门所选的旅游地相同、4个部门所选的旅游地全不相同两类，再应

用分步计数及排列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数.

【详解】①恰有2个部门所选的旅游地相同，

第一步，先将选相同的2个部门取出，有C；=6种；

第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有A：=120种,

根据分步计数原理可得，方法有6x120=720种;

②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有A：=360种,

根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同

的方法种数共有720+360=1080种.

故选：B

7.D

【分析】构造函数〃尤)=上之，尤>0,利用导数求单调区间，由单调性即可比较.

尤

ln3

【详解】“考,『6*殍V

t己/(无)=7，x>0,则

令((切=—?<0,解得X>e,所以/⑺在(e,+“)上单调递减,

因为3<4<e2,所以/(3)>/(4)>/(e2),即q<b<c.

故选：D

8.B

【分析】利用二次导数判断了'(x)的单调性，结合零点存在性定理可判断函数/'(X)单调性,

并求出最小值，结合题意即可求解.

【详解】尸(x)=e-」=(尤+1)|e'1

C----,--xe(O,e],

XIX

记g(x)=e'-j则g'(x)=e，+(>0,

所以g(x)=e-J在(0,e］上单调递增,

答案第2页，共11页

又g[£|=&_2(0,g(l)=e_l〉0,

所以存在％e(O,e],使得g(x())=ef---=0,即=l,x0=-lnx0,

所以,当xe(O,x0)时，g(x)<0,BPr(x)<0,/(x)单调递减,

当无时，g(x)>0,即/'(x)>0,/(x)单调递增.

所以当X=Xo时，〃尤）取得最小值-x0-111^-0=1-0,

又当X趋近于。时，/（X）趋近于+8,

所以，要使“X）在（0，e]上存在零点，只需1-aVO,即a21.

故选：B

【点睛】思路点睛：利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路：

（1）利用最值或极值进行研究；

（2）利用数形结合思想研究；

（3）构造辅助函数进行研究.

9.AB

10

【分析】设〃x）=（3x+2）°=%+小+耍2++a10x,利用赋值法可判断ABC选项，利

用二项式系数的单调性可判断D选项.

【详解】设〃x）=（3x+2）i°=%+OyX+%%2+..+Q]0%1°.

对于A选项，%=40)=21°,A对；

对于B选项，4—6+a2—/++%o=/(―1)=(13+2)-1fB对；

/(1)=CLQ+%+6?2+/+-+40=5")

对于C选项，,

f(-1)=%-Q]+出—03++々10=1

所以，++.M-C错；

对于D选项，展开式共11项，展开式中二项式系数最大的项为第6项，D错.

故选：AB.

10.BCD

【分析】根据分类加法，分步乘法原理，结合排列的相关知识点，对选项一一分析.

【详解】对于A,先将A,8排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全

答案第3页，共11页

排列，由分步原理可知共有寓4=48种，所以A不正确；

对于B,先将A,8之外的3人全排列，产生4个空，再将A,8两元素插空，所以共有团段=72

种，所以B正确；

对于C,5人全排列，而其中A在8的左边和A在8的右边是等可能的，所以A在8的左边

的排法有:团=60种，所以以C正确；

对于D,对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有阂=24种，另一

个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后8从除最右边

的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，即闻闻羯=54,由分类加法原理可知共有

24+54=78种，所以D正确，

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：捆绑法解决相邻问题，插空法解决不相邻问题.

11.BD

【分析】分析“X)导函数可作判断A；考查函数y=f(x)-x的单调性可作判断B；分离参

数，再分析函数以以最值情况而作出判断C；构造函数g(x)=/(x)-/(4-x)(0<x<2)讨论

X

其单调性，确定g(x)>0即可判断D.

X—9

【详解】对于A,7*)定义域为(0,+切，/'(尤)=一7二+±1=一，

XXX

0<x<2时,r(尤)<0,尤>2时［(x)>0,x=2是/⑴的极小值点，A错误;

龙2—Y+2

对于B,令/?(X)=/(x)-x,〃(x)=-----Z---<0,

/7。)在(0,+8)上递减，/2(l)=l>0,/2(2)=ln2-l<0,〃(x)有唯一零点，B正确；

c人/、/(尤)2Inx、xlnx-x+4

对于C,令e(x)=^^=r+——,"(x)=------7-----，

XXXX

令尸(x)=xln尤-x+4,F'(x)=ln尤,xe(0,1)时,F'(x)<0,xe(1,-K»)时,F'(x)>0,

尸(无)在(0,1)上递减，在(L+◎上递增，贝”(电如=>(1)=3>0,

0(x)<0,9(尤)在(0,+8)上递减，e(x)图象恒在x轴上方，

与x轴无限接近，不存在正实数左使得〃x)>丘恒成立，C错误；

对于D,由A选项知，/⑺在(0,2)上递减，在(2,+oo)上递增，

答案第4页，共11页

由正实数%1，%2，且%>/，/(石)=/(%2)，得。<尤2<2<%，

当。<x<2时，令g(x)=/(%)-/(4一%),

g'Q)=/\x)+尸(4-x)=可--三=—8(：*<。，即g(x)在(0,2)上递减，

x(x-4)-尤2(尤-4y

于是有g(x)>g⑵=0,从而有/(是=/(X2)>/(4-X2),

又4—%>2,所以无]>4—%,即玉+龙2>4成立，D正确.

故选：BD

12.1614

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得任选一天的种数；利用排除法去

掉周一或周二没有专家的种数.

【详解】1位专家选择调研活动的时间有2种方法，因此4位专家任选一天进行调研活动的

种数为2,=16;

周一或周二没有专家进行调研活动有2种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的种数为

16-2=14.

故答案为：16；14

13.30

【详解】利用赋值方法求出”，然后将三项式适当结合转化为二项式问题，再由二项式定理

求得含有V的项，进而进一步展开求得.

【分析】解：由题意C：+2C：+22Q++2"C：=(l+2)"=243,所以〃=5.

(x2+x+y)5=[(x2+x)+j]5中所含丁的项为C；(x2+x,y2=C|(x+1)3x3y2,

进一步展开得到x5y2的系数为C；C；=30.

故答案为：30.

2

14.—12/'

e

ta2

【分析】由已知可得占-e"=r,e^.ln2x2=?,结合函数〃x)=x-e'的图像得匹=ln2xz，

再利用导数求函数乂。=邛的最大值即可.

ln2x2

【详解】依题意，再•/1=/,t=2x2ln2x2=e-ln2x2,

答案第5页，共11页

由函数/(X)=x-e'*求导得尸⑺=0+尤)e",当X<-1时,r(x)<0,“X)递减,

当x>-l时，>0,递增，又当xe(F,0)时，f(x)<0,xe(0,+co)时，/(x)>0,

作出函数〃x)=x-e'的图象，如图：

观察图象知，当f>0时，“力=/有唯一解,而/=/'(网)=7'(1112马)，于是占=1112々，且3>0,

In/21n/21nZ.、?ln?2(l-ln八

因此^=010=丁,设〃(。=里，t>0,求导得“⑺二”)叮,

令/z'«)=0解得，=e,当0</<e时，当，>e时，

则函数g)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，〃⑺a=/《)=；,

所以——InZ的最大值为2士，

xr-x2e

2

故答案为：—

e

15.(1)<7=1

(2)最小值为-3；最大值1

【分析】(1)由题意得/'(-1)=0,代入求值即可得答案；

(2)根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的最值.

【详解】(1)函数/'(x)=尤3-3ov-ln/'(x)=3/-3。，

又函数/(x)=/_3依-1在％=一1处取得极值，

所以有f(―1)=0=>3(-1)2-3a=0^>a=l；

所以实数。的值为1,经检验符合题意；

(2)由(1)可知：f(x)=x3-3x-l^f'{x}=3%2-3=3(x+l)(x-1),

当xe(-2,-1)时，((尤)>0,函数F(x)单调递增,当xe(-l,l)时，/(无)<0,函数/⑺单调

递减，故函数在x=T处取得极大值，

答案第6页，共11页

因止匕/(-1)=(-1)3-3X(-1)-1=1,/(-2)=(-2)3-3x(-2)-1=-3,/(I)=13-3xl-l--3,

故函数f(x)的最小值为-3；最大值1.

16.(1)5

(2)32

(3)答案见解析

【分析】(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出w的值;

(2)利用展开式中所有二项式系数的和为2",即可求出结果；

(3)根据二项式展开式的通项，求出展开式中所有的有理项.

【详解】(1)的展开式的通项为■X2(r=0,

1,2,•••9〃)，

・・•展开式中的第二项和第三项的系数相等，

•*.C'•—=，即=,.,.n2—5n—0,解得〃=5或w=0(舍)；

(2)展开式中所有二项式系数的和为C?+C+C；+C；+C；+C；=25=32；

(3)二项式展开式的通项为却=仁・铲，]±=[(r=0，1，2,5),

当r=0,2,4时，对应项是有理项，

17.(1)/(耳的单调递增区间为(L+8),单调递减区间为(0,1).

e+1

(2)(—,+»)

【分析】(1)根据函数的导数求解函数单调区间即可；

(2)通过函数的导数求出函数的极值，再结合函数的单调性和零点个数问题即可求解.

答案第7页，共11页

【详解】(1)函数〃x)=[-lru+x-2a的定义域为(0,+刈，

所以=e'(x—1)_]_+]=(x—1)(,+x),尤>0,

XXX

当x>l时，/(x)>0,“X)单调递增；

当0<x<l时，­(无)<0,〃x)单调递减，

所以/'(x)的单调递增区间为。，内)，单调递减区间为(0,1).

(2)由(1)可知Ax)有极小值"D=e+l-2a,

当Xf+00,f(x)f+00,当％—0,f(x)—>+00,

要使得函数〃x)有两个不同的零点，则需一⑴<。，

e+]

即e+1—2a<0，所以〃〉---，

2

故。的取值范围为(e芸+1二收).

2

18.(1)x+y+e=0；(2)单调减区间是单调增区间是(eZ+s),极小值为一d",

无极大值；(3)卜一/，十°°j

【分析】(1)求导，代值，算出斜率即可求出切线方程；

(2)分机W0和〃7>0讨论导函数的符号，研究单调性，从而得到极值；

(3)问题转化为(x-4)lnx-(机+1)尤<。对于xe[e,e2]恒成立，再分离变量研究函数的最值

即可.

【详解】(1)f(x)=(lnx—3)x,/(e)=-2e

f\x)=--%+lnA-3=ln%-2,贝！|左=/'(e)=-1

所以y=在点(e,〃e))处的切线方程为y+2e=-(x-e)

即x+y+e=0

(2)因为=九(mwR),

所以%>0,fr(x]=--x+\nx-m-l=\nx-m

x

①当加40时，因为1>1,所以/'(x)=ln%-m>0,

函数f(x)的单调增区间是(1，+8),无单调减区间，无极值

答案第8页，共11页

②当机>0时，令In尤一m=0,解得％=萨，

当1<%<4时,Z(x)<0；当］>*,广㈣>0,

所以函数“X)的单调减区间是(l,d"),单调增区间是(e'",+s),

在区间(1,田)上的极小值为f(d")==-*,无极大值.

综上，

当机40时，函数/(x)的单调增区间是—)，无单调减区间，无极值

当机>0时，函数“X)的单调减区间是(Le"')，单调增区间是(*,+8),极小值为一无

极大值.

(3)因为对于任意尤都有/(x)<41nx成立，所以f(x)-41nx<0,

即问题转化为(x-4)Inx-(/*+l)x<。对于无e［e,/］恒成立，

即根+1>,I”-对于xe［e,e2］恒成立，

人.、(x-4)lnxEI，/、41nx+x-4

令g(x)=^————，贝ljg'(x)=-----——，

XX

令t{x}=41nx+x-4,xef~e,e2l,贝！jtf(x)=—+l>0,

L」x

所以《X)在区间［e,/］上单调递增，

故"x)min=Xe)=e-4+4=e>°,进而g'(x)>°,

所以g(x)在区间［自e2］上单调递增,

函数g(x)max=g(e)=2-与，

要使%+1>(A：lnx对于xe［e,e?］恒成立，只要根+1>g(x)max,

所以根+1>2弓，即实数机的取值范围是1I。+j.

【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题，常用的方法是通过分离变量转化为函数的最值

问题.

19.(1)证明见详解;

⑵e；

(3)证明见详解.

答案第9页，共11页

【分析】（1）根据左阶无穷递降函数的定义即可证明;

ln(l+x)

(2)记g(冗)=(1+,取对数得lng(x)=，利用洛必达法则求出吧lng（x）,然

X

后可得li耳（1+%卜的值;

（3）先证明/（/）是上的2阶无穷递降函数，可得/（/）＞/,然后证明

2"

limf1即可得证.

〃一>+8

X

【详解】（1）记尤）=/（》）-/

73

因为〃⑴--<0,

oZ8

X

所以在区间［0,3］不恒成立,

所以，/（无）=^-3%不是区间［0,3］上的2阶无穷递降函数.