2024届高考新题型2月指导卷数学试题及答案

2024届高考新题型2月指导卷

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.满足｛a｝屋/屋｛a,6,c,d｝的集合力共有

A.7个B.8个C.15个D.16个

2.设0＜、＜兀,则函数/(x)=^+—的最小值为

2sinx

A.1B.-C.2D.-

22

3.已知某4个数据的平均数为6,方差为3,现再加入一个数据8,则这5个数据的方差为

4.设直线/的方向向量为以=(1,-2,2),则向量万=(-1,1,2)在直线/上的投影向量为

122

D.分一"

5.若圆锥的内切球半径为1,圆锥的侧面展开图为一个半圆，则圆锥的体积为

Q

A.2兀B.—兀C.3兀D.4兀

3

6.十六进制是一种逢16进1的计数制.我国曾在重量单位上使用过十六进制，比如成语“半

斤八两”，即十六两为一斤.在现代，计算机中也常用到十六进制，其采用数字0〜9和字

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2

7.已知双曲线C：V-齐=1(6>0)的左右焦点分别为耳，F2,过用且与x轴垂直的直线与

C的一个交点为P,AP££的内心为效,若也里|=应，则C的离心率为

A.V2B.-C.V3D.2

2

8.若3sin。+cos0=VlO,则tan(。+—)----?----=

8tan(6+6

12

A.-7B.-14C.-D.-

77

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且2%+1=%+%+2,S.=S9,则

A.儿=0B.{2册}是等比数列

c.{S，}的最大项为SgD.{y4是等差数列

n

10.设a>0,b>0,且a+b=l,则

B.2"+2022亚

A.log2«+log2/?^-2

C.a+lnb<0D.sinasinb<—

4

11.设4一2,0),3(2,0),N(0,-^2),动点/满足^=—g，记/的轨迹为曲线C，

过坐标原点的直线交C于尸，0两点，尸在第一象限，直线PE垂直于x轴且垂足为E,

直线QE交C于G,则

22

A.C的方程为"+'=1B."0G为直角三角形

C.AP4V面积的最大值为2D.AP0G面积的最大值为g

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.写出一个同时满足①(l+i).z£R；®\z\>4的复数z=.

13.若(1+2x)6展开式的二项式系数的最大值为0,系数的最大值为6,则2=.

a

14.过抛物线/=6》5>0)的焦点厂的直线交抛物线于4,3两点，C在抛物线的准线上,

则乙4cB的最大值为；若A4cB为等边三角形，则其边长为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

甲、乙、丙三人同时对一飞行物进行射击，三人击中的概率分别为0.5,0.6,0.7.若飞

行物被一人击中，则被击落的概率为0.2；若被两人击中，则被击落的概率为0.4；若被三人击

中，则被击落的概率为0.9.

(1)求飞行物被两人击中的概率；

(2)求飞行物被击落的概率.

16.(15分)

在四棱锥P-/3co中，底面N3CD为正方形，尸/，平面/BCD,PA=AB=2,E为线

段总的中点，尸为线段3C上的动点.

(1)证明：平面4EF_L平面尸5C；

(2)若直线Z厂与平面尸48所成的角的余弦值为撞，求点尸到平面/斯的距离.

5

17.(15分)

已知在AABC与A42C中，AB=AC,/与在直线3c的同侧，AB+AC=A'B+A'C,

直线/C与直线交于。.

(1)若48=2,4C=1,求sin/的取值范围；

(2)证明：OA>OA'.

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18.(17分)

已知函数/(x)=(l+x)“-1-ax,其中x>-l,0<a<1.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若0<6<。<1,证明：aa+bb^ab+ba.

19.(17分)

国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用8x8格黑白方格相间棋盘，骨牌为每

格与棋盘的方格大小相同的1x2格灰色方格.

若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每

一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然,

我们能够举例说明8x8格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.

(1)证明：切掉8义8格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；

(2)请你切掉8x8格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种

骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；

(3)记忆x〃格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为F(m,n)，数列｛F(2,〃)｝的前"项

和为S/证明：Sn=F(2,n+2)-2.

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苏州大学2024届新高考新题型2月指导卷

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.B2.D3.C4.D

5.C6.A7.A8.B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

9.ABD10.BCD11.BD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题第一空2分，第二空3分，共15分

12.3-3i（答案不唯一）13.1214.90°；18

四、解答题：本题共5小题，共77分。

15.（13分）

解：⑴记事件4(，=1,2,3)表示“飞行物被i个人击中”,事件4G=1,2,3)分别表示“飞

行物被甲、乙、丙击中”，由题意知尸(耳)=0.5,尸(层)=0.6,尸(名)=0.7，贝U

P(A2)=P(B1B?瓦u4瓦4u瓦斗员)=P(B[B区)+P(Bl瓦员)+P(BtB2B3)

=0.5x0.6x(l—0.7)+0.5x(l—0.6)x0.7+(l—0.5)x0.6x0.7=0.09+0.14+0.21=0.44

故飞行物被两人击中的概率为0.44；

(2)记事件C表示“飞行物被击落”，由题意知尸(C|4)=0,尸(C14)=0.2,尸©4)=04,

尸(C|4)=0.9,而尸(4)=尸(斤瓦瓦)=(1一0.5)X(1—0.6)X(1—0.7)=0.06,

5

尸(4)=尸(及瓦瓦u斤瓦灰uA2瓦)=P(B[瓦瓦)+尸(瓦瓦片)+尸(瓦当氏)

=0.5x(1—0.6)x(l-0.7)+(l-0.5)x(l-0.6)x0.7+(l-0.5)x0.6x(l-0.7)

=0.06+0.14+0.09=0.29

尸(4)=尸(片层生)=0.5义0.6义0.7=0.21,从而由全概率公式得

尸©=尸(4)•尸(。4)+尸(4)・尸。4)+尸(4)•尸(。4)+尸(4)•尸©4)

=0.06X0+0.29X0.2+0.44x0.4+0.21x0.9=0.423

故飞行物被击落的概率为0.423.

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16.(15分)(本题亦可使用几何法求距离)

解：(1)在四棱锥尸-4BC。中，因为底面48cz1为正方形，所以又因为尸

平面48cD,5Cu平面/BCD,所以尸/_L5C,而尸/p|4B=Z,PA,48u平面P48,

所以BCL平面P48,又/Eu平面尸45,所以而尸/=45,E为线段尸8的中点,

所以4£_1尸8,而尸3nge=3，PB,BCu平面PBC,所以“£_L平面P3C,又因为4Eu

平面4EF,所以平面/£b"L平面尸BC；

(2)在四棱锥尸-N3CD中，因为底面4BCD为正方形，所以48，/。，又因为尸NJ_平

面48cD,AB,4Du平面/BCD,所以48,AD,4P三条直线两两垂直，从而以力为坐

标原点，AB,AD,4P分别为x轴，》轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系/-乎，

设AF=f(0WtW2),则尸(2/0),^(0,0,0),5(2,0,0),z

尸(0,0,2),£(1,0,1),而力=(0,1,0)是平面尸48的一个法向量，p1

后=(1,0,1),方=(2,f,0),由直线/尸与平面尸48所成的角的

余弦值为与知’…刀…黑/3-(呼*即

,1,解得/=1,所以厂(2,1,0),AF=(2,1,0).ABx

#745

方k=0TY+Z=0

设平面的一个法向量万=(x,y,z),贝1J岁，即，不妨取x=-l,

n-AF^O[2x+y=0

则万=(-1,2,1),而万=(0,0,2),所以1J"尸.■=，!,故点尸到平面％斯的距离为立.

\n\33

17.(15分)

解：(1)在AABC中，因为/3=/C=2,A'C=l,所以/'3=2/8-HC=3,设3C=a,

\AB—AC\<tz<AB+AC

由于,所以2<a<4,由余弦定理得cos/=

\A'B-A'C\<a<A'B+A'C-2AC-AB-

1.jr

所以—I<cos4<一,从而一<兀，故0<sinZWl；

23

(2)连结44',记=/OA'A=w,在ACUH中由正弦

定理知，要证明。4>CM',只需证明〃设48=4C=b,A'B=m,

A'C=n,A'A=d,由题意知b—〃=加—b,从而在AC4H与AS44'中

由余弦定理得

b2+d2-n2m2+d2-b2/(加―6)+6(/—加2)+加(/一〃2)

cos”-cos。=

2bd2md2mbd

_(m-b\d2-bm-b2+mb+mn)_(m-b)(d+m—b)(d+b-m)

——〉u

2mbd2mbd

所以“〉e，故。4>OH.

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18.(17分)

解：(1)f'(x)=a(l+x)al-a,令g(x)=/'a)，g,(x)=a(cz-l)(l+x)^?,当0<a<l时,

g'(x)<0,_f(x)=g(x)在(-L+oo)上单调递减,又0(0)=0,所以当-l<x<0时，f\x)>0,

/(x)单调递增；当x>0时，f'(x)<0,/(x)单调递减；

(2)已知0<6Wa<l,要证明相+Z/NC?+6"，也即证明肥―/，只要证明

力00=--/在6・％<1时单调递减.h\x)=bxb-x-axa-'=axa-1(--xa-b)-当x>(2)口时，

aa

似x)W0,心)单调递减，从而只需证明62(2启，变换得bWa二"，由第⑴问知，当