2024年上海中考数学终极押题密卷1含答案

2024年上海中考数学终极押题密卷1一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（4分）下列运算正确的是（）A．4a3•3a2＝12a6 B．a2+a2＝2a4 C．（2a2b）3＝8a6b3 D．（12m3n﹣3m2）÷3m2＝4mn3．（4分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A． B．y＝﹣3x C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣1004．（4分）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，下列说法中一定正确的是（）A．甲射击成绩比乙稳定 B．乙射击成绩比甲稳定 C．甲、乙射击成绩一样稳定 D．甲、乙无法比较5．（4分）绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形6．（4分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②AF：BE＝2：3；③S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）分解因式：3x+x3＝．8．（4分）已知关于x的方程2，则x＝．9．（4分）若函数y在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是．10．（4分）若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．11．（4分）将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．12．（4分）为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段新开发了器乐、戏曲、棋类三大类兴趣课程，现学校从这三类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率．13．（4分）为了解某校六年级学生的身高情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，统计数据如表：组别ABCDE身高（cm）150≤x＜155155≤x＜160160≤x＜165165≤x＜170170≤x＜175人数（人）4121086根据表格信息解决下列问题：（1）在抽样调查中，身高不低于165cm的频数为；（2）若该校六年级学生共有200人，可以估计身高不足160cm的人数为人．14．（4分）如图，在地面上的点A处测得滑雪赛道顶端点B的仰角为α度，BC＝50米，则赛道AB的长度为米（用含α的代数式表示）．15．（4分）如图，已知G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线交边AB和AC于点D、E．设，，试用xy（x、y为实数）的形式表示向量．16．（4分）点P，P′分别为在正六边形ABCDEF内，外一点，且PA＝2，PB＝P′B＝4，P′A＝2，∠P′BA＝∠PBC，则∠BPC的度数为．17．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H，若AB＝12，DH＝5，则EG的长为．18．（4分）如图，在矩形OABC中，点A和点C分别在x轴和y轴上，点B（9，6）．点D（5，0），P从A点出发，沿A→B→C运动，在运动过程中，点P坐标为时，△ODP是等腰三角形．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径．（1）用尺规作图的方法作出垂直平分半径OA的弦CD；（2）连接BC、BD，试判断△BCD的形状，并证明你的结论．22．（10分）某县为响应国家脱贫攻坚的号召，大力发展本地特色产业﹣﹣﹣夏橙培育．五月份即将进入夏橙采摘期，某公司经过多轮竞标获得60吨夏橙转运权，负责运往M市，该公司中标的夏橙转运初始价为800元/吨．已知该公司安排了A、B、C型货车20辆用于装运夏橙，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示：车型ABC最大装载量（吨）5吨3吨2吨运输费用（元/辆）20001500800规定所有夏橙必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时B型车的装载量不超过A型车和C型车的装载量总和，同时A型车的数量不超过6辆，设这次运输使用A型车x辆，B型车y辆，根据以上信息回答下列问题：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设此次转运的利润为Q（元），求Q与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润；（利润＝转运初始费用﹣运输费用）（3）由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆A型车的运输费用要增加a元，该公司在本次转运中获得的最大利润为18600元，请求出a的值．23．（12分）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣2x+3经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），是否存在△PCD是以CD为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．25．（14分）已知：如图，在⊙O中，∠PAD＝∠AEP，AF＝CF，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点G．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AG＝4，tan∠DAG＝2，求△ADE的面积；（3）在（2）的条件下，求DQ的长．

2024年菁优上海中考数学终极押题密卷1参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】同类二次根式．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】利用同类二次根式定义判断即可求出所求．【解答】解：2，当a＝5时，3；a＝15时，2；当a＝21时，，则符合条件的正整数a有3个．故选：C．【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．2．（4分）下列运算正确的是（）A．4a3•3a2＝12a6 B．a2+a2＝2a4 C．（2a2b）3＝8a6b3 D．（12m3n﹣3m2）÷3m2＝4mn【考点】整式的混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，整式的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、4a3•3a2＝12a5，故A不符合题意；B、a2+a2＝2a2，故B不符合题意；C、（2a2b）3＝8a6b3，故C符合题意；D、（12m3n﹣3m2）÷3m2＝4mn﹣1，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．（4分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A． B．y＝﹣3x C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣100【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；正比例函数的性质．【专题】综合题；函数思想；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；符号意识；应用意识．【答案】B【分析】A：k＝﹣1＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大；B：k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小；C：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小；D：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小．【解答】解：A：∵k＝﹣1＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大，∴不符合题意；B：k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，∴符合题意；C：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小，∴不符合题意；D：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小，∴不符合题意；故选：B．【点评】本题综合考查二次函数、反比例函数、正比例函数的性质，掌握这几种性质的应用及区别是解题关键．4．（4分）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，下列说法中一定正确的是（）A．甲射击成绩比乙稳定 B．乙射击成绩比甲稳定 C．甲、乙射击成绩一样稳定 D．甲、乙无法比较【考点】方差；算术平均数．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】B【分析】根据方差的意义求解即可．【解答】解：∵S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，∴S甲2＞S乙2，∴乙射击成绩比甲稳定，故选：B．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．（4分）绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【考点】等腰梯形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；梯形；推理能力．【答案】B【分析】过A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，则∠AED＝∠AFB＝90°，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，根据全等三角形的判定得出△AED≌△AFB，根据全等三角形的性质得出AD＝AB，再根据菱形的判定得出即可．【解答】解：设重叠部分的图形是四边形ABCD，过A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，则∠AED＝∠AFB＝90°，∵丝带的对边平行且宽度相同，∴AE＝AF，AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，在△AED和△AFB中，，∴△AED≌△AFB（AAS），∴AD＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，即重叠部分的图形是菱形，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定和全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．6．（4分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②AF：BE＝2：3；③S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和性质，菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理一一判断即可．【解答】解：由题意可知，AB∥CD，AB＝CD．∵EC垂直平分AB，∴OA＝OBABDC，CD⊥CE，∵OA∥DC，∴△AEO∽△DEC，∴，∴AE＝AD，OE＝OC，∵OA＝OB，OE＝OC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵AB⊥EC，∴四边形ACBE是菱形，故①正确，∵OA∥CD，∴△AFO∽△CFD，∴，∴，故②错误，设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，∴四边形AFOE的面积＝△AOF的面积+△AOE的面积＝4a，△ODC的面积＝△OFC的面积+△CDF的面积＝6a，∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故③正确．综上所述，正确的结论是①③，共有2个．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形对应边成比例、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）分解因式：3x+x3＝x（3+x2）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】整式；运算能力．【答案】x（3+x2）．【分析】用提取公因式的方法因式分解即可．【解答】解：3x+x3＝x（3+x2），故答案为：x（3+x2）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．8．（4分）已知关于x的方程2，则x＝﹣3．【考点】无理方程．【专题】二次根式；一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】﹣3．【分析】方程两边平方得出1﹣x＝4，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：2，方程两边平方，得1﹣x＝4，﹣x＝4﹣1，﹣x＝3，x＝﹣3，经检验：x＝﹣3是方程的解．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．9．（4分）若函数y在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是x．【考点】函数自变量的取值范围．【专题】函数及其图象；运算能力．【答案】x．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：3﹣2x≥0，解得：x，故答案为：x．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．（4分）若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3m＞0，∴．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．11．（4分）将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝3（x+2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】y＝3（x+2）2+3．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+3．故答案为：y＝3（x+2）2+3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．12．（4分）为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段新开发了器乐、戏曲、棋类三大类兴趣课程，现学校从这三类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到“戏曲”和“棋类”的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：设器乐、戏曲、棋类分别记为A，B，C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“戏曲”和“棋类”，即B和C的结果有2种，∴恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．13．（4分）为了解某校六年级学生的身高情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，统计数据如表：组别ABCDE身高（cm）150≤x＜155155≤x＜160160≤x＜165165≤x＜170170≤x＜175人数（人）4121086根据表格信息解决下列问题：（1）在抽样调查中，身高不低于165cm的频数为14；（2）若该校六年级学生共有200人，可以估计身高不足160cm的人数为80人．【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体．【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．【答案】（1）14；（2）80．【分析】（1）根据频数分布表中的频数进行计算即可；（2）求出样本中“身高不足160cm”的所占的百分比，估计总体的“身高不足160cm”的所占百分比，再家长计算即可．【解答】解：（1）样本中，身高在“165≤x＜170”有8人，在“170≤x＜175”有6人，所以样本中身高不低于165cm的频数为8+6＝14，故答案为：14；（2）20080（人），故答案为：80．【点评】本题考查频数分布表，掌握频率是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．14．（4分）如图，在地面上的点A处测得滑雪赛道顶端点B的仰角为α度，BC＝50米，则赛道AB的长度为米（用含α的代数式表示）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；列代数式．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】．【分析】根据题意可得：BC⊥AC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：BC⊥AC，在Rt△ABC中，BC＝50米，∠A＝α度，∴AB（米），∴赛道AB的长度为米，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15．（4分）如图，已知G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线交边AB和AC于点D、E．设，，试用xy（x、y为实数）的形式表示向量．【考点】三角形的重心；*平面向量．【专题】三角形；图形的相似；推理能力．【答案】．【分析】由三角形重心的性质，相似三角形的判定和性质，平面向量的减法公式，即可求解．【解答】解：连接AG并延长交BC于M，∵G为△ABC的重心，∴AG：AM＝2：3，∵DE∥BC，∴AD：AB＝AG：AM＝2：3，∵△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB＝2：3，∴，∵，∴（）．故答案为：．【点评】本题考查平面向量，三角形的重心，关键是掌握平面向量的有关公式．16．（4分）点P，P′分别为在正六边形ABCDEF内，外一点，且PA＝2，PB＝P′B＝4，P′A＝2，∠P′BA＝∠PBC，则∠BPC的度数为120°．【考点】正多边形和圆．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】120°．【分析】根据正六边形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝120°，进而得出∠P′BP＝∠ABC＝120°，再根据等腰三角形的性质即三角形内角和定理得出∴∠BPP′＝∠BP′P＝30°，由勾股定理求出PQ，进而求出PP′，再由勾股定理的逆定理可得∠AP′P＝90°，进而求出∠AP′B＝120°，再由全等三角形的判定和性质得出∠BPC＝∠AP′B＝120°即可．【解答】解：如图，连接PP′，过点B作BQ⊥P′P，垂足为Q，∵正六边形ABCDEF，∴AB＝BC，∠ABC120°，∵∠P′BA＝∠PBC，∴∠P′BA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP，即∠P′BP＝∠ABC＝120°，∵PB＝P′B＝4，∴∠BPP′＝∠BP′P30°，在Rt△BPQ中，∠BPQ＝30°，BP＝4，∵cos∠BPQ，∴PQBP＝2，∴PP′＝2PQ＝4，在△APP′中，AP′＝2，AP＝2，PP′＝4，∵AP′2+PP′2＝4+48＝52，AP2＝（2）2＝52，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，∴∠AP′B＝90°+30°＝120°，又∵AB＝CB，∠P′BA＝∠PBC，PB＝P′B，∴△BPC≌△BP′A（SAS），∴∠BPC＝∠BP′A＝120°，故答案为：120°．【点评】本题考查正多边形与圆，全等三角形，直角三角形的勾股定理即逆定理，掌握正六边形与圆的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理即逆定理是正确解答的前提．17．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H，若AB＝12，DH＝5，则EG的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【专题】图形的全等；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．【答案】．【分析】根据翻折的性质和直角三角形中角度关系可得BF＝AD，∠BFE＝∠ADH＝90°，∠EBF＝EFG＝∠EAG，以此可证明△BFE≌△ADH，则EF＝DH＝AE＝5，根据勾股定理可得AH＝13，观察图形可得∠A为公共角，∠AGE＝∠ADH＝90°，则△AGE∽△ADH，最后由相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H，∴∠EAG＝∠EFG，EG⊥AF，AE＝EF，AB＝BF，∠BAE＝∠BFE＝90°，∴BF＝AD，∠BFE＝∠ADH＝90°，∵∠EFG+∠BEF＝∠EBF+∠BEF＝90°，∴∠EBF＝EFG＝∠EAG，在△BFE和△ADH中，，∴△BFE≌△ADH（ASA），∴EF＝DH＝5，∴AE＝EF＝5，∵AB＝12，DH＝5，∴AH13，在△AGE和△ADH中，∠A为公共角，∠AGE＝∠ADH＝90°，∴△AGE∽△ADH，∴，即，解得：EG．故答案为：．【点评】本题主要考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握的折叠的性质是解题关键．18．（4分）如图，在矩形OABC中，点A和点C分别在x轴和y轴上，点B（9，6）．点D（5，0），P从A点出发，沿A→B→C运动，在运动过程中，点P坐标为（9，3）或（，6）时，△ODP是等腰三角形．【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形．【答案】见试题解答内容【分析】由矩形的性质可得AB∥OC，BC∥OA，可得AD＝4，分三种情况讨论，由等腰三角形的判定和性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形∴AB∥OC，BC∥OA，BC＝OA，∵点B（9，6）．点D（5，0），∴AB＝6，OA＝BC＝9，OD＝5，∴AD＝4若OD＝DP＝5，∴AP3∴点P（9，3）若PO＝PD，即点P在OD的中垂线上，且在BC上，∴点P（，6）若OD＝OP＝5，则点P（0，5），不合题意故答案为：（9，3）或（，6）【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：．【考点】二次根式的混合运算；分数指数幂；负整数指数幂；分母有理化．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】先化简负指数，再分母有理化，最后化简即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算性质是解题关键．20．（10分）解方程组：．【考点】高次方程．【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】变形组中的第一个方程，用含y的代数式表示x，把变形后的方程代入组中的第二个方程，得到关于y的二次方程，求解后再求出方程组得解．【解答】解：由①，得x＝y﹣1③，把③代入②，得（y﹣1）2+2y2＝1，整理，得3y2﹣2y＝0，解得y1＝0，y2．当y＝0时，x1＝﹣1，当y时，x2．∴原方程组得解为：，．【点评】本题考查了代入法和一元二次方程的解法．利用代入法把方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径．（1）用尺规作图的方法作出垂直平分半径OA的弦CD；（2）连接BC、BD，试判断△BCD的形状，并证明你的结论．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】作图题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）分别以点A、O为圆心，以大于OA的长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点并交于圆于点C、D；（2）由垂径定理可得到BC＝BD和△ACD是等边三角形，再由圆周角得到∠D＝∠A＝60°，即可得到△BCD是等边三角形．【解答】解：（1）如图，线段CD就是所求作的弦；（2）△BCD是等边三角形，证明如下：连接AC、OC∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径∴∴BC＝BD∵CD垂直平分半径OA∴AC＝OC∵OA＝OC∴AC＝OA＝OC∴∠A＝60°，又∵∠A和∠CDB同对弧BC∴∠CDB＝∠A＝60°∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了中垂线的作法和垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质和判定．22．（10分）某县为响应国家脱贫攻坚的号召，大力发展本地特色产业﹣﹣﹣夏橙培育．五月份即将进入夏橙采摘期，某公司经过多轮竞标获得60吨夏橙转运权，负责运往M市，该公司中标的夏橙转运初始价为800元/吨．已知该公司安排了A、B、C型货车20辆用于装运夏橙，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示：车型ABC最大装载量（吨）5吨3吨2吨运输费用（元/辆）20001500800规定所有夏橙必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时B型车的装载量不超过A型车和C型车的装载量总和，同时A型车的数量不超过6辆，设这次运输使用A型车x辆，B型车y辆，根据以上信息回答下列问题：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设此次转运的利润为Q（元），求Q与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润；（利润＝转运初始费用﹣运输费用）（3）由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆A型车的运输费用要增加a元，该公司在本次转运中获得的最大利润为18600元，请求出a的值．【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）y＝20﹣3x；（2）用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元；（3）a＝800．【分析】（1）表示出C型车的数量，从而可求y与x之间的函数关系式；（2）根据利润＝转运初始费用﹣运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可；（3）根据利润＝转运初始费用﹣运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可．【解答】解：（1）由题意得：C型车有：（20﹣x﹣y）辆，则5x+3y+2（20﹣x﹣y）＝60，整理得：y＝20﹣3x；（2）由题意得：Q＝800×60﹣2000x﹣1500y﹣800（20﹣x﹣y）＝18000+900x，∵3y≤5x+2（20﹣x﹣y），x≤6，∴，∴当x＝6时，Q的最大值为：18000+900×6＝23400（元），B型车有：y＝2辆，C型车有：20﹣6﹣2＝12（辆），答：当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元；（3）Q＝800×60﹣（2000+a）x﹣1500y﹣800（20﹣x﹣y）＝18000+（900﹣a）x，①当900﹣a＝0时，无解，故a≠900；②当900﹣a＞0时，即a＜900，则x＝6时取到最大值18600元，解得：a＝800，符合题意；③当900﹣a＜0时，即a＞900，∵20﹣x﹣y≥﹣3x+20，解得：x，∴x＝4时取到最大值18600元，解得：a＝750，不符合题意．【点评】本题主要考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系．23．（12分）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【分析】（1）根据矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出AF＝EC，根据平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形，根据AE＝EC，即可得结论；（2）根据相似三角形的判定证明△ADG∽△EAB，再根据相似三角形的性质得出比例式，再代入求出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝EC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根据勾股定理，得AE5，∵四边形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴△ADG∽△EAB，∴，即，∴DG．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能熟记矩形的性质和相似三角形的判定定理是解此题的关键．24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣2x+3经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），是否存在△PCD是以CD为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点Q（1，2）；（3）存在，点P的坐标为：（，）．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）如下图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点Q，则此时，△ACQ的周长最小，即可求解；（3）由直线CD的表达式知，tan∠CDA＝2，则tan∠TRD，得到直线TP的表达式为：y（x），进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），由一次函数的表达式知，点C、D的坐标分别为：（0，3）、（，0），将点C的坐标代入抛物线表达式得：3a＝﹣3，则a＝﹣1，即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①；（2）如下图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点Q，则此时，△ACQ的周长最小，理由：△ACQ的周长＝AC+CQ+AQ＝AC+BQ+CQ＝AC+BC为最小，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，即点Q（1，2）；（3）存在，理由：取CD的中点T（，），过点T作直线TR⊥CD交x轴于点R，交抛物线于点P，则点P为所求点，由直线CD的表达式知，tan∠CDA＝2，则tan∠TRD，则直线TP的表达式为：y（x）②，联立①②得：﹣x2+2x+3（x），解得：x（舍去负值），即点P的坐标为：（，）．【点评】本题考查了二次函数的综合题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，有一定的综合性，难度适中．25．（14分）已知：如图，在⊙O中，∠PAD＝∠AEP，AF＝CF，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点G．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AG＝4，tan∠DAG＝2，求△ADE的面积；（3）在（2）的条件下，求DQ的长．【考点】圆的综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解析过程；（2）70.4；（3）．【分析】（1）如图所示，连接AC，证明∠PAD＝∠ADC得到AP∥CD，进而推出AP⊥AB，由此即可证明AP是⊙O的切线；（2）：如图所示，连接BD，根据等边对等角得到∠FAC＝∠FCA，进而推出，则∠ADG＝∠QDG，证明△AGD≌△OGD，得到QG＝AG＝4，∠DQG＝∠DAG，解直角三角形求出DG＝2AG＝8，则；连接OD，过点E作EH⊥AB于H，设圆O的半径为r，则OG＝r﹣4，利用勾股定理求出r＝10，则BQ＝12，证明△AQE∽△DQB，求出QE，解直角三角形得到EH＝2QH，进而利用勾股定理求出，再根据S△ADE＝S△ADQ+S△AEQ进行求解即可；（3）根据（2）所求即可得到答案．【解答】（1）证明：如图1所示，连接AC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∴∠AEP＝∠ADC，∵∠PAD＝∠AEP，∴∠PAD＝∠ADC，∴AP∥CD，∴AP⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴AP是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA，∴，∵，∴，∴∠ADG＝∠QDG，∵AB⊥CD，∴∠AGD＝∠QGD＝90°，又∵OG＝OG，∴△AGD≌△OGD（ASA），∴QG＝AG＝4，∠DQG＝∠DAG，在Rt△ADG中，，∴DG＝2AG＝8，∴；如图2，连接OD，过点E作EH⊥AB于H，设圆O的半径为r，则OG＝r﹣4，在Rt△ODG中，由勾股定理得OD2＝OG2+DG2，∴r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10，∴AB＝20，∴BQ＝12，AQ＝20﹣12＝8，∵∠AEQ＝∠DBQ，∠EAQ＝∠BDQ，∴△AQE∽△DQB，∴，即，∴QE，∵∠EQH＝∠DQG＝∠DAG，∴在Rt△EQH中，tan∠EQH2，∴EH＝2QH，∵EH2+QH2＝QE2，∴4QH2+QH2，∴，∴，∴S△ADE＝S△ADQ+S△AEQAQ•DGAQ•EH8×88＝70.4．（3）解：由（2）得DQ．【点评】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

考点卡片1．分数指数幂分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．2．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．3．整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．4．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．5．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．6．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①；②．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．7．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．8．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．10．高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．11．无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．12．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．13．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．14．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．15．正比例函数的性质单调性当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．对称性对称点：关于原点成中心对称．[1]对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．16．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．17．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．18．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．19．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．20．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．21．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）22．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．23．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．24．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．25．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．26．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．27．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．28．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．29．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．30．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．31．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．32．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．33．*平面向量平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．34．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．35．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．36．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角