2024年全国卷高考文数模拟试题及答案

文科数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知M,N是全集U的非空子集，且MlCuN,则

A.NUMB.M=NC.CuMUCuND.N口CUM

2.若复数z满足（l+i）z=—2+i,则z=

A1,3.R1,3.r31.n31.

B.—2+51c-7+T'D.万一51

3.已知非零平面向量a,b,那么“a〃b”是“|a-b|=|a|一历|”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知实数支.满足不等式组了+»22,则z=2x+y的最小值为

A.2B.3C.4D.6

5.记AABC的内角A,B,C所对的边分别为。",八。=44=6,口=5，则4（:边上的高为

O

6.已知某物种，年后的种群数量》近似满足函数模型：»=加-'（部＞o）.自2023年初

起，经过n年后（“GN，）,当该物种的种群数量不足2023年初的20%时，〃的最小值为（参考

数据:In5^1.6094）

A.1OB.llC.12D.13

一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题第1页（共4页）

7.关于三条不同直线a,6"以及两个不同平面7,3,下面命题正确的是

A.若a〃九6〃八则a〃6B.若。〃y,6J_7,则b_La

C.若&〃则aUD.若aU7,bU7,且则Z±y

8.已知函数/（z）=在区间［0,门上是减函数，则实数a的取值范围是

A.(—8,2]B.(—8,0]C.[2,+8)D.[0,+8)

9.函数，（工）=5由（21+8（卬>0）的图象向左平移微个单位长度得到函数8（工）的图象，若函数

o

g（z）是偶函数，则夕的最小值为

八兀c六c57r—2冗

A.-B.-C.-D.—

6363

10.过点（2,0）作曲线/（7）=11的两条切线，切点分别为（小，f（⑥）），（％2，/（12）），则

XiX2=

A.—2B.-1C.lD.2

11.已知数列｛。”｝的前〃项和为5.,若〃=1,%+1=25.（管£!>1・），则有

A.数列｛-｝为等差数列B.数列｛%｝为等比数列

C.数列｛S“｝为等差数列D.数列｛S”｝为等比数列

12.已知函数/（工）是定义域为R的非常数函数,f（z+l）为偶函数,八4一工）=八工），则

A.函数”工）为偶函数B./（z）关于点（1,0）中心对称

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

10g2（%+1），1>。，

13.已知函数/（4）=则，（-5）的值为________.

f（力+2）,%<0,

14.已知a满足sina+2cosa=09则tan2a=.

15.若各项均不为0的数列｛a.｝满足S=_且a1=4,则"23=

a”a”十1乙---------

16.在棱长为4的正方体ABCD-A.B.C.D.中，P为的中点，过直线A.C作与平面

PBC平行的截面，则该截面的面积为.

一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题第2页（共4页）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为

必考题，每个试题考生都必须作答。第22.23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）已知等比数列｛*｝的前〃项和为S.,且说=30,S,=30.

（D求数列｛6｝的通项公式;

（2）若图=log2a”+1+a”，求数列出“｝的前〃项和T”.

18.（12分）已知向量/«=,/(x)=m,n.

（1）求函数/（z）的单调增区间;

⑵若f（3Z）—l=0（3>0）在0,4上有唯一解，求S的取值范围.

0

19.（12分）如图，棱台ABCD-A'B'C'D'中，AA'=BB'=CC'=DD'=^，底面ABCD是边

长为4的正方形，底面A'B'C'D'是边长为2的正方形，连接AC',BD,DC'.

（1）证明：AC'_LBD；

（2）求三棱锥D—BCC'的体积.

20.（12分）如图，在平面凸四边形ABCD中，AB=2BC=2,AD=CD,NADC=?,M为BC

U

边的中点.

（1）若NABC=M，求△ACD的面积;

O

（2）求DM的最大值.

D

一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题第3页（共4页）

21.(12分)已知函数/(x)=x(alnz—z—1),其中a£R.

(1)当a=l时，求证"(z)在(0,+8)上单调递减；

(2)若f(x)+z=0有两个不相等的实数根不，以，求实数a的取值范围.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程1(10分)

(X=5sina,

在直角坐标系zOy中，曲线C的参数方程为(a为参数)，以原点。为极点,工轴

y=3cosa

非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为p

sin[e-«

(1)求曲线C的普通方程；

(2)直线2与曲线C交于两点，P(—l,2),求IIPAI-IPBI|的值.

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

(D求不等式|工一1|+|工一2|15的解集;

(2)已知a",CGR+,且a+6+c=l,求证:

一轮复习联考(三)全国卷文科数学试题第4页(共4页)

1.D【解析】因为M,N是全集U的非空子集，且MNCuN,所以韦恩图为:

由韦恩图可知，D正确.故选D.

2.B【解析】因为（1+Dz=—2+>所以2=子?=^^=匚尸=—5•故选B-

3.B【解析】由孱一bl=lai—及向量的减法法则，可得向量。与b平行且同向；若。〃b,可得向量a"平行且同

向或者反向,因此或〃严是“|a—1=此I—B］”的必要不充分条件.故选B.

4.B【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，当z=0时，画出初始目标函数表示的直线2了+a=（）,平移目标函数

后，当直线过点C（L1）时*取得最小值,？mm=2Xl+l=3.故选B.

5.D【解析】由62=>+1—2accosB=28,得6=2夕，设AC边上的高为九，因为S—BC=；acsmB=，所

…,acsinB6v21,,,,,“6v21,,、山一

以A=一,—=［^,即artAAC边上的高为.故选D.

6.D【解析】根据题意得2023年初。=0）时种群数量为大。•e「"，所以由，=左。•心』。.石<20%•k0•a"，，化

简得e—<!，则„>81n5~12.9,又因为"CN',所以"的最小值为13.故选D.

0

7.B【解析】对于A,因为与同一平面平行的两条直线的位置关系可以是平行，相交，异面，故不能确定两直线位置

关系是平行，故A错误;对于B,若。〃九6，八则故B正确；对于C,若a〃九7，氏则a与尸可能相交，平

行或者包含，故C错误;对于D,由线面垂直的判定定理知,一条直线垂直于一个平面中的两条相交直线时，线与

面垂直，本选项不能确定a.6相交，故D不正确.故选B.

（1'Ji

8.B【解析】因为函数〃了）=可在区间［0,口上是减函数，令g（z）=s2—。了*则函数g（了）=—一°工在区

间［0,1］上是增函数，所以则a40.故选B.

9.C【解析】函数/（了）=$也（2了+中）的图象向左平移三个单位长度，得g（z）=sin121+丁十句的图象，又函数

/7T7Tjr.b7T

々（了）是偶函数,则有1'+3=归兀+万（归ez）,解得（p=kTi因为e〉。,所以当k=\时，W取最小值石.

故选c.

一轮复习联考（三）全国卷文科数学答案第1页（共6页）

10.A【解析】由题意得/'(z)=(;r+l)e"过点(2,0)作曲线/(z)=zeH的两条切线，设切点坐标为(£。，£。1。)，

贝！J(io+1)-=-----，即(与一210—2)e%=0,由于—。〉0,故加一2久()-2=0,A=12>0,由题意可知,J:2

比0一/

为万一2久0—2=0的两个解，故久1+久2=2,久1比2=-2.故选A.

11.D【解析】由题意，数列｛〃”｝的前n项和满足Q〃+i=2S〃(7?eN*),当时，a”=2S“—i,两式相减，可得an+i

—%=2(S〃一S"_i)=2%,可得an=3%,即2」=3(〃>2)，又由“1=1,当n=l时，Q2=2SI=2,所以巴■=

ClnQ1

2,所以数列｛%｝的通项公式为%=故数列｛-｝既不是等差数列也不是等比数列，所以A、B选

[2•3〃-2,几>2,

项错误；当n>2时，S〃=；Q“+I=3"T,又由n=l时，Si=沏=1,符合上式，所以数列｛a〃｝的前n项和为S*=

S

3"T.又由'工=3,所以数列｛S,,｝为公比为3的等比数列，故D正确.C错误.故选D.

bl

12,A【解析】因为/'(z+1)为偶函数，所以/(£+1)=/(一了+1),所以/(了)的图象关于直线工=1对称，

/(z+2)=/(—工).又因为/生)不是常数函数,/(z)不恒等于0,所以/(1)不关于点(1,0)中心对称，B错误；

因为/(4—z)=/(z),所以/(2+z)=/(2—z),所以/(z)的图象关于直线z=2对称.所以由

(/(2—z)=/(z+2)，A(5、

得/'(£+2)=/(z),所以〃了)是周期为2的函数，故/。：+2：,C错

[/(■z+2)=/(—z),"U

〃(z+2)=/O),

误,D错误，由得八一z)=/(z),所以/(£)为偶函数，A正确.故选A.

1—(―+2)=/(—x)?

13,1【解析】由题意可得：/(—5)=/(—3)=/'(—l)=/(l)=log22=l.

4/口_.2tana2X(-2)4

14.—【角牛析】由sinQ+2cos。=0,得tanQ=­2,贝ljtan2a=---z—=.

31—tan%1—43

15.-^-【解析】根据题意可得:%—a“+i=a”+w"，则'一'=1,故数列是首项为2,公差为1的等差数

2024a„+ia„(a„)

歹lj,则一=?z+1,a„=,1，故02023=77^7-

a„〃十1Z0Z4

16.876【解析】取AB.DiG的中点，分别记为乂。，连接人'.防3(?<,'-旦\4.因为A1P〃NCi，AiP=

Ng,所以四边形AjPGN是平行四边形，所以AiN〃PCi，AiN=PC»因为PM〃CC】.PM=CC1,所以四

边形PMC。是平行四边形，所以MC〃PCi,MC=PCi,所以AiN〃MC,AiN=MC,所以四边形A.MCN

是平行四边豚因为PCl〃AlN,PClU平面A|MCN,A|NU平面A|MCN,所以PQ〃平面AjJWCN,同理可

证PB〃平面AiMCN,因为PC1口回8=「产仁，28(=平面1>8的，所以平面13口。1〃平面41乂。?^,因此过直

线AC作与平面PBC1平行的截面，即是平行四边形A1MCN,连接MN,作AiH_LMN于点H,由A1M=

A】N=V42+22=2-/5,MN=+N=442，可得H=(2\/5")2(2^2")"=2奈)，所以S△AIMN=万X

MNXAiH=；X4"X2遮=4而，所以平行四边形AiMCN的面积为2s^.=8而.

一轮复习联考(三)全国卷文科数学答案第2页(共6页)

17.解：（1）设等比数列｛a一的公比为q,依题意qWl,

<21(g4—1)=30,

于是<a(1—q4)解得％=2,q=2,.....................................................................................................................3分

―.............=30,

1—q

所以数列｛aj的通项公式为即=aiqki=2X2”T=2〃・..........................................................................................6分

(2)由(1)知，勾=log2a”+i+a”=log22"+i+2”=相+1+2”,.................................................................................8分

2+(7?+1)〃+=2=T+2”+-2.

所以T12分

n2

所以/'(久)=帆•〃=2sin21一己)+V^sin[2久一f)..............................................................................................1分

=1-cos(2久一看)+V5~sin[2x-；]=2sin(2i—1)+1......................................................................................3分

由-5+2%冗《2久一■!"<5+2%冗花GZ,....................................................................................................................4分

所以了（其）的单调增区间为一言+匹考+匹"GZ...........................................................................................6分

(

(2)由f(vx)—1=0,得2sin(2cojr—?)+1=1,得sin1231-?1=0,7分

由9分

因为/（⑦1）-1=0（s〉0）在0,上有唯一解,

ll>\>72(f)TZ7T"..

所以oW——@<兀，..........................................................................11分

解得;Ws<2,故S的取值范围是.......................................................12分

乙LJJ

19.（1）证明：如图，连接AC交BD于点O.

D'C

一轮复习联考（三）全国卷文科数学答案第3页（共6页）

由题意可知该几何体为正四棱台，在正方形ABCD中，BDLAC.....................................................................1分

取A'C'中点。'，连接。0',易知。。」底面ABCD.

因为BDU平面ABCD,所以OO'_LBD,.............................................................................................................2分

因为4€?['|0。'=0,4000'（=平面八（?。4',

所以BD,平面ACC'A'..........................................................................................................................................3分

而AC'U平面ACC'A',所以AC'_LBD..............................................................................................................4分

（2）®：SABCD=y<4X4=8,.................................................................................................................................6分

因为底面ABCD是边长为4的正方形，底面A'B'C'D'是边长为2的正方形，所以底面ABCD、底面A'B'C'D

的对角线长的一半分别为...............................................................8分

设C'H_LAC,垂足为H,所以高C'H=7(75)2-(272-^2)2=43,10分

118/3

所以VD-BCC，=VU-BCD=^BCD,CzJJ——X8X=~~~..........................................................................12分

20.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC?=AB2+BCZ—2ABXBCXcosy=4+1-2X2X1Xf-y1=7.-

..................................................................................................................................................................................2分

取AC中点N,连接DN,MN,

■：AD=CD,AD±CD,N为AC的中点，

：.DN±AC,DN=^-AC......................................................................................................................................4分

117,

则△AC。的面积S^ACD=万XACXQN==了..............................................5分

(2)设NABC=Q,NBAC=£.

・・・M,N分别为边BC,AC的中点，

:.MN〃AB,MN=;AB=1,/MNC=NBAC=1...........................................................................................6分

在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2—2AB•BC•cosa=5—4cosa........................................7分

由正弦定理父=生，

sinasinp

/日.八BC•sinasina八

得sm£=———=.................................................................................................................................8n分

210210

在△MDN中,cos/MND=cos(/MNC+/CND)=cosf/?+-1-j=—sin£,

一轮复习联考（三）全国卷文科数学答案第4页（共6页）

由余弦定理，得DM2=MN2+DN2—2MN-DN-cosZMND

=l+4AC2+2Xlx4-ACXsinB

42'

|]sinQ

=1+—X(5—4cosa)+2X1X—ACX■.

4NACz

9,.

=——cosa-psina,.............................................................................

4

=-^-+72-sin(Q—孑]，其中0＜。＜兀，

当Q—孑=。即7r时，DM有最大值：

.♦.DM长度的最大值为箕里................................................................12分

21.(1)证明x—x—1)=axlnx—JC2—x的定义域为(0,+8),

当a=1时,/''(1)=In久一2a..........................................................................................................................................1分

11—2T

设g(JC)=In久一21，贝I]g'(1)=———2=--------,

xx

由g（i）=0,得久=5,当0〈zV!时，/（了）＞0；当1〉:时，『（£）＜0.

.•送⑴在卜力上单调递增年^^+可上单调递减，............................................3分

.,.g（z）的最大值为gt）=ln1=一国2—1＜0,

.•.g（x）V0,即/'（z）＜0在（0,+8）上恒成立，...................................................4分

，/（£）在（0,+8）上单调递减...................................................................5分

（2）解：由/（l）+久=0,得ax\nx—x2=0.当Q=0时，得比2=0,此时两根相等，不满足题意，故a卉0,

Qlni=i=-----=——.......................................................................................................................................................6分

xa

、「/、In久/、、r.t,/、1-InJC

设4（比）=---（尤＞0），贝！］%（1）=------2，

xJC

由无'（1）=0,得1=e,

当久G（0,e）时,。（无）＞0,函数九（无）单调递增，

当zG（e,+8）时，//（K）＜0,函数/i（久）单调递减,................................................8分

有极大值也是最大值/z（e）=L.

e

当0＜久＜1时，4（x）＜0,当x〉l时，/i（1）＞0,且1-十8时，九（z）fo........................................................10分

要使/（7）+工=0有两个不同的实数根71，了2,则0＜L＜,,