普通高等学校2024届数学高二年级上册期末经典模拟试题含解析

普通高等学校2024届数学高二上期末经典模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（）

2.已知数列｛4｝的通项公式为4=」一，按项的变化趋势，该数列是（）

2n-1

A.递增数列B.递减数列

C.摆动数列D.常数列

3.在等差数列｛4｝中，若q—g—“8—%+弓5=1，则sinQ+43）的值为（）

1

A.一B.1

2

C.-lD.0

4.已知命题P：3x0>0,e勾—3%+1W0,则命题尸的否定为（）

A.V%<0,ex-3x+l>0B.Vx>0,ex-3x+l>0

C.\/x>0,/一3九+1W0D.3x>0,ex-3x+l>0

5.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有“523）个盘子，最上面

的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这〃个盘子从甲柱全部移到乙柱

游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘

子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为%,则当〃23时，4和满足

/工

A.a“+i=4a“—3nB.a“+i=4a“一1

C.«„+1=2«„+lD.a“M=2a“+〃

6.已知不等式℃2+法+°>0解集为1x|—：<x<2},下列结论正确的是（）

A.〃>0B.c<0

C.a+b+c>QD.Z?<0

7.已知抛物线C：>2=4x的焦点为产，A为c上一点且在第一象限，以歹为圆心，E4为半径的圆交。的准线于四，

N两点，且A,尸，“三点共线，则|4同=（）

A.2B.4

C.6D.8

8.已知点4、8是抛物线C：y2=4x上的两点，且线段A3过抛物线。的焦点产，若A3的中点到V轴的距离为3,

则|的=（）

A.3B.4

C.6D.8

9.用数学归纳法证明1+工+,+

+时，第一步应验证不等式（）

232—1v7

,11c

A.l+-<2B.1H--1—<2

223

111

C.l+-+-<3D.1+—+-+—<3o

23234

10.已知是两条不同的直线,%，是两个不同的平面，且a_La,aL/3,贝!1“4,6”是“人_1尸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2

11.已知椭圆。：/+乙=1,则椭圆。的长轴长为（）

4

A.2B.4

C.272D.8

12.若占、9€（0,6）且不<9，则下列式子一定成立的是（）

X]

C.玉1nxi>x2Inx2D.%!In玉<x2lnx2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线C：y2=4%,过焦点尸作倾斜角为60。的直线与。交于P,Q两点，P,。在。的准线上的投影

分别为舷，N两点,贝！JMM=.

14.若直线/经过4（2,1）,B（l,机2）两点，则/的斜率取值范围为；其倾斜角的取值范围为

15.过抛物线x2=2y焦点的直线交抛物线于A,3两点,若线段AB中点的纵坐标为4,则线段的长度为.

16.关于曲线-q+尸=4,给出下列三个结论：

①曲线。关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；

②曲线。恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于20.

其中，正确结论的序号是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在多面体A3C0EF中，四边形45a>是菱形，NABC=60。,E4_L平面A5CZ>,EO//E4,且A3=E4=2EO=2

（1）求证：平面平面E尸C；

（2）求多面体A3CZJE歹的体积

18.（12分）椭圆C：三+与=1（。>6>0）的离心率为变，递增直线L过椭圆的左焦点，且与椭圆交于A,3两

a2b22

UUU1UUL

点，若求直线L的斜率上.

19.（12分）已知抛物线丁:/=2刀（〃>0）,直线y=Ax+l交T于A、B两点,且当左=1时，|入耳=8.

(1)求，的值;

(2)如图，抛物线T在A、8两点处的切线分别与y轴交于C、D,AC和8。交于G,GC+GD+GE=O.证明:

存在实数；I,使得GE=XA3.

20.(12分)已知等比数列｛4｝满足出=6,6%+%=30.

(I)求｛4｝的通项公式；

(II)若4〉2,设bjnq(neN*)，记数列｛〃｝的前〃项和为S“，求S”.

7

21.(12分)已知等比数列｛%｝前3项和为5,2〃I一%+6%-3%=。

(1)求｛凡｝的通项公式；

z1111

(2)若对任意〃£N+，加＞一+—+—++一恒成立，求机的取值范围

n

22.(10分)设数列｛4｝的前〃项和为S“，已知％=1,。2=2,且4+2=3S“—S“+i+3,(〃eN*)

(1)证明：an+2=3a„；

(2)求S"

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条

其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.

【题目详解】如下图，正方体中如：中任意2条所在的直线都是异面直线,

•••这样的3条直线共有8种情况，

82

••・任选3条,其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为万7=石.

故选：B.

2、B

【解题分析】分析。“的单调性，即可判断和选择.

H---------1

【题目详解】因为q一-。1,显然随着〃的增大，2—-是递增的，故。〃是递减的,

2n-l2—n

n

则数列册是递减数列.

故选：B.

3、C

【解题分析】利用等差数列性质可求得。8=-?，由5皿（%+阳）=5皿（24）可求得结果.

【题目详解】由等差数列性质知：%+囚5=%+“12，••4-。4一1一42+45=一“8=I，

又〃3+%3=2%，sin（〃3+〃i3）=sin（2g）=sin[—/）=-1.

故选：C.

4、B

【解题分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果

【题目详解】命题P：3x0>0,*―3%+lWO,

则命题。的否定为ex-3x+l>0

故选：B

5、C

【解题分析】通过写出几项，寻找规律，即可得到。“和4+1满足的递推公式.

【题目详解】若甲柱有上个盘，甲柱上的盘从上往下设为％。=12，%)，其中石=々，％_1<%”后3),

当〃=1时，将毛移到乙柱，只移动1次；

当"=2时，将均移到乙柱，将巧移到乙柱，移动2次；

当〃=3时，将均移到丙柱，将巧移到丙柱，将工移到乙柱，再将多移到乙柱，将4移到乙柱，%=5;

当九=4时，将上面的3个移到丙柱，共的次，然后将乙移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共名次，所以

。4=2%+1=11次;

当”=5时，将上面的4个移到丙柱，共由次，然后将天移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共知次，所以

«5=2&+1=23次;

以此类推，可知an+1=2an+l,n>3,

故选C.

【题目点拨】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的

递推公式.

6、C

【解题分析】根据不等式依2+法+c>o解集为{x|-g<x<2},得方程“必+法+。=0的解为尤=一；或2,且

a<0,利用韦达定理即可将仇c用“表示，即可判断各选项的正误.

【题目详解】解：因为不等式依2+Zzr+c>0解集为|刈—g<x<2},

所以方程依2+Zw+c=0的解为尤=一;或2,且a<0,

b3c3

所以———,———1,所以人=—a,c=—a，

a2a2

所以匕>0,C>0,故ABD错误;

〃+Z?+C=Q—ci—a=—a>0,故C正确.

22

故选：C.

7、B

【解题分析】根据A,F,河三点共线，结合点口到准线的距离为2,得到|4V|=4,再利用抛物线的定义求解.

【题目详解】如图所示：

•••AM是圆的直径，

：.ANLMN,4V〃x轴，

又产为A"的中点，且点歹到准线的距离为2,

：.\AN\=4,

由抛物线的定义可得|A同=|AN|=4,

故选:B.

8、D

【解题分析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果

【题目详解】设4(%,%),3(九2,%)，则的中点到y轴的距离为土产=3,贝1」4同=再+々+〃=6+2=8

故选：D

9、B

【解题分析】取〃=2即可得到第一步应验证不等式.

【题目详解】由题意得，当“=2时，不等式为1+工+,<2

23

故选：B

10、B

【解题分析】根据垂直关系的性质可判断.

【题目详解】由题a±/3,则au/?或。//月,

若。，匕，则b//〃或〃up或6与£相交，故充分性不成立；

若bL0,则必有:,力，故必要性成立，

所以，於是“6的必要不充分条件.

故选:B.

11、B

【解题分析】根据椭圆的方程求出。即得解.

【题目详解】解：由题得椭圆的1=4,二。=2,所以椭圆的长轴长为2。=4.

故选：B

12>B

【解题分析】构造函数〃力=皿，利用函数“九)在(O,e)上的单调性可判断AB选项；构造函数g(x)=xlnx,

X

利用函数g(X)在(0,e)上的单调性可判断CD选项.

【题目详解】对于AB选项，构造函数/(x)=W，其中0<x<e,则/''(力==詈>0,

所以，函数/'(%)在(0,e)上单调递增，

1nxInx

因为玉、%e(0,e)且不<马，贝!1/(玉)</(%2)，即彳“<一^"，A错B对；

对于CD选项，构造函数g(x)=xlnx,其中0<x<e,贝！］g'(x)=l+lnx.

当0<x<工时，g'(x)<0,此时函数g(尤)单调递减,

e

当，<x<e时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

e

故函数g(x)=xlnx在(0,e)上不单调，无法确定g(xj与g(%)的大小关系，故CD都错.

故选:B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

I、8G

3

【解题分析】设P(玉,％),Q(W，%)，贝(1|皿乂|=|»-"|，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即得.

【题目详解】由抛物线C：V=4%可知则焦点坐标为尸(1,0),

...过焦点/且斜率为出的直线方程为y=石（X-1），化简可得X=乎y+1,

设尸（七,％）,Q（%%）,贝!J|ACV|=|为一对，

厂

fV31

由<3可得y------y-4=0f

y2=4x3

所以y\+丁2=-^，,丁2=-4

则\MN\=|丹—"|=（（%+丁2）2-4凶.一=/，（-⑹=苧

故答案为：述

3

14、（-℃,1]②.。,?39,万）

【解题分析】根据直线/经过A（2,1）,3（1,机2）两点，利用斜率公式，结合二次函数性质求解；设其倾斜角为a,

。€[0,万），利用正切函数的性质求解.

【题目详解】因为直线/经过A（2,1）,8（1,机失两点，

所以/的斜率为左=匕工=1一/VI,

2-1

所以/的斜率取值范围为（-8,1],

设其倾斜角为a,ae[O,%）,贝！JtanaWl,

所以其倾斜角的取值范围为哈3，），

故答案为：（一8,1],0,?口亭万）

15、9

【解题分析】由焦点弦公式和中点坐标公式可得.

详解】设A&,%）,3（%,乂），则必；"=4,即%+%=8,...|^5|=%+%+。=8+1=9.

故答案为：9

16、①③

【解题分析】设P（a，6）为曲线上任意一点，判断。-9、M（a-b）,N（-。力）是否满足曲线方程即可判断①;

求出曲线过的整点即可判断②；由条件利用孙w王C即可得好+丁2＜8,即可判断③；即可得解.

【题目详解】设P（a/）为曲线上任意一点，则/一M+匕2=4，

设点P关于原点、x轴、y轴的对称点分别为。（―。,一“）、M（a,-b）,N（-a,b）,

因为（一。）一（一a）（一人）+（—£＞）=a"—ab+b~=4；

a~—a（—b）+（—b）=ci~+ab+b2H4；（—a）~~（—a）b+Z?=a~+cib+b~24；

所以点。在曲线。上，点V、点N不在曲线C上，

所以曲线。关于原点对称，但不关于X轴、y轴对称，故①正确；

当x=0时，y=±2；当y=。，x=±2.

此外，当x=2时，y=2；当尤=-2时，y=-2.

故曲线过整点（0,2）,（0,-2）,（2,2）,（-2,-2）,（2,0）,（-2,0）,故②错误；

22

又无2+/—2孙=（%一y）220,所以盯W“恒成立,

22

由d—孙+/=4可得/+丁=4+孙＜4+工qL,当且仅当x=y时等号成立,

所以/+y2V8,所以曲线上任一点到原点的距离J?+y2故③正确.

故答案为：①③.

【题目点拨】本题考查了与曲线方程有关的命题真假判断，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析；

（2）秒L

3

【解题分析】（1）连接30交AC于点。，设FC的中点为P,连接OP,EP,证明5O〃EP,30,平面MIC即可推理

作答.

⑵求出三棱锥F-ABC和四棱锥C-ADEF的体积即可计算作答.

【小问1详解】

连接5。交AC于点。，设尸C的中点为P,连接OP,EP,如图，

菱形A3C。中，。为AC的中点，则OT7/E4,且OP=1E4,而ED//FA,且E4=2E。，

2

于是得OP//ED,且OP=EZ>,即有四边形。PEO为平行四边形，贝！IOZV/EP,即5Z〃/EP,

因为B4_L平面45c。，BDu平面4BCD,则E4_LRD,又四边形ABC。是菱形，即5O_L4C,

而E4AC=A,E4,ACu平面E4C,因此，5OJ_平面E4C,即EPJ_平面E4C,又EPu平面EFC,

所以平面E4C_L平面EFC.

【小问2详解】

2

由已知，一ABC是正三角形，sABC=—AB=^3,则匕ABC=』SABC-E4=2叵，

取AO的中点G,连接CG,而AACZ>为正三角形，从而有CGLA。，且CG=6，

因取_1_平面ABCD,FAu平面ADEF,则平面AOE歹_1_平面ABCD,又平面ADEF平面ABCD=AD,

而CGu平面ABC。，因此，CGJ_平面AOE尸，则点C到平面AZ>E歹的距离为百,

又“历〈（出+即）工。=3'于是得=

所以多面体ABCOE尸的体积V=%TBC+VC-MEF=¥

18、1

22

【解题分析】根据离心率写出J+[=l,设出直线L为％="-c,把直线L的方程与椭圆。进行联立消x,写

2c2c2

UUUUUL

出韦达定理，再利用AE=3EB，即可解出乙进而求出直线L的斜率h

【题目详解】—a2=2c\b2=a2-c2=c2

a2

221

二J+与=1,F(-c,0).设递增直线L的方程为x=ty-c,t=->0,

2cck

把直线L的方程与椭圆C进行联立：

[22

工+二二1

<2,2c2+2）y2-2tcy-c2=0.

x-ty-c

2

—2tc八—c人

x+①，%%=777②.

，十乙I\乙

\MMkUUL

QAF=3FB,:.y1=-3y2@.

_otctc

把③代入①中得—2%=-n%=f④-

LI乙LI4

把④代入②中得x=—：

2

——=产，=>2c=2t~c=4>t=1.

tF+2

19、（1）p=2；

（2）证明见解析.

【解题分析】（D将y=x+i代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于。的等式，即可解得正数0

的值；

（2）将丁=丘+1代入必=4〉，列出韦达定理，求出两切线方程，进而可求得点G的坐标，分左=0、左W0两种情

况讨论，在左=0时，推导出C、D、G重合，可得出4=0；在左w0时，求出CD的中点"的坐标，利用斜率关

系可得出GM//AB,结合平面向量的线性运算可证得结论成立.

【小问1详解】

解：将y=x+l代入彳2=2py得-2P=0,

设AQ,%）、3（九2，%），则A=4/+8p〉0,由韦达定理可得｛J,

[石工2=-2p

2

则=^2-X2|=0+%）~_4中=④,J4P2+8p=8，

解得p=2或。=一4（舍），故p=2.

【小问2详解】

解：将y=Ax+l代入d=分中得％2_血_4=0，

/2A/72Aa+b=4k

a

设A^4~r、Bb,—4，则A=1642+16>0，由韦达定理可得《

IJIJab=-4

对一/求导得cLx,则抛物线T在点A处的切线方程为y—三=@（x—a）,

242

2

即,=%，，①

24

bh2

同理抛物线T在点5处的切线方程为y=七，②

a+b

x=

2x=2k

联立①②得＜所以1,所以G点的坐标为（2£—1）,

ab〔y=一i

y=T

当左=0时，即切线AC与6D交于丁轴上一点（0,-1）,

此时。、。、G重合，由GC+GD+GE=0，则GE=0,

又ABwO，则存在4=0使得GE=XAB成立;

an

当左。。时，切线AC与y轴交于点。0,--,切线瓦）与>轴交于点。0,--

44

（（

a2、bj2\

由1一4）+〔一2a匕一（a+与2_2,得CD的中点M（0,—2公一1）,

———2k-1

28

由GC+GD+GE=O得GE=—（GC+GD）=—2GM，即G石〃GM，

又除“—―1—（—2左—1）=k,所以GM〃AB，所以，GM//AB.

GM2k—0

又ABwO，所以存在实数几使得GE=2AB成立.

综上，命题成立.

【题目点拨】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（4，占）、（%，/）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为％+々、西%2（或%+%、％为）的形式;

(5)代入韦达定理求解.

20、(I)a“=2X3"T或4=3X2=T；(II)=(;i-l)x2K+1+2.

【解题分析】(I)设等比数列｛4｝的公比为g,由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项;

2

(II)由(1)及已知可得4=3乂2'1和2=§“.4=〃.2"(“^^:)，运用错位相减法可求得数列的和

【题目详解】解：(I)设等比数列｛4｝的公比为g,由%=6,可得qq=6,记为①

又因为6%+4=30,可得6%+。24=30,即q+q=5记为②，

©=2f=3

由①②可得°或c,

U=3[q=2

故｛a,｝的通项公式为«„=2x3"T或a,=3x2'^

2

(II)由(I)及4〉2可知4=3、2"-1,所以勿二,/"二〃々""GN*)，

所以S“=1x2】+2x2?+…+九,20③

2S„=lx22+2x23+--+nx2"+1@

2n+1,!+1n+I

③一④得-Sn=21+2++2"-〃x2"+i=2-2-nx2=(1-H)X2-2,

所以S“=(〃一1)x2用+2

【题目点拨】方法点睛：数列求和的常用方法：

(1)公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.

(2)错位相减法：若｛4｝是等差数列，｛2｝是等比数列，求。也+。2瓦+…a也.

111

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差,相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有

1—1],1_____O

〃(〃+2)n+2j'(2H-1)(2H+1)212〃-12"+1户，

(4)分组求和法：把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列，再求和.

(5)倒序相加法.

21、(1)%=2-2

(2)m24

【解题分析】(1)由等比数列的基本量，列式，即可求得首项和公比，再求通项公式

(2)由题意转化为求数列工的前〃项和的最大值，即可求参数〃7的取值范围.

【小问1详解】

7

设等比数列的公比为心则%+%+。3=囚(1+4+,)=5,①

2q-%+6%—3%=(2q—%)+3(2%—%)=。，

22

即(2q-^2)+3(2^-a2^q=(2q-<22)(1+3^)=0,

得2q一2=。=幺=2,即2,

71

代入①得4。+2+4)=5,解得：a.=-,

所以%=a0i=，2"T=2'-2；

【小问2详解】

11f111

由(1)可知一=不二，数列一是首项为2,公比为;的等比数列,

a“2。-2

S,,=—+——+—+...+——=