四川省绵阳市某中学2024届高三年级下册三诊模拟考试数学（理）试题（含答案与解析）

绵阳中学2024届高三下期三诊模拟考试

数学（理科）

试题时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.已知全集。={1，2,3,4,5,6},集合加={1，3,6},N={2,3,4},则令（"一N）=（）

A.{5}B,{1,2}C.{3,4}D,{1,2,3,4}

2.已知机，九为实数，l-i（i为虚数单位）是关于x方程f—侬:+〃=0的一个根，贝i]"z+〃=（）

A.0B.1C.2D.4

3.某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答

20题，每题答对得5分，答错得。分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况

A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致

B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致

C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差

D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差

4.(工―2x］展开式中的常数项是()

A.-160B.-20C.20D.160

5.a,6为实数,贝厂是“|lna|>|lnZ?|"的()

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知｛%｝和也｝均为等差数列，4=1,4=2,al0+bl0=39,则数列｛a“+"｝的前50项的和为

()

A.5000B.5050C.5100D.5150

7.已知函数/(x)=sinx+；lcosx(/lGR)的图像关于直线工=—三对称，则函数了(%)的最大值为()

6

A.1B.72C.2D.逐

8.“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，

下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A,5c为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点。为终

点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为()

D.30种

9.如图，圆内接四边形43。中，DA1AB,ND=45,AB=2,BC=272,AD=6.现将该四边形

沿A。旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为()

D

A——B.30兀C.——D.40IT

33

10.已知函数〃x),g(x)定义域均为R,7⑴为偶函数且〃x)+〃x+2)=3,

9

g(x)+g(10-x)=2,则£[/(，)+g(i)]=()

i=l

4547

A.21B.22C.一D.一

22

11.法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我

22

们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:1+与=1(。〉6〉0)的蒙日圆方程为

ab

22

x2+y2=a2+b2,现有椭圆C:二+匕=1的蒙日圆上一个动点过点M作椭圆C的两条切线，与该

a216

蒙日圆分别交于P,Q两点，若4Mp。面积的最大值为34,则椭圆C的长轴长为()

A.3亚B.4枝C.6点D.8夜

12.如图，正方体A5CD-AB'CD'的棱长为3,点又是侧面AZM7/上的一个动点(含边界)，点尸在棱

CC±,且|PC[=1.则下列结论不正确的是()

A.若保持|加|=巫.则点M运动轨迹长度为。71

B.保持与3D'垂直时，点M的运动轨迹长度为2J5

C.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为2J而

99

D.当M在DC点时，三棱锥5'-M4P的外接球表面积为一兀

4

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

13.抛物线丁=2必的焦点到准线的距离等于.

14.己知非零向量。，b满足恸=2,b=(l,2),向量b在向量。方向上的投影为2,则|2a—.

—九?—2羽犬V0

15.己知函数/(£)=，I'］，若/(%)=机存在四个不相等的实根石，%，%,%,且

1—Inx,x>0

为<々<退</，则为一(%+9)%3的最小值是.

7171

16.如图所示，在，ABC中，已知NA=—,NC=—,AC=4,D,E，歹分别在边AC,BC,

32

AB上，且_£)所为等边三角形.则」期的面积的最小值是

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.记Sn为正项数列｛4｝的前〃项和，已知％=1,Sn+Si=—(n>2,neN*).

(1)求数列｛4｝的前〃项和S“；

(2)若求数列也｝的前w项和小

18.2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学

生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2:1,按性别用分层

抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优

秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.

(1)若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概

率.

(2)设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为:，记同学甲获得“优秀学员”的次数为

X,试求X的分布列及其数学期望石(X),并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否

获得冬奥会吉祥物？

19.如图，在四棱锥P—A5CD中，底面四边形A3CD为菱形，点E为棱尸。的中点，。为边A3的中

点.

(1)求证：AE//平面尸OC；

JT

(2)若侧面石钻，底面ABCD,且NABC=NPA3=—,AB=2PA=4,求与平面POC所成角

3

的正弦值.

20.过抛物线E:f=2py(p>0)上的点4(-2,1)作直线交抛物线于另一点B.

(1)设E的准线与，轴的交点为C,若AB-AC=0,求仙却；

(2)过E的焦点P作直线/交E于N两点，尸为E上异于N的任意一点，直线PM,PN分

别与E的准线相交于Q，R两点,证明：以线段。尺为直径的圆经过>轴上的两个定点.

21.已知函数=—

(1)当。=1时，求"％)在光=0处的切线方程;

⑵设函数g(x)=/(x)—sinx,当a=g时，若g(xj+g(%)=2(%产%)，证明：药+X2＜。.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分，作答时请写清题号.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

%=l+costz,、/7

22.在直角坐标系中，曲线。的参数方程为＜为参数)，直线/：%+)=注.以坐

y=sm。2

标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出曲线C的普通方程及直线/的极坐标方程；

(2)直线加：。=4与曲线C和直线/分别交于A,B(A,3均异于点。)两点，求

|OA|■\OB\的取值范围.

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数f(x)=|2x+l|-.

(1)当机=1时，解不等式/(x)22；

(2)若关于x的不等式/(尤)才尤-3|的解集包含[3,4],求加的取值范围.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.已知全集"={123,4S6},集合M={1,3,6},N={2,3,4},则令("N”()

A.{5}B,{1,2}C.{3,4}D,{1,2,3,4}

【答案】A

【解析】

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：MUN={1,2,3,4,6},则说(MN)={5}.

故选：A.

2.已知加，〃为实数，1—i(i为虚数单位)是关于犬的方程％2一如+〃=0的一个根，则加+〃=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】由1—i是关于X的方程》2—〃以+〃=0的一个根，则l+i是关于X的方程X2—%+/=0的一个根,

结合根与系数的关系求解即可.

2

【详解】由1—i是关于龙的方程x-twc+n=0的一个根，

则1+i是关于X的方程炉-+〃=0的一个根，

则加=1一i+l+i=2,〃=(1—i)x(l+i)=2,

即加=2,〃=2,则%+八=4,

故选：D.

3.某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答

20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况

A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致

B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致

C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差

D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差

【答案】D

【解析】

【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断.

【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：

1号员2号员3号员4号员5号员6号员7号员8号员9号员10号员

工工工工工工工工工工

第一次

65808580909090859090

作答

第二次

80859090959095909595

作答

第三次

8590959510010010095100100

作答

对于A：第一次作答的平均分为：^x(65+80+85+80+90+90+90+85+90+90)=84.5,

第二次作答的平均分：焉x(80+85+90+90+95+90+95+90+95+95)=90.5,

第三次作答的平均分：焉x(85+90+95+95+100+100+100+95+100+100)=96,

故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；

845x10-5

对于B：第一次作答的正确率：---X100%=84.5%,

20x10

905x10-5

第二次作答的正确率：--x100%=90.5%,

20x10

96x10-5

第三次作答的正确率：—,-xl00%=96%,

20x10

故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；

对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：100-85=15,

该单位职工一天中第二次作答得分的极差：95-80=15,

故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误;

对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：

22

*=邸x[(85—96『+(90_96)2+(95-96)x3+(100-96)x5]=276,

该单位职工一天中第一次作答得分的标准差:

*=Jj-X[(65-84.5)2+(80-84.5)2x2+(85-84.5)2x2+(90-84.5)2x5]=457.25>后=2#,

故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确,

故选：D.

4.（工―2x］展开式中的常数项是（）

A.-160B.-20C.20D.160

【答案】A

【解析】

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于0,求出厂的值，即可求得常数项.

【详解】（工一2x）展开式的通项公式为

心=2力’=（-2）«.铲-6,

令2—6=0,可得厂=3,

故（2x—工］展开式的常数项为-8或=—160.

故选：A.

5.a,b为实数,则“口>《>1”是“|lna的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要的定义进行判断即可.

【详解】因为。>6>1,根据对数函数y=lnx单调性可知lna>lnb>0成立，所以|lna|>M4,

即“a>6>1”是“IIna|>|lnb|”的充分条件,

取4==2,此时|lna|=ln-=ln3>ln2=|ln2|=|lnb\,但a<1<Z?,

故"a>6>1”不是"IIna|>|InZ?|"的必要条件,

所以“a>方>1”是“IIna|>|lnbI”的充分不必要条件.

故选：A

6.已知｛%｝和也｝均为等差数列，％=1,4=2,a10+bw=39,则数列｛aa+2｝的前50项的和为

()

A.5000B.5050C.5100D.5150

【答案】B

【解析】

【分析】由题设易知｛q+〃｝为等差数列，结合已知求公差，应用等差数列前”项和公式求和即可.

【详解】由题设｛4+〃｝也为等差数列，且公差d为｛4,｝、｛2｝公差的和，

30-3

又弓+4=3,eo+4o=39,故1=---=4,

所以｛%+bn]前50项和为50x3+--—x4=5050.

故选：B

7.已知函数/(x)=sinx+2cosx(2eR)的图像关于直线x=—四对称，则函数/'(%)的最大值为()

6

A.1B.72C.2D.75

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦函数的对称性得出进而得出X,再由辅助角公式结合三角函数的性质得

出最值.

【详解】因为函数/'(%)的图像关于直线％=—£对称，所以=

即sin0+2cos0=sin[—g[+Xcos[—g],解得4=,

所以/(x)=sinx-6cosx=2sin[x-1^,所以/的最大值为2.

故选：C

8.“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏,

下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A,3,C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点。为终

点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为()

A

A.6种B.12种C.24种D.30种

【答案】C

【解析】

【分析】采用分步乘法可计算得到以A为起点，C为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得结果.

【详解】以A为起点时，三条路线依次连接即可到达B点，共有3x2=6种选择；自B连接到C时，在。

右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有2种选择,

，以A为起点，C为终点时，共有6x2=12种方法;

同理可知：以。为起点，A为终点时，共有12种方法;

，完成该图“一笔画”的方法数为12+12=24种.

故选：C.

9.如图，圆内接四边形ABC。中，DA±AB,ZD=45,AB=2,BC=272,AD=6.现将该四边形

沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（）

84兀92兀

A.——B.30兀C.-----D.40兀

33

【答案】D

【解析】

【分析】作出辅助线，由余弦定理求出CG=2正，由勾股定理逆定理得到BCLOG,ZABG=135°,旋

转形成的几何体的体积等于等腰直角三角形CDE绕DE旋转形成的圆锥体积加上直角梯形ABCE绕AE旋

转形成的圆台体体积，求出体圆锥积和台体体积，相加即可.

【详解】延长A3,OC交于点G,

因为DALAB,ND=45，

所以/G=45。，

故AZ)=AG=6,

因为AB=2,

所以5G=6—2=4,

因为3c=20，

-fprh由仝昉申¥田俎BG~+CG--BC-16+CG--8A/2

在，BCG中，由余弦定理得：cosZBGC=------------------------=-----------------=——

2BGCG2x4CG2

解得：CG=20，

因为3c2+cG2=BG2，

所以BCLCG,ZABG=135°,

过点C作CELAD于点E,过点B作BFLCE于点F,

贝1」/。8尸=/8。b=45°,BF=CF=AE=2,CE=DE=4,

该四边形沿A。旋转一周，则旋转形成的几何体体积等于由等腰直角三角形CDE绕旋转形成的圆锥体

积加上直角梯形ABCE绕AE旋转形成的台体体积，

1164

其中圆锥体积为一兀•CE92.DE=—兀x429x4=—7i,

333

台体体积为g（兀-AB?+7i-CE2+y]n-AB2-n-CE2-AE=；x（4兀+16兀+8兀）义2=三兀，

所以旋转形成的几何体体积为国兀+变兀=40兀.

33

n

故选：D

10.已知函数八%),g(x)的定义域均为R,"%)为偶函数且〃x)+/(x+2)=3,

9

g(x)+g(10-x)=2,则Z[/(，)+g(，)]=()

(=1

4547

A.21B.22C.——D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意证明/(%)+“10—%)=3,结合对称性分析运算即可.

【详解】•••/(X)为偶函数且〃x)+/(x+2)=3,则/(―x)+/(x+2)=3,

故了(X)关于点IB对称，

又•.•/(x+2)+/(x+4)=3,则/(x)=/(x+4),

则八％)是以周期为4的周期函数，故"工)关于点15,对称，

.-./W+/(10-x)=3,

则

力(。="⑴+〃9)]+[〃2)+〃8)]+[〃3)+/7)]+"(4)+〃6)]+；[〃5)+〃5)]=3乂4+畀1

又：g(x)+g(10—x)=2,

则

91

L^(0=[<?(1)+^(9)]+[.?(2)+.?(8)]+[.?(3)+.?(7)]+[.?(4)+.?(6)]+7['?(5)+(?(5)]=2X4+1=9

i=l/

99

故之9[/a)+ga)]=£/(，)+£g(，)=?77+9=74S.

i=[i=li=l乙乙

故选：c.

11.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我

们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:5+与=1(。〉6〉0)的蒙日圆方程为

ab

22

V+y2=6+62,现有椭圆。：:+匕=1的蒙日圆上一个动点”，过点/作椭圆C的两条切线，与该

a16

蒙日圆分别交于P,Q两点，若一MPQ面积的最大值为34,则椭圆。的长轴长为()

A.3亚B.4&C.672D.8a

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知尸。为圆/+/=/+]6的一条直径，利用勾股定理得出

\MPf+\MQf=|PQ|2=4(«2+16),再利用基本不等式即可求即解.

【详解】椭圆。的蒙日圆的半径为由。2+)2=J/+i6.

因为MP，M2,所以PQ为蒙日圆的直径，

所以|PQ|=2^+16，所以=|尸=4(6+16).

因为附斗悭@＜也型=2(4+16)，当眼月=阳0=后々二+16时,等号成立,

所以.MPQ面积的最大值为：^\MP\-\MQ\=a2+16.

由.MPQ面积的最大值为34,得/+16=34，得。=3后，

故椭圆。的长轴长为60.

故选：C

12.如图，正方体A5CD-AB'C'D'的棱长为3,点/是侧面AZM7/上的一个动点(含边界)，点尸在棱

CC上,且|PC[=1.则下列结论不正确的是(

D'

A.若保持|PM|=巫.则点M的运动轨迹长度为，兀

B.保持与3D'垂直时，点M的运动轨迹长度为2J5

C.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为2J而

99

D.当M在DC点时，三棱锥5'-M4P的外接球表面积为一兀

4

【答案】C

【解析】

【分析】由尸。=而可知，可过点P作PQ工平面AQD'A，即可找到动点M的运动轨迹；找出与§£＞'

垂直的平面，与平面AADD'的交线即为动点M的轨迹；将平面A3CD和平面C'CB8沿5C展开在同一

平面上求点A到点P的最短路程；将建立空间直角坐标系求解三棱锥舷4P的外接球的半径.

【详解】对于A,过点P作。。/平面ADDA,以。为圆心，。。为半径在平面皿7A内作圆交

AD'于点E,则DE即为点M的运动轨迹，

7r9

­：D'Q=1,EQ=2,：.D'E=^3,：.ZD'QE=\：.ZEQD=-TI,

24

:・£)£的长为/=1兀,2=］兀，则A正确;

对于B，・・・OZ＞，平面ABCDACu平面ABC。，・・・OZ＞，AC,

VAC1BD,D'D,BDu平面DDB，AC.平面D£>5，D'DDB=D,

...AC，平面£)7)6，

D'Bu平面D'DB，二AC±D'B,

同理可证B'CLZXB,

ACB'Cu平面B'AC,ACB'C=C,。'3二平面B'AC,

平面3'AC,

找DC上的点〃，使得HC=2,找AD上的点G,使得OG=1,连接PH'G",。'。,

•/PH〃D'C,AB'//D'C,/.PH//AB',

：平面B'AC,AB'u平面3'AC,PH〃平面B'AC,

GH//AC,GHu平面B'AC,ACu平面B'AC,

G"〃平面B'AC,

平面PG8,PHu平面尸G〃，GHPH=H,

...平面尸GW〃平面B'AC,，平面PGH,

在A'A上找一点F使得A'F=CP=1,连接FG,FP,

•；FP//AC,GH//AC,AFP//GH,

：.F,P,G,H四点共面，D'B±平面FPGH,

，点M的轨迹为线段FG,FG={AG2+W=272,则B正确；

D'C

将平面A3CD和平面C'CBB'沿BC展开在同一平面上，从点A到点P的最短路程为AP,则

AP=y/PD2+AD2=V52+32=734<2M>则C错误；

分别以OCDADM所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则M（0,0,3）,4（3,0,0）,尸（0,3,2）,8（3,3,3）

设三棱锥B'-MAP的外接球的球心为O（x,y,z）,贝U归。=\MO\=\B'O\=\AO\

7

x=—

'（3-x）2+（3-^+（3-z）2=（3-步+/+z24

即＜（3—x）2+（3-'J+（3-z）2=x2+y2+（3-z）2解得＜y=：，

（3-x）2+（3-y）2+（3-z）2=x2+（3-y）2+（2-z）2

7

z=—

4

3血

三棱锥B'-MAP的外接球半径R=

4

99

三棱锥5'—的外接球表面积为S=4JIR2=4x7tx=一71,则D正确;

4

【点睛】求三棱锥的外接球半径还可以建立空间直角坐标系，设出球心的坐标，利用顶点到球心的距离相

等列出方程组求解.

第n卷（非选择题，共/分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

13.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离等于.

【答案】-

4

【解析】

【分析】先将抛物线方程丁=2必，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.

【详解】因为抛物线方程是y=2x2,

91

转化为标准方程得：％=5〉，

所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为歹准线方程为：%=

（8）8

所以焦点到准线的距离等于，

故答案为：一

4

【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

14.己知非零向量。，I满足同=2,1=（1,2）,向量b在向量。方向上的投影为2,则所耳

【答案】V5

【解析】

【分析】先利用向量办在向量a方向上的投影为2计算出，再平方求模长即可.

【详解】|«|=2,|Z?|=75,=WWcos（a,A）=2*2=4,则

12a—"J=<（2a—b）=J4a'-4。0+>~=下•

故答案为：卮

——2%,x<0

is.已知函数/（%）=九।5-,若/（工）=根存在四个不相等的实根石,々,马,工4，且

1—Inx,x>0

X]<々<X3<%,则尤4一（石+尤2）兀3的最小值是.

【答案】2瓜

【解析】

【分析】根据已知函数解析式作出函数图像，根据图像结合已知得出西+々=-2,当、x4＞0,且

1—111七=—(1—In%)，根据对数运算得出与Z=e2,即可对所求式子化简得出五+2退，再根据基本不

等式得出答案.

——2xxV0

【详解】作函数/(》)=%,J:与y=根图像如下：

/(%)=加存在四个不相等的实根石,4,且王＜々＜%＜七,

则/+/=_2,/、x4＞0,且1-111可=_(l_ln%4)，

则Inxj+ln%=2,即111X3X4=2,得吃及二/,

则无4一(石+%)七=九4+2/-212X3X4=2A/2C,

当且仅当％=2退时，即x,=^e，x4=V2eBt,等号成立，

故答案为：2缶.

JT71

16.如图所示，在ABC中，已知NA=—,ZC=-,AC=4,D,E,R分别在边AC,BC,

32

AB上，且_Z)所为等边三角形.则勿即的面积的最小值是.

A

F

D

CB

E

【答案】区1启百

77

【解析】

【分析】设NCDE=e,根据正弦定理，将AC与三角形/湖的边长和。得关系，再根据三角函数的性

质可得边长与面积的最值.

【详解】不妨设」)EF的边长为a,/CDE=6,

在RtaCDE中，CD=acos0,

TT

因为NADR=7r—。,

3

IT

所以在△AFD中，可得NAED=7i——ZADF=6,

3

根据正弦定理可得但=r\

所以AD=（|rsin。,

sin0sinA

2>*asin（6+0）=4,其中tan[=岑,

所以AC=CD+A£）=acos6+—7=sin^

vG）

易知sin（8+0）wO,贝IJQ二——--

7sin（e+e）

当sin(e+0)=l时，。取得最小值半I,

Q防面积的最小值为皿llx土叵x@=D叵,

7747

故答案为：小叵

7

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题.每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.记Sn为正项数列｛4｝的前n项和，已知％=1,S"+S,i(n>2,neN*).

an

(1)求数列｛%｝的前力项和s“；

(2)若々:上上,求数列也｝的前〃项和7“.

an

【答案】(1)S„=4n

,[匹〃为偶数，

(2)T=<

n[-册,〃为奇数.

【解析】

【分析】(1)根据与与s“的关系可得s；-S3=1,结合等差数列的定义可知数列｛s；｝为等差数列，由等

差数列的通项公式可得s；=n,即可求解；

(2)由(1)得见=册—册=L则勿=(—1)”(册+病斤).当〃为偶数时(=6；当"为奇数时看=—«,

即可求解.

【小问1详解】

当2时,因为4=S〃—S"_],所以S"+S,_i=1,

3〃一》〃一1

即s；-s3=i,所以数列｛s；｝为等差数列，公差为1,首项为s；=i,

所以s；=〃，又｛%｝为正项数列，则s'=册；

【小问2详解】

由(1)可知，当"时，an-Stl---Jn-l,

4=1亦适合上式，所以4=6-,

所以〃==(一1)"(6+yjn-l),

a.

当〃偶数时，Tn=—1+1+V2—V2—\/3+■.+Jn—1+6=册

当“为奇数时，Tn=—l+l+\/2—A/2—A/3+--y/n—l—s/n=—y/n

]«,n为偶数,

综上可知7；

-4n,〃为奇数.

18.2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学

生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2:1,按性别用分层

抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优

秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.

（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概

率.

（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为:，记同学甲获得“优秀学员”的次数为

X,试求X的分布列及其数学期望石（X）,并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否

获得冬奥会吉祥物？

【答案】（1）或

21

Q

（2）分布列见解析，E（X）=§，能获得吉祥物

【解析】

【分析】（1）依据古典概型即可求得选出的3人中至少有一位是女生的概率;

（2）依据二项分布即可得到X的分布列及其数学期望石（X）,再与获得2022冬奥会吉祥物的条件进行比

较即可预测甲能否获得冬奥会吉祥物.

【小问1详解】

由题可知，抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生；

031£

则选出的3名学生中至少有一名女生的概率P=1-消=—

【小问2详解】

由题可知乂

P（X=2）=C：

所以X的分布列

X01234

18243216

P

8181818181

2Q

所以石（乂）=利=4><3=§>2即能获得吉祥物.

19.如图，在四棱锥尸—A6CD中，底面四边形A3CD为菱形，点E为棱。。的中点，。为边A3的中

点.

C

（1）求证：AE//平面POC；

7T

（2）若侧面上钻，底面ABCZ）,且NABC=NP/LB=§,AB=2PA=4,求与平面POC所成角

的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵正

2

【解析】

【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明AE〃平面POC即可；

（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求PD与平面POC所成角的正弦值即可.

【小问1详解】

取线段PC的中点R连O尸，EF

在4_PCO中，E,尸分别为尸。，PC的中点，所〃。□且所=；C£>

又.底面A3CD是菱形，且。为A3的中点

.•.AO〃CD且.•.40〃跖且4。=跖

2

，四边形AOEE为平行四边形.•.OF〃AE

又-OFu平面POC,AE<z平面POC

.•.AE〃平面POC

【小问2详解】

在平面PE4内过点。作Oz_LAB,又侧面K4B_L底面ABCD,则Oz_L平面ABCD,

71

由NABC=-,OB=OA,可得OCLA5

3

故分别以02、OC.Qz所在直线为x,y,z轴建立空间坐标系O-孙z,

则网—1,0,0),C(0,273,0),D(-4,2A/3,0),

则PO=(1,0,-A/3),PC=(1,2^3,-^,PD=(-3,2点—6)

设平面POC的一个法向量n=(%,y,z),

x=3

POn=0x-石z=0

则令x=3,贝卜y=。

PCn=Ox+26y-A/3Z=0

2=G

即“=(3,0,6),设直线尸。与平面POC所成的角为9,贝Usin。=cos12_41

712x724-2

所以直线PZ)与平面POC所成角的正弦值为—