极限存在准则两个重要极限6

1、1极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限小结小结 思考题思考题 作业作业第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限第一章第一章 函数与极限函数与极限21. 夹逼准则夹逼准则证证,ayn, 0 准则准则满足下列条件满足下列条件:),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim)2(aynn ,limaznn nx.limaxnn ,azn, 01 N, 02 N使得使得一、极限存在准则一、极限存在准则极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限如果数列如果数列那末数列那末数列的极限存在的极限存在,且且,nnnzyx及及3,1 ayNnn时恒有时恒有当当

2、,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立,nnnzxy ,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到上述数列极限存在的准则可以推广到函数函数的极限的极限., a annnzxy )1(极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限4称为称为准则准则 如果如果)()()(xhxfxg ,)(lim)2(0Axgxx ,)(lim0Axhxx 那末那末)(lim0 xfxx存在存在,且等于且等于A.极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则. .)

3、,()1(0orxUx 当当),|(Mx 或或有有)( x)( x)( x准则准则准则准则和和5例例).12111(lim222nnnnn 求求解解nnn 22111nnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由由夹逼定理夹逼定理得得. 1)12111(lim222 nnnnn,12 nn nnn2极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限6 注注利用夹逼准则是求极限的一个重要手段利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数找出有共同

4、极限值又容易求极限的函数 g(x)和和h(x)即可即可.极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限7x1x2x3x1 nxnx2. 单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 几何解释几何解释:AM单调有界单调有界数列必有极限数列必有极限.:nx对数列对数列单调有界单调有界有极限有极限有界有界极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限8例例的的重根式重根式证明数列证明数列)(333nxn 证证,1nnxx nx31 x, 3 kx假定假定kkxx 3133 ,

5、3 nxnnx lim极限存在极限存在.显然显然(1)是单调增加的是单调增加的;(2)极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限, 3 是有界的是有界的;存在存在.9,31nnxx ,321nnxx 21limnnx,32AA ,2131 A(舍去舍去).2131lim nnx(3)的的重根式重根式证明数列证明数列)(333nxn 极限存在极限存在.),3(limnnx Axnn lim设设2131 A解得解得极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限10极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 准则准则单调并且有界单调并且有界,设函数设函数 f (x)在点在点 x0

6、的某个的某个右邻域右邻域内内则则f (x)在点在点 x0右极限右极限)(0 xf必定存在必定存在.准准则则 单调有界单调有界数列数列必有极限必有极限.函数极限也有类似的准则函数极限也有类似的准则. 对于自变量的对于自变量的不同变化过程不同变化过程),(00 xxxxxx准则有不同的形式准则有不同的形式.11(1)1sinlim0 xxx,O设单位圆设单位圆,sinBDx 于是有于是有,作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形的的高高为为OAB 作为准则作为准则 的应用的应用的面积的面积圆扇形圆扇形AOB)20(, xxAOB圆心角圆心角.ACO 得得,ABx弧弧 ,t

7、anACx 的面积的面积AOC 的面积的面积AOB,BD极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限xOABDC12,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又1sinlim0 xxxxxxtan2121sin21 即即夹逼定理夹逼定理该极限的特点该极限的特点:;00)1(型未定式型未定式.sin)2(形式一致形式一致与分数线另一侧的变量与分数线另一侧的变量1sinlim0 xxx极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限131sinlim xxx.)0

8、0(型未定式型未定式非非极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 一般有一般有)(x )(x 0)(x 0 正确正确 xxxsinlim sinlim114xxxtanlim0 xxxxcossinlim0 1 20cos1limxxx xxx3sinlim3303330sinlim31 xxx31 2202sin2limxxx 21 nnn2sinlim nnn22sin2lim 2 2022sinlim21 xxx例例例例例例例例极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限15 2cos1lim)1(xxx 求求解解, xt 令令,时时则则 x, 0t故故 2cos1lim

9、xxx 20cos1limttt 20cos1limttt 21 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限20cos1limxxx 21 16解解 由于由于 以及以及,limaan 夹逼定理夹逼定理.limaxnn a13lim1 aann极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限n3 an 3limann.lim, 0)2(nnnnnnxcbaxcba 求求设设nx17(2)exxx )11(lim,)11(nnnx 设设 1 1nnnnnnn1!)1()1( 作为准则作为准则 的应用的应用现证明数列现证明数列xn单调增加单调增加按按牛顿二项公式牛顿二项公式,有有nnnx)

10、11( nn 1! 1 21! 2)1(nnn 1 )11(! 21n).11()21)(11(!1nnnnn 且且有界有界.极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限18 111nx类似地类似地,)111()121)(111(!1 nnnnn).11()121)(111()!1(1 nnnnn 1nnnx)11( 1 )11(! 21n)11()21)(11(!1nnnnn )111(! 21 n nx,1nnxx 显然显然极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限是是单调增加的单调增加的;19 nx1212111 n1213 n, 3 nx.lim存在存在nnx ennn

11、)11(lim记为记为)045459828281718. 2( e无理数无理数 1nnnx)11( 1 )11(! 21n)11()21)(11(!1nnnnn !1! 2111n 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限是是有界的有界的;20exxx )11(lim. e当当x实数趋向实数趋向 或或 时时, xx)11( 因此因此中的底就是这个常数中的底就是这个常数 xey xyln . ext1 令令xxx10)1(lim . e exxx 10)1(lim或或的极限都存在且等于的极限都存在且等于函数函数可证明可证明,指数函数指数函数以及自

12、然对数以及自然对数ttt)11(lim 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限21 “以以1加非零无穷小为底加非零无穷小为底,指数是无穷小的指数是无穷小的倒数倒数,其极限为数其极限为数e”.exxx )11(lim该极限的特点该极限的特点:;1)1(型未定式型未定式 exxx 10)1(lim(2) 括号中括号中1后的变量后的变量(包括符号包括符号)与幂互为倒数与幂互为倒数. 注注若极限呈若极限呈,1 型型 但第二个特点不具备但第二个特点不具备,通常通常凑凑指数幂使指数幂使(2) 成立成立.这个重要极限应灵活的记为这个重要极限应灵活的记为:则则极限存在准则极限存在准则 两个重要极限

13、两个重要极限一般有一般有exxx )()(1)()1(lim 22xxx111lim 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限e .)1(型未定式型未定式非非 正确解法正确解法 ,111xxy 令令 则则,)11ln(lnxxy 由于当由于当,时时 x, 011ln x 故故 xxyxx11lnlimlnlim 从而原式从而原式. 10 e. 023nnn211lim 2 exxx 321lim xx321lim32e 例例2 例例n nn11limx2332 xxx20sin1lim 2e 例例 xxxsin10sin1limxxsin2例例xxxx 21lim xlim2 eex

14、x 11xx 213e )1( )1( )1( )1( 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限24nnnnn 121lim22 12221lim2nnnn2 e例例nnn22122 12)22(2 nnnn例例222)1(coslimxxx 解解 原式原式=222)1sin1(limxxx 21 e)1( )1( 21sinlim22xxx 211sinlim21 xxx21 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限251. 选择题选择题).(sin1sinlim)1(20的值为的值为xxxx. 0)(;)(;)(; 1)(DCBA不存在不存在 D).(1sinlim)2

15、( xxx. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 C极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限26).(11lim)3(2 xxx.21)(; 0)(;)(;)(2DCBeA Axxxx2)23(lim. 2 求求解解222)211(lim xxxxx原式原式2e xxxx22131lim 或或xxxxx222131lim 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限272. 两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限三、小结三、小结1. 极限存在准则极限存在准则)(x )(x 0)(x

16、 e 1 lim)(x 0)(x )(1x sinlim128思考题思考题1. 求极限求极限xxxx1)93(lim 2. 求极限求极限xxxx 1sin1coslim极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限), 2 , 1( )3(, 3011 nxxxxnnn设设.,并求此极限并求此极限的极限存在的极限存在证明数列证明数列nx 23:答案答案3. 2002年考研数学二年考研数学二, 8分分29思考题解答思考题解答xxxx1)93(lim. 1 xxxxx11131)9(lim xxxxx 313311lim9990 e2. 原式原式=221sin1coslimxxxx 22sin

17、1limxxx 122sinlim22sinlim xxxxxxe 原极限原极限极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限30解解极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限), 2 , 1( )3(, 3011 nxxxxnnn设设.,并求此极限并求此极限的极限存在的极限存在证明数列证明数列nx13x 均为正数均为正数,故故)3(0112xxx 23)3(2111 xx设设)3(01kkkxxx ),1(230 kxk则则,23)3(21 kkxx由数学归纳法知由数学归纳法知, 对任意正整数对任意正整数1 n均有均有.230 nx因而数列因而数列nx有界有界. 3. 2002年考研数学二年考研数学二, 8分分31极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限又当又当,1时时 nnnnnnxxxxx )3(1)3(