浙江省2023-2024学年高二年级下册2月月考数学试题

2023学年第二学期浙江省名校协作体试题

高二年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求.

1.抛物线好=4〉的准线方程为（）

A.y=-2B.x——2C.y=-lD.x=-l

【答案】C

【解析】

【分析】求出焦参数2,根据焦点的位置确定准线方程.

【详解】由题意焦点在y轴正半轴，2P=4,P=2,所以准线方程为y=-L

故选：C.

2.数列1,…的通项公式可能是（

32

〃22n-l

D.an

【答案】A

【解析】

【分析】代入即可结合选项逐一排除.

【详解】当〃=2时，对于B中出==—^―,

2'+153

*Q<2x3—155

当〃=3时，对于C中生==一=-^-，对于D中生=—^—=-7^-,

32x3-1523-92

四个选项中只有=2*同时满足4=1,%=3，«3=1

〃+132

故选：A

3.己知直线4：mx+y+l=O,l2：3x+（m+2）y+3m=0,若/J4，则根的值为（）

A.1B.—3C.1或一3D.—1或3

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线平行得到方程，求出加=-3或1,检验后得到答案.

【详解】由题意得加（加+2）—3=0,解得根=一3或1,

当〃?=一3时，直线4：一3无+y+l=0,/2：3x—y—9=0,两直线平行，满足要求.

当机=1时，直线4：x+y+l=0,l2：x+y+l=0,两直线重合，舍去，

故选：B

4.已知两条直线机，n,两个平面a,夕，则下列命题正确的是（）

A.若《7〃〃且"ua,则根//（/

B.若〃?//tz且〃ua,则mUn

C.若加_La且"ua,则mJ_〃

D若a_L,且根ua,则zn_L〃

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面平行，线面垂直，面面垂直的判定和性质依次判断各选项.

【详解】对于A,若"ua,则加//&或根ua,故A错误；

对于B,若mlla,"ua,则加〃〃或机与〃异面，故B错误；

对于C,由线面垂直的性质定理可知C正确；

对于D,若。，分，根ua,则加可能在夕内，可能与夕平行，可能与夕相交，故D错误.

故选：C.

5.已知点P（T,2）和圆Q：（尤―4）2+（y—2）2=16,则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（）

A.275B.273C.475D.473

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得以尸0为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答

案.

【详解】由题可得。（4,2）,则以PQ为直径的圆的圆心坐标为（0,2）,半径为4,

则P。为直径的圆的方程为：丁+（丁—2）2=16.将两圆方程相减可得公共弦方程为：x=2.

则圆。圆心到公共弦方程距离为2,又圆。半径为4,则公共弦长为：2716-4=46

故选：D

6,江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB=20j?米，

若水面上升5米，则水面宽为（）

A.10板米B.15&米C.12有米D.30米

【答案】D

【解析】

22

【分析】设双曲线方程为当-・=l（a〉0,y<0）,如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为

CD,设。（尤,-a-5）.由题可得网10君,-"10）,代入方程可得。，后可得x,即可得答案.

22

【详解】设双曲线方程为斗-・=l（a〉0,y<0）,如图建立直角坐标系.

水面上升5米后，设水面宽为C。，设。（%,-。一5）,其中x>0.

又由题可得q,-a-10）,代入双曲线方程可得：

（"1°）丝=ln（a+10）2—500="=。=20,则。（乂-25）.

A。S2

将。点坐标代入双曲线方程可得：吧—工=lnx=15,则。（15,—25）.

又由对称性可得C（-15,-25）,则水面上升5米，则水面宽为30米.

故选：D

7.在正三棱台ABC-A51G中，|44|=|相|=JA@=3,45cA5]=。，则异面直线OC与g所

成角的余弦值是（）

A.1B.立C.BD.2

3333

【答案】B

【解析】

【分析】如图建立空间直角坐标系，根据向量法求异面直线所成角.

【详解】取A3中点。一取4耳中点Q,连接。在QQ上，且旧勾=乎,

因为在正三棱台ABC-43cl中，所以QC，A3,QC,1A,%

又=|A^|=5|'|=3,I。。=3A/3,|QC1I=>

在梯形OCGQ中，过点G作GR，。。，垂足为R,过点Q作QS，O|C,垂足为s,

Iori\ooS\oj\

过点。作OTLQC,垂足为T,所以。T//QS,则==3昌，

01必必3|

设CM=/7,国。|=x,在Rt..GRC和RtQSO］中,

|81『_陷2=空『=磔「二四2ToM2,即32——

解得x=A/3，h=瓜,

OQAQ1

因moo与相似,所以\局[=曲I=I于

即|OT|=||QS|=半,|。力=||。网=g，

如图，分别以所在直线为x轴，y轴，过。月.垂直于平面ABC的直线为z轴

建立空间直角坐标系，A3cAg=O,

/

所以3（3,0,0）,。（0,34,0）,6（0,26,"）,00,

3，

0Jo,一皑半］,

BQ=（-3,273,76）

\337

设异面直线0C与BG所成角为a,

rw7

2GxJ3J

则cos。县

f64243

j9+12+6xT+V

故选：B.

8.如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知。A=44=44=3=4-14=1，记

2024]

o\,。人，…，的长度构成的数列为｛4｝,则X—的整数部分是（）

i=lai

A.87B.88C.89D.90

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列、放缩法、裂项求和法等知识进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由题意知，。4=44=44=3=4-14=1，

且△。44,△。443，…，△04T4都是直角三角形，

所以6=1,且d=a,\+l,所以数列｛片｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

2024I11J

所以屋=1+（〃—==j++-7==>

i=i%1V2，2024

=2,2024-1<2,2025-1=89，

=2-2025—2=88,

即88<—I—产+H—，<89,

1V2V2024

所以所求整数部分都是88.

【点睛】方法点睛：定义法：若〃向-%=常数，则｛aj是等差数列；等差

中项法：若2a“+i=4+a“+2,则｛%｝是等差数列.数列求和的方法可以考虑等差数列的前几项和公式，也

即公式法，也可以考虑利用裂项求和法.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分.

9.已知向量a=(—1,2,0),Z?=(-2,4,0),则下列正确的是()

A-allbaLb

c.W=2口D.a在6方向上的投影向量为(—1,2,0)

【答案】ACD

【解析】

【分析】ABC选项，根据b=2a得到a//b且欠=2”，AC正确，B错误；D选项，利用投影向量的求解

公式得到答案.

【详解】ABC选项，由题意得人=2a，故a//。且恸=2口，AC正确，B错误；

a-bb(1,-2,0)-(-2,4,0)(-2,4,0),…、

D选项，。在6方向上的投影向量为=-4M6而落=('')'D正确•

故选：ACD

10.若正项数列｛%｝为等比数列，公比为q,其前w项和为S“，则下列正确的是()

A.数列是等比数列

B.数列｛lgaj是等差数列

C.若｛4｝是递减数列，则0<q<l

D.若S“=3"T—乙则厂=1

【答案】ABC

【解析】

【分析】设正项等比数列｛4｝的首项为外,则通项公式4利用等比、等差数列的定义可判定A、

B,由4+1—4<0,可求q的范围，判断C,由S，求出火,再由正项数列的条件，得r的范围，判断D.

【详解】设正项等比数列｛4｝的首项为的,则通项公式4=qq"T,

11

1141a；q2〃1

12，所以

贝JE=1

a”Ojq)11q

/22(1)

an%q)

所以数列H是首项为11

,公比为方的等比数列，A正确;

[an\q

则lg%=(77-l)lg^+lgo1,

所以数列｛lg4｝是以Igq为首项，以lg夕为公差的等差数列，故B正确;

若｛4｝是递减数列，则an+1-an=anq-an=a„((/-l)<0,

因为。〃〉0,则q〉0,则0<q<l,C正确;

若S“=3"T—厂，贝U%=S]=1—厂〉0,则厂<1,D错误.

故选：ABC

11.如图所示，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为R过焦点厂的直线交抛物线于A,B两点,分别过点

A,8作准线/的垂线，垂足分别为A，B],则()

A.A,8两点的纵坐标之和为常数

B.在直线/上存在点P,使NAPfi>90°

C.A,0,4三点共线

D.在直线/上存在点P,使得△回的重心在抛物线上

【答案】CD

【解析】

【分析】对于A：设出直线方程，与抛物线联立，通过韦达定理来判断；对于B：通过计算PA.P3的正负

来判断；对于C：通过计算左OA，后乌是否相等来判断；对于D：求出重心，代入抛物线方程，看方程是否有

解来判断.

【详解】对于A：设直线AB的方程为大=0+微，，

P

x=ty—c)

联立《-2,消去X得20?—/=0,

y2=2px

所以％+%=2pr,不常数，A错误;

对于B：设尸—多相2

，%+%=2pr，y1y2=~P,

则P4PB=卜+多%—加(%-〃。(%-加)

则NAP3<90，故在直线/上不存在点P,使NAPB>90°,B错误;

对于C：由题可得％必A=2=—生

=5k°B，_PP，

2

孙+2%,+券

则“另，2%_。%+2玉%

^OA~“Bi---1----=----------

芯ppx1PXi

0(,+32)+2切乂_2P%-2P「0

PXiP\

所以自4=月4,即AO,用三点共线，C正确;

对于D：设

又石+%2=《必+%)+0=2P产+0，

/

P、

X+x---

12?2%+%+—

则△4P6的重心坐标为

33

2"+々2pt+m

22pt2+-

即,代入抛物线方程得［2。+加।=2P-；

33

)

整理得m2+4ptm-8p2t2-3/?2=0,

A=16p，2+4(8p2r+3p2)=48p2r+12/>g,

所以在直线/上存在点P,使得△削的重心在抛物线上，D正确.

故选：CD

12.在正三棱锥S—ABC中，S4,S5SC两两垂直，AB=2,点/是侧棱SC的中点，AC在平面1

内，记直线与平面戊所成角为9,则当该三棱锥绕AC旋转时。的取值可能是（）

A.53°B.600C.75°D.89°

【答案】AB

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面e所成角的正弦，求其范围，然后比较角的

大小即可.

【详解】因为SAS3,SC两两垂直，如图建立空间直角坐标系:

则A（"0,0）,3（0,衣0）,C（0,0,@，M0,0,

则=

设面a的法向量为〃=(%,y,z),

则a・AC=—岳+任=0，取％=1可得〃

所以sin6=

1

^Ay--=t

233

所以sin'"7r"运"碗

又sin60。=走<-1=,

2V10

则当该三棱锥绕AC旋转时e的取值可能是AB.

故选：AB.

【点睛】方法点睛：对于线面角，可通过建立空间直角坐标系将其表示出,

然后求其范围.

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.经过4(0,2),3(—1,0)两点的直线的方向向量为(1,左)，则左=.

【答案】2

【解析】

【分析】方向向量与班平行，由此可得.

【详解】由已知24=(1,2),。㈤是直线A3的方向向量，则左=2,

故答案为：2.

14.己知数列｛4｝为等比数列，q=63,公比q=g,若7；是数列｛4｝的前〃项积，当北取最大值时,

【答案】6

【解析】

421

【分析】先求出｛4｝的通项公式，当＜时，其前“项积(最大，得解.

,且〉

Tn=ax-«2Lana“0,

421

时，北最大，即《解得n=6.

故答案为：6.

15.已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5,其内切球半径为1,则此圆锥的体积等于.

.._3232兀

【rA答案】-71##——

99

【解析】

【分析】画出圆锥的轴截面后进行分析，注意利用三角形面积公式与内切圆半径的关系

S=^a+b+c）r,然后利用圆锥体积公式即得.

【详解】圆锥轴截面如图所示：

设该圆锥的底面直径为6x,则底面半径为3x.

因为底面直径与母线长之比为6:5,所以母线长5x,

所以该圆锥的高丸=J（5x）2—（3x）2=4％,

因为内切球的半径为1，

根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为gx6xx4x=；（5x+5x+6x）＞＜l,

解得x=2，

3

Q

所以圆锥的底面半径为2,高为一，

3

-IIQ

所以此圆锥的体积V=—S/z=—71X22x9=U.

3339

32

故答案为：—兀.

9

16.已知双曲线C的渐近线方程为y=±x,两顶点为A,B,双曲线C上一点P满足|P4|=3|P到，贝u

tanZAPB=.

41

【答案】一##1；

33

【解析】

【分析】先设P（x,y）,根据|/科=3户同列出方程，得到Y-g奴+3?+/=0,联立椭圆方程得到

P\^a,+^a],作出辅助线，得至UtanNAPD=3,tanZBPD=~,利用正切的差角公式求出答案.

144J3

【详解】不妨设双曲线C的方程为Y—丁=。2（。＞0）,A,8为左右顶点.

设？（九》）,因为归川=3|尸耳，所以（x+a）2+y2=9（x_a）2+9y2,化简得：

冗2——ax+y2+(2=0,

「2225

x-y=ax=­a

4,所以p［；Q,士"|a

5解得J

犬2——CIX+,2+/—Q

y-±—a

14

3

不妨设P在第一象限，作PDLx轴于。，则|尸。|=^。，

lBDl=T-a=7,\AD\=\AB\+\BD\=(^a'

区a

AD\4BD\J1

故tanNAP£>=―-至-tanZBPD=——=^-=-

PD\PD\3tz3

4

T

tan/APD-tan/BPD4

tanZAPB=tan(ZAPD-NBPD)=

1+tanZAPD•tan/BPD1+3X13

3

4

故答案为：一

3

四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知等差数列｛4｝的前〃项和为$7=49,%=9.

⑴求5.；

(2)若邑、Sn-Ss＞其成等比数列，求)的值.

2

【答案】(1)Sn=n

(2)k=l9

【解析】

【分析】(1)设等差数列的首项为4,公差为乙依题意得到方程组，解得外、d,即可求出通项公式与

%

(2)由(1)可得/、，1-1、S&的值，再根据等比中项的性质得到方程，求出左.

【小问1详解】

设等差数列的首项为为,公差为d,

_八S-j=7a、~\-----d=49

由87=49,%=9,所以《712,

4=%+4d—9

解得["=：，所以。“=2”-1,则3=也土也』=".

&=12

【小问2详解】

由（1）可知S3=3?=9,S]]-Sg=57,Sk=k',

又名、Su—项、，成等比数列，所以（S“—S8）2=S3-S/

即572=9xk2,解得左=19或左=—19（舍去），

=19.

18.已知圆C的圆心在直线y=2x+5上，且过4（—2,4）,3（2,6）两点.

（1）求圆C的方程；

（2）已知/：（7/Z+1）x+（3m-1）y-5（m+1）=0,若直线/与圆C相切，求实数机的值.

【答案】（1）X2+（J-5）2=5（或/+/一ioy+2o=o）

3-

（2）加=§或冽=3

【解析】

【分析】⑴方法一：设出圆心（。,。），根据|C4|=|CB|和圆心在直线y=2x+5上得到方程组，求出。=0,

b=5,得到圆心和半径，得到答案；

方法二：求出的中垂线方程，联立y=2x+5得到圆心坐标，进而得到半径，得到圆的方程；

（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出实数机的值.

【小问1详解】

方法一：设圆心C的坐标为（。3），则力=2a+5,

又|C4|=|CB|,则J（a+2y+g4『="」一2）2+（6—6）2,即2^+匕—5=0，

解得a=0,b=5,所以圆C的半径r=|AC|=若，

所以圆C的方程是/+（丁—5『=5（或x2+/_i0y+20=0）.

方法二：A8的中点坐标为（0,5）,&«=；，则A3的中垂线方程为丁=—2%+5.

y=2x+5[x=0/、

则__2X+5,解得T—5,所以圆心C的坐标为（°，5），

所以圆c的半径r=|AC|=百，

所以圆C的方程是d+(y—5『=5(或/+/_10丁+20=0).

【小问2详解】

设圆心C到直线的距离为d,

|5(3/7?-1)-(5+5/71)1|10m-10|

由题意可得d=

{(1+m)2+(3加—1)~y/lOm"—4m+2

3

平方整理后可得5根2—18%+9=0，解得机=1或机=3.

19.如图，已知斜三棱柱A3C-4与G，底面一ABC是正三角形，A4=A3=2,ZA.AB=ZA.AC,

点N是棱片G的中点，AN=屈.

(1)求证：BCLAA,.

（2）求平面AAN与平面ANB的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵B

4

【解析】

【分析】（1）取的中点M，连接A",\B,AC,A"，即可证明1BC,从而

得到平面相〃，即可得证；

（2）解法一：连接肱V,AN,利用余弦定理求出/AW,在平面NMA4中，过点M作“

交AN于点。，则Q扬LAM,从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法二：连接

MN,利用余弦定理求出/AAW,作MRLAN于尸，连接正，即可得到为二面角

3-AN-M的平面角，再由锐角三角函数计算可得.

【小问1详解】

取的中点连接AM,AB,AC,A"，

，・,二棱柱ABC-A[B'C]中，AB=BC—CA>***AM_LBC,

又：NAAB=NAAC,△4AB乌△AAC,A]B=AC,...AM_LBC,

又4"AM=M,AM,AMu平面441M,平面的加，

又胡u平面A41M,/.BC

【小问2详解】

方法一：连接收V,AN,在一AAW中，AN=屈，AM=6MN=2,

所以cosNAMN=AM"+MN"-AN。=_立，则/，加亚=150°,

2AM-MN2

显然MN//BB｝且MN=BB],BBJ/AA,且,

所以MN"44且MN=A4,所以四边形MWA4为平行四边形，则MA〃NA「

在平面MWA4中，过点M作加AN交AN于点£>,则则N7VMD=60°,所以

DM=ACVsin30°=l,

如图建立空间直角坐标系，则A(、行,0,0),5(0,1,0),^(-73,0,1),

所以朋=(6,—1,0),AN=、2括,0,1),

,、n-BA=A/3X-y=0

设平面ABN的法向量为〃=(x,y,z),贝"「,

n-AN=-2y/3x+z=0

取〃=(1,62@,

z、..l^-mlJ3

又平面A&N的一个法向量m二(0,1,0)，,cosn,m==—,

4

所以平面AXAN与平面ANB的夹角的余弦值为昱.

4

方法二：显然MN//BB,且MN=BBrBBJIAA,且5用=A4,

所以阳〃44且阿=A4],所以四边形凡跖44为平行四边形,

连接aW,在，AAW中，AN=岳，AM=6，MN=2,

AM2+MN--AN2J3

即cosNAMN=——二3,即ZAMN=150°.

2AM-MN2

作MV,AN于尸，连接g/L

因为平面AMN,ANu平面AAW,所以AN_L6C,

又BCMF=M,3C,MFu平面®1屈

所以AN,平面5Fu平面3儿加，所以ANLBF,

所以NM0为二面角B-AN-M的平面角.

在AAW中，-|/UV||W|=-|AM||M7V|sinl5O°,解得RM=叵.

2213

则BF=\JBM2+MF"=—p=,所以cosZBFM=0@-

V13BF4

所以平面AAN与平面ANB的夹角的余弦值为之.

4

20.已知点/为抛物线C：/=2加（0<0<1）的焦点，点4（天』）在抛物线c上，且|A司=：.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线/与抛物线C交于M,N两点，设直线AM,AN的斜率分别为6，k「且匕%？=一:，求

证：直线/过定点.

【答案】（1）/=x

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的定义与点4（/，1）在抛物线。上列式求解即可；

（2）方法一：分直线斜率存在于不存在两种情况，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而表达匕

再化简即可；

方法二：设N«"），代入匕"=—g化简，结合直线/的方程为>-1=片+卜一；）即可•

【小问1详解】

JQ_|_p1—_5_P=2

由题意得：P24解得『一5或11（舍去）,

2px0=1X。=1

所以抛物线C的方程为/=x.

【小问2详解】

方法一：①当直线/斜率存时,

设直线/：y=kx+m(k^O),N(x2,y2),

丫2=%

则,消去X,整理得。2—y+加=(),

y=kx+m

m

则A=l-4初7>0,X+%=一，=7，

kk

—LL%TV2T1_____=_________1__________k

"IJ，V1苞T々T(%+1)(%+1)%%+(%+%)+1—根+左+1一~i'

整理得加+3左+1=0,所以机=—1—3左，

所以直线/：y=kx-l-3k=k(x-3)-l,所以直线/过定点(3,—1).

②当直线/斜率不存在时，设直线/：x=m(m>0,m^l),

则而)，N(m,-而、,则心鼠=血匚.字二1=旦=—L得m=3,

所以直线/：x=3,则点(3,—1)直线/上.

综上：直线/过定点(3,-1).

方法二:设N«"),

jj4—112—111

贝Uk['k?―~~z*-z=7c-7,

%—1：—1(4+1)(,2+1)2

则“2=—3—(t+幻,直线/的方程为y=擀潦(x—月,

....1草2」一%+

贝Iy=--------x+-LJ-一3一&+幻3)-1，

t2+t[t]It2t2+It2

所以直线/过定点(3,-1).

=pa“+(_lY(〃eN)

21.己知数列｛4｝满足q=2,“"+—1

an

(1)若2=0,求数列｛3"q｝的前〃项和S“；

(2)若0=1,设数列|工［的前几项和为7“，求证：-<Tn<l.

MJ2

【答案】(1)"=—生口-3"+1

44

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由数列｛4,｝递推公式可得其通项公式，再由错位相减法求数列｛3"-4｝的前”项和；

/、111

(2)若。=1,可得%+1—1=%(%—1),从而一=——-------利用裂项相消法推导出前〃项和

'744—1%-1

为T”，再由7“的单调性可证明不等式成立.

【小问1详解】

(2—1

当p=o时，则3一=1,得4+1-1=4,所以。用一4=1,

an

所以数列｛%｝是以q=2为首项，公差为1的等差数列.

所以4=2+(〃-1)x1=〃+1,则+

所以=2x3+3x32+4x33++(«+1)-3",

234+1

3Sn=2x3+3X3+4X3++(zz+l)-3",

234,,+1

两式相减得—2sl=6+3+3+3++3"-(«+1)-3

”…「32n+1.„,1

+所以S”=_/+:—，3•

1-3

【小问2详解】

a—1

当夕=1时，由q—=可一1,得a“+i=a；_%+l,

an

所以4+i-4=a；-2%+1=(a,,—：!)?>0,

所以数列｛%,｝单调递增，因为％=2,所以422,

(J—]

又由」^=%T,可得%+「1=%(q—1),

Un

1111111

所以----------,即一=-------------

7=~T~a

4Tna,an-lan+1-l

贝以=工+'+111、’1111

+——二+++

anq—1%—1,%+i01Ta„+i-1

所以。=1——二，易知>——二（为递增数列，且g=3，

a"1

11,11

所以7=1-----7<1------7<1,即：-<T„<1.

2«2-1%T2

【点睛】数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于也2｝型数列，其中｛4,｝是等差数列，｛〃｝是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于｛4+々｝型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中｛4｝是公差为d（dH。）的等差数列，利用裂项相消法求和.

〔44+1J

万2222

22.已知离心率为的双曲线C|：T—2T=1.〉0/〉0）过椭圆。2：土+乙=1的左，右顶点A,

2ab3

B.

（1）求双曲线Ci的方程；

（2）P（xo，yo乂尤o>°，yo>O）是双曲线C1上一点，直线AP，3尸与椭圆。2分别交于。，E,设直线DE

与x轴交于Q（x0,O）,且仆=万/0<%<g,记△5。尸与△相£）的外接圆的面积分别为3，邑，

【解析】

【分析】（1）根据椭圆与双曲线的基本量求解即可；

⑵方法一：设直线AP：y=」5（x+2）,£）（4%）,联立直线与双曲线的方程，结合在

44

双曲线上，化简可得看=一，同理％=一,代入演=力天化简，结合双曲线方程可得

工0%0~

序

pf2,再根据正弦定理，结合sinNBDP=sin/ADfi代入化简可得

L再根据0＜丸(工求解范围即可;

—2

方法二：设直线x^ty+m,%E(x2,y2),联立方程得出韦达定理，再根据尸，A,。三点

2—inx—22

共线，p,B,E三点共线，列式化简可得三丁丁，进而可得结合双曲线方程可得

Df213-322、

,再根据正弦定理，结合sin/BDP=sin/ADfi代入化简可得

再根据0＜2〈工求解范围即可.

2

【小问1详解】

a2

由题意得：＜C?=/+〃，解得6=退,

Q=2

22

所以双曲线G的方程为土-乙=1.

43

【小问2详解】

方法一：设直线AP：y=^^(x+2),。(石,乂)，

川卜=]^(x+2)消件L4尤]2劣16y：16y；

3%2+4/=12L(%+2)」(%+2)(%+2)

殂016y-12(%+2)2

得:---仁---，，

3(%+2)+4需

22

又因为？(％,%)在双曲线上，满足?=1,即4y；=3x；—12,

二8/-6(%+2『6年-24-6(%+2『-24函+2)=-4=±

玉一3(%+2)，4解-3(Xo+2『+3x；—12—6x0(Xo+2)-%'1%

//八/、44

同理设直线BP：y=—2），区（々，%），可得%;一，所以为=一.

%-2XQ