2024年高考数学双曲线的定义与方程讲义

双曲线的定义与方程

一、单选题

2

1.点6、8分别是双曲线V-4=1的左、右焦点，点P在双曲线

上，则APEK的内切圆半径厂的取值范围是

A.（0,6）B.（0,2）c.（0,V2）D.（0,1）

22

2.已知点尸是双曲线E：2-看=1的右支上一点，片、工是双曲线

E的左、右焦点，△出月的面积为20,给出下列四个命题：

①点P的横坐标为y②△理工的周长为三

③/甲组大于三④△尸相的内切圆半径为g

其中所有正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

22

3.已知双曲线♦-2=1（。＞0,40）的左、右焦点分别为F,

ab2

过尸2且斜率为T的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若

［的+或）后=0,则此双曲线的标准方程可能为（）

22

4.已知耳，工分别是双曲线C：?-3=1的左，右焦点，动点A在

双曲线的左支上，点3为圆E：炉+（年的=1上一动点,则四|+|然|

的最小值为（）

A.7B.8C.6+百D.2百+3

22

5.设P是双曲线三-2=1（。＞。力＞。）上一点，小心分别是双曲

ab

线的左、右焦点，则以线段PB为直径的圆与双曲线的实轴为直径

的圆的位置关系是（）

A.内切B.外切C.内切或外切D.不相切

22

6.已知双曲线:暇=1（。〉0/〉0）的左、右顶点分别是A3,双

曲线的右焦点R为（2,0）,点P在过R且垂直于X轴的直线/上，当

AABP的外接圆面积达到最小时，点尸恰好在双曲线上，则该双曲

线的方程为（）

22

7.设F为双曲线E：/备=l（a,b〉0）的右焦点，过E的右顶点作

x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B两点，O为坐标原点，四边

形OAFB为菱形，圆C+y?=c?=a?+b?）与E在第一象限的交点

是P,且|PF|=V7-1,则双曲线E的方程是（）

22

8.设斗工分别是双曲线♦-今=1（。〉0/〉0）的左'右焦点，。为

ab

坐标原点，过左焦点《作直线耳尸与圆必+产=/切于点后，与双曲

线右支交于点P,且满足OE=g（OP+。与），|困=6,则双曲线的

方程为

22222222

A.土-乙=1B,土-乙=1C.土-乙=1D.土-匕=1

6126936312

9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为闩直线一-：与

其相交于M,M两点，―中点的横坐标为二-，则此双曲线的方

产日

不王7E：

22

10.已知点尸是双曲线「-今=1（。〉0涉〉0）右支上一点，耳、工分

ab

别是双曲线的左、右焦点，/为-P4月的内心，若Sg=S/%+；Sg

成立，则双曲线的渐近线方程为（）

A.2缶土y=0B.8x土y=0C.岳±y=0D.3x土y=0

22

11.已知双曲线?-三=1,耳耳分别是双曲线的左右焦点，存在一

点MM点关于6点的对称点是A点，M点关于F2点的对称点是

B彘,线段"N的中点在双曲线上，则|阴-冲|=

A.±4B.4C.±8D.8

12.设双曲线C：（=1的右焦点为尸，过口作渐近线的垂线，

lo9

垂足分别为M,N,若d是双曲线上任一点尸到直线MN的距离，

则向的值为

345

A.-B.yC.-D.无法确定

13.过双曲线V—5=1的右支上一点P,分另IJ向圆G：（x+4）2+/=4

和圆。2：（尸4『+y2=i作切线，切点分别为监N,则忸可_冲「的

最小值为

A.10B.13C.16D.19

22

14.已知耳，鸟分别是双曲线3=1的左，右焦点，过耳引圆

916

必+丁2=9的切线平交双曲线的右支于点p,T为切点，M为线段

6P的中点,。为坐标原点，^\\\MO\-\MT\=

A.1B.2C.3D.4

22

15.如图，已知双曲线2=1(。〉0力〉0)的左、右焦点分别为Fi、

F2,|FIF2|=8,P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点

A,△APFi的内切圆在边PFi上的切点为Q,若|PQ|=2,则该双

曲线的离心率为

A.72B.73

C.2D.3

16.已知平面上两点加(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使

归闸-|叫=6,则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型

直线”的是()

4

①y=x+l；②y=2；③y=§x；④y=2x+l.()

A.①和②B.②和③C.①和④D.②和④

二、填空题

17.P为双曲线一十=1右支上一点，〃，N分别是圆(x+4)+/=4

和（％-4）2+丁=1上的点，则PM—PN的最大值是

丫2

18.已知椭圆E：了+丁=1的左右顶点分别为4,4,且3,c为E

上不同两点（B,。位于y轴右侧），B,。关于X的对称点分别为

为与，G,直线84、耳4相交于点P,直线C4、C4相交于点Q,

已知点/（-2,0）,贝I]|PM|+1|-1P。|的最小值为.

19.已知平面内两个定点加（3,0）和点N（-3,0）,尸是动点,且直线PM,

PN的斜率乘积为常数丰0）,设点P的轨迹为C.

①存在常数。（。。。），使C上所有点到两点（工。）,（4，。）距离之和为定

值；

②存在常数。（。。。），使C上所有点到两点（0,-4）,（0,4）距离之和为

定值；

③不存在常数。（。。。），使C上所有点到两点（T0）,（4，。）距离差的绝

对值为定值；

④不存在常数使C上所有点到两点Q-4），（。，4）距离差的

绝对值为定值.

其中正确的命题是______________.（填出所有正确命题的序号）

20.如图，圆（x+2『+y2=4的圆心为点B,A（2,0）,P是圆上任意

一点，线段AP的垂直平分线/和直线3P相交于点Q,当点P在圆

上运动时，点Q的轨迹方程为.

参考答案

1.A

【解析】如图所示，设”F乙的内切圆圆心为/,内切圆与三边分别

相切于点ABC,根据圆的切线可知：।尸石=|尸。|,闺AT耳a,怛rt片用,

又根据双曲线定义附H%=2。,即（用+国C|H附+后邮=2a,所

以闺C|-优到=2%即忸⑷―优小=2%又因为闺A|+|序4|=2c,所以

\FlA\=a+c,\F2A\=c-a,所以A点为右顶点，即圆心/（。，厂），

考虑P点在无穷远时，直线尸耳的斜率趋近于4此时PK方程为

a

y=-^+c）,此时圆心到直线的距离为叱丁+：:=/，解得厂=,因

此心耳心内切圆半径厂«03），所以选择A.

2.C

【分析】设△耳尸鸟的内心为/,连接小、叫、叫,设尸（加，«）,利用

△P片巴的面积为20,可求得尸点坐标；△母;马的周长为

%+随I+WVI,借助P点坐标,可得解;利用,“可求得tanFFB,

可研究范围；S/F2=+（|P用+归闾+寓闾）可求得内切圆半径匚

【解析】设△甲谯的内心为/,连接小、悠、明,

22

双曲线E:2一聋=1中的a=4,b=3,c=5,

loy

不妨设P（帆”），m>0,n>Q,

由鸟的面积为20,可得g闺闾〃=例=5"=20,即〃=4,

由《弋=1,可得"以故①符合题意；

lo9J

由dmf,且耳（-5,0）,7^（5,0）,

则附|+|%=，16+5+^^=《+?=小

则△「秋的周长为三+10=三，故②符合题意；

=，曰,12,12

可得加；=石，kp%=—,

12_12

则tan可2=力亮=瑞右（0,回

+5x35

则/五/8<三，故③不符合题意；

设△3月的内切圆半径为厂，可得j（|P周+卢闾+|片用）=gM用-4,

可得｝=40,解得宜，故④符合题意.

故选：C.

【点评】关键【点评】本题关键借助P点坐标利用弦长公式求得周长,

利用斜率求得夹角，用等积法求得内切圆半径.

3.D

【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得|4鸟1=1耳耳=2c,由

双曲线的定义可得1前1=2a+2c,再由三角形的余弦定理，可得3c=5a,

4c=5b,即可判断出所求双曲线的可能方程.

【解析】解：由题可知，心=—族+廓，

若叵+可.心=0,即为［族+叫1族+叫=0,

___22FF

可得定=ER,即有IA61=12I1=2c,

由双曲线的定义可知MKH91=2%

可得1Mb2a+2c,

由于过&的直线斜率为

24

所以在等腰三角形中，tanZA耳月=-亍，

7

则cos/A鸟耳=—有，

由余弦定理得：cosZA.=./4c2+4;；(j+2c)2,

252・2c・2c

化简得：3c=5a另

即a=：c,匕=¥，

22

可得。：6=3:4,a:b=9:16,

22

所以此双曲线的标准方程可能为：5-2=1.

916

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性

质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题.

4.A

【分析】根据题意，利用双曲线的定义化简|A闾=|明|+2。=|小|+4,

转化为不等式习MT明则有

|的+|由以叫+4+|明-1=|/+网+3当且仅当A是线段即与双曲

线的交点时取等号，计算即可求解.

【解析】双曲线:-;=1中a=2,b=6,C=4M=^7,月2,0）,

圆E半径为r=1,E（0,-3）,••.|七|=|明|+2a=所|+4,

\AB\>\AE]-\BE\=\AE]-1（当且仅当A,E,3共线且3在A,E之间时

取等号.）

.­.|AJB|+|A^|>|A^|+4+|AE|-I=|A^|+|AE|+3>|E^|+3=^（Z/7）+F+3=7

当且仅当4是线段班与双曲线的交点时取等号・••.|AB|+|A勾的最小值

是7.

故选：A.

【点评】本题考查双曲线与直线相交的最值问题，考查几何法解决双

曲线问题，考查转化与化归思想，综合性较强，有一定难度.

5.C

【分析】利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右

两支时，两圆相内切、外切.

【解析】设以实轴闺局为直径的圆的圆心为。-其半径1也

线段尸工为直径的圆的圆心为。2,其半径为之=用，

当P在双曲线左支上时，|。。2|=粤,

"-|。02|=尊-早=以=小

，两圆内切.

.口+弓=|o1o2|

，两圆外切.

故选：C.

【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查运算求解能力，推

理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高，有一

定的探索性.综合性强，难度大，易错点是容易只考虑P点在一个分支

上而导致丢解，是高考的重点.解题时要认真审题，仔细解答.

6.A

【分析】点P的坐标为（2,加）（加＞。），tanZAP6=tan（NAPF-尸），展

开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.

【解析】不妨设点尸的坐标为（2,加）（心0）,由于|的为定值，由正弦

定理可知当sinZAPB取得最大值时，AAP5的外接圆面积取得最小值,

也等价于tanZAPB取得最大值，

因为tanZAPF="+?,tanNBPF=-~,

2+〃2—。

所以)

tanZAPB=tan(/APR—ZBPF=*/=W形一钻

1H---------------m-\---------

当且仅当机=/（加＞0）,即当机必时，等号成立，

m

此时ZAPB最大，此时APB的外接圆面积取最小值，

22_________

点尸的坐标为（2力），代入3-2=1可得"近，b=4^=0

ab

22

所以双曲线的方程为3=1.

22

故选：A

【点评】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用

能力.

【分析】根据题意可得c=2a,/5结合选项可知，只有D满足，

因为本题属于选择题，可以不用继续计算了，另外可以求出点P的坐

标，根据点与点的距离公式求a的值，可得双曲线的方程.

22人

【解析】由题意，双曲线E：与-a=1的渐近线方程为丫=土乙，

aba

由过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B两点，且四

边形OAFB为菱形，

则对角线互相平分，所以c=2a,-=V3,所以结合选项可知，只有D

a

满足，

「22

2L_ri万3

由a2bL=,角星得XA=4a,y.=fa,

x2+y2=c2=4a222

因为|PF|=A/7-1,PJrl>l(-^-a-2a)2+(-|a)2=(\/7-I)2,解得a=l,则b=

2

故双曲线方程为X2—(=1,

故选D.

【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质，以及菱形的性质和距离

公式的应用，其中解答中合理应用菱形的性质，以及双曲线的几何性

质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.

8.D

【解析】分析：根据圆的半径得出。，根据中位线定理和勾股定理计

算C,从而得出。，即可得出双曲线的方程.

E为圆f+V=片上的点,

.\E是P耳的中点，又。是耳月的中点，:.PF2=2OE=2a=2B

且牝0E,

又PF「PF2=2a=2后--P4=4a=48

尸耳是圆的切线，：.OELPFX,:.PF.LPF,又

22222

耳工=2c,4c=P42+PF；=60,c=15,.-.b=c-a=12.

22

•••双曲线方程为3=1.

故选D.

【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，双曲线标

准方程的求法，属于中档题.

9.B

【解析】设双曲线方程为,将加〃=16代

0"激

入双曲线方程，整理得:--一，..，由韦达定理得

［若号，则♦+」=#。=_2.又=/+川=，，所以口-=,b2=5,

物一：到，a-b】

所以双曲线的方程是-=1.故选B.

考点：双曲线的标准方程.

10.A

【分析】设圆/与。耳鸟的三边耳心、尸耳、「心分别相切于点及尸,G,

连接/E,"WG,IFE,1PFX,/尸月可看作三个高均为圆/半径厂的三

角形利用三角形面积公式，代入已知式SIPF}=S/PF2+§S1FXF29化简可

得「用-|。鸟=3片鸟,再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求.

如图，设圆/与班区的三边甲葭PK、尸鸟分别相切于点及尸,G,

连接/E,"WG,

则/E_L片耳，IFlPFlfIGlPF2f它们分别是

1%,IPR,肥鸟的高,

1r

■■SIPFI=-PFX-\IF\=-PFX

1r

SIPF2=-PF2]IG\=-PF2,

1r

Sg=*•阳=*

其中「是「耳耳的内切圆的半径.

rrr

.■.-PF=-PF+--FF,

21Z2o12

两边约去，导：wH桃

根据双曲线定义，得归居卜|。闾=2%出闾=2%

____bl

3a=c,b=y/c2—a2=2y[2a,—=242,

a

可得双曲线的渐近线方程为y=±2岳，

即为20x±y=O,故选A.

【点评】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查

了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题.解与双曲

线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时

也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线

的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

11.C

【分析】由题意画出图形，将其转化为三角形中位线，结合双曲线的

定义求出结果

【解析】如图所示，线段MN的中点E在双曲线的左支上，

AMM4中，是中位线，|N4|=2画

同理，AMNB中,E8是中位线，|阴=2飓结合双曲线的

|AM|-|A®|=2（|研-巾）=j=-8.

同理线段跖V中点E在双曲线的右支上，|附|-|柳1=8,

则所求=±8,故选C.

【点评】本题考查了结合双曲线定义求出线段的差值，题目中的条件

需要进行转化为三角形的中位线，是解题的关键

12.B

【解析】由题意，易得，直线的方程为：x=g,

设P(x,y),则d=x告

lPFl=&-5)2+H=J(x—5)2+96—l[=栏々J=A

16

.d_X~~5^4

••西.皂一J5

4

故选B

13.B

【解析】由题可知，归“『一|PN|2=(|PG/T)一(|PG『-D,

2

因此怛—|PN「=|PG|2-|PC2|-3=(|pq|-|PC21)(|PQ|+|PC2|)-3

=2(|PGH1)—322|—3=13,故选B.

考点：圆锥曲线综合题.

14.A

【解析】由题意“。是“耳居中位线，所以附0|

=；|*,|町=3也|-|科又知|盟=7^记=5,因是圆好+丁=9的切

线，所以|。刀=3,用）=后三=4,

A.

【点评】本题主要考查双曲线的性质及定义和三角形中位线及圆的切

线的性质，属于难题.本题考查知识点较多，综合性较强，同学们往

往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首

先不能慌乱，更不能因贪快而审题不清.本题首先根据中位线得

，叫，根据几何意义得|町=3%-闺刀,有勾股定理求出|单1=4,

最后可得=I单1-3（户用-归阊），进而利用双曲线的定义可求

解.

15.c

【解析】如下图所示，Q4“E=2+P8.又

PF1—PF2=2+QF]—PF2=2tz,/.2+2=2a,a=2,所以离心率e，=：=2,选

a2

c.

考点：双曲线与圆.

16.A

【分析】根据双曲线的定义,可得点尸的轨迹是以“，N为焦点,2“=6

22

的双曲线，由此算出双曲线的方程为三-2=1.再分别判断双曲线与四

916

条直线的位置关系，可得只有①②的直线上存在点P满足B型直线的

条件，由此可得答案.

【解析】点/(-5,0)N(5,0)点P使\PM\-\PN\=6,

，点尸的轨迹是以V、N为焦点,2a=6的双曲线

22

可得〃=°2_/=52_32=16,双曲线的方程为5-3=1,

916

双曲线的渐近线方程为y=,

•••直线y=gx与双曲线没有公共点，

4

直线y=2x+l经过点(0,1)斜率上＞§,与双曲线也没有公共点

22

而直线y=x+l与直线y=2都与双曲线三_巳=1有交点，

916

因此，在y=x+i与y=2上存在点P使户叫-|即=6,满足5型直线的条件

只有①②正确，

故选A.

【点评】本题给出？型直线”的定义,判断几条直线是否为B型直线，

着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识,

属于基础题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一

种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅

读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实

现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，

分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办

事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

17.5

【分析】先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利

用平面几何知识把IPMTPNI转化为双曲线上的点到两焦点之间的

距离即可求1PM\-\PN\的最大值.

如图，双曲线的两个焦点为：片（-4,0）,8（4,0）为两个圆的圆心，半径分

别为6=2,2=1

1尸"岛=1理1+2,1印1mto=|「鸟|-1

故1PMi-|PN|的最大值为:（|尸耳1+2-|「乙|+1）=|「耳|「乙|+3=5

故答案为：5

【点评】本题考查了双曲线中的最值问题，考查了学生数形结合，转

化划归，数学运算的能力，属于中档题.

18.4技

丫2

【分析】根据题意，求得点尸，。的轨迹为双曲线^->2=1的右支,

进而根据双曲线的性质得解.

【解析】设点析［九）,则A8：r=U^a+百）

则上占（“，

点P的轨迹方程为V=*2-3）,即9-v=l（y>0）,

同理可得点。也在轨迹=1（>〉。）上，

丫2

注意到点MJ2,0）恰为双曲线5-V=J的左焦点,

如图:

设双曲线方-V=1的右焦点为N