建筑力学 课件 6-2扭转杆件的应力与变形

§6-3扭转杆件的应力与变形主要承受扭转变形的杆件称为轴，大多数为圆轴。1、圆截面杆件扭转时的变形现象:6.3.1圆杆扭转时的应力⑴所有纵向线都倾斜了一个相同的角度

，变为平行的螺旋线；⑵所有圆周线都绕杆轴线转动，仍保持为圆形，圆周长不变，两个圆周线之间的距离也没变。圆周线纵向线MeMe圆杆扭转时的应力变形前后横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样旋转了某一角度；MeMe圆周线——形状、大小、间距不变纵向线——间距不变，倾斜了同一个角度内部——推测（平截面假设）圆杆扭转时的应力MeMe推论——横截面大小、形状不变→半径方向无正应力；结论——横截面上只有切应力，且与所在半径垂直(?)相邻横截面间距不变→轴线方向无正应力；横截面旋转了角度γ

→存在角应变→切应力不为0；在上述假定、推论的基础上，综合考虑几何、物理、静力学三方面的关系，可推导出圆杆扭转时的应力和变形。6.3.1圆杆扭转时的应力变形规律几何关系切应力计算公式静力学关系2、切应力计算公式物理关系切应变分布规律切应力分布规律dx1）几何关系在圆杆中截取长度为dx的微段：圆轴横截面切应力公式dxdxR圆轴外表面处切应变：MeMed/dx为单位长度上两端截面的相对扭转角圆轴内任一点处切应变：T2）物理关系（胡克定律）根据剪切胡克定律： 切应力的大小与点到圆心的距离

成正比；切应力的方向垂直于该点与圆心的连线，指向与扭矩转向一致。R同一横截面为常量圆轴横截面切应力公式TO切应力对截面形心的合力矩即截面上的扭矩:3)静力学关系dA

圆轴横截面切应力公式Ip是一个只取决于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩。量纲：[长度]4TOdA

圆轴横截面切应力公式对于指定截面，T、Ip为定值。切应力的大小与点到形心的距离成正比。——受扭圆轴横截面上的切应力计算式TO圆轴横截面切应力公式最大切应力：抗扭截面系数，量纲：[长度]3横截面上切应力分布：圆轴横截面切应力公式应力分布：tmaxTtmaxtmax（实心截面）tmaxtmaxTtmax（空心截面）圆轴横截面切应力公式d实心圆截面：Odrr4）Ip

与Wp

的计算圆轴横截面切应力公式空心圆截面：DrOd圆轴横截面切应力公式注意：对于空心圆截面Dd圆轴横截面切应力公式实心轴与空心轴Ip

与Wp

对比：dDd圆轴横截面切应力公式一圆轴AC受力如图所示。AB段为实心，直径D=50mm；BC段为空心，外径D=50mm，内径d=40mm。试求该轴内最大切应力。例题解：（1）作扭矩图（2）分段计算轴内最大切应力AB段：BC段：例题AB段为实心，直径D=50mm；BC段为空心，外径D=50mm，内径d=40mm。试求该轴内最大切应力。

MeMe圆轴外表任一微小单元体：

acddxb

´

´

6.3.2切应力互等定理单元体截面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态叫纯剪切应力状态。在相互垂直的两个平面上，切应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线，并与交线垂直。切应力互等定理xyzacOdbdxdydzt'ttt'根据切应力互等定理，在画单元体的应力状态图时，只要知道一个截面上的切应力大小和方向，另外三个面上的切应力也知道了。该定理具有普遍适用性，不仅对只有切应力作用的单元体成立，对正应力和切应力共同作用的单元体也成立。切应力互等定理

（1）在圆杆扭转时，外表面为自由表面，由切应力互等定理可知：横截面上切应力垂直于半径方向。（2）当已知横截面上的切应力及其分布规律后，由切应力互等定理便可知道纵截面上的切应力及其分布规律切应力互等定理MeTGIp—抗扭刚度圆杆扭转时，其变形可用横截面之间的相对角位移，即相对扭转角φ表示。6.3.3圆杆扭转时的变形dxR单位长度扭转角：对一段等截面直杆，其上T为常量时圆杆扭转时的变形当轴内扭矩或截面分为若干不同数值段时：

—是整个构件两端截面的相对扭转角圆杆扭转时的变形注意：计算时扭矩的正负号要代入算式，正负号体现了不同的相对扭转方向：解：1.作扭矩图（求各段轴的扭矩）图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，横截面直径d=70mm，G=80GPa。试求横截面C相对于B的扭转角。BAClABlAC例题2.求各段轴两个端面间的相对扭转角：BAC

例题3.求横截面C相对于B的扭转角：BAC

例题Me

tl——通常指的圆管薄壁圆管

T

Me

nntR内力偶矩——扭矩TT=Me6.3.4扭转试验nn横截面上切应力分布：由于管壁很薄，切应力在横截面上均匀分布（即所有各点处切应力大小均相等），方向垂直于半径。Me

nnRx

T

Me

nn薄壁圆筒的扭转切应力计算公式：

daR

T

横截面的切应力对于圆心的合力矩即为截面上的扭矩：薄壁圆筒的扭转当t≤R/10时，上式的误差不超过4.52%，是足够精确的。切应变薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒实验证明：切应力与切应变之间存在着与拉压胡克定律类似的关系。Me

比例常数G称为剪切弹性模量，常用单位GPa。钢材：剪切胡克定律剪切胡克定律当切应力不超过材料的剪切比例极限

p时,切应力与切应变成正比。