2024年中考数学一轮复习讲义--实际问题与一元二次方程专项练习

实际问题与一元二次方程专项练习

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

列一元二次方程

能根据实际问题，抽象出一元二次方程的实际模型，进而解决实际问题★★

解应用题

二、核心纲要

L列一元二次方程解决应用题的步骤

(1)审题：明确已知条件和未知条件，以及它们之间的关系.

(2)找等量关系：明确题目中的等量关系.

(3)设未知数：用字母表示未知数，可以直接设未知数也可以间接设未知数.

(4)列方程：根据等量关系列方程.

(5)解方程：选择恰当的方法解方程.

(6)检验：检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意.

⑺作答：写出题目最终的答案.

2.一元二次方程实际问题的常见类型

(1)传播问题：传染病的第一轮和第二轮传播，可以抽象为一元二次方程的数学模型.

(2)增长率(或减少率)问题(重点)：以增长率为未知数来设元，便可以转化为求解一元二次方程的问题.银行储蓄的利率问题，其

实也是一种特殊的增长率问题，利率即增长率.

(3)销售问题(重点)：如何选择最优化的方案，获得最大利润或减少成本(方案选择问题).

(4)几何问题：掌握几何图形的性质、周长和面积的计算方法.

(5)行程问题：路程=速度x时间，速度=路程无寸间,时间=路程+速度，抓住这三个量之间的关系列方程.

(6)数论问题：有些时候也会遇到与位值原理相关问题，题目中明确说明，某一位的位值与其他位的位值之间有平方关系，这种

题目也需要用到一元二次方程来求解.

本节重点讲解：一个步骤，一类应用.

三、全能突破

基础演练

1.某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是().

71.200(1+01/1B.200(l-aC.200(1-2a0.200(1-a2*)

2.为了美化环境，某市加大对绿化的投资.2007年用于绿化投资20万元,2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平

均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x,根据题意所列方程为().

A.20x2=25B.20(l+x)=25

C.20(l+x)2=25D.20(1+x)+20(1+x)2=25

3.在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图

21-3-1所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2.设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是().

A.X2+130%—1400=0B.x2+65久—350=0

图21-3-1

C.x2-130x-1400=0D.X2-65X-350=0

4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（）人.

A.12B.10C.9D.8

5.矩形的周长为8,面积为1,则矩形的长和宽分别为一.

6.在实数范围内定义运算“①”,其法则为：（a④b=a?-"求方程（4©3）©x=24的解.

能力提升

7.有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2m,已知第二块木板的面积比第一块大

108mz,这两块木板的长和宽分别是（）.

A.第一块木板长18m,宽9m,第二块木板长27m,宽16m

B.第一块木板长12m,宽6m,第二块木板长18m,宽10m

C.第一块木板长9m,宽4.5m,第二块木板长13.5m,宽7m

D.以上都不对

8.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（）.

A.25B.36C.25或36D.-25或-36

9.甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%,乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%,

最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲获利了一元.

10.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个

容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m,现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回

这张矩形铁皮共花了多少元？

11.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）,另三边用木栏围成，木栏长40m.

⑴鸡场的面积能达到1807n2吗?

（2）鸡场的面积能达到:210m2吗？

12.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染

中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

13.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取

适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件.

（1）若商场平均每天赢利1200兀,每件衬衫应降价多少兀？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

14.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽

车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，

销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万元.

(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为一万元.

(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月赢利12万元，那么需要售出多少辆汽车?(赢利=销售利润+返利)

15.如图21-3-2所示，将正方形沿图中虚线(其中x<y)剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形).

(1)画出拼成的矩形的简图.

⑵求］的值.

图21-3-2

16.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次

降价30%,第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是—.

17.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了

加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.

(1)求平均每次下调的百分率.

⑵某人准备以开盘价均价购买一套100m^的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

18要在一块长52m,宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案.

r----52----彳

小亮设计的方案如图21・3-3(a)所示

甬道宽度均为.e,婀余的四块绿

地向枳共23000?

ffi-

小额设计的方案如图21-3-3(b)所示

BOHE=x4B"CD,HG"EF,

।52AD/ffl±£F,Zl=60°

(b)

图21-3-3

⑴求小亮设计方案中甬路的宽度X.

⑵求小颖设计方案中四块绿地的总面积(友情提示：小颖设计方案中的X与小亮设计方案中的X取值相同).

巅峰突破

19.如图21-3-4所示，在AABC中,.NB=90。,点P从点A开始，沿AB边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C

以2cm/s的速度移动，如果4B=Scm.BC=7cm,PxQ两点同时出发，

(1)几秒后APBQ的面积等于4cm2?

⑵如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后PQ的长度等于5cm?

(3)在⑴中,APQB的面积能否等于7加2?说明理由.

图21-3-4

20如图21-3-5所示在AABC中,NB4C=45。,4D1BC■于点D,将.△48。沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处;将AACD沿AC

所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M.

⑴判断四边形AEMF的形状，并给予证明.

⑵若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.

B

图21-3-5

基础演练

1.B2,C3.B4.C5.2+/3.2-/3

6.X]=5.X2=-5

能力提升

7.B8,C9.1

10.设长方体的长为xm,则宽为(x-2)m,根据题意彳导：

x(x-2>l=15.解得:Xi=5,x2——3(舍).

原矩形铁皮的面积为：(x+2)x=7x5=35m2.

张大叔购回这张矩形铁皮共花了35x20=700元.

11.(1)设鸡场的一边长为xm,则另一边长为(40-2x)m,若面积能达到180m2,根据题意，得：

x(40-2x)=180.解得:%!=10+V10,x2=10-V10.

0<40-2x<25,.,.7.5<x<20.

10-V10<7.5,x=10+V10.

.••当鸡场的一边长为io+V10时,面积达到180m2.

(2)Vx(40-2x)=-2(x-l0)2+200.

鸡场的最大面积为200m2.

•••鸡场的面积能不能达到210mz.

12.设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意，得:(l+x)2=8L

解得：Xi=8,x2=—10(舍).

3轮感染后，被感染的电脑为(1+8)3=729>700.

答：每轮感染中，平均一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染电脑的台数会超过700台.

13.设平均每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据题意，得：

w=(40—x)(20+2x)=-2x2+6Ox+800

=-2(x-15)2+1250,

(1)当w=1200时，-2/+60x+800=1200,

解得：XI=10,X2=20.

根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元.

答：每件衬衫应降价20元.

⑵由⑴可知当x=15元时,商场盈利最多，共1250元.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多.

14.(1)26.8,

(2)设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：

28-[27-0.1(x-l)]=(0.1x+0.9)万元.

当OSxSlO,根据题意彳导x-(0.1x+0.9)+0.5x=12.整理，得必+14x-120=0,

解这个方程彳导xi=-20(不合题意，舍去),X2=6.

当x>10时，根据题意，得x-(0.1x+0.9)+x=12,整理得x2+19x-120=0.

解这个方程，得XF-24(不合题意.舍去),xz=5.

因为5<10,所以的=5舍去，

答：需要售出6部汽车.

15.⑴如下图所示

(2)由拼图前后的面积相等得::[(x+y)+y]y=(x+y)z.

因为y邦,整理得：(；y+；-i=o.

解得：，=与1负值不合题意，舍去).

中考链接

16.乙

17.⑴设平均每次下调的百分率x,则6000(l-x)2=4860.

解得:Xi=0.1.Xz=L9(舍去).

工平均每次下调的百分率为10%.

(2)方案①可优惠:4860xl00x(l-0.98)=9720元

方案②可优惠：100x80=8000元.

方案①更优惠.

18.(1)根据小亮的设计方案列方程得：

(52-x)(48-x)=2300

解得:-=2,/=98倍去)

，小亮设计方案中甬道的宽度为2m.

(2)作AI_LCD,HJ_LEF,垂足分别为I.J,

AB//CD,Z1=60°,，ZADI=60°.

VBC/7AD,.,.E^ADCB为平行四边形.

；.BC=AD.

由(1)得x=2,，BC=HE=2=AD.

在RtAADI中,AI=V3.VNHEJ=60。,二HJ=V3.

•••小颖设计方案中四块绿地的总面积为：

2

S=52X48-52X2-48X2+(V3