江苏省南京市、盐城市高三年级第一次模拟考试数学试卷有答案

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.

1.已知集合4=｛一1。/｝,B=(-oo,0),则4门5=.

2.设复数满足z(l+i)=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为,

3•已知样本数据R，2，5,5的方差s2=3，则样本数据2X,2x,2x,2%,2'的方差为一

4.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是.

第留

5.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为.

%>0

6.已知实数羽y满足x+y47,则上的最小值是.

x+2<2yX

7.设双曲线竺-产=1(。>0)的一条渐近线的倾斜角为30。，则该双曲线的离心率为.

。2

8.设1｝是等差数列，若。+a+a=21,则S=

n4569

JT兀

9.将函数y=3sin(2x+§)的图象向右平移中(0<(p<-)个单位后，所得函数为偶函数，则中=.

10.将矩形43。绕边旋转一周得到一个圆柱，AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为。，△EPG为

下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥。-EFG体积的最大值是.

11.在△ABC中，已知=C=g,则OLCB的最大值为.

12.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线-_f（x+l）上从左向右依次取点'、%,%=1,2,…，

其中A是坐标原点，使AABA都是等边三角形，则AABA的边长是

1kkA;+l101011

13.在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=21nx的图象与圆M：（x-3）2+y2="的公共点，且它

们在点P处有公切线，若二次函数，=/（无）的图象经过点尸,M,则y=/Q）的最大值为.

14.在△?13c中，A、B、C所对的边分别为。、b、c,若g+枕+2<?2=8,则△A5C面积的最大值为

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题

纸的指定区域内）

15.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC-A8C中，BC1AC,D,E分别是43,AC的中点.

111

（1）求证：BC〃平面AOE；

111

（2）求证：平面平面ACCA.

111

B

第15题图

16.（本小题满分14分）

在AA3c中，a,b,。分别为内角A,B,C的对边，且加in2C=csin3.

（1）求角C；

（2）若sin（3-4=2,求sinA的值.

35

17.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆。：了2+山=上经过椭圆后：*+21=1(0＜》＜2)的焦点.

4&2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设直线/：＞=丘+机交椭圆E于尸，。两点，T为弦尸。的中点，M(-l,0),N(l,0),记直线TM,TN的

斜率分别为左1，左2，当2m2_2公1=21时，求6•左的值.

第17题图

18.(本小题满分16分)

如图所示，某街道居委会拟在瓦7地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30

米.活动中心东西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形A3C。，上部分

是以。C为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在

3

居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足tan0=：.

(1)若设计AB=18米，4。=6米，问能否保证上述采光要求？

(2)在保证上述采光要求的前提下，如何设计A3与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：

计算中兀取3)

19.(本小题满分16分)

✓7—1

设函数/(x)=lnx,g(x)=ax+----3(aeR).

(1)当。=2时，解关于的方程g(ex)=0(其中e为自然对数的底数)；

(2)求函数中(尤)=/(%)+g(x)的单调增区间；

(3)当。=1时，记纵x)=/(x＞g(x),是否存在整数大，使得关于的不等式”2/z(x)有解？若存在，请求

出九的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：山2々0.6931,ln3®1.0986）.

20.（本小题满分16分）

,n

a+d,—eNW*T,

若存在常数上aeN*«22）、q、d,使得无穷数列M｝满足a人则称数列｛。｝为“段比

nn+l

n_Tn

qa，—EN*,

〃k

差数列”，其中常数左、q、d分别叫做段长、段比、段差.设数列M｝为“段比差数列”.

n

（1）若布｝的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3.

n

①当q=0时，求b；

2016

②当4=1时，设/｝的前3〃项和为S,若不等式S4九31对”€]^*恒成立，求实数九的取值范围；

n3n3n

（2）设/｝为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的6｝,并说明理由.

nn

附加题

21.A（选修4-1：几何证明选讲）

如图，48是半圆。的直径，点P为半圆。外一点，尸A,尸3分别交半圆。于点。,C.若AD=2,PD=4,

PC=3,求的长.

21.B（选修4-2：矩阵与变换）

m2.1,

设矩阵M=。的一个特征值九对应的特征向量为0,求机与九的值.

2-3-Z

21.C（选修4-4：坐标系与参数方程）

3

x=-t

在平面直角坐标系X0V中，已知直线4。为参数）.现以坐标原点。为极点，以x轴非负半轴为极

y=­t

5

轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为P=2cos0,直线与圆C交于A,3两点，求弦的长.

21.D（选修4-5：不等式选讲）

若实数x,y,z满足x+2y+z=l,求尤2+>2+z2的最小值.

22.（本小题满分10分）

某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张

老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.

（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

（2）设这两个班”在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布表与数学期望E（X）.

23.（本小题满分10分）

设〃eN*,n>3,kwN*.

（1）求值：

①kCk—nCi；

nn-1

②k?Ck-n（n-l）Ck-2-nCk-\（左22）；

nn—2n—l

（2）化简：12co+22。+32c2+…+Q+1>C&+…+（〃+l>C〃.

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答案

15.(1)略

(2)略

714>/3-3

16.(1)C=-(2)

310

1

17.(1)上+J(2)

422

18.(1)能(2)AB=20米且A0=5米

19.(l)x=0或x=—ln2(2)当〃<0时，①⑴的增区间为(0,")；当时，9(光)的增区间为(0,+8)；

a

Z7—1

。>1时，叭X)的增区间为(——,+00).(3)九的最小值为0.

a

20.(1)①6,②九e114,+8)(2)b=6或6=(-1>-'h.

A1

21.A.4石B.m=0,X=-4C.AB=-D.-

56

22.(1)-(2)E(X)=-

33

23.(1)①0,②，0,(2)2“-2。2+5"+4)

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解析

1.试题分析：403={-1，°，1}。{-8，°}={一1}

考点：集合运算

【方法点睛】集合的基本运算的关注点

(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

2.试题分析：z(l+i)=2=z=l-i,所以虚部为-1.

考点：复数概念

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切

实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+由)=(ac—bd)+(ad+6c)i,(a,b,c,de&.其次要熟悉复数相

关基本概念，如复数。+6(a,beR)的实部为、虚部为、模为丁、对应点为①力)、共轨为a-万.

3.试题分析：由题意得方差为22s2=4x3=12

考点：方差

4.试题分析：第一次循环：x=5,y=7,第二次循环：x=9,y=5

考点：循环结构流程图

【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，

包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环

规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

1115

5.试题分析：对立事件概率为不-=2,因此所求概率为1-二=二・

C：666

考点：古典概型概率

【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的

题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

6.

【解析】

试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部(不含A,B)，其中则'表示可行城

X

_,3

上的点到原点连线的斜率，所以其最大值为鲂c二：

4

考点：线性规划

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，

其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离

等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

7.试题分析：双曲线渐近线方程为y=±2,所以L=tan3OOna=/nc=2ne=20

aa3

考点：双曲线渐近线及离心率

【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等

式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭

圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

8.试题分析：由。+a+a=21得a=7,所以S=%+"/=9a=63

4565925

考点：等差数列性质

【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷

又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在

解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

9.

【解析】

试题分析：由题意得，=3sin(2<x-0)+勺为偶函数，所以-2印=无好EZ),又所

…5〃

以P=—

12

考点：三角函数图像变换

【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，

所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母X而言.函数y=Asin(cox+(p),xGR

是奇函数=k7c(keZ)；函数y=Asin(<nx+(p),xGR是偶函数o(p=k?i+(keZ)；函数y=Acos

(cox+(p),xGR是奇函数o(p=kn+(keZ)；函数y=Acos(a)x+(p),xGR是偶函数=(p=kn(keZ).

10.试题分析：V=ixABxS=S<-x2x4=4

O-EFG3AEFGAEFG2

考点：三棱锥体积

【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题

求解，注意求体积的一些特殊方法一一分割法、补形法、等体积法.

(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截

面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的

几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

11.

【解析】

试题分析：C4CR=baco$C=gab,由余弦定理得：3=a2+b2-2abcoi^>2ab-ab=ab,所以

近.国人|,当且仅当a=分时取等号

考点：余弦定理

【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点

较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角

函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化

为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.

12.试题分析：设y="（x+l）与轴交点为P,则期位*BAP=44至9=224

,3111222333

依次类推得AABA的边长为29=512

101011

考点：归纳推理

13.

【解析】

2221

试题分析：设玳如治）「则由y'=一得一・％=-1=>一•/=-1=凡=-5以国-3）,而二次的

xXQ飞飞一32

119

数y=-彳心一3）正好过O,尸,M三点,所以/G）=--^x-3）<-

考点：导数几何意义，二次函数最值

【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，

点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、

垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起

来求解.

14.试题分析:S=la6sinC=[a6j]_cos2cJ（ab）2一回+枕—21='1帅―^23c2）；,

AABC222V42V4

而2ab<a2+Z?z=8-2C2nabW4-2c2,

所以S4U（4—2）2_（8-3c2）2=Jc2（16-5c2）4,5c?+（1"5。2）=2yli,当且仅当.二5了2=§时

AABC2V4442J555

取等号

考点：基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”

（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件

才能应用，否则会出现错误.

15.

【解析】

试题分析：（I）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的

寻找与论证，往往需要结合平几知识，如三角形中位线性质，及利用柱体性族，如上下底面时应边相互平

行（H）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，

往往需要利用线面垂直判定与性质定理进行多次转化：由直棱柱性质得侧棱垂直于底面：cc，底面ABC,

1

再转化为线线垂直ccJ_DE；又根据线线平行。E//BC,将线线垂直BC,AC进行转化。ELAC,再

1

根据线面垂直判定定理得DE平面ACCA

11

试题解析:证明：(1)因为O,E分别是AB,AC的中点，所以DE//3C,..............................2

分

又因为在三棱柱ABC-A3C中，BC1/BC,所以BC//DE...............................4分

1111111

又3cz平面AOE,£>Eu平面AOE,所以8C〃平面AOE...............................6分

1111111

(2)在直三棱柱ABC-A8C中，CCJ_底面ABC,

1111

又OEu底面ABC,所以CCLOE...............................8分

1

又5C_LAC,DEIIBC,所以。石_LAC,..............................10分

又CC,ACu平面ACCA,且CCCAC=C,所以平面ACCA...............................12分

1it11111

又OEu平面AOE,所以平面AOEL平面ACCA...............................14分

iiii

（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明OEL平面ACCA,类似给分）

11

考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

16.

【解析】

试题分析：（I）由正弦定理将条件转化为角的关系：2sin上sinCeosC=sii1csiu3,再根据三角形内角

12冗

范围化简得8SC=不，进而可根据特殊值求角（II）根据三角形内角关系得♦。/=而＜口＞—月3由于已

4J

yj"___'}}7T"7TJ}'If'}i

知角上一§的正弦值，所以再化就/二小说百一茜一^》:而不沿乂刀一百^^^^^的一三〉，再根据

同角三角函数关系求得cos（3-$=j-sin"T=；最后代入可得结果

试题解析：解：（1）由加in2C=csin3,根据正弦定理，^2sinBsinCcosC=sinCsinB,.......2分

因为sinB〉0,sinC＞0,所以cosC=』，...............4分

2

一TC

又。£（0,兀），所以。=彳................6分

（2）因为所以3£（0,二-）,所以5£（一彳,；），

33333

又sin（B—?=（，所以cosGB_g=Jl-sin2（B—..................................8分

又…老,即A=",

4“+3X6

所以sinA=sin(--B)=3(〃+b+b)=3=9俏+3n12分

3253n-l2

/4134石-3

X————X-=...........................14分

252510

考点：正弦定理，给值求值

【方法点睛】三角函数求值的三种类型

（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

17.试题分析：（I）先确定交点位置：在轴上，再根据圆与轴交点得等量关系：c=b；又。=2,所以核=2

（II）设T（x,y）,表示左-k=-X-,然后根据直线与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理表示中点T坐

0012X2-1

0

kk1

标，并利用条件2加2-2左2=1化简：x------,y=m-k'-=--,最后代入并利用条件痴2-2%2=1化

°机um2m

简得-2=4

试题解析：解：<1）因0<5<2,所以椭HE的焦点在x轴上，

又圆。:/+/=所经过椭圆屈的焦点，所以椭圆的半焦距c=b,3分

所以2b2=4,即/=2,所以椭圆X的方程为耳+炉=1

”,6分

42

（2）方法一：设P（\?）,2(x,y),T(x,y),

2200

X2V2y

---1----1

联立：42，消去y,得(1+2左2)冗2+4kmx+2m2—4=0,

y=kx+m

4km「2k

所以X+九=一------,又2nI2-2k2=1,所以X+X=--

121+2^212m

所以x=上10分

°m%m2m

11

11

则上•左二乎2m14分

12k[4左2—4帆2—2(2加2—2女2)

——+1--k--12

mm

九2V2<

=1

42

方法二设「（彳》Q（r”飞山,则

与+畀

两式作差，得G，+OG「G+（yj*）G「）=o,

42

y(y-y)

X\x-x)(、八尤n

又x+x=2x,y+y=2y-0-1--2-+y\y-y)=Q,-0_Ia-=0,

12012020122X一X

1:2

Q（x,y）在直线>=区+加上，二一之=%

又尸（彳”,x+2ky=0,①

22X-Xoo

12

又7（无，y）在直线y=fcx+加上，y=丘+相，②

0000

2kmm

由①②可得尤=---------,y-----------10分

01+2^21+2左2

以下同方法一.

考点：直线与椭圆位置关系

【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达

定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及

垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线

的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.

18.

【解析】

试题分析：(I)由条件知的究直线与图相切，所以建立坐标系：以点A为坐标监点，AB所在直2物x轴,

确定圆的方程，求出切线方程>=-：乂+"，解出切线与电线交点，最后判断GE是否涓足不超过2.5米

这个条件(口〉同(1)建立坐标系,设立网的方程；圆心为日化扪，半径为一求出切线方程

3.

y=--x4-A+2r,解出切线与直线交点，根据GE不超过25米这个条件列参救限制条件/iM25—2,

4

最后根据活动中心的截面面积关系式求最值：

13355

S=2rh+—Ttn=2rh+—xr2<2r(25-2r)+—xr2=—r2+50r=—(r-10)2+250<250

22222

试题解析：解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

(1)因为AB=18,AD=6,所以半圆的圆心为“(9,6),

3

半径r=9.设太阳光线所在直线方程为y=-

4

即3x+4y-4b=0,...........................2分

127+24-4^1八

则由=9,

3

解得b=24或6=-(舍).

2

3

故太阳光线所在直线方程为y=-：x+24,...........................5分

令x=30,得EG=1.5米<2.5米.

所以此时能保证上述采光要求............................7分

(2)设AO=/i米，AB=2r米，则半圆的圆心为,半径为.

3

方法-：设太阳光线所在直线方程为，二丁+八

\3r+4h-4b\

gp3x+4y-4/?=0,

由J…

角翠得b=/z+2/或Z?=/z-2r(舍)...............9分

3

故太阳光线所在直线方程为y=—x+h+2r,

4

455

令x=30,得EG=2r+h———,由EGV—,得hW25—2r...............11分

22

133

所以S=2rh+—兀r?=2rh+-xr2<2r(25-2r)+—xr2

222

=-1r2+50r=-1(r-10)2+250<250.

当且仅当r=10时取等号.

所以当A3=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大................16分

方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5),

设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y—=-(x-30),

即3x+4y-100=0.10分

l3r+4/7-100l

由直线与半圆H相切，得厂=

5

而点H(r,h)在直线的下方，则3r+4h—100<0,

3r+4/7-100

a即nr=-------------，从而/7=25-2r.13分

1355

又S=2泌+5兀s=2r(25-2r)+-xr2=--r2+50r=--(r-10)2+250<250.

当且仅当r=10时取等号.

所以当AB=20米且A。=5米时，可使得活动中心的截面面积最大.16分

考点：直线与圆位置关系

【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程之后利用A判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

19.试题分析：(I)代入化简方程得2(&)2-3'+1=0,由二次方程解得ex=l或,再根据指对数

2

关

系得x=0或X=-1D2.(II)先求函数导数并明确酉数定义域：

4(0=!+。一二=竺士半竺工>0；再讨论导函数不变号情况：当时，口'(工)>0,

X3CX

观力的增区间为<0.小。)；最后讨论导函额变号时符号变化物律:当a>1B寸，由W'G>>0,解得X>"；

a

当。<0时，由解得0<x<”L(III)存在性问题，一般转化为对向函数最值问题；

a

2XNh(x),利用导数先求函数/?(x)=/(x)-g(x)最小值：本题难点是最小值点x不能解出，只能得到其

min0

3

所在区间，为使九值能确定最小值，需精确考虑最小值点所在区间，如尤c(10细化到(二,2)

o2

试题解析：解：(1)当。=2时，方程g0)=O即为2/+,一3=0,去分母，得

ex

20”―3/+1=0,解得"=1或ex=L...........................2分

2

故所求方程的根为x=0或x=—ln2............................4分

a—1

(2)因为(p(x)=/(%)+g(x)=lnx+axH---------3(%>0),

x

ax2

后二I、I，(、1.°—1+x-(a-l)(<2x-(tz-1))(%+1),.八

所以(p(x)=-+a-----------------------------------------------------(x>n0),...........................6分

XX2X2X2

①当〃=0时，由(p，a)〉o,解得工〉0；

n—1

②当。>1时，由(p'(x)>0,解得x>——；

a

③当0<。<1时，由<p'(x)>0,解得x>0；

④当。=1时，由(p'(x)>0,解得x>0；

⑤当。<0时，由cp'(x)>0,解得0<x<^~.

a

a—1

综上所述，当a<0时，叭X)的增区间为(0,L)；

a

当0«。<1时，(P(。的增区间为(0,+«0；

/7—1

a>l时，中(无)的增区间为(——,+00)............................10分

a

(3)方法一：当a=l时，g(x)=x-3,/z(x)=(x-3)lnx,

3333

所以"(x)=lnx+l--单调递增，/i,(-)=ln-+l-2<0,"(2)=ln2+l-一>0,

x222

所以存在唯一心£4,2),使得/(X)=0,即1口九+1-2=°,...........................12分

02o0x

o

当X£(O,X)时,hf(x)<0,当)£(X,+8)时,hr(x)>0,

00

3(x-3hQ

所以/i(x)=h(x)=(x-3)lnx=(x-3)(——l)=---e_-=6-(x+—),

min00001x°X

000

93

记函数心)=6-(尤+-)，则Nx)在(一,2)上单调递增，...............14分

尤2

331

所以r(—)<h(x)<r(2),即h(x)e(-一,--),

2oo22

3

由2九2—一，且九为整数，得大20,

2

所以存在整数九满足题意，且九的最小值为0................16分

方法二：当a=l时，g(x)=x-3,所以％(元)=(x-3)lnx,

由/z(l)=0得，当九=0时，不等式U2/z(x)有解，...............12分

下证：当九<T时，入(%)>2九恒成立，即证(彳-3)111%>一2恒成立.

显然当无e(0,l][J[3,+8)时，不等式恒成立，

只需证明当xe(1,3)时，(x-3)lnx>-2恒成立.

2?

即证明InxH-----<0.令m(x)=InxH-----,

x-3x-3

.12x2—8x+9l

所以根(x)=--y_—=-7—I-，由机(幻=0,得x=4-J7,...............14分

X(X-3)2X(X-3)2

当尤e(l,4—历，m\x)>0；当xe(4—五3),根'(无)<0；

所以m(x)=加(4一6=ln(4->/7)一+1<ln(4-2)--=ln2-1<0.

max33

所以当九(一1时，飘龙)>2大恒成立.

综上所述，存在整数九满足题意，