2023-2024学年北京市大兴区数学八年级上册期末考试试题含解析

2023-2024学年北京市大兴区名校数学八上期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一选择题（每小题3分，共30分）

2

计算。’2/'•色的结果为（

1.)

、5b,5b

125b5125b__5_

A.Bc.D.

4a34ab4/4ab

22

2.化简:-6；+9匕鼠的结果是（)

22x-y

A.-一)Bc.

x—3x—3x—3

3.若x>y,则下列式子错误的是（）

A.X-3>y-3B,-3x>-3yc.x+3>y+3

4.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿,

却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿,

就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）

%=y+5y+5

C.『十；x=y-5

A.{1-B.{1-D

y~^—%=y+52x=y-5-£一+5

5.如图，ZA=80°,ZB=30°,ZC=130°,则ND度数是()

C.20°D.30°

6.如图，正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上，且NDAE=67.5°,EF_LAB,垂足为F,则EF的长为

()

0

A.1B.V2C.4-272D.372-4

7.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）

A.a（x+y）=ax+ayB.x2-4x+4=x（x-4）+4

C.10x2-5x=5x（2x-l）D.x2-16+3x=（x-4）（x+4）+3x

82.如图，OPMZAOB的平分线，点P到OA的距离为3,点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）

A.PN<3B.PN>3C.PNN3D.PNW3

9.估计灰的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个

全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.大正方形的面积为41,小正方形的面积为4,设直角三角形

较长直角边长为a,较短直角边长为b.给出四个结论：①a?+b2=41；②a-b=2；③2ab=45；@a+b=l.其中正确的结

A.①②③B.①②③④C.①③D.②④

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在小y轴的正半轴上：。4=3,

OC=4,。为OC边的中点，E是。4边上的一个动点，当A3OE的周长最小时，E点坐标为.

3x+5y=a+2「

12.如果方程组c/c的解满足x+y=3,则/—伍+1的值为____________.

2x+3y=3a

13.在AABC中，AB=AC,A6的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为40,则D3等于

______________度.

14.如图，扶梯A3的坡比为4:3,滑梯的坡比为1:2,若AE=50=30米，一男孩经扶梯A5走到滑梯的顶部

BC,然后从滑梯C。滑下，共经过了米.

BC

15.如图，一只蚂蚁从点4沿数轴向右爬2个单位到达点3,点4表示—友，则3表示的数为

16.根据数量关系：x的5倍加上1是正数，可列出不等式：

17.已知。+/?=2,!U!|a2-b2+4b=

18.如图，将边长为8cm的正方形ABC。折叠，使点。落在边的中点E处，点A落在口处，折痕为连接引V,

并求引V的长

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，四边形ABCD的顶点坐标为A(—5,1),B(―1,1),C(―1,6),D(—5,4),请作出

四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标.

y

20.(6分)解方程组:

x+y=8

(1)\；

[5x+3y=34

⑵尸(xf=y+5

⑵5(y-l)=3(x+5),

21.(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,2),B(3,1),C(-2,-1).

(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△4B1G;

(2)写出点G的坐标：；

(3)△451G的面积是多少？

22.(8分)如图，(1)在网格中画出AABC关于y轴对称的A414c1；

(2)在y轴上确定一点P,使AE43周长最短，(只需作图，保留作图痕迹)

(3)写出AABC关于x轴对称的A4252c2的各顶点坐标；

23.（8分）在AABC中,ZACB=90°,分别以AB、5C为边向外作正方形ADEB和正方形

备用图

(1)当3C=a时，正方形5CEH的周长=(用含〃的代数式表示);

(2)连接CE.试说明：三角形5EC的面积等于正方形5CFH面积的一半.

(3)已知AC=5C=1,且点尸是线段上的动点，点。是线段上的动点，当P点和。点在移动过程中，AAPQ

的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

24.(8分)如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1,按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上.

(1)在图甲中画一个以AB为边且面积为3的直角三角形

(2)在图乙中画一个等腰三角形，使AC在三角形的内部(不包括边界)

।----r----1---1---1

IIIII

IAlIII

IIII

IIII

I___________I____J____I

IIII

IIII

IIII

I------iff--------1-------1-------1

B|

IIIII

I_______L_______I______J______I

图甲图乙

25.(10分)如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,点D,E分另!］在边AB、AC±,且AD=AE,连接BE、CD,

交于点F.

DE

（1）求证：NABE=NACD；

⑵求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.

26.（10分）如图，函数y=+b的图像与x轴、V轴分别交于点4、B,与函数V=x的图像交于点〃，点"

的横坐标为3.

（2）在x轴上有一动点P（a,0）.

①若三角形A3P是以AB为底边的等腰三角形，求a的值；

②过点P作x轴的垂线，分别交函数y=—；x+人和y=x的图像于点C、D,若DC=2CP,求。的值.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【分析】根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果.

【详解】解：(不］4^\~

\bJ15b)5b

_(-a)225b°a

--4a4,茄

5

4ab

故选：B.

【点睛】

本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2、D

【分析】根据分式的除法法则，即可得到答案.

I详解"W2,x+y

12(%-3)

(x—y)(x+y)、，2(x—3)

=------%--x------

(%-3)2x+y

2(x-y)

=(x-3)

_2x-2y

—,

x—3

故选D.

【点睛】

本题主要考查分式的除法法则，掌握分式的约分，是解题的关键.

3、B

【解析】根据不等式的性质在不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)

同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案：

A、不等式两边都减3,不等号的方向不变，正确；

B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；

C、不等式两边都加3,不等号的方向不变，正确；

D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确.

故选B.

4、A

【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于

X、y的二元一次方程组.

【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，

x=v+5

根据题意得：1

—x=y-5

12-

故选A.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

5、C

【分析】延长BC交AD于点E,根据三角形外角的性质可求得NBED=UO。，再根据三角形外角的性质得

ZBCD=ZBED+ZD,从而可求得ND的度数.

【详解】延长BC交AD于点E,如图所示，

.•.ZBED=80o+30°=110°,

XVZBCD=ZBED+ZD,ZBCD=130°

：.ZD=ZBCD-ZBED=130°-110o=20°.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解此题的关键.

6、C

【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得NABD=NADB=45。，再根据NDAE=67.5。，根据三角形的内角和定

理求NAED,从而得到NDAE=NAED,再根据等角对等边的性质得到AD=DE,然后根据勾股定理求出正方形的对

角线BD,再求出BE,最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的注倍计算即可得解.

2

【详解】解：在正方形ABCD中，ZABD=ZADB=45°,

；NDAE=67.5。，

在AADE中，ZAED=180°-45°-67.5°=67.5°,

，NDAE=NAED,

；.AD=DE=4,

•••正方形的边长为4,

.♦.BD=4"

，BE=BD-DE=4逝-4,

VEF1AB,ZABD=45°,

ABEF是等腰直角三角形，

.\EF=_BE=—x(4J2-4)=4-272.

22

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的

关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的

难点.

7、C

【解析】试题分析：根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解.

解：A、是多项式乘法，故A选项错误；

B、右边不是积的形式，x2-4x+4=(x-2)2,故B选项错误；

C、提公因式法，故C选项正确；

D、右边不是积的形式，故D选项错误；

故选C.

考点：因式分解的意义.

8、C

【分析】作PMLOB于M,根据角平分线的性质得到PM=PE,得到答案.

【详解】解：作PMLOB于M,

•.'OP是NAOB的平分线，PE±OA,PM1OB,

；.PM=PE=3,

.*.PN>3,

故选C.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，属于简单题，熟悉角平分线的性质是解题关键.

9、D

【分析】利用算术平方根进行估算求解.

【详解】VV16<718<

二4<扇<5

故选：D.

【点睛】

本题考查无理数的估算，掌握算术平方根的概念正确进行计算从而进行估算是本题的解题关键.

10、A

【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到

①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4x；xab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③

可得②正确，④错误.

【详解】解：•••直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,

.•.斜边的平方=a2+b2,

由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，

...大正方形的面积=斜边的平方=a2+b2,

即a2+b2=41,故①正确；

根据题意得4个直角三角形的面积=4x1xab=2ab,

4个直角三角形的面积=S大正方称S小正方形=41-4=45,

即2ab=45,故③正确；

由①③可得a2+b2+2ab=41+45=14,

BP(a+b)2=14,

,:a+b>0,

a+b=^/94，故④错误，

由①③可得a2+b2-2ab=41-45=4,

即(a-b)2=4,

Va-b>0,

,*.a-b=2,故②正确.

故选A.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识.熟练运用勾股定理是解题的关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、(1,0)

【分析】本题是典型的“将军饮马”问题，只需作。关于x轴的对称点沙，连接。出交x轴于点E,如图，则此时

的周长最小，易得点B和9坐标，故可利用待定系数法求出直线的解析式，然后求直线3少与x轴的交点即得答

案.

【详解】解：如图，作。关于x轴的对称点连接。B交x轴于点E,连接OE,贝此时△BOE的周长

最小，

•。为CO的中点，：.CD=OD=2,

TO和。，关于x轴对称，：.D'(0,-2),

由题意知：点8(3,4),.•.设直线BZT的解析式为

3k+b=4{k=2

把8(3,4),D'(0,-2)代入解析式，得：、",解得，<。,

b=-2[&=-2

二直线BZT的解析式为y=2x-2,

当y=0时，x=l,故E点坐标为(1,0).

故答案为：(1,0).

【点睛】

本题考查的是利用待定系数法求直线的解析式和两线段之和最小问题，属于常考题型，熟练掌握求解的方法是解题关

键.

12、2-V2

【分析】先利用方程组求出a的值，再代入求解即可得.

3x+5y=。+2①

【详解】＜

2x+3y=3。②

②x2—①得：x+y=6a-(a+2),即x+y=5〃一2

由题意得：5。-2二3

解得。=1

将“=1代入得：a2-V2a+l=l2-72x1+1=2-^/2

故答案为：2-四.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解定义、代数式的化简求值等知识点，掌握理解二元一次方程组的解定义是解题关键.

13、65°或25。

【分析】⑴当AABC是锐角三角形时，根据题目条件得到NA=50°,利用aABC是等腰三角形即可求解；⑵当小ABC

是钝角三角形时，同理可得即可得出结果.

【详解】解：（1）当AABC是锐角等腰三角形时，如图1所示

由题知：DE_LAB,AD=DB,ZAED=40°

/.ZA=180°-90°-40°=50°

VAB=AC

.•.△ABC是等腰三角形

:.ZABC=ZACB

:.ZABC=(180°-50°)4-2=65°

(2)当AABC是钝角三角形时，如图2所示

阳2

由题知：DE_LAB,AD=DB,ZAED=40°

，ZAED+ZADE=ZBAC

ZBAC=900+40°=130°

VAB=AC

...△ABC是等腰三角形

，ZABC=ZACB

/.ZABC=(180°-130°)4-2=25°

/.ZABC=65°或25°

故答案为：65°或25°

【点睛】

本题主要考查的是垂直平分线以及三角形的外角性质，正确的运用这两个知识点是解题的关键.

14、(80+4075)

【分析】根据两个坡度比求出BE和DF,再利用勾股定理求出AB和CD,最后加上BC就是经过的路程长.

【详解】解：...AB的坡度是4:3,

.BE4

••——，

AE3

BE4

AE=30,则---=—,

303

:.BE=40,

VCD的坡度是1:2,

•CF-1

••—―,

DF2

401

-：CF=BE=40,则——=-,

DF2

DF=80,

根据勾股定理，AB=^AE2+BE2=A/302+402=50>

CD=slCF2+DF~=J,+8()2=40后,

AB+BC+CD=50+30+40A/5=80+4075.

故答案是：80+40A/5.

【点睛】

本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是抓住坡度的比，利用这个关系去解直角三角形.

15、2—y/2•

【分析】根据平移的性质得出答案即可.

【详解】解：蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位到达点3,点A表示-亚，

根据题意得，3表示的数为：2-JI，

故答案是：2-行.

【点睛】

本题考查了数轴上的点的平移，熟悉相关性质是解题的关键.

16、5x+l>0

【分析】问题中的“正数”是关键词语,将它转化为数学符号即可.

【详解】题中“x的5倍加上1”表示为：5尤+1

“正数”就是>0.

x的5倍加上1是正数，可列出不等式：5x+l>0

故答案为5x+l>0.

【点睛】

用不等式表示不等关系是研究不等式的基础，在表示时，一定要抓住关键词语，

弄清不等关系，把文字语言和不等关系转化为用数学符号表示的不等式.

17、1

【分析】分析：把［2—〃+必=变形为(a—b)(〃+»+4b,代入〃+力=2后，再变形为2(〃+9即可求得最后结果.

9

【详解】：a+b=29

:.4—/?2+4Z?=(〃—+,

=2(〃一/?)+45,

=2a-2b+4b,

=2(a+b),

=2x2,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式及其灵活变形.

18、789

【分析】设NC=x,则£>N=8-x,由翻折的性质可知石N=QN=8—x,在RtaENC中，由勾股定理列方程求解

即可求出DN,连接AN,由翻折的性质可知FN=AN,然后在RtaADN中由勾股定理求得AN的长即可.

【详解】解：如图所示，连接AN,

设NC=x,则。V=8-尤，

由翻折的性质可知：EN=DN=8-x,

在RNENC中,

有EN?=EC?+NC?，（8-x）2=42+X2,

解得：x=3,

即DN=5cm.

在Rt三角形ADN中，

AN=y1AD2+ND2=7s2+52=底,

由翻折的性质可知FN=AN=晒.

【点睛】

本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于x的方程是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19、详见解析

【解析】根据平面直角坐标系，分别找出点A、B、C、。关于x轴的对称点B\。、”的位置然后顺次连接即可,

根据关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数写出各点的坐标即可,根据平面直角坐标系，分别找出点

A、B、C、。关于y轴的对称点A"、B"、C"、D”的位置，然后顺次连接即可，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反

数,纵坐标相同写出各点的坐标即可.

解：如图所示,四边形A，B，C，D，即为所求作的关于x轴的对称图形,

Af(-5,-1),Br(-1,-1),C(-1,-6),D，(-5,-4),

四边形A即为所求作的关于y轴的对称图形，

A”(5,1)(1,1),C"(1,6),D"(5,4).

【点睛】

本题主要考查了利用轴对称变换作图和关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标

互为相反数，纵坐标相同，解决本题的关键是准确找出各对称点的位置.

【分析】(1)用加减消元法求解即可;

(2)用加减消元法求解即可.

x+y=8①

【详解】解：(1)<③

5x+3y=34②

①x5得：5x+5y=40③,

③一②得：2y=6,解得：y=3,

把y=3代入①得：x+3=8,解得：x=5,

x-5

故方程组的解为：c

[y=3

3x-y=8①

(2)方程组整理得:15y-3x=20②

①+②得：4y=28,解得：y=7,

把V=7代入①得：3x-7=8,解得：x=5,

x-5

故方程组的解为：一

b=7

【点睛】

本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的步骤和消元的方法.

21、(1)见解析；(2)(2,-1)；(3)4.5

【分析】(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；

(2)根据关于y轴的对称点的坐标特点即可得出；

(3)利用长方形的面积减去三个顶点上三个直角三角形的面积即可.

【详解】解：(1)如图，△Ai5iG即为所求；

(2)由关于y轴的对称点的坐标特点可得，点G的坐标为：(2,-1),

故答案为：(2,-1)；

(3)AAIJBICI的积为：3x5--x2x5---x3x3---x1x2=4.5.

222

【点睛】

本题考查了轴对称与坐标变化，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键.

22、(1)图见解析；(2)图见解析；(3)&(-3,-2),4(-4,3)C(-U).

【分析】(1)先根据轴对称的性质描出点A,5c分别关于y轴的对称点4,片,G，然后顺次连接4,4,G即可得;

(2)根据轴对称的性质、两点之间线段最短可得，连接48,交y轴于点P,即为所求；

(3)先根据网格特点写成点A氏C,再根据点关于x轴对称规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数即可得.

【详解】(1)先根据轴对称的性质描出点A,3,c分别关于y轴的对称点4,用,G，然后顺次连接4,与,G即可得

"4G，如图所示:

(2)连接PAPA

由轴对称性质得：y轴为44］的垂直平分线

则PA=P\

要使AB钻周长最短，只需使？A+PB最小，即P4+PB最小

由两点之间线段最短公理得：连接交y轴于点P,即为所求，如图所示:

(3)由网格特点可知：点坐标分别为4-3,2),8(T,—3),C(—1,-1)

平面直角坐标系中，点关于x轴对称规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数

则点儿,耳,坐标分别为

A(-3,-2),4(-4,3),C2(-1,1).

【点睛】

本题考查了轴对称的性质与画图、平面直角坐标系中，点关于坐标轴对称的规律，熟记轴对称性质与点关于坐标轴对

称的规律是解题关键.

23、(1)4"；(2)详见解析；(3)AAPQ的周长最小值为同

【分析】(1)根据正方形的周长公式即可得解；

(2)首先判定=然后即可判定ASMLgABCE(SAS),即可得解；

(3)利用对称性，当A，、P、Q、F共线时AAPQ的周长取得最小值，然后利用勾股定理即可得解.

【详解】(1)由题意，得正方形切的周长为4a；

(2)连接AH,如图所示：

D

VZCBH=ZABE=90o

，ZCBH+ZABC=ZABE+ZABC

；.NCBE=ZABH

'：AB=BE,ZCBE=ZABH,BC=BH

：.NBHA^ABCE(SAS)

二ABHA的面积=ABCE的面积=|正方形BCFH的面积

(3)作点A关于。石的对称点4,二AP=AP

点A关于的对称点E,AQ=QF

AAPQ的周长为AQ+AP+PQ,即为A'P+PQ+Qb

当A，、P、Q、F共线时AAPQ的周长取得最小值，

/.AAPQ的周长的最小值为A尸

过A'作AM±FA的延长线于M,

VAC=BC=1

AZCAB=45°,AB=AD=72

,:ZDAB=90°

NMAA'=45°

二A4A'M为等腰直角三角形

AA'=2AD=2y/2>A:A=yfA!M~+M^

：.MA=MA=2

/.MF=M4+AC+CF=4

•*-AF=y/AM2+MF2=V22+42=720

AAAPQ的周长最小值为同.

【点睛】

此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及利用对称的性质求解最值，熟练掌握，即可解题.

24、（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】（1）根据直角三角形的面积公式可知，AB只能是一条直角边，从而可知另一条直角边的边长为3