江苏省无锡江阴市市级2023-2024学年中考冲刺卷数学试题含解析

江苏省无锡江阴市市级名校2023-2024学年中考冲刺卷数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是

)

2.若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一根为x=-1,则k的值为（）

A.-1B.0C.1或-1D.2或0

3.下列图形不是正方体展开图的是（

4.某小组做“用频率估计概率”的实验时,绘制了如图的折线图，则符合这一结果的实验

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4

C.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃

D.抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上

5.如图，直角边长为&的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左

向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为3两图形重合部分的面积为S,则S关于t的图象大致为（）

8.如图，AD为AABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE,则下列结论中不一定成立的是（)

9.下列四个命题，正确的有（）个.

①有理数与无理数之和是有理数

②有理数与无理数之和是无理数

③无理数与无理数之和是无理数

④无理数与无理数之积是无理数.

A.1B.2C.3D.4

10.二次函数丫=(2x-l)2+2的顶点的坐标是()

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-,2)D.（——，-2）

22

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.方程工=向方的根是

12.如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点,若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为

x5x

13.如果---那么一=____________

x-y3y

14.如图，数轴上不同三点A、B、C对应的数分别为a、氏c,其中a=T,AB=3,|〃=|c|,则点C表示的数是

15.如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE=LEF=FC=3,AE±EF,CF±EF,贝！J正方形ABCD的边长为

16.已知点A(2,4)与点B(b-1,2a)关于原点对称，则ab=.

+3y—k

17.已知关于x,y的二元一次方程组1°,的解互为相反数，则k的值是_________.

x+2y=-l

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，正方形ABCD中，BD为对角线.

(1)尺规作图：作CD边的垂直平分线EF,交CD于点E,交BD于点F(保留作图痕迹，不要求写作法);

(2)在(1)的条件下，若AB=4,求△DEF的周长.

.4D

B

19.(5分)在R3ABC中，NACB=90。，以点A为圆心，AC为半径，作。A交AB于点D,交CA的延长线于点

E,过点E作AB的平行线EF交。A于点F,连接AF、BF、DF

(1)求证：BF是。A的切线.(2)当NCAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明.

20.(8分)问题探究

(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使AAPD为等腰三角形，那么请画出满足

条件的一个等腰三角形小APD,并求出此时BP的长；

(2)如图②，在△ABC中，ZABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6

时，BC边上存在一点Q,使NEQF=90。，求此时BQ的长；

问题解决

(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用

来监视边AB,现只要使NAMB大约为60。，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知NA=NE=ND=90。，AB=270m,

AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使NAMB=60。？若存在，请求出符合条件的DM

的长，若不存在，请说明理由.

21.(10分)2018年平昌冬奥会在2月9日到25日在韩国平昌郡举行，为了调查中学生对冬奥会比赛项目的了解程度,

某中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A、非常了解B、比较了解C、基本了解D、不了解.根

据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表.

对冬奥会了解程度的统计表

对冬奥会的了解程度百分比

A非常了解10%

B比较了解15%

C基本了解35%

D不了解□%

对冬窕会的了解程度的条形统计图对冬奥会的了解程度的扇形统计圉

（2）扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是；

（3）请补全条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展冬奥会的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计

了如下游戏来确定谁参赛，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1,2,3,4然后放到一个不透明的袋中，

一个人先从袋中摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为偶数，则小

明去，否则小刚去，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏是否公平.

22.（10分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3,-1）,（2,1）.以0点为位似中心在y轴的左

侧将AOBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2）,画出图形；分别写出B、C两点的对应点B，、。的坐标；如

果△OBC内部一点M的坐标为（x,y）,写出M的对应点M，的坐标.

23.（12分）为评估九年级学生的体育成绩情况，某校九年级500名学生全部参加了“中考体育模拟考试”，随机抽取

了部分学生的测试成绩作为样本，并绘制出如下两幅不完整的统计表和频数分布直方图：

成绩X分人数频率

25<x<3040.08

30<x<3580.16

35<x<40a0.32

40<x<45bc

45<x<50100.2

(1)求此次抽查了多少名学生的成绩；

(2)通过计算将频数分布直方图补充完整；

(3)若测试成绩不低于40分为优秀，请估计本次测试九年级学生中成绩优秀的人数.

24.(14分)如图，抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),

点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时，AD=L求抛物线的函数表达式.当t为何值时，矩形ABCD的周长有最

大值？最大值是多少？保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,

H,且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来.

【详解】

根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直.

故选C.

【点睛】

本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力.对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

2、A

【解析】

把x=-1代入方程计算即可求出k的值.

【详解】

解：把x=-l代入方程得：l+2k+k2=0,

解得：k=-1,

故选：A.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

3、B

【解析】

由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.

【详解】

A、C、O经过折叠均能围成正方体，小折叠后上边没有面，不能折成正方体.

故选5.

【点睛】

此题主要考查平面图形的折叠及正方体的展开图，熟练掌握，即可解题.

4、B

【解析】

根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率PM.17,计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案.

【详解】

解：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出剪刀的概率是g,故A选项错误，

掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4的概率是工刈.17,故B选项正确，

6

一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃得概率是L,故C选项错误，

4

抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上的概率是:，故D选项错误，

故选B.

【点睛】

此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.频率=所求情况数与总情况数之比.熟练掌握

概率公式是解题关键.

5、B

【解析】

先根据等腰直角三角形斜边为2,而等边三角形的边长为3,可得等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角

形时，出现等腰直角三角形完全处于等边三角形内部的情况，进而得到S关于t的图象的中间部分为水平的线段，再

根据当t=0时，S=0,即可得到正确图象

【详解】

根据题意可得，等腰直角三角形斜边为2,斜边上的高为1,而等边三角形的边长为3,高

为故等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，出现等腰直角三角形

2

完全处于等边三角形内部的情况，故两图形重合部分的面积先增大，然后不变，再减小，S

关于，的图象的中间部分为水平的线段，故4,。选项错误；

当f=0时，S=0,故C选项错误，5选项正确；

故选：B

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图像，根据重复部分面积的变化是解题的关键

6、C

【解析】

BD

如图，由图可知BD=2、CD=1、BC=石，根据sinNBCA=—可得答案.

BC

【详解】

解：如图所示，

B

\

\

ADC

；BD=2、CD=1,

BC=y/BD2+CD2=-\/22+12=A/5，

eBD22J5

贝（JsinZBCA=-----=-j==--，

BCy/55

故选C.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义和勾股定理.

7、B

【解析】

分析：根据轴对称图形的概念求解.

详解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选B.

点睛：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合,

那么这个是轴对称图形.

8、A

【解析】

根据三角形中位线定理判断即可.

【详解】

；AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，

11

/.DC=-BC,DE=-AB,

22

VBC不一定等于AB,

...DC不一定等于DE,A不一定成立;

.\AB=2DE,B一定成立；

SACDE=-SAABC,C一定成立;

4

DE//AB,D一定成立；

故选A.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

9、A

【解析】

解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；

②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；

③例如-行+后=0,0是有理数，故本小题错误；

④例如(-0)x0=-2,-2是有理数，故本小题错误.

故选A.

点睛：本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键.

10、C

【解析】

试题分析：二次函数丫=(2x-l)-+2即y=21x—g)+2的顶点坐标为V，2)

考点：二次函数

点评：本题考查二次函数的顶点坐标，考生要掌握二次函数的顶点式与其顶点坐标的关系

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、x=2

【解析】

分析：解此方程首先要把它化为我们熟悉的方程(一元二次方程)，解新方程，检验是否符合题意，即可求得原方程的

解.

详解：据题意得：2+2x=x2,

Ax2-lx-2=0,

(x-2)(x+1)=0,

/.Xl=2,X2=-1.

vV3+2x>0,

x=2.

故答案为：2.

点睛：本题考查了学生综合应用能力，解方程时要注意解题方法的选择，在求值时要注意解的检验.

12、红.

3

【解析】

试题分析：连结OC、OD,因为C、D是半圆O的三等分点，所以，/BOD=NCOD=60。，所以，三角形OCD为

等边三角形，所以，半圆O的半径为OC=CD=2,S扇形OBDC=-—，SAOBC=—■X2月xl=g,S弓形CD

36032

=$硼（^一5人（^=史三］-工*2><四=?-右，所以阴影部分的面积为为$="一百一（4-百）=与.

考点：扇形的面积计算.

【解析】

先对等式进行转换，再求解.

【详解】

..x_5

•x-y3

.\3x=5x—

；・2x=5y

.x_5

,•,1了

【点睛】

本题考查的是分式，熟练掌握分式是解题的关键.

14、1

【解析】

根据两点间的距离公式可求B点坐标，再根据绝对值的性质即可求解.

【详解】

•.,数轴上不同三点A、B、C对应的数分别为a、b、c,a=-4,AB=3,

b=3+（-4）=-l,

V|b|=|c|,

:.c=l.

故答案为1.

【点睛】

考查了实数与数轴，绝对值，关键是根据两点间的距离公式求得B点坐标.

15、

2

【解析】

分析：连接AC,交EF于点M,可证明△AEMs^CMF,根据条件可求得AE、EM、FM、CF,再结合勾股定理可

求得AB.

详解：连接AC,交EF于点M,

VAE±EF,EF±FC,

/.ZE=ZF=90°,

VZAME=ZCMF,

/.△AEM^ACFM,

.AE_EM

CF~FMf

VAE=1,EF=FC=3,

•EM1

"FM"3"

39

；.EM=—,FM=-,

44

0255

在RtAAEM中，AM2=AE2+EM2=1+—=一，解得AM=-，

16164

,,...8122515

在RtAFCM中，CM2=CF2+FM2=9+—=——，解得CM=—,

16164

.\AC=AM+CM=5,

在RtAABC中，AB=BC,AB2+BC2=AC2=25,

；.AB=述，即正方形的边长为述.

22

故答案为：述

2

点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得

AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用.

16、1.

【解析】

由题意，得

b-l=-l,la=-4,

解得b-La=-l,

Aab=(-1)x(-l)=L

故答案为1.

17、-1

【解析】

・.・关于X,y的二元一次方程组12x2+3二y=1k②①的解互为相反数，

x=-y(§),

把③代入②得：-y+2y=」,

解得y=-L所以x=l,

把x=l,y=-l代入①得2-3=k,

BPk=-l.

故答案为“

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）见解析；（2）272+1.

【解析】

分析：（1）、根据中垂线的做法作出图形，得出答案；（2）、根据中垂线和正方形的性质得出DF、DE和EF的长度，从

而得出答案.

详解：（1）如图，EF为所作；

(2)解：•.•四边形ABCD是正方形，.,.ZBDC=15°,CD=BC=1,又；EF垂直平分CD,

.,.ZDEF=90°,ZEDF=ZEFD=15°,DE=EF=；CD=2,DF=血DE=2夜，

.♦.△DEF的周长=DF+DE+EF=2返+1.

点睛：本题主要考查的是中垂线的性质，属于基础题型.理解中垂线的性质是解题的关键.

19、(1)证明见解析；(2)当NCAB=60。时，四边形ADFE为菱形；证明见解析；

【解析】

分析(1)首先利用平行线的性质得到NFAB=NCAB,然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可;

(2)当NCAB=60。时，四边形ADFE为菱形，根据NCAB=60。，得至！JNFAB=NCAB=NCAB=6O。，从而得到

EF=AD=AE,利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形.

详解：(1)证明：TEFaAB

，NFAB=NEFA,ZCAB=ZE

VAE=AF

/.ZEFA=ZE

ZFAB=ZCAB

VAC=AF,AB=AB

/.△ABC^AABF

NAFB=NACB=90。，ABF是。A的切线.

(2)当NCAB=60。时，四边形ADFE为菱形.

理由：VEF//AB

/.ZE=ZCAB=60°

VAE=AF

.,.△AEF是等边三角形

.\AE=EF,

VAE=AD

，EF=AD

/.四边形ADFE是平行四边形

VAE=EF

二平行四边形ADFE为菱形.

点睛：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及

全等三角形的判定方法，难度不大.

20、(1)1；2-/；币;(1)4+73；(4)(200-2573-4072)米.

【解析】

(1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可

解决问题.

(1)以EF为直径作。O,易证。O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方

形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(4)要满足NAMB=40。，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然

后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

【详解】

(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①，

贝!IPA=PD.

•••△PAD是等腰三角形.

:四边形ABCD是矩形，

；.AB=DC,ZB=ZC=90°.

VPA=PD,AB=DC,

•*.RtAABP^RtADCP(HL).

/.BP=CP.

VBC=2,

/.BP=CP=1.

②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P。如图①,

则DA=DPr.

4

BP'P-P"

图①

•••△P，AD是等腰三角形.

•二四边形ABCD是矩形，

AAD=BC,AB=DC,ZC=90°.

VAB=4,BC=2,

ADC=4,DPr=2.

:・cp=du_y=布.

:.BP，=2-币.

③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P”,如图①，

贝！］AD=AP".

.•.△P"AD是等腰三角形.

同理可得：BP"=J7.

综上所述：在等腰三角形AADP中，

若PA=PD,贝!!BP=1；

若DP=DA,贝!|BP=2-S；

若AP=AD,贝！|BP="

(1)；E、F分别为边AB、AC的中点，

；.EF〃BC,EF=-BC.

2

VBC=11,

；.EF=4.

以EF为直径作。O,过点O作OQLBC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.

VAD1BC,AD=4,

；.EF与BC之间的距离为4.

.\OQ=4

.\OQ=OE=4.

与BC相切，切点为Q.

；EF为。O的直径，

，NEQF=90。.

过点E作EGLBC,垂足为G,如图②.

VEG1BC,OQ1BC,

AEG/ZOQ.

；EO〃GQ,EG〃OQ,ZEGQ=90°,OE=OQ,

二四边形OEGQ是正方形.

.*.GQ=EO=4,EG=OQ=4.

VZB=40°,ZEGB=90°,EG=4,

/.BG=V3.

/.BQ=GQ+BG=4+73.

.•.当NEQF=90。时，BQ的长为4+班.

(4)在线段CD上存在点M,使/AMB=40。.

理由如下：

以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG,

作GP_LAB,垂足为P,作AK_LBG,垂足为K.

设GP与AK交于点O,以点。为圆心，OA为半径作。O,

过点。作OHLCD,垂足为H,如图③.

则。。是4ABG的外接圆，

•.,△ABG是等边三角形，GP1AB,

1

.\AP=PB=-AB.

2

VAB=170,

；.AP=145.

VED=185,

.\OH=185-145=6.

•••△ABG是等边三角形，AK±BG,

.\ZBAK=ZGAK=40o.

OP=AP*tan40°

=145x3

3

=25G

.*.OA=lOP=9073.

/.OH<OA.

.••OO与CD相交，设交点为M,连接MA、MB,如图③.

:./AMB=NAGB=40。，OM=OA=906..

VOH1CD,OH=6,OM=905

•*-HM=^OM2-OH-=7（90A^）2-1502=40V2•

VAE=200,OP=256,

.•.DH=200-25V3.

若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=200-256+40夜.

；200-25百+400>420,

.\DM>CD.

二点M不在线段CD上，应舍去.

若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=200-2573-4072.

V200-2573-40^2<420,

/.DM<CD.

...点M在线段CD±.

综上所述：在线段CD上存在唯一的点M,使NAMB=40。，

此时DM的长为（200-25g-40万）米.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周

角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探

究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

21、(1)40;(2)144°；(3)作图见解析；(4)游戏规则不公平.

【解析】

(1)根据统计图可以求出这次调查的n的值；

(2)根据统计图可以求得扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角的度数；

(3)根据题意可以求得调查为D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

(4)根据题意可以写出树状图，从而可以解答本题.

【详解】

解：(1)n%=l-10%-15%-35%=40%,

故答案为40；

(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是：360°x40%=144°,

故答案为144°；

(3)调查的结果为D等级的人数为：400x40%=160,

故补全的条形统计图如右图所示，

对冬窕会的了解程度的条形统计图对冬奥会的了解程度的扇形统计圉

(4)由题意可得，树状图如右图所示,

41

P(偶数)

123

故游戏规则不公平.

开始

第一次

【点睛】

第二;欠

两次力和

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键•条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22、(1)画图见解析⑵B，(-6,2)、C'(-4,-2)(3)M'(-2x,-2y)

【解析】

解：⑴

(2)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍，则是对应点的坐标放大两倍，并将符号进行相应的改变,

因为B(3,-1),则B，(-6,2)C(2,l),则C，(-4,-2)

(3)因为点M(x,y)在△OBC内部，则它的对应点的坐标是M的坐标乘以2,并改变符号，即(-2x,-2y)

23、(1)50；(2)详见解析；(3)220.

【解析】

⑴利用1组的人数除以1组的频率可求此次抽查了多少名学生的成绩；

⑵根据总数乘以3组的频率可求a,用50减去其它各组的频数即可求得b的值，再用1减去其它各组的频率即可求得c

的值,即可把频数分布直方图补充完整；

(3)先得到成绩优秀的频率,再乘以500即可求解.

【详解】

解：⑴4+0.08=50(名).

答：此次抽查了50名学生的成绩；

(2)a=50x0.32=16(名),

b=50-4-8-16-10=12(名)，

c=l-0.08-0.16-0.32-0.2=0.24,

如图所示:

(3)500x(0.24+0.2)

=500x0.44

=220(名).

答：本次测试九年级学生中成绩优秀的人数是220