专题03 运算思维之多项式乘法重难点专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（浙教版）

专题03运算思维之多项式乘法重难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．下列运算中，正确的是（

）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据单项式乘以单项式对B进行判断；根据幂的乘方与积的乘方法则对C进行判断；根据合并同类项对D进行判断．【详解详析】解：A、a3•a2=a5，所以A选项不正确，故不符合题意；B、，正确，符合题意；C、，所以C选项不正确，故不符合题意；D、与不是同类项，不能合并，故选项D不符合题意，故选：B．【名师指路】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．2．若M＝(a＋3)(a－4)，N＝(a＋2)(2a－5)，其中a为有理数，则M、N的大小关系是()A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定【标准答案】B【思路指引】把M与N代入M-N中计算，判断差的正负即可得到结果．【详解详析】解：∵M-N=（a+3）（a-4）-（a+2）（2a-5）=a2-a-12-2a2+a+10=-a2-2≤-2＜0，∵M＜N．故选B．【名师指路】此题考查了多项式乘多项式，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．若多项式x2－(x＋a)(x＋b)－3的值与x的取值无关，则a，b一定满足()A．a＝0且b＝0 B．ab＝0C．ab＝1 D．a＋b＝0【标准答案】D【思路指引】根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可．【详解详析】解：x2-（x+a）（x+b）-3=x2-x2-bx-ax-ab-3=-（a+b）x-ab-3，∵多项式x2－(x＋a)(x＋b)－3的值与x的取值大小无关，∴a+b=0，故选D．【名师指路】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．4．（2021·浙江·绍兴市上虞区永和镇中心学校七年级月考）下列计算正确的是()．A．(2x－5)(3x－7)＝6x2－29x＋35B．(3x＋7)(10x－8)＝30x2＋36x＋56C．D．(1－x)(x＋1)＋(x＋2)(x－2)＝2x2－3【标准答案】A【思路指引】根据多项式、单项式的乘法法则及整式的混合运算法则作答．【详解详析】解：A、（2x-5）（3x-7）=6x2-29x+35，正确；B、应为（3x+7）（10x-8）=30x2-46x-56，故本选项错误；C、应为（-3x+）（-x）=x2-x，故本选项错误；D、应为（1-x）（x+1）+（x+2）（x-2）=（1-x2）+（x2-4）=-3，故本选项错误．故选A．【名师指路】本题主要考查了整式的运算，包括单项式、多项式的乘法法则．5．矩形内放入两张边长分别为和的正方纸片，按照图①放置，矩形纸片没有两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．已知，，设，则下列值是常数的是（

）

A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】利用面积的和差表示出S2-S1，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到b（AD-AB）=12，从而求解．【详解详析】解：由，可得：S2-S1=9，由图①得：S矩形ABCD=S1+a2+b（AD-a），由图②得：S矩形ABCD=S2+a2+b（AB-a），∴S1+a2+b（AD-a）=S2+a2+b（AB-a），∴S2-S1=b（AD-AB），∵AD-AB=m，∴mb=12．故选：B．【名师指路】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．6．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级期中）已知，，则的值为()A．6 B． C．0 D．1【标准答案】D【思路指引】根据整式乘法法则去括号，再把已知式子的值代入即可．【详解详析】∵，，∴原式．故选：D．7．（2021·浙江杭州·七年级期中）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，那么当时，则为（

）A．17 B．18 C．19 D．20【标准答案】D【思路指引】先根据题意得出（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后求出方程的解即可．【详解详析】解：根据题意，由可得（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，m2-1-m2+3m-2m+6=25，3m-2m=25+1-6，m=20，故选：D．【名师指路】本考查了整式的混合运算和解一元一次方程等知识点．能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．8．八张如图所示的长为a，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】表示出左上角与右下角部分的面积，求出差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．【详解详析】解：如图，由题意可知：DE=a，BF=5b，∵AD=BC，∴EH+3b=a+GF，∴EH-GF=a-3b，S=DE×EH-BF×FG=a×（FG+a-3b）-5b×FG=（a-5b）FG+a2-3ab∵S始终保持不变，∴a-5b=0，即a=5b，故选A．【名师指路】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．9．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（

）①小长方形的较长边为；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③【标准答案】B【思路指引】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合y为定值可得出说法③错误；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=25可得出说法④正确．【详解详析】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），∴若y为定值，则阴影A和阴影B的周长之和不为定值，说法③错误；④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，当x=25时，xy-25y+375=375cm2，说法④正确．综上所述，正确的说法有①④．故选：B．【名师指路】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．10．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（

）①小长方形的较长边为；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④【标准答案】A【思路指引】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误．【详解详析】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：A．【名师指路】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．二、填空题11．计算_______．【标准答案】【思路指引】直接利用幂的乘方和积的乘方运算法则以及单项式乘法运算法则计算得出答案．【详解详析】解：==故答案为：．【名师指路】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，单项式乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．若(x+p)与(x+5)的乘积中不含x的一次项，则p＝_____．【标准答案】-5【思路指引】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn计算，再根据乘积中不含x的一次项，得出它的系数为0，即可求出p的值．【详解详析】解：（x+p）（x+5）＝x2+5x+px+5p＝x2+（5+p）x+5p，∵乘积中不含x的一次项，∴5+p＝0，解得p＝﹣5，故答案为：﹣5．13．已知，，则________．【标准答案】-3【思路指引】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．【详解详析】解：∵m+n=2，mn=-2，∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3．故答案为：-3．【名师指路】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若的积中不含的一次项，则的值为______．【标准答案】2【思路指引】先运用多项式的乘法法则计算，再合并同类项，因积中不含x的一次项，所以让一次项的系数等于0，得a的等式，再求解．【详解详析】解：（2x-a）（x+1）=2x2+（2-a）x-a，∵积中不含x的一次项，∴2-a=0，∴a=2，故答案为：2．【名师指路】本题考查了多项式乘多项式法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．15．将三张大小相同的正方形纸片按如图1的方式叠放在一个长方形ABCD内部，纸片重叠部分恰好为两个长方形，分别记为①，②．现图1抽象出几何平面图，如图2所示．若，未覆盖区域Ⅰ、Ⅱ的面积相等，重叠区域①的面积是②的2倍．已知，则边AD的长度为________cm．【标准答案】14【思路指引】设MN=PQ=xcm，NP=ycm，长方形②的长为acm，则正方形的边长为（2x+y）cm，AD=2（2x+y）=（4x+2y）cm，可得AB=2x+y+2x+y-y=（4x+y）cm，重叠区域长方形①的宽为（2x+y-a）cm，长为（x+y）cm，长方形②的宽ycm，未覆盖区域区域Ⅰ的长为acm，宽为xcm，区域Ⅱ的长为2xcm，宽为（2x+y-a）cm，再根据“未覆盖区域Ⅰ、Ⅱ的面积相等，重叠区域①的面积是②的2倍，”可求出x=3y，然后由AB=13cm，可求得x，y，即可求解．【详解详析】解：设MN=PQ=xcm，NP=ycm，长方形②的长为acm，则正方形的边长为（2x+y）cm，AD=2（2x+y）=（4x+2y）cm，∴AB=2x+y+2x+y-y=（4x+y）cm，重叠区域长方形①的宽为（2x+y-a）cm，长为（x+y）cm，长方形②的宽ycm，未覆盖区域区域Ⅰ的长为acm，宽为xcm，区域Ⅱ的长为2xcm，宽为（2x+y-a）cm，∵未覆盖区域Ⅰ、Ⅱ的面积相等，重叠区域①的面积是②的2倍，∴，解得：x=3y，∵AB=13cm，∴4x+y=13，即，解得：y=1cm，∴x=3y=3cm，∴AD=4x+2y=cm．故答案为：14．【名师指路】本题主要考查了正方形的性质，方程与几何图形的关系，根据图形找到等量关系，列出方程是解题的关键．16．（2021·浙江·杭州绿城育华学校七年级月考）已知x2﹣3x+1＝0，则﹣2x2+6x＝___；x3﹣2x2﹣2x+9＝___．【标准答案】

2

8【思路指引】根据已知条件得到x2﹣3x＝﹣1，x2﹣2x＝x﹣1，然后将其整体代入整理后的所求的代数式进行求值．【详解详析】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴﹣2x2+6x＝﹣2(x2﹣3x)＝﹣2×(﹣1)＝2；∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣2x＝x﹣1，∴x3﹣2x2﹣2x+9，＝x（x2﹣2x）﹣2x+9，＝x（x﹣1）﹣2x+9，＝x2﹣2x﹣x+9，＝x﹣1﹣x+9，＝8，故答案为：2；8．【名师指路】本题考查了代数式求值．该题利用了“整体代入”的数学思想，减少了繁琐的计算过程．17．已知单项式与的积为，那么_________．【标准答案】-20【详解详析】试题解析：由题意可知：3x2y3×（-5x2y2）=mx4yn，∴m=-15，n=5，∴m-n=-20.18．（2021·浙江杭州·七年级期中）如果.那么_________【标准答案】-1【思路指引】根据得到，再把原式变形，然后把整体代入求值即可得解.【详解详析】解：，故答案为-1【名师指路】本题考查了整式的化简求值，解题关键是把原条件变形后整体代入所求算式的变形式中计算.三、解答题19．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1．可得等式：．（1）由图2，可得等式：___________．（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足，，求的值；②若三个实数x，y，z满足，，求的值．【标准答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①45；②-12【思路指引】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；（2）①（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，化为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），代入已知即可；②根据幂的乘方从得到，两边平方，再利用已知等式可整体求出．【详解详析】解：（1）根据图形可知，大正方形的边长为a+b+c，则其面积为（a+b+c）2，各部分面积和可表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），即112=a2+b2+c2+2×38，∴a2+b2+c2=45；②∵，∴，又∵，∴====16∴=-12．【名师指路】此题考查了多项式乘以多项式，能够利用面积相等的思想推导公式并熟练运用是解题关键．20．（2021·浙江杭州·七年级期末）阅读下列材料，解答问题：在的积中，项的系数为，的系数为，求a，b的值．解：

①

②根据对应项系数相等有，解得，

③（1）上述解答过程是否正确？（2）若不正确，从第几步开始出现错误?其它步骤是否还有错误?（3）请你写出正确的解答过程．【标准答案】（1）不正确；（2）①，第②③步还有错误；（3）见解析【思路指引】根据多项式乘多项式法则判断，并写出正确过程．【详解详析】解：（1）不正确；（2），第①步出现错误，导致第②③步还有错误；（3）的展开式中含的项有：，含的项有：．又项的系数为，项的系数为，有，解得．【名师指路】本题考查了多项式乘以多项式，此类问题，应先利用多项式乘以多项式法则进行正确计算，再求值．21．回答下列问题：（1）填空：________；________；_________．（2）猜想：____________．（其中为正整数，且）；（3）利用（2）猜想的结论计算：（结果保留乘方）①；②．【标准答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①211-2；②【思路指引】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值．【详解详析】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2；（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn；（3）①原式=210+29+28+…+2