人教A版高中数学选择性必修第三册 第7章 §7.1 条件概率与全概率公式 同步课时讲练（教师版）

第第页§7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率学习目标1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一条件概率的概念一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．思考P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？答案P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，其中P(B)>0.知识点二概率乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．知识点三条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)设eq\x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．1．在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B)．(×)2．对事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B)．(×)3．若P(B|A)＝P(B)，则事件A，B相互独立．(√)4．P(B|A)相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率．(√)一、条件概率的定义及计算命题角度1利用定义求条件概率例1现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30.根据分步乘法计数原理，有n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，所以P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因为n(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)方法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).方法二因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).反思感悟利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．跟踪训练1从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．解设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P(A|B)．∵P(AB)＝P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,20))，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15),C\o\al(2,20))，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15))＝eq\f(10,85)＝eq\f(2,17).命题角度2缩小样本空间求条件概率例2集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).延伸探究1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．解甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).反思感悟利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.(2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件．(3)算：利用P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)求得结果．跟踪训练2抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．解n(A)＝6×2＝12.由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10，其中n(AB)＝6.所以(1)P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(2)P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).二、概率的乘法公式例3一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．解设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则eq\x\to(A)＝“第一次取得黑球”，由题意得：(1)P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＝eq\f(1,3).(3)P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).反思感悟概率的乘法公式(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.跟踪训练3已知某品牌的手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．解设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.即这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.三、条件概率的性质及应用例4在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,10),C\o\al(6,20))＝eq\f(12180,C\o\al(6,20))，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝eq\f(PA,PD)＋eq\f(PB,PD)＝eq\f(\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＋eq\f(\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＝eq\f(13,58).故获得优秀成绩的概率为eq\f(13,58).反思感悟条件概率的性质及应用(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．跟踪训练4有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．答案eq\f(6,7)解析设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥．又P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(PAB,PA)＋eq\f(PAC,PA)＝eq\f(6,7).1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,3)，则P(B|A)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)D.eq\f(4,9)答案A解析P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq\f(1,2).2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A．0.665B．0.564C．0.245D．0.285答案A解析记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45答案A解析根据条件概率公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，得所求概率为eq\f(0.6,0.75)＝0.8.4．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和小于等于6的概率为________．答案eq\f(2,5)解析设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“两颗骰子点数之和小于等于6”，则P(A)＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,5).5．某气象台统计，该地区下雨的概率为eq\f(4,15)，既刮四级以上的风又下雨的概率为eq\f(1,10).设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝________.答案eq\f(3,8)解析由题意知P(A)＝eq\f(4,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8).1．知识清单：(1)条件概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(nAB,nA).(2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)．(3)条件概率的性质．2．方法归纳：转化化归、对立统一．3．常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”．1．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,5)，则P(AB)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(9,10)C.eq\f(2,15)D.eq\f(1,15)答案C解析P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故选C.2．(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，则()A．P(AB)＝eq\f(1,6) B．P(AB)＝eq\f(5,6)C．P(B)＝eq\f(1,3) D．P(B)＝eq\f(1,12)答案AC解析P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，由P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，得P(B)＝eq\f(PAB,PA|B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,10)C.eq\f(8,10)D.eq\f(9,10)答案A解析记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝eq\f(9,10)，P(B|A)＝eq\f(1,9)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(1,10).4．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A．0.2B．0.33C．0.5D．0.6答案A解析记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.03,0.15)＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.5．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P(B|A)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,18)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)答案A解析出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).6．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________，两次都取到白球的概率是________．答案eq\f(1,2)eq\f(3,10)解析第一次取到白球，则还剩下4个小球，2个白球，2个黑球，故第二次取到白球的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，两次都取到白球的概率P＝eq\f(3×2,5×4)＝eq\f(3,10).7．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．答案0.5解析设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，又P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5.8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．答案0.72解析“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活才成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.9．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，得P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).(2)方法一要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝eq\f(4,15).方法二P(B)＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,15).10．设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数．(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．解(1)方程有实根，Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，又b，c∈{1,2,3,4,5,6}，∴当b＝2时，c＝1，当b＝3时，c＝1,2，当b＝4时，c＝1,2,3,4，当b＝5时，c＝1,2,3,4,5,6，当b＝6时，c＝1,2,3,4,5,6，共19种情况．故所求的概率为eq\f(19,6×6)＝eq\f(19,36).(2)把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，满足b2≥4c的有序数对记为(b，c)，则事件A包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，事件AB包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种，故所求的概率为eq\f(7,11).11．7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,7)答案C解析记“甲站在中间”为事件A，“乙站在最右端”为事件B，则n(A)＝Aeq\o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq\o\al(5,5)，所以P(B|A)＝eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,6).12．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为()A．75%B．96%C．72%D．78.125%答案C解析记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B，由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%，故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%.13．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(5,12)C.eq\f(5,9)D.eq\f(7,9)答案C解析记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2)．由题意可知，要求的概率为P(A2|A1)．因为P(A1)＝eq\f(3,5)，P(A1A2)＝eq\f(6×5,10×9)＝eq\f(1,3)，所以P(A2|A1)＝eq\f(PA1A2,PA1)＝eq\f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq\f(5,9).14．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．答案0.4解析记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.15．从1～100共100个正整数中任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．答案eq\f(33,50)解析设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B是“取出的数是3的倍数”，则P(C)＝eq\f(1,2)，且所求概率为P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq\f(PAC,PC)＋eq\f(PBC,PC)－eq\f(PABC,PC)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,100)＋\f(16,100)－\f(8,100)))＝eq\f(33,50).16．如图，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))解设事件A＝“任取的三个数中有a22”，事件B＝“三个数至少有两个数位于同行或同列”，则eq\x\to(B)＝“三个数互不同行且不同列”，依题意得n(A)＝Ceq\o\al(2,8)＝28，n(Aeq\x\to(B))＝2，故P(eq\x\to(B)|A)＝eq\f(nA\x\to(B),nA)＝eq\f(2,28)＝eq\f(1,14)，则P(B|A)＝1－P(eq\x\to(B)|A)＝1－eq\f(1,14)＝eq\f(13,14).即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为eq\f(13,14).7.1.2全概率公式学习目标1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)．知识点一全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．*知识点二贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.1．若P(A)>0，P(eq\x\to(A))>0，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．(√)2．若A1，A2，A3互斥且P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，则P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(×)一、两个事件的全概率问题例1某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占eq\f(3,5)，乙班中女生占eq\f(1,3).求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，且P(B|A1)＝eq\f(3,5)，P(B|A2)＝eq\f(1,3).由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(3,5)＋eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).反思感悟两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与eq\x\to(A))．(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．跟踪训练1某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．解记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，(1)由题意，得P(A)＝eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(20,50)＝eq\f(2,5)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(7,125).(2)P(A)＝eq\f(30×100,30×100＋20×120)＝eq\f(5,9)，P(B)＝eq\f(20×120,30×100＋20×120)＝eq\f(4,9)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(5,9)×eq\f(6,100)＋eq\f(4,9)×eq\f(5,100)＝eq\f(1,18).二、多个事件的全概率问题例2假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．解用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.反思感悟“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．跟踪训练2甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(8×7,2)＝28，这2个产品都是次品的事件数为Ceq\o\al(2,3)＝3，∴这2个产品都是次品的概率为eq\f(3,28).(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(2,3)，P(A|B2)＝eq\f(5,9)，P(A|B3)＝eq\f(4,9)，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝eq\f(5,14)×eq\f(2,3)＋eq\f(15,28)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,28)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,12).三、条件概率在生产生活中的应用例3设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．解记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”．则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.(1)由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)＝eq\f(18,35).反思感悟条件概率的内含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．跟踪训练3同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.(1)由全概率公式得P(A)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(0.2×0.95,0.86)＝eq\f(19,86)，P(B2|A)＝eq\f(PB2PA|B2,PA)＝eq\f(0.3×0.9,0.86)＝eq\f(27,86)，P(B3|A)＝eq\f(PB3PA|B3,PA)＝eq\f(0.5×0.8,0.86)＝eq\f(40,86).由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．1．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为()A.eq\f(2,9)B.eq\f(3,9)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)答案C解析记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))，由题设易知P(A)＝eq\f(3,10)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(7,10)，P(B|A)＝eq\f(2,9)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,9)，于是P(B)＝eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,9)＝eq\f(3,10).2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是()A.eq\f(2,75)B.eq\f(7,300)C.eq\f(73,75)D.eq\f(973,1000)答案C解析设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝“任意取出一个零件是合格品”．则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，∴P(B)＝eq\i\su(i＝1,2,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(2,3)(1－0.03)＋eq\f(1,3)(1－0.02)＝eq\f(292,300)＝eq\f(73,75).3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是()A．0.013B．0.04C．0.002D．0.003答案A解析设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.4．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________．答案eq\f(13,25)解析设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))·eq\f(4,10)＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(1,2)＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(6,10)＝eq\f(13,25).5．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：(1)某人化验结果为阳性的概率为________；(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．答案(1)1.47%(2)eq\f(95,294)解析A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”．(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.(2)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.5%×95%,1.47%)＝eq\f(95,294).1．知识清单：(1)全概率公式．(2)贝叶斯公式．2．方法归纳：化整为零、转化化归．3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为()A．0.85B．0.65C．0.145D．0.075答案C解析设A1＝“他乘火车来”，A2＝“他乘船来”，A3＝“他乘汽车来”，A4＝“他乘飞机来”，B＝“他迟到”．则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,4,P)(Ai)·P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为()A．0.8B．0.532C．0.4825D．0.3125答案C解析设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝eq\i\su(i＝1,4,P)(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.3．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是()A．0.01245B．0.05786C．0.02625D．0.02865答案C解析用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(1,2)×5%＋eq\f(1,2)×0.25%＝0.02625.4．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(21,100)C.eq\f(7,30)D.eq\f(29,90)答案D解析设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，∴P(A)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,3)×eq\f(7,15)＋eq\f(1,3)×eq\f(5,25)＝eq\f(29,90).5．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为()A．0.59B．0.41C．0.48D．0.64答案A解析设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，P(R|A)＝eq\f(1,2)，P(R|B)＝eq\f(4,5)，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,10)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,10)＝0.59.6．袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．答案eq\f(N2－N＋1,N2N－1)解析设A＝“第一次取到1号球”，则eq\x\to(A)＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝eq\f(1,N)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(N－1,N)，且P(B|A)＝eq\f(1,N－1)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,N)，∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|eq\x\to(A))P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,N－1)·eq\f(1,N)＋eq\f(1,N)·eq\f(N－1,N)＝eq\f(N2－N＋1,N2N－1).7．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．答案64%解析记A为事件“利率下调”，那么eq\x\to(A)即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”．依题设知P(A)＝60%，P(eq\x\to(A))＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|eq\x\to(A))＝40%，于是P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝60%×80%＋40%×40%＝64%.8．设盒中装有5只灯泡，其中3只是好的，2只是坏的，现从盒中随机地摸出两只，并换进2只好的之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸出的2只全是好的概率为________．答案0.55解析Ai＝“第一次摸出i只好的”(i＝0,1,2)，A＝“第二次摸出的2只全是好的”，则A＝AA2∪AA1∪AA0，∵P(A0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(A|A0)＝1，P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(A|A1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(A2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(A|A2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，∴第二次摸出的2只全是好的的概率为P(A)＝P(A2)·P(A|A2)＋P(A1)P(A|A1)＋P(A0)P(A|A0)＝eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,10)＝0.55.9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？解记事件A＝“最后从2号箱中取出的是红球”；事件B＝“从1号箱中取出的是红球”．则事件eq\x\to(B)＝“从1号箱中取出的是白球”．P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).(1)P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).10．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为eq\f(1,7)，eq\f(1,5)，eq\f(1,4).现从这三个地区任选一个地区抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．解设Ai＝“此区)，B＝“感染此病”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，∴P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(1,3)，∴P(B|A1)＝eq\f(1,7)，P(B|A2)＝eq\f(1,5)，P(B|A3)＝eq\f(1,4).由全概率公式得(1)P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(83,420).(2)P(A2|B)＝eq\f(PA2PB|A2,\i\su(i＝1,3,P)AiPB|Ai)＝eq\f(28,83).11．设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为()A.eq\f(441,3025)B.eq\f(193,220)C.eq\f(1,11)D.eq\f(7,60)答案A解析设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，∴P(B)＝eq\i\su(i＝0,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,9),C\o\al(3,12)C\o\al(3,12))＋eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3)C\o\al(3,8),C\o\al(3,12)C\o\al(3,12))＋eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,12)C\o\al(3,12))＋eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),C\o\al(3,12)C\o\al(3,12))＝eq\f(441,3025).12．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为()A.eq\f(5,18)B.eq\f(5