（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义09 直线的倾斜角与斜率（原卷版）

第第页§2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率学习目标1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<03．过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).思考任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？答案由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．1．任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(×)2．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×)3．若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(×)4．经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．(×)一、直线的倾斜角例1(1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α－45°反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．跟踪训练1(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．二、直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率．反思感悟求直线的斜率(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．三、倾斜角和斜率的应用例3已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．跟踪训练3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．1．(多选)下列说法正确的是()A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)3．若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于()A．2B．1C．－1D．－24.若A(2,3)，B(3,2)，C(eq\f(1,2)，m)三点共线，则实数m的值为________．5．经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)1．知识清单：(1)直线的倾斜角及其范围．(2)直线斜率的定义和斜率公式．2．方法归纳：数形结合思想．3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．1．若直线过坐标平面内两点(4,2)，(1,2＋eq\r(3))，则此直线的倾斜角是()A．30°B．150°C．60°D．120°2．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为()A．－1B．1C．2D.eq\f(4,3)3．(多选)下列说法中，错误的是()A．任何一条直线都有唯一的斜率B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C．任何一条直线都有唯一的倾斜角D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等4．若某直线的斜率k∈(－∞，eq\r(3)]，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))5．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α≤90°B．90°≤α<180°C．90°≤α<180°或α＝0°D．90°≤α≤135°6．已知三点A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．7.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．9．过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值．10．若A(2,2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).11．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D．012．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．13．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是________．14．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________．15．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．16．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范围．2．1.2两条直线平行和垂直的判定学习目标1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．知识点一两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2思考两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？答案不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．1．若l1∥l2，则k1＝k2.(×)2．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(×)3．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(√)一、两条直线平行的判定例1已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明．反思感悟判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1(1)已知l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)，判断直线l1与l2是否平行．(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．二、两条直线垂直的判定例2已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．反思感悟判断两条直线是否垂直在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．跟踪训练2判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．垂直与平行的综合应用典例已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．[素养提升]用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．1．若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．2D．－22．已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为()A.eq\f(1,a)B．－eq\f(1,a)C．aD．－eq\f(1,a)或不存在3．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是()A．平行 B．垂直C．可能重合 D．无法确定4．(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是()A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2B．若k1＝k2，则l1∥l2C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2D．若α1＝α2，则l1∥l25．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．1．知识清单：两直线平行或垂直的条件．2．方法归纳：分类讨论，数形结合．3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是()A．相交B．平行C．重合D．以上都不对2．已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()A．－8B．0C．2D．103．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)4．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－eq\f(2,3)的直线垂直，则实数a的值为()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)5．(多选)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是()A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．PR⊥QS6．若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.8．已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________．9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．10．已知▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求点D的坐标；(2)试判定▱ABCD是否为菱形？11．(多选)已知点A(m，