人教版2024年数学七年级上册 暑假讲义06 《有理数》全章复习与巩固+练习 (教师版)

页《有理数》全章复习与巩固【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.

2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.

3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用＋3表示，没有苹果用0表示表示某种状态SKIPIF1<0表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如SKIPIF1<0．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“SKIPIF1<0”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“SKIPIF1<0”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作SKIPIF1<0．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a﹣b＝a＋(﹣b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b＝a·SKIPIF1<0(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]＝－3，－[＋（－3）]＝3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）＝－36，而（－3）×（－2）×6＝36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a＋b＝b＋a；②乘法交换律:ab＝ba；（2）结合律:①加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；②乘法结合律：（ab）c＝a(bc)（3）分配律：a(b＋c)＝ab＋ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成SKIPIF1<0的形式（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000＝SKIPIF1<0．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到SKIPIF1<0米，说明结果与实际数相差不超过SKIPIF1<0米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型例题】类型一、有理数相关概念 1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0；(2)1和﹣1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)﹣1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【变式】(1)SKIPIF1<0的倒数是；SKIPIF1<0的相反数是；SKIPIF1<0的绝对值是.﹣（﹣8）的相反数是；SKIPIF1<0的相反数的倒数是_____.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则﹣5.8元的意义是_；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.(3)上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为m／min.(4)若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则SKIPIF1<0____.(5)近似数0.4062精确到位，近似数5.47×105精确到位，近似数3.5万精确到位，3.4030×105精确到千位是.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；﹣8；2（2）降价5.8元，70.2元；（3）SKIPIF1<0；（4）3；（5）万分；千；千；3.40×1052．如果|x＋3|＋|y﹣4|＝0，求x＋2y的值．【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x、y的值代入代数式化简计算即可．【答案与解析】解：∵|x＋3|＋|y﹣4|＝0，∴x＋3＝0，y﹣4＝0，解得，x＝﹣3，y＝4，x＋2y＝﹣3＋4×2＝5．【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．3．在下列两数之间填上适当的不等号：SKIPIF1<0________SKIPIF1<0．【思路点拨】根据“a﹣b＞0，a﹣b＝0，a﹣b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．【答案】＜【解析】法一：作差法由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0法二：倒数比较法：因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．举一反三：【变式】比较大小：(1)SKIPIF1<0________0.001；(2)SKIPIF1<0________﹣0.68【答案】（1）＜（2）＞类型二、有理数的运算4．（1）（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2＋3×（﹣2）＋|﹣4|（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0【答案与解析】解：（1）（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）＝﹣12﹣5﹣14＋39＝﹣31＋39＝8（2）﹣32÷（﹣3）2＋3×（﹣2）＋|﹣4|＝﹣9÷9﹣6＋4＝﹣1﹣6＋4＝﹣3（3）SKIPIF1<0＝×60﹣×60﹣×60＝10﹣25﹣8＝﹣23（4）SKIPIF1<0＝﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]＝﹣×[2﹣32]＝﹣×[﹣30]＝24（5）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：

【变式】计算﹣33×（﹣5）＋16÷（﹣2）3﹣|﹣4×5|＋（﹣0.625）2．【答案】解：原式＝﹣27×（﹣5）＋16÷（﹣8）﹣|﹣20|＋02＝135﹣2﹣20＋0＝113．类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，﹣a，1的大小关系．A．﹣a＜a＜1B．1＜﹣a＜aC．1＜﹣a＜aD．a＜1＜﹣a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x﹣y的值．（3）转化思想：计算：SKIPIF1<0【答案与解析】解：（1）将﹣a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜﹣a，所以大小关系为：a＜1＜﹣a．所以正确选项为：D．（2）因为|x|＝5，所以x为﹣5或5因为|y|＝3，所以y为3或﹣3．当x＝5，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2当x＝5，y＝﹣3时，x﹣y＝5﹣(﹣3)＝8当x＝﹣5，y＝3时，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8当x＝﹣5，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5﹣(﹣3)＝﹣2故（x﹣y）的值为±2或±8（3）原式＝SKIPIF1<0【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：

【变式】若a是有理数，|a|﹣a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|﹣a＝a﹣a＝0；当a＝0时，|a|﹣a＝0﹣0＝0；当a＜0时，|a|﹣a＝﹣a﹣a＝﹣2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|﹣a都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】SKIPIF1<0【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是SKIPIF1<0；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是SKIPIF1<0，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是SKIPIF1<0．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．单元【巩固练习】一、选择题

1．下列判断正确的个数有()(1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等．(2)若两个有理数互为相反数，则这两个数互为倒数．(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个有理数也相等．A．0个B．1个C．2个D．3个2.（2020•吉林）若等式0□1＝﹣1成立，则□内的运算符号为（） A．＋ B． ﹣ C． × D． ÷3．在﹣(﹣2)，﹣|﹣7|，﹣|＋1|，|﹣SKIPIF1<0中，负数的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个4．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（）A．2.02×SKIPIF1<0人B．202×SKIPIF1<0人C．2.02×SKIPIF1<0人D．2.02×SKIPIF1<0人5．若﹣1<a<0,则a，SKIPIF1<0从小到大排列正确的是（）A．a2<a<SKIPIF1<0B．a<SKIPIF1<0<a2C．SKIPIF1<0<a<a2D．a<a2<SKIPIF1<06．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是()A．6B．﹣6C．﹣1D．﹣1或67．a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（）A．a＋b>0B．ab>0C．SKIPIF1<0>0D．a﹣b>08．已知有理数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在数轴上对应的两点分别是A，B．请你将具体数值代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，充分实验验证：对于任意有理数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，计算A，B两点之间的距离正确的公式一定是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、填空题9.一运动员某次跳水的最高点离跳板2m，记作＋2m，则水面离跳板3m可以记作m．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)＋3，0，﹣1，＋5，﹣4，＋2，﹣3，﹣2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102000000000000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为________千米，精确到千亿位为千米．12．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.13．已知实数a,在数轴上如下图所示，则SKIPIF1<0＝.14．若|a﹣2|＋|b＋3|＝0，则3a＋2b＝．15．SKIPIF1<0＝．16．观察下列算式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：SKIPIF1<0.三、解答题17．计算：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）21﹣49.5＋10.2﹣2﹣3.5＋19（4）SKIPIF1<018.某服装店以每件82元的价格购进了30套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这30套保暖内衣的售价不完全相同，若以100元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结来如表所示：售出件数76782售价（元）＋5＋10﹣2﹣5请你求出该服装店在售完这30套保暖内衣后，共赚了多少钱？19．某地的气象观测资料表明，高度每增加1km，气温大约下降6℃，若该地地面温度为18℃，高空